Т.Ю. Хаширова

УДК 519.24
МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ПРОВЕДЕНИИ НЕУПРАВЛЯЕМЫХ
НАТУРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
Т.Ю. Хаширова
Кабардино-Балкарская ГСА, г. Нальчик, Россия
При проведении исследований на натурных объектах часто приходится сталкиваться
со специфическими трудностями, вызванными невозможностью активно влиять на
эксперимент и иметь дело со сбором несистематизированной информации. Такие
трудности часто встречаются при проведении сельскохозяйственных исследований на
полях, натурных исследованиях в различных областях техники, экологических
обследованиях и т.д. В этом случае невозможно использовать симметричные типовые
планы, рекомендуемые методическими справочниками, которые в значительной степени
облегчают процесс проведения исследований, сводя к минимуму число опытов. Но и в
этом случае применение математической теории планирования эксперимента позволит
значительно облегчить процесс обработки и интерпретации результатов проводимых
исследований.
Очень удобно при таком способе проведения исследований воспользоваться
матричным способом обработки экспериментальных данных.
При проведении исследований можно придерживаться общей математической
теории планирования эксперимента. Для этого необходимо выделить основные факторы и
интервал их варьирования и определиться с параметром оптимизации.
Общий вид квадратных моделей, описывающих параметр оптимизации, имеет вид
Y  B1  bB1 X 1  ......  Bn X n  Bn X 12  ......Bnn X n2  B12 X 1 X 2  ......
(1)
 Bn1, n X n 1 X n  B123 X 1 XX 3  ......  Bn, n 1, n  2 X n X n 1 X n  2 ,
где В0- свободный член уравнения, т.е. средний выход функции оптимизации; B1 ...B n коэффициент при линейных взаимодействиях; B12 ...Bn, n 1 - коэффициенты при парных
взаимодействиях;
В11 ....B nn -
коэффициенты
при
квадратичных
эффектах;
B123 ......Bn,n 1,n  2 - коэффициенты при смешанных взаимодействиях с числом
переменных выше трех.
Определение коэффициентов уравнения регрессии можно производить в матричной
форме. Выпишем для этого матрицы X,Y и B
 x x .......... x 
k1 
 01 11
 x x .......... x 
k2 
 02 12
X  .
;


N k




.

x
x ....... x 
kN 
 0 N 1N
y 
 1 
y 
 2 
Y  . 


 N  1
. 




y 
 N 
;
b 
 0
b 
1
B
 .  .



 
  k  1  1

 

. 
b 
 k 
(2)
Исходная система уравнений в матричной форме имеет вид
Y =X В;
(3)
y 
 1 
y 
 2 
. 
. 


y 
 N 
=
 x x .......... x 
k1 
 01 11
 x x .......... x 
k2 
 02 12
.



.


x
x ....... x 
kN 
 0 N 1N
b 
 0
b 
 1
 .  .
 
. 
b 
 k 
(4)
После преобразований значения коэффициентов уравнения регрессии в матричной
форме можно определить по формуле:
B   X Ò X 


b 
 0
b 
 1
.  =
 
. 
b 
 k 
1
X ÒY
  x x .......... .x
  x x .......... x  
  01 02
0 N   01 11
k1  
  x x .......... .x
  x x .......... x  
  11 12
1N   02 12
k2 
 .
 .




 .
 .





  x k1 x k 2 .......... .x kN   x 0 N x1N ....... x kN  



;
1
(5)
 x x .......... x

0N 
 01 01
 x x .......... x

1N 
 11 12
 .



.

 x x ....... x

kN 
 k1 k 2

y 
 1 
y 
 2 
.  .
. 


y 
 N 
(6)
Для оценки адекватности полученных регрессионных уравнений проверяют
гипотезу Н0 об адекватности модели по критерию Фишера [1,2]. Модель адекватна, если
расчетное (опытное) значение критерия Фишера Fрасч не превышает его табличного
значения Fтеор, для выбранного уровня значимости  числа степеней свободы f1 и f2,
определяемого по формуле:
F расч 
2
s ад
s э2
;
(7)
2
N 

 Y  Y 
i
pj 
j  1
s2 
àä
N k
.
(8)
В матричной форме числитель равен:
2
N 

Ò
Ò Ò
Y

Y
 
 Y Y B X Y .
i
pj

j  1
2

N 


 Y Y
 i

j  1

2
s 
,
ý
n 1
1
(9)
(10)
где N – число опытов; k – количество коэффициентов в уравнении регрессии; N - k = f1
– число степеней свободы; Yi – текущее значение Y; Ypi – расчетное (теоретическое)
значение Y, вычисленное по уравнению регрессии;
s э2 - дисперсия эксперимента или

дисперсия воспроизводимости опыта; Y - среднее значение Y в I-м опыте; n1- число
2
опытов при определении s э ; n1 - 1 = f2 - число степеней свободы при определении
дисперсии эксперимента.
2
Дисперсия эксперимента s э определяется в центре факторного пространства при
Х1 = 0, Х2 = 0, Х3 = 0, Х4 = 0.
Согласно [1,2], полученную дисперсию эксперимента можно распространить на все
опыты плана эксперимента, что приводит к потере общности и не снижает надежность
полученных экспериментальным путем математических моделей.
Модель адекватна, если Fрасч  Fтеор, при этом Н0 гипотеза не отвергается, и ее
можно использовать для дальнейшего статистического анализа и интерпретации
результатов эксперимента.
После расчета коэффициентов регрессии проверяем значимость с использованием
доверительного интервала
(11)
Bi  t c  S B  ,
i
где tc – критерий Стьюдента, определяемый по статистическим таблицам, при заданном
уровне значимости  (=0,05).
Коэффициенты регрессии считаются значимыми, если их модули больше или равны
значению доверительного интервала: Bi  Bi .
Библиографический список
1. Адлер Ю.П. Введение в планирование эксперимента. М.: Металлургия, 1969. 157 с.
2. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске
оптимальных условий. 2.е изд., перераб. М.: Наука, 1976. 279 с.
3. Вознесенский Н.А., Ковальчук А.Ф. Принятие решений по статистическим моделям.
М.: Статистика, 1978. 192 с.
Бродский В.З. и др. Таблицы планов эксперимента для факторных полиномиальных
моделей (справочное пособие). М.: Металлургия, 1982. 752