Решения заданий заключительного этапа олимпиады

Олимпиада «Паруса надежды»
Вариант 1.
1. Сумма делителей чисел 12,20 и 42 соответственно равна 8,10,13. А тогда сумма
делителей числа 36 равна 11. Следовательно Ответ: 11.
a  b  x  99 x 3
, из которой
2. Сделав замену x  98  a, 99 x  98  b. Получим систему 
a  99b 3
3




следует, что b  x  99 x 3  b 3 , а тогда b  x, или 99 x 2  xb  b 2  1  0. Второе
уравнение решений не имеет, т.к x 2  xb  b 2  0. Отсюда получаем, что
98 x 3  1  x x 2  1  0  x  1 99 x 2  99 x  98  0  x  1, второй множитель равняться
нулю не может, т.к. D  0. Ответ:{1}

 



3. Находим, что ОДЗ x  4, x  6. Обозначая x 2  2 x  3  a  0, x 2  4  b, Получим, что
числитель будет: a  b  a  b  0 (по свойству модуля). Следовательно неравенство
равносильно неравенству
Ответ: x  6.
x  6x  4  x  4,
решения которого есть x  6.
4. Обозначив Sinx  a, Sin 2 x  b, Sin3x  c, получим a 3  b 3  c 3  a  b  c  . Данное
равенство легко приводится к виду: a  ba  cb  c  0. А тогда, используя формулу


Sin   Sin   2 Sin
Cos
, получим три серии решений:
2
2
 2k 2m n 
,
, k , m, n  Z .
Ответ: 
5
2
 3
3
5. По условиям задачи следует, что 90% драчунов не повредили хотя бы одну, из
перечисленных в задаче частей тела. А тогда 10 – это наименьшее число фанатов, которые
наверняка повредили одновременно и глаз, и ухо, и руку, и ногу. Ответ:  10%.
6. Функция y  x 2 1  x  есть непрерывная, неотрицательная и дифференцируемая везде.
Она равна нулю лишь в двух точках x  0, x  1. Производная этой функции равна:
4
2 x x  1 3 x  1. Следовательно критические точки суть x  0, x  1 3, x  1. А тогда знак
производной будет:
3
Следовательно в точках x  0, x  1 имеем минимум, равный нулю, в точке x  1 3.
 1  16
. При x<0 функция монотонно убывает, при x>1
максимум равный: f   
 3  729
16
монотонно возрастает. Строя график этой функции, заметим, что при a 
прямая y=a
729
 16 
будет пересекать график в трёх точках. Ответ: 

 729 
7. Объём воды, оставшейся в полушаре после наклона, будет равен объёму сферического
h

сегмента Vсегм  h 2  R  , где R – радиус сферы, h – высота сегмента. Легко находится,
3

 2 1
2
R 3
. А тогда Vсегм 
что h  R
2

1
4  2 Следовательно

12
2





Vсегм
85 2

.
Vполушара
8
5 2
5 99 13
99
 1 

 0,116.
, то отсюда получаем, что 1 
8
8 70 112
70
Отсюда Ответ: 11,6%.
Так как
2
Олимпиада «Паруса надежды»
Вариант 2.
1. Корни первого уравнения  1 2 ,1, корни второго уравнения -1,2. Произведение корней
равно 1. Корни первого уравнения третьей строки равны 3,4, корни второго уравнения
будут  2,  3 (с помощью замены x  t это уравнение можно представить как
t  2t 2  2t  3  0). Отсюда произведение корней равно 432. Находя корни уравнений
второй строчки, получим числа  1. ,1 Следовательно произведение корней равно -1.
Ответ:{-1}
 x  1  2b 3
. Решая её, находим, что b=x,
2. Обозначив 2 x 3  1  b, получим систему 
b  1  2 x 3
других решений нет. Поэтому имеем 2 x 3  x  1  0. Это уравнение имеет единственный
действительный корень x=1. Ответ:1
1
3. ОДЗ x  . Так как 2 x 2  x  1 для любого x, то знаменатель неравенства положителен
2
и следовательно по свойствам логарифмической функции получаем неравенство
1
x  2 x  1, или x  1. Ответ:  x  1
2
Sinx  Cosx
2
 Sinx  Cosx  . Следовательно
Cosx
Sinx  Cosx  0, отсюда x   4  k. Других решений это уравнение не имеет, т.к после
сокращения на множитель Sinx  Cosx  0, получим уравнение 3  Sin 2 x  Cos 2 x, которое
4. Данное уравнение легко записать в виде:


