Исследовательский центр cистемного анализа ИПС РАН

Исследовательский центр cистемного анализа ИПС РАН —
результаты исследований
Цирлин А.М., д.т.н., проф.; Юмагужин В.А., к.ф.-м.н.; Знаменский С.В., д.ф.-м.н., проф.
Аннотация.
Рассказано о результатах исследований исследовательского центра системного анализа
Института программных систем имени А. К. Айламазяна РАН в области оптимизации
макросистем физической и экономической природы, дифференциальных инвариантов и
уравнений свертки.
Ключевые слова: макросистемы, необратимость, диссипация, усредненная оптимизация,
оптимальное управление, предельные возможности, термодинамика, микроэкономика,
дифференциальные инварианты, уравнение свертки, комплексная область.
Исследовательский центр системного анализ (ИЦСА) был создан в ИПС РАН в 1990
году по предложению академика Н. Н. Моисеева, который первые годы был научным
руководителем центра.
Основная тематика центра с момента его создания и до настоящего времени
сосредоточена на решении экстремальных задач для макросистем, т.е. систем, состоящих из
многих индивидуально не управляемых элементов. Свойства таких систем определяются
через усредненные показатели поведения множества элементов, управление в них влияет на
эти усредненные показатели. Наличие усреднения при решении экстремальных задач
потребовало развития методов усредненной оптимизации.
Классическим примером макросистем являются термодинамические системы, другим
примером, куда менее изученным и более сложным — экономические. Эти два типа систем и
являются основными объектами изучения.
Остановимся подробнее на методологии и результатах исследований.
Термодинамические системы.
Предельные возможности термодинамических систем ограничены сверху
обратимыми оценками их эффективности. Такими оценками являются КПД Карно для
тепловой машины, обратимая работа разделения смеси идеальных газов и идеальных
растворов и пр. Эти оценки справедливы для процессов, в которых диссипация отсутствует,
что в свою очередь, предполагает либо неограниченную продолжительность процесса, либо
сколь угодно большие коэффициенты тепло и массопереноса (косвенно они характеризуют
размеры аппарата). В конце 50-х годов возникло направление необратимой термодинамики,
изучавшее предельные возможности разного рода систем при ограниченной
продолжительности процессов, либо заданной средней интенсивности потоков. Оно
получило название «Термодинамика при конечном времени» или «Оптимизационная
термодинамика» и развивается в США, Германии, Китае, Дании, Польше, Венгрии. Одним
из первых задачи о предельных возможностях термодинамических систем стал изучать
Л. И. Розоноэр в ИПУ РАН. В ИЦСА ИПС РАН работы по оптимизационной термодинамике
велись в сотрудничестве с Л. И. Розоноэром до его отъезда в США, а затем в тесном
контакте с зарубежными коллегами из США, Германии, Польши, Венгрии и Дании в рамках
проекта ИНТАС.
Общая методология таких исследований состоит в том, что для рассматриваемой
системы к уравненим балансов по веществу и энергии добавляют уравнение баланса по
1
энтропии. В это последнее входит производство энтропии  в системе, которое заведомо
неотрицательно. Система выделяет в пространстве состояний область, соответствующую
неотрицательным значениям  (область физической реализуемости), граница которой
соответствует обратимым процессам.
Второй этап состоит в том, что при ограничениях, наложенных на продолжительность
процесса или среднюю интенсивность потоков, а также на коэффициенты кинетики, находят
условия минимума диссипации и значение этой минимальной диссипации  * . Условие,
утверждающее, что в уравнении энтропийного баланса    * , определяет другую более
реалистическую область реализуемости, границей которого являются так называемые
процессы минимальной диссипации (необратимые оценки предельных возможностей
термодинамической системы).
Благодаря особенностям макросистем методы решения экстремальной задачи о
минимуме диссипации во многом используют аппарат усредненной оптимизации.
Отметим, что для многих задач обратимые оценки не только завышены, но и просто
не могут быть использованы. Например, обратимая оценка не может быть полезна в задаче о
порядке разделения смеси, для которого минимальны затраты энергии при данной
производительности, так как обратимая оценка не зависит от порядка разделения.
Перечислим некоторые из полученных в этом направлении результатов:
 Получены условия минимальной диссипации для процессов тепло- и массопереноса,
многомерных процессов с онзагеровской кинетикой, некоторых типов химических
реакций, кристаллизации, дросселирования.
 Найдены необратимые оценки эффективности процесса бинарной ректификации и
соответствующая им организация процесса.
 Найдены предельные возможности систем многопоточного теплообмена и условия,
при которых эти возможности можно реализовать.
 Получены условия оптимальной организации процесса в мембранных системах и
диффузионных машинах.
 Исследованы с позиций оптимизационной термодинамики тепловые машины и и
циклы тепловых насосов, абсорбционные холодильные циклы и абсорбционнодесорбционные системы разделения, а также системы отопления в строительстве.
 Найден оптимальный порядок разделения трехкомпонентной смеси.
Приведем некоторые примеры конкретных результатов:
Процесс теплообмена с минимальной диссипацией.
При заданных коэффициенте теплообмена  , длине теплообменника L и тепловой
_
нагрузке q для закона теплообмена вида q   (T1  T2 ) . Минимуму диссипации
соответствует постоянство отношения температур в каждой точке контакта, причем
2
T1

