ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 18
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА МАТЕРИАЛА
С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА
Приборы и принадлежности: установка для определения периода колебаний крутильного маятника,
линейка, микрометр.
Цель работы: определение модуля сдвига (G) материала проволоки по деформации кручения.
Краткая теория
Сдвигом называется деформация, при которой все слои тела, параллельные некоторой плоскости,
смещаются друг относительно друга (рис. 18.1). При сдвиге объем деформируемого тела не меняется.
Рис. 18.1
Напряжением (механическим) называют векторную величину, равную отношению силы упругости,
действующей на данной площадке внутри тела, к ее площади.
Модулями упругости называются величины, характеризующие упругие свойства материалов. В зависимости от типа деформации различают:
1. Модуль продольной упругости (модуль Юнга) Е – в случае деформации растяжения.
2. Модуль сдвига G – в случае деформации сдвига.
3. Модуль кручения D – в случае деформации кручения.
Для первых двух типов деформации (в случае малых деформаций) зависимость между упругим
напряжением и соответствующей деформацией определяется простой формулой: напряжение равно
произведению деформации на соответствующий модуль упругости (закон Гука). Так, закон Гука для
деформации растяжения (сжатия) (рис. 18.2) имеет вид
  E ,
(18.1)
где  − нормальное напряжение, равное отношению растягивающей образец силы к площади его попеF
речного сечения   ; Е − модуль Юнга;  − относительное удлинение, равное отношению абсолютноS
l
го удлинения к первоначальной длине образца   .
l0
Рис. 18.2
Закон Гука для деформации сдвига записывается в виде
  G ,
(18.2)
где  – касательное напряжение, равное отношению касательной силы F, вызывающей сдвиг, к площаF
ди S верхней грани, к которой приложена F (рис. 18.1),    ; G – модуль сдвига;  − угол сдвига
S
(смещения слоев тела).
1
Рис. 18.3
Закон Гука для деформации кручения (рис. 18.3) записывается в виде
M  D ,
(18.3)
где M – величина момента сил; D − модуль кручения;  − угол закручивания, равный углу поворота верхнего основания закручиваемого стержня относительно нижнего основания.
Модуль продольной упругости (модуль Юнга) Е характеризует способность материалов сопротивляться деформации растяжения. Модуль сдвига G характеризует способность материалов сопротивляться
деформации сдвига. Отличие модуля кручения D от модулей Юнга и сдвига состоит в том, что он зависит
не только от свойств материала, но и от геометрических размеров тела: в случае цилиндра – от его радиуса R и длины l.
Поскольку кручение сводится к неоднородному сдвигу (см. ниже), модуль кручения D оказывается зависимым от модуля сдвига G. Для тел цилиндрической формы с радиусом R и длиной l из материала с
модулем сдвига G получается следующая формула для модуля кручения:
GR 4
(18.4)
D
.
2l
Цилиндрический стержень можно рассматривать состоящим из тонких цилиндрических слоев
(рис. 18.4а). В результате закручивания образующая цилиндра DC приобретает положение DC. Рассмотрим цилиндр до деформации. Мысленно разрежем наружный цилиндрический слой по линии DC и затем
развернем его, сделав плоским. Очевидно, он превратится в тонкий прямоугольный параллелепипед.
Подвергнем цилиндр деформации кручения. Если теперь сделать разрез наружного слоя по новому положению линии DC и развернуть слой, то получится уже косой параллелепипед (рис. 18.4б). Это означает,
что цилиндрический слой испытал деформацию сдвига.
Все остальные слои также испытывают при кручении деформацию сдвига. Однако смещения верхних
граней слоев и, следовательно, величина угла сдвига оказывается неодинаковой для различных слоев,
убывая от внешних слоев к внутренним. Отсюда и следует, что кручение можно представить как неоднородный сдвиг цилиндрических слоев (см. рис. 18.4б).
Рис. 18.4
Формула (18.4), в которой содержится связь между модулями D и G, позволяет, зная один из них, вычислить другой. Экспериментально легко определяется величина модуля кручения. Для этого в данной
работе измеряется период колебаний крутильного маятника – подвешенного на проволоке тела. Этот
период зависит от упругих свойств проволоки (модуля кручения).
2
Опыт показывает, что тело, подвешенное на металлической проволоке, выведенное из положения равновесия и предоставленное самому себе, начинает под действием упругих сил, возникающих в упругой
проволоке, совершать крутильные колебания. При повороте тела на угол  момент упругих сил, стремящийся вернуть тело в положение равновесия, согласно формуле (18.3) для малых углов  (малых колебаний) будет
D  M .
