Занятие 1x

Занятие 1.
Тема: Абсолютная величина числа а. Основные теоремы.
Содержание занятия:
Абсолютная величина действительного числа а. Модули противоположных чисел.
Геометрическая интерпретация понятия модуля а. Свойства модулей. Операции над
абсолютными величинами. Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком
модуля. Применение свойств модуля при решении олимпиадных задач.
Впервые с модулем числа мы познакомились в шестом классе, где даётся такое
определение: модулем числа называется расстояние (в единичных отрезках) от начала
координат до точки . Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.
Модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа.
Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак.
Модуль числа a обозначается |a|. Обратите внимание: модуль числа всегда
неотрицателен:
|a|≥ 0.
|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45
Определение модуля
Свойства модуля
1. Модули противоположных чисел равны
2. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа
3. Квадратный корень из квадрата числа есть модуль
этого числа
4. Модуль числа есть число неотрицательное
5. Постоянный положительный множитель можно
выносить за знак модуля
6. Если
, то
7. Модуль произведения двух (и более) чисел равен
произведению их модулей
8. Модуль частного двух модулей равен частному
модулей
9. Неравенство треугольника
10. Если
существует
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МОДУЛЯ
Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа.
,
Например, |-5| = 5. То есть расстояние от точки -5 до нуля равно 5.
Рассмотрим простейшее уравнение |x| = 3. Мы видим, что на числовой прямой есть две
точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и -3. Значит, у уравнения |x|
= 3 есть два решения: x = 3 и x = -3.
Пример 1.
|x — 3| = 4.
Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки до точки равно . С
помощью графического метода можно определить, что уравнение имеет два
решения:
и .
Пример 2.
Решим неравенство: |x + 7| < 4.
Можно прочитать как: расстояние от точки
3).
до точки
меньше четырёх. Ответ: (-11; -
Пример 3.
Решим неравенство: |10 — x| ≥ 7.
Расстояние от точки 10 до точки
больше или равно семи. Ответ: (-∞; 3]υ [17, +∞)
График функции y = |x|
Для x≥ 0 имеем y = x. Для x < 0 имеем y = -x.
Историческая справка
Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже
использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое
обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для
комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.
Пример 4.
Раскроем модуль в выражении:
|3π-10|=-(3π-10) = 10 - 3π, т.к. 3π-10< 0;
|10- 2π|= 10- 2π , т.к. 10- 2π > 0.
Пример 5.
Раскроем модуль в выражении: |2x - 4|
Рассуждаем так:
Если 2x - 4≥0, то |2x - 4|= 2x – 4
Если 2x - 4<0, то |2x - 4|= - (2x – 4) = 4 – 2x. Осталось выяснить, при каких значениях x
выражение
2x - 4≥0, а при каких 2x - 4<0.
Решаем неравенства:
2x - 4≥0, х ≥ 2; 2x - 4<0, х< 2.
2х − 4, если 𝑥 ≥ 2
Итак, |𝟐𝐱 − 𝟒| = {
4 − 2𝑥, если 𝑥 < 2
В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно. Например:
так как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых и . Или
, так как выражением под модулем не положительно при любых .
Самостоятельная работа
Раскройте модуль в выражении:
а) |- π - 3|; б) |3x - 4|; в) |-4x + 1|; г)|14 – 52|; д) |32 - 4|; е) |-x - 1|.
,