- ourgrade.ru

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОУ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 12»
Г. ПСКОВА
«Утверждаю»
директор школы:_________
(Аксенов В. Ф.)
Рассмотрено
на заседании
методического совета
ПРОГРАММА
ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
В 10 – 11 КЛАССАХ
(ФИЗИКО – МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРОФИЛЬ).
АВТОР:
2009 г.
Семёнова Е. В.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Данный курс изучения математики предназначен для учащихся, имеющих более или менее устойчивый интерес к математике и намерение выбрать после окончания школы связанную с ней профессию. Обучение математике в рамках данного курса должно обеспечить подготовку к поступлению в вуз и продолжению образования, а также к профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры.
Цель изучения курса – систематическое изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа; раскрытие политехнического и прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием
функций; подготовка необходимого аппарата для изучения геометрии, физики. Курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов, относящихся к началам анализа, выявлением их практической значимости. При изучении вопросов
анализа широко используются наглядные соображения. Уровень строгости изложения
определяется с учетом углубленного изучения начал анализа и согласуется с уровнем
строгости приложений изучаемого материала в смежных дисциплинах. Характерной особенностью курса являются систематизация и обобщение знаний учащихся, закрепление и
развитие умений и навыков, полученных в курсе алгебры, что осуществляется как при
изучении нового материала, так и при проведении обобщающего повторения.
Учащиеся систематически изучают тригонометрические, показательную, логарифмическую функции и их свойства, тождественные преобразования тригонометрических, показательных, логарифмических выражений и их применение к решению соответствующих
уравнений и неравенств, элементы комбинаторики, элементы теории вероятностей и статистики, комплексные числа. Знакомятся с основными понятиями, утверждениями, аппаратом математического анализа в объеме, позволяющем точно и грамотно формулировать
изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении
задач, правильно пользоваться математической терминологией и символикой, применять
рациональные приемы вычислений и тождественных преобразований, использовать
наиболее употребительные эвристические приемы и т. д.
ТРЕБОВАНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
- выполнять действия над комплексными числами, заданными в различных формах; находить комплексные корни многочленов;
- строить графики элементарных функций и проводить преобразования графиков, используя изученные методы;
- проводить тождественные преобразования иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических выражений;
- решать системы уравнений изученными методами;
- применять аппарат математического анализа к решению задач и в исследовательской деятельности.
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
Элементарные функции
Измерение углов. Радиан. Радианное измерение углов.
Тригонометрические функции числового аргумента: синус, косинус, тангенс и котангенс.
Свойства периодичности функции. Примеры периодических функций, функция Дирихле.
Периодичность тригонометрических функций. Основной период. Нахождение основного
периода сложных функций, суммы, произведения и частного двух функций.
Свойства и графики тригонометрических функций.
Обратная функция. Условия существования и свойства обратной функции.
Обратные тригонометрические функции. Свойства и графики обратных тригонометрических функций.
Показательная, логарифмическая и степенная функции, их свойства и графики. Число е и
натуральные логарифмы.
Сложная функция. Построение графиков функций элементарными методами. Графики
дробно – линейных функций; вертикальная и горизонтальная асимптоты. Графики кусочно - заданных функций. Графики функций, связанных с модулем.
Тождественные преобразования
Преобразования многочленов, разложение на множители. Формулы сокращенного умножения: квадрат алгебраической суммы нескольких слагаемых,
х п  у п  ( х  у)( х п1  х п2 у  ...  у п1 )
, где п – натуральное число.
х п  у п  ( х  у)( х п1  х п2 у  ...  у п1)
Деление многочлена на многочлен с остатком. (Алгоритм Евклида для многочленов. Схема Горнера.) Корни многочлена. (Теорема Безу. Основная теорема алгебры.)
Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Обобщенная
теорема Виета.
Многочлены от нескольких переменных. Симметрические многочлены.
Преобразования рациональных выражений.
Основные тригонометрические тождества и следствия из них. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус, косинус и тангенс двойного,
тройного и половинного углов. Преобразования суммы тригонометрических выражений в
произведение и произведения в сумму. Тождественные преобразования тригонометрических выражений.
Преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.
Свойства логарифмов. Основное логарифмическое тождество. Формула перехода от одного основания логарифма к другому. Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений.