   c ln 1  q L  .
 1 2 , где правая часть равенства определена условием
T2

L  cT10 

1 2

Соответствующий минимум диссипации равен

qL 

c 2 ln 2 1 
cT
10
*


 
.


q L 
 L
L  c ln 1 
cT
10  


2
Условия минимальной диссипации изотермического массобмена.
Для закона массопереноса, пропорционального разнице химических потенциалов,
i  1,2 , в
g   (1 (C1 )  2 (C2 )) , каждый из которых имеет форму i  0 ( P, T )  RT ln Ci ,
процессе минимальной диссипации в каждый момент времени или в каждой точке
С
 g 
распределенного аппарата должно быть выполнено равенство 1  exp   . Производство
С2
 2T 
2
g
энтропии в таком процессе не может быть меньше, чем  * 
.
T
Предельный КПД тепловой машины
Предельный КПД тепловой машины, имеющей мощность p, равен
2


1 p
1 p
p

,
 ( p)  
 k  
 k  
2   T
4   T

  T
T

где k  1   — КПД Карно, а     . Индексы + и – относятся к горячему и
  
T
холодному источникам соответственно.
Рабочая линия в колонне ректификации
Рабочая линия в колонне ректификации, обеспечивающая минимум диссипации при
заданной производительности и размерах аппарата. Если поток массопереноса в каждом
сечении колонны бинарной ректификации пропорционален разнице между равновесной и
рабочей концентрацией g ( y, y 0 )  k ( y 0  y) , то минимуму диссипации, а значит и затрат
y 0 (1  y) y 0  y

  , в котором
y(1  y 0 ) y(1  y)
константа pi  определена нагрузкой и размерами колонны, а равновесная линия y 0 ( x )
зависит от свойств разделяемой смеси (относительной летучести). y и x – концентрации
легколетучего компонента в паровой и жидкой фазе.
теплоты на разделение, соответствует условие
ln
Экономические системы.
Важнейшим свойством макросистем является необратимость протекающих в них
процессов. Показателем необратимости в термодинамике является производство энтропии
(диссипация энергии). Изучение экономики с позиций макросистем потребовало
доказательства существования подобного показателя. Доказано, что для экономического
агента (ЭА) существует функция S (благосостояния) зависящая от запаса N его ресурсов и
капитала M, полный дифференциал которой имеет вид


dS  r ( N , M )dU  r ( N , M ) dM   pi ( N , M )dNi  .
i


Функции
r
и
p
однородные
нулевой
степени.
Они
равны
S
S
S
r
, pi 
, i  1,2,... , и связаны друг с другом соотношением
M
N i M
r
 (rpi )