решений не имеет. Ответ:   k, k  Z 
4

5. По условиям задачи в классе 19 спортсменов, на которых приходится в общей сумме 38
видов спорта, следовательно каждый спортсмен занимается двумя видами спорта. Так как
из 19 спортсменов лишь 17 велосипедистов, то двое спортсменов ходят на лыжах и
плавают. Ответ: {2}


6. Функция y  x  x 3  x 1  x 2 нечётна, непрерывна, дифференцируемая и равна нулю в
1
точках 0,  1. Производная функции равна: y   1  3x 2 . Критические точки x  
. По
3
1
1
знаку производной находим, что в точке 
функция имеет минимум, в точке
3
3
1
1
,x 
максимум. В интервалах x  
функция монотонно убывает, в интервале
3
3
 1 1 
 
,
 функция возрастает. А тогда, построив график этой функции, заметим что
3 3

1
при a   f   прямая y = a будет пересекать график в двух точках.
3
Ответ: 
2
3 3
.
7. Если изобразить осевое сечение конуса в виде правильного треугольника ABC, где AB –
уровень воды, то длина стороны AB равна 2r 3 , где r – радиус шара, а высота CD –
проведённая на AB , равна 3r. Тогда искомый объём воды в конусе
4
5
V  Vк  Vшара  3r 3  r 3  r 3 . Этот объём воды будет иметь форму конуса и после
3
3
удаления шара, а тогда полученный конус подобен первоначальному. Если h – искомая
высота, то так как объёмы подобных конусов относятся как кубы их высот, то
5
V : Vк  h 3 : CD 3 , т.е. r 3 3r 3  h 3 : 27r 3 . Отсюда h  r 3 15. Ответ: r 3 15.
3
Олимпиада «Паруса надежды»
Вариант 3.
1. В слове каракатица повторяющихся букв «a» - 4, «k» - две, что на 1 меньше 7. В слове
математика повторяющихся букв «a» - 3, «м» - две, «т» - две, что на единицу меньше
числа 8. В слове криминалистика всего повторяющихся букв 8, что на 1 меньше 9. Так как
в слове медведица повторяющихся букв 4, что на 1 меньше 5, то пропущенное выражение
будет 2x + 2y – 5 < 0 .
 x  2010  2011a 3
3
. Из неё находим,
2. Обозначив 2011x  2010  a, получим систему 
a  2010  2011x 3
что x = a или 2011 x 2  xa  a 2  1  0. Это уравнение решений не имеет, т.к.
x 2  xa  a 2  0 для всех a, x .
2010
 0. В
Следовательно 2011x 3  2010  x,2010 x 3  1  x  x 3  x  1 или x 2  x 
2011
действительных числах это уравнение не имеет решений. Ответ: {1}




3. Имеем 2 x  9  5  2 x  3  2 x  9  5  2 x  2 x  9  5  2 x  1, что по свойству модуля
означает, что знаменатель всегда положителен. А тогда неравенство равносильно
неравенству log x log 2 x  1  1  0. Найдя ОДЗ, получим, что x > 2. Следовательно
log 2 x  1  x, что верно для любого x  ОДЗ . Ответ: x > 2.
4. Исходное уравнение можно представить в виде:
Sin  x 2  Cos x 2
Sin x 2  Cosx 2
2
1  2Sin  x 2Cos x 2 
 Sin x 2  Cos x 2 
;
Cosx 2
Cos x 2

Значит Sinx 2  Cosx 2  0, поэтому x   2k . разделив на Sinx 2  Cosx 2,
2
x
1
получим уравнение: 1  Cos 2  Sinx. Это уравнение решений не имеет.
2 2



Ответ:   2k, k  Z 
2

5. Число студентов, решивших хотя бы одну задачу, будет равно:
800  700  600  600  500  400  300  900чел. А тогда число студентов, не решивших ни
одной задачи равно 100. Ответ: 100
 
y   7 x  3x
2
6. Функция y  x 3 1  x 2 очевидно нечётна, непрерывна и дифференцируемая. Её
производная
2
2

3
. Знак y  будет
7
Следовательно в т. x = -1 имеет максимум, равный
нулю, в т. x =1 имеет минимум, также равный нулю.
3
В точках 
имеем экстремум. С учётом
7
 1 x 2 . Критические точки x  1, x  

монотонности функция на  


решения будут, если a   f 

3 3
 построим график , из которого следует, что два
,
7 7 
3
48 3

.