Согласно основному закону динамики вращательного движения
d 2
I 2  M ,
dt
где I – момент инерции тела относительно оси вращения. Знак минус поставлен потому, что момент сил
вызывает вращение в сторону уменьшения угла . Для крутильного маятника можно записать
d 2
d 2 D
(18.5)
I 2   D , или
   0, или   02  0 ,
2
I
dt
dt
D
d 2
где
или  − вторая производная по времени от угла  закручивания маятника; 0 
− круговая
2
dt
I
частота. Формула (18.5) является дифференциальным уравнением крутильных колебаний крутильного маятника.
Это уравнение математически тождественно дифференциальному уравнению
d 2 g
   0, или    02  0 ,
2
l
dt
описывающему движение математического маятника. Значит, тело будет совершать гармонические крутильные колебания с периодом
I
(18.6)
T  2
.
D
Если момент инерции I тела известен, то, измерив период колебаний, можно по (18.6) вычислить модуль кручения D.
В данной работе используется крутильный маятник (рис. 18.5), у которого тело (стержень 3 с двумя
грузами 2) подвешено на двух проволоках 4 – верхней и нижней, которые отрезаны из одного мотка проволоки. В этом случае суммарный упругий момент складывается из моментов, создаваемых каждой проволокой
M  M1  M 2  D1  D2  ( D1  D2 )  D ,
где D1 – модуль кручения первой проволоки; D2 – модуль кручения второй проволоки; D – суммарный
модуль кручения проволок. Таким образом
D  D1  D2 .
Тогда согласно (18.4)
GR 4 GR 4 GR 4  1 1 
  ,
D


2l1
2l2
2  l1 l2 
где G – модуль сдвига материала проволоки; R – радиус проволоки; l1 , l2 − длины верхней и нижней проволок.
С учетом того, что R=d/2, где d – диаметр проволоки, получаем суммарный модуль кручения D проволок
d 4  1 1 
  .
(18.7)
DG
32  l1 l2 
Из формул (18.6), (18.7) следует, что модуль сдвига материала проволоки равен
128Il1l 2
G 4
,
(18.8)
d (l1  l 2 )T 2
где I – момент инерции тела (стержня с грузами); l1 , l2 − длины верхней и нижней проволок; d – диаметр
проволоки; T – период колебаний крутильного маятника.
3
Рис. 18.5
Описание установки
Установка (рис. 18.6) состоит из основания 1, на котором закреплена колонна 2. На ней неподвижно
крепятся нижний 3, средний 4 и верхний 7 кронштейны. В зажимах верхнего и нижнего кронштейнов закреплена натянутая проволока 8, в центре которой подвешен стержень 9. На стержень 9 навешены два
груза 6, которые могут перемещаться вдоль стержня. В нижней части узла, с помощью которого маятник
соединяется с проволокой, смонтирована водилка 12. На среднем кронштейне 4 установлены: прозрачный защитный экран 11, на боковой стенке которого нанесена шкала для замера угла отклонения маятника, и фотоэлектрический датчик 13. При крутильных колебаниях маятника водилка пересекает световой
луч датчика, в результате чего запускаются счетчик колебаний и секундомер.
На лицевой стенке блока управления 14 располагаются:
секундомер 15 – световое табло с высвечивающимися цифрами;
счетчик колебаний 19 – световое табло, на котором высвечивается число полных колебаний;
клавиша ''Сеть'' 18 – при нажатии на клавишу на блок управления подается питание и высвечиваются
табло секундомера, табло счетчика колебаний и загорается лампочка фотоэлектрического датчика;
клавиша ''Сброс'' 17 – при нажатии на клавишу обнуляется секундомер и счетчик колебаний;
клавиша ''Стоп'' 16 – при нажатии на клавишу секундомер и счетчик колебаний останавливаются.
Рис. 18.6
Порядок выполнения работы
!!! ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ !!! Чтобы не сбить настройку прибора на ноль, запрещается поворачивать
стержень 9 на угол больше 10º. Во избежание разрыва проволоки 8 запрещается сильно поворачивать водилку 12 относительно стержня 9.
1. Установите грузы 6 на одинаковом расстоянии от оси вращения маятника (от проволоки). Стержень 9 при этом должен находиться в строго горизонтальном положении.
