Темы заданий итогового тура олимпиады ИТМО по математике 1. Упрощение алгебраических выражений. Многочлены, их корни, теорема Виета. 2. Рациональные и иррациональные уравнения. 3. Рациональные и иррациональные неравенства. Метод интервалов. 4. Упрощение показательных, логарифмических и тригонометрических выражений и нахождение их значений. 5. Показательные и логарифмические уравнения. 6. Системы уравнений. 7. Метод координат в геометрии, векторы. 8. Функции: область определения, множество значений. Обратная функция. 9. Последовательности и прогрессии. Текстовые задачи. 10. Задачи с параметром (возможно применение производной). Типовой вариант итогового тура олимпиады ИТМО по математике Состоит из 10 заданий. Задача 1. Пусть x1, x2 - корни уравнения x 2 2 x 4 0 . Составить уравнение, корнями которого будут числа x1 3x2 и 3x1 x2 . Решение. x1 x2 2; x1x2 4 . Тогда сумма x1 3x2 3x1 x2 4 x1 x2 8 , а произведение x1 3x2 3x1 x2 x1 x2 4 x1x2 4 . Поэтому искомое уравнение 2 имеет вид: x 2 8 x 4 0 . Ответ: x 2 8 x 4 0 . Задача 2. Решить уравнение: x2 6 x 9 2 x3 4 x 2 9 x . Решение. Перепишем уравнение в виде x2 6 x 9 2 x x 2 4 x 9 , а затем 2 9 9 разделим обе части на x , тогда получим возвратное уравнение x 6 x 4 . x x 9 t 8 2 Обозначим t x , уравнение примет вид t 6 t 4 t 2 13t 40 0 x t 5. 2 9 x 1 x 8 2 x 8x 9 0 x Таким образом, получим x9 . x 2 5 x 9 0 x 9 5 x 5 61 x 2 Ответ: 1;9; Задача 3. Решить неравенство: 5 61 . 2 2x 5 3 x 5 4x 7 x 2 0 . 2 Решение. ОДЗ x 2,5 . Отметим нули левой части неравенства на оси x . Методом интервалов получаем x 2,5 2 1,75; 3 . Ответ: x 2,5 2 1,75; 3 . sin 2 175 sin100 cos 2 265 Задача 4. Упростить: . 1 cos 740 8cos 2 355 Решение. Воспользуемся формулами приведения, а затем формулами понижения степени и двойных углов и получим sin 2 180 5 8cos 2 360 5 sin 90 10 cos 2 270 5 1 cos 720 20 sin 2 5 cos10 sin 2 5 sin 2 5 cos10 sin 2 5 1 cos 20 8cos 2 5 8cos 2 5 2sin 2 10 cos 2 5 sin 2 5 sin 2 5 sin 2 5 cos 2 5 sin 2 5 1 sin 2 5 . 8 8cos 2 5 8cos 2 5 8cos 2 5 8sin 2 5 cos 2 5 1 Ответ: . 8 Задача 5. Решить уравнение: x1 lg x 100 Решение. ОДЗ: x 0 . Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, тогда получим квадратное уравнение для lg x вида lg x 1 lg x 2 , откуда найдем корни x 10 и x 102 . Ответ: x 10; x 102 . x y 42 1 x xy Задача 6. Решить систему уравнений: y . x xy y xy 520 Решение. Заметим, что ОДЗ системы xy 0 . Преобразовав второе уравнение системы к виду xy x y 520 , получим, что x y 0 , а с учетом ОДЗ будем иметь: x 0, y 0 . Далее, разделив второе уравнение системы на xy , получим: x y 42 1 x xy y x y 520 y x xy Пусть 520 42 1 xy xy x y 520 . y x xy xy t , t 0 , тогда первое уравнение будет иметь вид t 10 t 2 42t 520 0 t 52 t 0. Теперь решим систему для переменных x и y : xy 100 y 100 x y 100 x y 100 x , 2 x 2 y 520 x 10 x 5,2 x 52 x 100 0 y 10 x x xy x 50 x 2 x 50 откуда найдем или y 50 y 2. Ответ: 2;50 , 50;2 . Задача 7. Найти площадь четырехугольника, вершины которого находятся в точках A(0;0), B(2; 2), C (6;0) и D(4;2). Решение. Сделаем рисунок. Найдем координаты векторов AB и DC . Так как AB 2; 2 DC 2; 2 , то этот четырехугольник – параллелограмм. Его площадь S 6 2 12 . Ответ: 12. Задача 8. Найти множество значений функции: y x 2 . x2 x 2 y 1.Если x2 1, x 0 x2 4 y 1 x 0 , то y . Нарисуем график функции y . 4 x2 x2 1 , x 0 x 2 Решение. Заметим, что при x 0 функция имеет вид y По рисунку определим, какие значения принимает функция: y ; 1 1; . Ответ: y ; 1 1; . Задача 9. Разность первого и второго членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии на 18 меньше суммы всех следующих за ними членов прогрессии, а сумма членов, стоящих на четных местах, равна 4. Найти эту прогрессию. Решение. Обозначим через b1 и q, q 1, первый член и знаменатель геометрической прогрессии соответственно. Далее заметим, что сумма членов, стоящих на четных местах, определяется по b1q формуле b2 b4 b6 b2n , а сумма следующих за первым и вторым 1 q2 членами по формуле b3 b4 b3 bn b1q 2 1 q .Тогда составим систему b1q 2 q2 b1 1 q , 18, b1 b1q 18 1 q 1 q уравнений b q 1 4 b1q 1 q 2 1 q 2 4. Разделим первое уравнение системы на второе и получим: q 2, 4q 2 7 q 2 0 q 0, 25. Решение q 2 не удовлетворяет условию q 1 , значит, q 0,25, 4 2 b 1 q 1 q q 0,25, b1 15. Ответ: b1 15, q 0,25. Задача 10. Определить число корней уравнения x3 3x 1 a при каждом значении параметра a . y x3 3 x 1 Решение. Заданное уравнение равносильно системе . ya Переформулируем задачу: при каждом значении параметра a определить число точек пересечения графиков заданных функций. Для построения графика функции y x3 3x 1, заданной на множестве всех действительных чисел, найдем точки экстремума, вычислив производную: y 3x 2 3 y 0 3x 2 3 0 x 1. Производная положительна на интервалах ; 1 1; и отрицательна на интервале 1;1 . При переходе через стационарную точку х 1 производная меняет знак с плюса на минус, значит, точка х 1 точка максимума функции и ymax y 1 3 . При переходе через стационарную точку х 1 производная меняет знак с минуса на плюс, значит, точка х 1 точка минимума функции и ymin y 1 1 .Используя результаты исследования, построим график этой функции. Функция y a представляет собой горизонтальную прямую. Тогда можно получить ответ: при а 1, a 3 - 1 решение; при а 1, a 3 - 2 решения; при 1 а 3 - 3 решения. Ответ: при а 1, a 3 - 1 решение; при а 1, a 3 - 2 решения; при 1 а 3 - 3 решения.