7
343 7
7. Построив осевое сечение шара, проходящее через центр шара т. O и обозначив через H
H
– высоту цилиндра, h – высоту сферического сегмента, легко находим, что h  R  . По
2

3
. Так как по условию радиус
т. Пифагора найдём, что H  R 3 , значит h  R1 
2 

R
основания цилиндра равен , то искомый объём оставшейся части шара равен: V = Vшара
2
– (2Vсегм+ Vц ) , где Vсегм - объём шарового сегмента, Vц – объём цилиндра. Но


3  


R1 
2


2


R 3 3
h
3


  R 3  2  3 3 .
 R  
Vc 
, а объём Vсегм = h 2  R    R 2 1 

3
4
3
2  
3
8 








3
3
 4 3 3  3 R 3
4
R 3
R 
   
.
И тогда находим, что V  R 3 

3
4
3
4
2


3
 R 3 
Ответ: 

 2 
Олимпиада «Паруса надежды»
Вариант 4.
1. В нижней части таблицы стоят остатки от деления соответствующего верхнего числа на
3. Так как остаток от деления 17 на 3 равен 2, то Ответ: {2}
 x  2  3 y 3
. Вычитая из первого уравнения
2. Обозначая y  3x 3  2, получим систему 
 y  2  3 x 3
второе, имеем x  y  3 y 3  x 3 . Отсюда либо y = x, либо: 3 x 2  yx  y 2  1  0. Это
уравнение решений не имеет, т.к. выражение x 2  y 2  xy есть неполный квадрат суммы,
следовательно всегда  0. Поэтому получаем, что x  2  3x 3 , отсюда
x  1  3x  1  x 2  x  1 , т.е. x = 1, других решений нет. Ответ: {1}






3. ОДЗx  2 . С учётом свойств логарифма и показательной функции неравенство
 x 2  2  x
 x 2  2  x
. Тогда первая система имеет
равносильно двум системам  2
или  2
3 x  2 x  1
3 x  2 x  1
решение x  2, вторая система в ОДЗ решений не имеет. Ответ: x  2 .
4. Обозначая Cos x = a, Cos 2x = b, Cos 3x = c, получим: a 3  b 3  c 3  a  b  c  .
Пользуясь формулой сумма кубов и преобразовывая, получим: a  ba  cb  c  0.
Возвращаясь к старым переменным и по формуле для Cos  Cos , получим ответ:
 2
 m

 2m5
x1   m1 , x2    4m2 , x3   3 , x4   m4 , x5  
, где
3 3
4
2
2
5
5
m1 , m2 , m3 , m4 , m5  Z .
3
5. Пусть n(x), n(y) количество элементов множеств x и y. Тогда n(x+y)=n(x)+n(y)-n(xy), где
n(xy) – число элементов, принадлежащих как множеству x, так множеству y. Отсюда
следует, что n(x+y+z)=n(x)+n(y)+n(z)-n(xy)-n(xz)-n(yz)+n(xyz). Если n(x), n(y), n(z)
количество студентов, изучающих соответственно английский, немецкий или
французский язык, то по формуле nxyz  76  48  28  26  8  8  3  3 . Ответ: {3}
6. Функция y( x)  x 3  x 2  x  2 непрерывна, дифференцируема и пересекает ось ox в
одной точке x = -2. Её производная равна 3x 2  2 x  1. Тогда критические точки
1
x1  1, x 2  . По знаку производной находим, что
3
1
49
. Тогда
минимум, равный
3
27
построив график этой функции, заметим, что прямая y = a будет пересекать график
49
1
 a  3.
y  x 3  x 2  x  2 в трёх точках, если f    a  f  1. Следовательно ответ:
27
3
т.е в т. x = -1 имеем максимум, равный 3 и в точке x 
7.Строим осевое сечение конуса, заполненного шарами. Пусть т. C - вершина конуса, AB
– лежит на основании. Обозначим радиусы шаров, расположенных снизу вверх через
r1 , r2 , r3 ,... центры этих шаров соответственно O1 , O2 , O3 ,... Обозначим через N и M точки
касания первых двух шаров со стороной AC. Пусть K- проекция т. o 2 на No1. Тогда
O1O2  r1  r2 , O1 K  r1  r2 . Обозначим CAB   , тогда O1 AB   2 . Находим, что
r1  Rtg  2 , где R – радиус основания конуса. Очевидно, что O2 O1 K  . Отсюда
r1  r2
r 1  Cos
 Cos , 1 
 Ctg 2  2. А тогда r2  Rtg 3  2. Поэтому объём первого
r1  r2
r2 1  Cos
4
4
шара V1  R 3 tg 3  2 , объём второго шара V2  R 3 tg 9  2, объём третьего
3
3
4 3 15
V3  R tg  2  и т.д. Следовательно объёмы шаров образуют бесконечную
3
убывающую прогрессию tg 2  1!, знаменатель которой равен tg 6  2. Сумма этой
a
прогрессии равна S  1 , где a1 – первый член, q – знаменатель. Отсюда находим, что
1 q
S
4 3R 3tg 3  2
4 3R 3tg 3  2
Ответ:
.
.
1  tg 6  2
1  tg 6  2
Олимпиада «Паруса надежды»
Вариант 5.
1. Та как в нижней таблице в заполненных клетках стоят производные функций верхней
1
таблицы, то нужно найти производные функций
и –Ctgx. Поэтому Ответ:
x
1
1
 x 3 2 ,
2
Sin 2 x
3
t 1
 2t 3  1 . Заменим выражение 2t 3  1 через y , получим
2. Пусть x - 1 = t, тогда
2
3
t  1  2 y
 t  y  2 y 3  t 3   t  y или 2 t 2  yt  y 2  1  0. Второе
систему 
3
 y  1  2t
уравнение решений не имеет т.к. t 2  y 2  yt  0 для любого t. Поэтому имеем:
2t 3  1  t , t 3  1  t  t 3 , t  1 t 2  t  1  t 1  t 1  t . Следовательно t = 1, или
2t 2  2t  1  0. Уравнение решений не имеет. Ответ: x = 2.