Уравнения, неравенства, системы
Уравнения с одной переменной. Равносильность уравнений. Уравнение-следствие. Общие
методы решения: переход к равносильному уравнению, переход к уравнению-следствию и
проверка корней.
Общие приемы решения уравнений: разложение на множители, замена переменной, использование свойств функций, использование графиков, возведение в степень и др.
Иррациональные уравнения.
Показательные и логарифмические уравнения, неравенства и системы; основные виды и
методы их решения.
Тригонометрические уравнения; общие формулы решения уравнений sin x = a, cos x = a,
tg x = a, ctg x = a. Виды тригонометрических уравнений, основные методы их решения.
Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции. Комбинированные
уравнения. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля. Тригонометрические
неравенства.
Обобщенный метод интервалов для решения неравенств.
Рациональные и иррациональные неравенства. Доказательства неравенств. Некоторые
классические неравенства.
Системы уравнений и неравенств. Основные методы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Метод Гаусса.
Применение графиков к решению уравнений, неравенств, систем.
Приближенные методы решения уравнений.
Методы решения уравнений, неравенств и системы с параметрами.
Уравнения и неравенства, не решаемые стандартными методами.
Элементы математического анализа
Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Предел по1
следовательности ( п  ) . Предел функции на бесконечности. Предел функции в точке.
п
sin х
Теоремы о пределах функций. Предел функции
при х→0.
х
Односторонние пределы. Бесконечные пределы.
Непрерывность функции в точке и на промежутке.
Свойства непрерывных функций. Непрерывность элементарных функций. Теорема о промежуточном значении функции, непрерывной на отрезке.
Производная. Дифференциал. Геометрический и физический смысл производной. Непрерывность и дифференцируемость функций.
Таблица производных элементарных функций. Производная суммы, произведения и
частного двух функций. Производная сложной и обратной функции.
Вторая производная; ее геометрический и механический смысл. Производные высших
порядков. Формула Тейлора. Приближенное вычисление значений элементарных функций.
Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл. Таблица первообразных. Правила нахождения первообразных. Интегрирование по частям. Подстановка.
Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл и его свойства. Формула
Ньютона – Лейбница. Приближенное вычисление определенных интегралов.
Приложения математического анализа
Исследование функций с помощью производной. Теорема Лагранжа и ее следствие. исследование функций на возрастание и убывание. Достаточные условия экстремума.(Выпуклость; точки перегиба. Наклонные асимптоты.) Нахождение наибольшего и
наименьшего значений функции на промежутке.
Применение производной к приближенным вычислениям. Использование производной в
физических задачах.
Приложения интеграла. Вычисление площадей и объемов геометрических фигур. (вычисление длин дуг.) Использование интеграла в физических задачах.
Дифференциальные уравнения. Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям ( гармонические колебания, радиоактивный распад и др.). Решение простейших
дифференциальных уравнений. Уравнения с разделяющимися переменными.
Комплексные числа
Развитие понятия о числе: натуральные, целые, рациональные, действительные числа.
Комплексные числа в алгебраической форме. Арифметические действия с комплексными
числами. Сопряженные комплексные числа.
Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение,
деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел.
Комплексные корни многочлена. Показательная форма комплексного числа.
Элементы комбинаторики
Метод математической индукции. Комбинаторные принципы сложения и умножения.
Основные формулы комбинаторики. Размещения, сочетания и перестановки (без повторений и с повторениями). Бином Ньютона. Принцип Дирихле.
Элементы теории вероятностей и математической статистики. Случайные события. Классическое определение вероятности. Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики. Правило сложения вероятностей. Условные вероятности. Правило умножения
вероятностей. Независимые события. Формула Бернулли. Случайная величина. Математическое ожидание и дисперсия. Понятие о законе больших чисел. Понятие о нормальном
законе распределения.
Генеральная совокупность и выборка. Параметры генеральной совокупности и их оценка
по выборке. Оценка параметров. Понятие об уровнях значимости и достоверности. Оценка
вероятности события по частоте. Понятие о проверке статистических гипотез.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
«Алгебра и математический анализ» для 10 класса; авт. Н. Я. Виленкин, О. С. ИвашевМусатов, С. И. Шварцбурд.
X класс
Номера
уроков
1–3
4–7
8
9 – 12
13 – 15
16
17 – 18
19 – 24
25 – 28
29 – 30
31 – 34
35 – 40
41 – 44
45 – 46
47 – 48
49 – 50
51 – 55
(5 ч в неделю, всего 170 ч)
Содержание учебного материала
Многочлены (30 ч)
Выражения и классы выражений. Тождественные преобразования целых рациональных выражений.