i.
N i
M
3
Поток обмена по i-му ресурсу возникает при различии оценок pi у экономических
агентов. В процессе обмена функция S для каждого ЭА не убывает.
Функции благосостояния не аддитивны для системы ЭА. Поэтому для записи системы
экономических балансов в роли показателя необратимости выступает так называемая
капитализация системы
S
U  U i   i .
i
i ri
Капитализация системы ЭА в процессе обмена всегда возрастает. Скорость роста
капитализации — диссипация капитала, неотрицательна и определяет необратимость
ресурсообмена. Для открытой экономической системы в стационарном режиме ресурсы
между ЭА распределены таким образом, что диссипация капитала минимальна (аналог
принципа Пригожина). Подобно уравнениям термодинамических балансов для
экономических систем ресурсообмена могут быть составлены и исследованы уравнения
балансов по материальным и финансовым ресурсам и по капитализации.
Приложения оптимизационной термодинамики к задачам
энергосбережения.
Результаты оптимизационной термодинамики позволяют оценить степень
совершенства действующих термодинамических систем (тепловых машин и тепловых
насосов, систем отопления и захолаживания, абсорбционных холодильников, систем
разделения жидкостей и газов и пр.) и наметить пути приближения этих систем к
термодинамически — оптимальным.
Примером могут служить сложные системы теплообмена, которые должны быть
построены таким образом, чтобы в каждой точке контакта отношения абсолютных
температур контактирующих потоков были близки, а температуры нагреваемых либо
охлаждаемых потоков на выходе одинаковы. Аналогичные рекомендации вытекают и для
систем отопления с использованием тепловых насосов. Для некоторых из прикладных задач
разработана программная поддержка оптимальных решений.
Методы усредненной оптимизации.
Для экстремальных задач, в критерий и ограничения которых входят функции
средних значения переменных или средние значения функций этих переменных, получены
условия оптимальности, оценки сверху и снизу значения задачи. Показано возможность
использования этих методов к исследованию оптимальных установившихся режимов,
отличающихся от стационарных, в частности, получены критерии целесообразности
перехода от статического к циклическому установившемуся режиму.
Результаты работ в этих направлениях изложены в монографиях [1—6] и в основных
публикациях [7—15].
Исследование дифференциальных инвариантов
Важное направление работы Центра связано с дифференциальными уравнениями.
Современный подход к исследованию сложных физических, экономических, экологических
и др. систем состоит в замене исходной системы его математической моделью и дальнейшем
изучении этой модели. Многие сложные системы не поддаются по разным причинам прямым
экспериментам над ними. Либо такие эксперименты требуют значительного времени, либо
они дороги или опасны, либо попросту невозможны, так как многие из этих систем
существуют в единственном экземпляре. Поэтому исследование математической модели
сложной системы является во многих случаях единственным доступным способом изучения
4
этой системы.
Во многих случаях математической моделью является дифференциальное уравнение
или система дифференциальных уравнений . В центре СА развиваются методы исследования
дифференциальных уравнений, связанные с дифференциальными инвариантами.
Дифференциальный инвариант уравнения (системы дифференциальных уравнений)
— это функция, или векторное поле, или любой другой геометрический обьект, внутренним
образом определенный этим уравнением. Как следствие, дифференциальные инварианты не
зависят от координатного представления дифференциального уравнения. А это значит, что
они должны иметь содержательный смысл в терминах моделируемой системы. Однако, на
практике выяснить этот смысл нелегко, поскольку дифференциальные инварианты, как
правило, выражаются через производные высоких порядков от величин, имеющих