2. Стержень 9 должен показывать на ноль шкалы на защитном экране 11. Если эта настройка на ноль
сильно сбита, обратитесь к лаборанту.
3. Запишите массу m груза 6, которая выбита на нем.
4. Измерьте и запишите расстояние r от центра масс груза 6 до оси вращения маятника (до проволоки).
4
5. С помощью линейки измерьте верхнюю l1 и нижнюю l2 длины проволоки.
6. С помощью микрометра измерьте диаметр d проволоки. Проведите это измерение 5 раз в разных
местах проволоки и найдите среднее значение диаметра. Результаты измерений и вычислений занесите в
табл. 18.1.
7. Подключите прибор к сети. Нажмите на клавишу ''Сеть''. При этом должны высветиться табло секундомера и счетчика колебаний и загореться лампочка фотоэлектрического датчика. Если один из элементов не сработает, сообщите об этом лаборанту.
8. В положении равновесия маятника тень от водилки 12 должна касаться правым краем отверстия
фотоэлектрического датчика 13. Если этого не наблюдается, то водилку нужно осторожно повернуть в
соответствующее положение, удерживая маятник рукой за стержень 9.
9. Отклоните маятник на угол 8−10 (по шкале на защитном экране 11) и отпустите маятник. Сразу
же после этого нажмите клавишу «Сброс». Счетчик колебаний начнет отсчитывать число полных колебаний n, а секундомер – время колебаний t. Отклонять маятник нужно так, чтобы его колебания были только крутильными (по возможности), если же маятник дополнительно сильно колеблется влево-вправо или
вперед-назад, то показания счетчика n и секундомера t могут быть неправильными.
10. При показании счетчиком n=9 колебаний нажмите на клавишу ''Стоп'', при этом счетчик и секундомер остановятся, когда будет n=10. Данные эксперимента запишите в табл. 18.1.
11. Повторите эксперимент 5 раз, выполнив пп. 9-10.
Таблица 18.1
m=…; r=…; l1 =…; l2 =… .
№ замера
d,
мм
t,
с
n
T 
t
n
1
2
3
4
5
среднее
12. Выбрав из таблицы любой замер, рассчитайте период колебаний по формуле T 
t
. Подойдите к
n
преподавателю на проверку.
13. Найдите среднее значение времени 10 колебаний. Рассчитайте среднее значение периода по форt
муле T  . Результаты занесите в табл. 18.1.
n
14. Найдите момент инерции крутильного маятника по формуле I  I 0  2mr 2 , где I 0  0,00021 кгм2
− постоянная часть момента инерции крутильного маятника (момент инерции стержня 9, узла подвеса и
водилки); m – масса одного груза 6; r – расстояние от центра масс груза 6 до оси вращения (до проволоки).
15. По формуле (18.8) найдите модуль сдвига материала проволоки, взяв в качестве диаметра d проволоки его среднее значение, и в качестве периода T колебаний маятника его среднее значение (из
табл. 18.1). Подойдите к преподавателю на проверку.
Контрольные вопросы
1. Что называется сдвигом?
2. Что называется напряжением? Напишите формулу для модуля нормального напряжения. Напишите формулу для модуля касательного напряжения.
3. Перечислите модули упругости.
4. Что характеризует модуль сдвига материала?
5. Напишите закон Гука для деформации растяжения (сжатия).
6. Напишите закон Гука для деформации сдвига.
7. Напишите закон Гука для деформации кручения.
8. К чему сводится деформация кручения?
9. Что такое крутильный маятник?
10. Запишите дифференциальное уравнение крутильных колебаний маятника.
11. Как в данной работе находится момент инерции маятника?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
5
1. Трофимова Т. И. Курс физики. М.: Высш. школа, 2007, § 21, с. 42-45.
2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.: Высш. школа, 2000, § 29.1, п. 3, с. 386; § 29.3, п. 2, с. 391.
3. Савельев И.В. Курс общей физики: в 4 т. Т. 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: учебное
пособие / И.В. Савельев; под общ. ред. В.И. Савельева. – М.: КНОРУС, 2009. § 2.9, с. 73-77.
4. Общая физика: руководство по лабораторному практикуму: Учеб. пособие / Под ред. И.Б. Крынецкого и
Б.А. Струкова. – М.: ИНФРА-М, 2010. Задача № 19, с.153-162.
Сост.: зам. зав. каф. ОТД Анисимов В.Н., преп. Харитонов Д.В.
4.05.2013
6