Самостоятельная работа № 1.
Полная и неполная индукция. Метод математической индукции. Доказательство
тождеств и неравенств методом математической индукции.
Контрольная работа № 1.
Многочлены от одной переменной. Канонический вид целых рациональных выражений. Деление многочленов с остатком.
Самостоятельная работа № 2.
Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочлена, нахождение целых корней многочлена. Теорема Виета.
Тождественное равенство рациональных выражений, каноническая форма рациональных выражений.
Контрольная работа № 2.
Уравнения, тождества, неравенства. Равносильные уравнения и неравенства. Основные методы решения уравнений.
Самостоятельная работа № 3.
Решение и доказательство неравенств.
Контрольная работа № 3.
Функции (20ч)
Числовые функции. Способы их задания. График функции. Операции над функциями. Композиция функций.
Преобразование графиков функций. Графики линейной, квадратичной и дробнолинейной функций.
Самостоятельная работа № 4.
Четные и нечетные функции. Возрастание и убывание функций.
Числовые последовательности. Рекуррентные соотношения.
Графики функций, связанных с модулем. Взаимно-обратные функции и их графики.
Контрольная работа № 4.
Предел и непрерывность (25 ч)
[Введение в анализ (30 ч)]
Бесконечно малые функции. Операции над бесконечно-малыми функциями. Предел функции на бесконечности. Свойства предела функции при х→ + ∞.
56 – 58
59 – 61
62
63 – 68
69 – 72
73
74 – 75
76 – 78
79– 82
83 – 88
89
90 – 93
94 – 99
100-104
105-106
107-110
111-112
113-119
120-121
122-126
127-130
131-132
Бесконечно большие функции. Горизонтальные и наклонные асимптоты.
Самостоятельная работа № 5.
Предел последовательности. Существование предела монотонной и ограниченной
последовательности.
Контрольная работа №5.
Предел функции в точке и его свойства. Непрерывные функции. Точки разрыва.
Вертикальные асимптоты.
Арифметические операции над непрерывными функциями. Теоремы о промежуточных значениях функций, непрерывных на отрезке.
Обратная функция
Контрольная работа № 6.
Производная и ее применение (35 ч)
Приращение функции. Дифференцируемые функции. Производная. Физический
смысл производной. Дифференциал. Приближенные вычисления.
Самостоятельная работа №6.
Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции и ее уравнение. Непрерывность дифференцируемой функции.
Самостоятельная работа № 7.
Техника дифференцирования. Дифференцирование линейной комбинации функций. Производные суммы, произведение, частного. Производная степенной функции. Производные сложной и обратной функций.
Вторая производная; ее механический смысл. Производные высших порядков.
Формула Тейлора.
Контрольная работа № 7.
Необходимое условие экстремума функции. Отыскание набольших и наименьших
значений функции на отрезке.
Теорема Лагранжа. и ее следствия. Исследование функции на возрастание и убывание. Достаточное условие экстремума функции. Исследование графиков функций на выпуклость и точки перегиба.
Самостоятельная работа № 8.
Применение производных к исследованию функций и построению графиков, к
нахождению наибольших и наименьших значений функции.
Контрольная работа № 8.
Производные и доказательство неравенств. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Приложение бинома Ньютона для приближенных вычислений.
Самостоятельная работа № 9.
Тригонометрические функции (50 ч)
Длина дуги. Радианное измерение дуг и углов.
Тригонометрические функции числового аргумента: синус, косинус, тангенс, котангенс. Периодичность тригонометрических функций. Свойство периодичности
функции. Функция Дирихле. Четные и нечетные тригонометрические функции.
Гармонические колебания. Решение простейших тригонометрических уравнений
с использованием единичной окружности.
Контрольная работа № 9.
Тригонометрические тождества и следствия из них. Формулы приведения. Тригонометрические формулы сложения. Тригонометрические функции двойного,
тройного и половинного углов.
Самостоятельная работа № 10.
Преобразование суммы и разности одноименных тригонометрических функций в
произведение и произведения этих функций в сумму. Сложение гармонических
колебаний.
Контрольная работа № 10.
142-148
Дифференцирование тригонометрических функций. Дифференцирование композиции функций.
Самостоятельная работа № 11.