содержательный смысл в моделируемой сложной системе.
Второе весьма важное свойство дифференциальных инвариантов заключается в том,
что чем больше симметрий имеет дифференциальное уравнение, тем меньше оно имеет
нетривиальных дифференциальных инвариантов. Для примера рассмотрим процесс
возникновения турбулентности в потоке жидкости, обтекающем твердое тело. Как известно,
пока скорость потока невелика, он имеет много симметрий, и соответственно бедное
множество нетривиальных дифференциальных инвариантов. С увеличением скорости,
увеличивается хаотичность потока, возникают вихри, поток теряет симметрии. В результате,
соответствующее
множество
нетривиальных
дифференциальных
инвариантов
увеличивается. Дальнейшее увеличение скорости потока приводит к полной потере
симметрий и образованию турбулентности. По-видимому, турбулентный поток имеет
максимальное множество нетривиальных дифференциальных инвариантов. Однако, роль
дифференциальных инвариантов в процессе возникновения турбулентности в настоящее
время совершенно не исследована.
Отметим, что теория дифференциальных инвариантов, несмотря на ее
полуторавековую историю, — недостаточно развитая область математики. Объясняется это
большой сложностью вычисления этих инвариантов. В связи с появлением мощных
компьютеров и компьютерно-алгебраических систем символьных вычислений (REDUCE,
MAPLE и др.), появились реальные возможности развития этой теории.
Полный набор дифференциальных инвариантов системы дифференциальных
уравнений определяет эту систему однозначно с точностью до эквивалентности, т.е. с
точностью до замены переменных. Этот факт можно использовать для получения и
исследования явных решений систем дифференциальных уравнений. Действительно,
исходная система, моделирующая процесс, может быть достаточно сложной, тогда можно
искать среди систем того же типа, имеющих тот же набор дифференциальных инвариантов,
более простую систему, которая поддается исследованию и решению. Например, система,
моделирующая процесс, состоит из одного линейного обыкновенного дифференциального
уравнения 3-го порядка. Известно, что заменой переменных его можно привести к виду
y'''=a(x)y'+b(x)y. Первый нетривиальный дифференциальный инвариант этого уравнения (см.
[16]), -- дифференциальная форма ω=(ax−2b)1/3dx. Если этот инвариант равен нулю, то других
нетривиальных инвариантов рассматриваемое уравнение не имеет и подходящей заменой
переменных оно приводится к виду y'''=0. Таким образом, поведение решений исходного
уравнения такое же как и у последнего. Если же ω≠0, то исходное уравнение имеет
бесконечное множество нетривиальных дифференциальных инвариантов. Все они
порождаются единственным скалярным инвариантом I. Если этот инвариант – константа, то
заменой переменных исходное уравнение можно привести к виду y'''=22/3Iy'+y. Общее
решение последнего уравнения немедленно выписывается и, таким образом, поведение
решений исходного уравнения известно.
В этом направлении получены следующие результаты:
 Получены
полное
описание
дифференциальных
инвариантов
линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений любого порядка и классификация этих
5
уравнений с точностью до замен переменных [16].
 Получено полное описание дифференциальных инвариантов нелинейных
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
2-го
порядка.
y''=a(x, y)y'3+b(x, y)y'2+c(x, y)y'+d(x, y), [17, 18].
 Получено полное описание дифференциальных инвариантов нелинейны уравнений в
частных производных уравнений Монжа-Ампера M(zxxzyy−zxy)2)+Azxx+Bzxy+Czyy+D=0,
[19].
Исследование уравнений свертки на множествах комплексной
области
В 1998 году в центре была создана лаборатория информатизации образования и
издательской деятельности. Заведующим лаборатории был назначен д.ф.-м.н.