3. ОДЗ : x  2. Данное неравенство равносильно решению двух систем:
 x 2  2 x  x  2
 x 2  2 x  x  2
. Решая первую систему найдём, что решение будет
или
 2
 2
3 x  x  4
3 x  x  4
x  2, решая вторую систему получим, что в ОДЗ решений нет. Ответ: x  2 .
2
1 
1 


4. Преобразуя уравнение, получим  Sinx 
  Cosx Sinx 
. Следовательно
Sinx 
Sinx 


1
1
 0 или Sinx 
 Cosx. Тогда Cosx = 0, т. е. x   2  k , k  Z. Из
или Sinx 
Sinx
Sinx
второго равенства находим, что или Cosx = 0 или tgx=-1. Отсюда x  

4
 m.

 

Ответ:   m,  k , k , m  Z 
2
 4

5. Из условий задачи следует, что в классе 22 спортсмена. Всего видов спорта, которыми
они занимаются, равно 19+16+9=44, т.е каждый спортсмен занимается какими-то двумя
видами спорта, но ни один из них не владеет тремя. Из условий задачи следует, что 3 чел
не умеют ездить на велосипеде, 6 – не умеют плавать и 10 не имеют разряда по стрельбе.
Значит 3 человека, не умеющих ездить на велосипеде, занимаются и плаваньем и
стрельбой. Ответ: {3}


6. Функция y  x 1  x 4 является непрерывной, дифференцируемой и нечётной функцией,
равной нулю в т.О и  1 . Производная этой функции равна y   1  5x 4 . Следовательно
1
1
y   0 при x  
По знаку производной находим, что т. x   4 - точка минимума,
4
5
5
1
x   4 - точка максимума. Построив график этой функции, заметим, что прямая y = a
5
 1 
4
будет пересекать график функции в двух точках лишь при a   y
   5 . Ответ:
4
 5
54


 4

 5 .
 5 4 
7. Проведём осевое сечение конуса, высота которого H, радиус основания R,
первоначальная высота воды в конусе h . По условию OS=H,
O1S=h, OB=R, CD – первоначальная линия воды.
Решение
r
h
Rh
Пусть O1D = r1, O2F = r2, тогда 1  , r1 
. Следовательно
R H
H
h 3 R 2
. После погружения шара
первоначальный объём V1 
3H 2
r
x
объём воды равен V = V1 + Vшара. Из подобия находим, 2  ,
R H
1 2
R 2 x 3
. Отсюда:
где O2S = x – высота воды после погружения шара. Далее V  r2 x 
3
3H 2
4H 2 r 3
R 2 x 3 h 3 R 2 4 3
2 3
3 2
3
2
3 h3 
x




r

R
x

h
R

4
r
H
.
А
тогда
Ответ:
3
R2
3H 2
3H 2