Решение простейших тригонометрических уравнений. Определение арксинуса,
арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
Основные методы решения тригонометрических уравнений.
149-150
Контрольная работа № 11.
151-154
Доказательство и решение тригонометрических неравенств.
Самостоятельная работа № 12.
Обратные тригонометрические функции. Вычисление пределов, связанных с обратными тригонометрическими функциями. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции.
133-137
138-141
155 159
160
161-162
163-165
166-167
168-169
170
Контрольная работа № 12.
Повторение (10 ч)
Многочлены от одной переменной. Теорема Безу и ее следствия.
Уравнения и неравенства с одной переменной.
Предел и непрерывность функции. Производная. Исследование функций с помощью производной.
Контрольная работа № 13.
Решение задач.
XI класс
Номер
урока
1–9
10 – 16
17
18 - 23
24 – 27
28
29 – 32
33 – 36
37 – 42
43 – 44
45 – 50
51 – 52
53 – 54
55 – 58
59 – 62
63 – 68
69 – 70
71 – 74
75 – 78
79 – 80
81 – 82
83 – 86
87 – 90
(5ч в неделю, всего 170 ч)
Содержание учебного материала
Интеграл и дифференциальные уравнения (28 ч)
Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Знакомство с техникой интегрирования.
Самостоятельная работа № 1.
Примеры задач, приводящих к дифференциальным уравнениям. Начальные
условия. Уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное
уравнение гармонического колебания. Применение дифференциальных уравнений.
Контрольная работа № 1.
Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Применение интеграла к решению геометрических и физических задач.
Самостоятельная работа № 2.
Свойства определенного интеграла.
Контрольная работа № 2.
Показательная, логарифмическая и степенная функции (42 ч)
Показательная функция, ее свойства и график.
Самостоятельная работа № 3.
Логарифмическая функция, ее свойства и график.
Самостоятельная работа № 4.
Основные методы решения показательных уравнений и неравенств.
Контрольная работа № 3.
Число е. натуральные логарифмы. Некоторые пределы, связанные с числом е.
производная показательной и логарифмической функций.
Самостоятельная работа № 5.
Дифференциальное уравнение процессов органического изменения.
Контрольная работа № 4.
Степенная функция и ее производная. Сравнение роста показательной, логарифмической и степенной функций.
Самостоятельная работа № 6.
Преобразование иррациональных выражений.
Самостоятельная работа № 7.
Иррациональные уравнения и неравенства.
Контрольная работа № 5.
Многочлены от нескольких переменных.
Системы уравнений и неравенств (24 ч)
Стандартный вид многочлена от нескольких переменных. Симметрические
многочлены. Доказательство неравенств.
Самостоятельная работа № 8.
Геометрический смысл уравнения с двумя переменными. Системы уравнений.
Метод исключения, метод алгебраического сложения.
Самостоятельная работа № 9.
Метод замены переменных.
Контрольная работа № 6.
Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Системы иррациональных уравнений. Самостоятельная работа № 10.
Системы показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений.
91 – 92
93 – 94
95 – 99
100– 104
105
106 – 110
111 – 112
113 – 114
115 – 125
126
127 – 135
136 – 139
140
Самостоятельная работа № 11.
Решение неравенств с двумя переменными. Понятие о линейном программировании.
Контрольная работа № 7.
Комплексные числа (20 ч)
Комплексные числа и операции над ними.
Самостоятельная работа № 12.
Геометрическое изображение комплексных чисел. Полярная система координат и тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и
возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра.
Контрольная работа № 8.
Извлечение корня из комплексных чисел. Комплексные корни алгебраических
уравнений. Понятие об основной теореме алгебры.
Самостоятельная работа № 13.
Применение комплексных чисел
Контрольная работа № 9.
Элементы комбинаторики (12 ч)
Основные понятия и принципы комбинаторики. Правила суммы и произведения. Формулы для числа размещений, перестановок и сочетаний (с повторениями и без повторений). Формула Ньютона. Решение комбинаторных задач.
Контрольная работа № 10.
Элементы теории вероятностей (14 ч)
Случайные события. Вероятность. Теорема сложения. Независимые случайные
события. Условная вероятность. Формула умножения.
Самостоятельная работа № 14.
Формула Бернулли. Закон больших чисел.
Контрольная работа № 14
Повторение
(30 ч)
Итоговая контрольная работа