С.В. Знаменский, известный своими работами по многомерному комплексному анализу и
русификацией издательской системы ТеХ.
В начальный период его работы и работы его аспирантки Е.А. Знаменской
(Козловской) были посвящены исследованию уравнений свертки на множествах
комплексной области. Для случая, когда эти множества являются открытыми, вопрос о
разрешимости таких уравнений был хорошо изучен и привел к возникновению понятия
выпуклости множества в избранных направлениях. В настоящее время используется
несколько совпадающих в классах открытых множеств, но не эквивалентных определений
этого понятия. Систематизация этих понятий полностью прояснила ситуацию и позволила
установить для уравнений свертки следующее фундаментальное свойство:
Tеорема. Пусть L — оператор свертки, M — произвольное подмножества
комплексной плоскости. Условия
1. Уравнение Ly=f имеет голоморфное на М решение для любой голоморфное на М
правой части f;
2. Для любого содержащего М открытого множества D уравнение Ly=f имеет
голоморфное в D решение для любой голоморфной в D правой части f;
3. Для любого не принадлежащего М комплексного числа z уравнение Ly=1/z
эквивалентны, если M открыто или компактно или его граница не содержит отрезков
прямых. В общем случае произвольного М эквивалентны только условия 1, 2.
Это утверждение удается получить лишь из (достаточно сложного) полного
геометрического описания соответствующих условий разрешимости уравнений свертки на
произвольных множествах, опубликованного в работах [20—23].
Литература
1. Цирлин А.М. Методы усредненной оптимизации и их приложения. М.:Физматлит.,
1997. с.304.
2. Berry R.S., Kazakov V., Sieniutycz S., Szwast Z., Tsirlin A.M. Termodynamic
Optimization of Finite-Time Processes. John Wiley & Sons, LTD, 1999, p. 464.
3. Миронова В.А., Амелькин С.А., Цирлин А.М. Математические методы
термодинамики при конечном времени. М.: Химия.2000
4. Цирлин А.М. Оптимальные процессы в необратимой термодинамике и
микроэкономике. М.: Физматлит. 2003, 416с.
5. Цирлин А.М. Необратимые оценки предельных возможностей термодинамических и
микроэкономических систем. М.: Наука. 2003, 349с.
6. Цирлин А.М. Математические модели и оптимальные процессы в макросистемах. М.,
Наука, 2006.
6
7. Tsirlin A.M., Mironova W.A., Amelkin S.A., Kazakov V.A. Finite-time thermodynamics:
Conditions of minimal dissipation for thermodynamic processes with given rate, Phys.Rev.
E, 58, (1998).
8. Цирлин А.М. Второй закон термодинамики и предельные возможности тепловых
машин.// Журнал технической физики. №1,1999. с.140-142.
9. Цирлин А.М. Условия оптимальности усредненных задач с нестационарными
параметрами. ДАН, 2000, т.374, №2, с.174-177.
10. Tsirlin A.M., Kazakov V.A., Zubov D.V. Finite-time thermodynamics: Limiting
possibilities of irreversible separation processes// J. Phys. Chem. A, V 106, No.45 2002 ,
pp.1026-1036.
11. Колинько Н.А., Цирлин А.М. Оптимальное управление в задачах о предельных
возможностях необратимых термодинамических и экономических систем. //Известия
РАН. Теория и системы управления. 2003, №1, с. 61-77.
12. Цирлин А.М. Экстремальные принципы и оптимальные процессы в открытых
макросистемах. // АиТ, 2005, №3.
13. Tsirlin A.M., Kazakov V.A. Extremal principles and limiting possibilities of open
thermodynamic and economic systems. // Variational and extremum principles in
macroscopic systems, S. Sieniutycz & H. Farkas (eds.), Kluwer Academic Publishers. 2005.
14. Tsirlin A.M., Kazakov V.A. Average relaxations of extremal problems and generalized
maximum principle. // Nova Science Publishers, Advances in Mathematics Research, vol.6,
pp. 141-156.2005.
15. Цирлин А.М., Задачи и методы усредненной оптимизации. Труды математического
института им. Стеклова, вып.261 (2008г) стр.276-292.
16. Юмагужин В.А., Классификация линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений I,II, Дифференциальные уравнения, Том. 38, No.8, стр. 1063-1070; №.12,
стр.1627-1632, (2002).
17. Yumaguzhin V.A., On the obstruction to linearizability of 2-order ordinary differential
equations, Acta Applicandae Mathematicae, Vol. 83, No. 1-2, 2004. pp.133-148.
18. Yumaguzhin V.A., Differential invariants of 2-order ODEs, I. , Acta Applicandae
Mathematicae, (2008) to appear., e-print: arXiv.org: 0804.0674.
19. Marvan M., Vinogradov A.M., Yumaguzhin V.A., Differential invariants of generic
hyperbolic Monge--Ampere equations, Central European Journal of Mathematics, 5(1) 105133, (2007).
20. Знаменский С.В., Знаменская Е.А. Существование аналитических первообразных на
произвольном множестве комплексной плоскости. // Успехи математических наук.
Т.55. №1. 2000.
21. Знаменский С.В., Знаменская Е.А. Сюрьективность оператора свертки с точечным
носителем в пространстве функций, голоморфных на произвольном множестве в C. //
Доклады Академии наук. Математика. Т. 376. №5. 2001.
22. Znamenskii S. V., Znamenskaya E. A. Convexity of a Set on the Plane in a Given Direction.
// Journal of Mathematical Sciences v.120. Issue 6, April 2004, pp.1803-1841.
23. Знаменский С. В., Знаменская Е. А. Выпуклость множества на плоскости в заданных
направлениях (с. 5-66), // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. ВИНИТИ,
2006. т. 108.
7
Информация об авторах:
Цирлин Анатолий Михайлович., д.т.н., проф., главный научный сотрудник Института
программных систем имени А.К. Айламазяна РАН;
Тел. 48535 98057, [email protected]
Юмагужин Валерий Афтахович, к.ф.-м.н., старший научный сотрудник Института
программных систем имени А.К. Айламазяна РАН;
Тел. 48535 98344, [email protected]
Знаменский Сергей Витальевич, д.ф.-м.н., проф., заведующий лабораторией Института
программных систем имени А.К. Айламазяна РАН;
Тел. 48535 98029, [email protected]
System Analysis Research Center of PSI RAS: Results of
Research
Abstract.
Results of researches of the System Analysis Research Center of PSI RAS are presented. Three
main fields of the research work namely optimization of macrosystems of physical and economic
nature, description of differential invariants and investigation of convolution equations are pointed
out.
Key words: macrosystems, irreversibility, dissipation, averaged optimization, optimal control,
extreme performance, thermodynamics, microeconomics, differential invariants, convolution
equations, complex domain.
Authors
Tsirlin, Anatoly M., Doctor of Sciences (Tech.), principal researcher of Ailamazyan Program
Systems Institute of RAS
e-mail: [email protected]
phone: +7 48535 98057
Yumaguzhin, Valery A., Kand. of Sciences (Phys. and Math.), senior researcher of Ailamazyan
Program Systems Institute of RAS
e-mail: [email protected]
phone: +7 48535 98344
Znamenskii, Sergey V., Doctor of Sciences (Phys. and Math.), head of laboratory of Ailamazyan
Program Systems Institute of RAS
e-mail: [email protected]
phone: +7 48535 98029
1.
2.
3.
4.
Bibliography
Tsirlin A.M. Methods of Averaged Optimization and their Applications. Moscow, Fizmatlit,
1997.
Berry R.S., Kazakov V., Sieniutycz S., Szwast Z., Tsirlin A.M. Termodynamic
Optimization of Finite-Time Processes. John Wiley & Sons, LTD, 1999, p. 464.
Mironova V.A., Amelkin S.A., Tsirlin A.M. Mathematical Methods of Finite-Time
Thermodymamics. Moscow, Khimia, 2000.
Tsirlin A.M. Optimal Processes in Irreversible Thermodynamics and Microeconomics.
8
Moscow, Fizmatlit, 2003.
5. Tsirlin A.M. Irreversible Estimations of Extreme Performance of Thermodynamic and
Microeconomic Systems. Moscow, Nauka, 2003.
6. Tsirlin A.M. Mathematical Models and Optimal Processes in Macrosystems. Moscow,
Nauka, 2006.
7. Tsirlin A.M., Mironova W.A., Amelkin S.A., Kazakov V.A. Finite-time thermodynamics:
Conditions of minimal dissipationfor thermodynamic processes with given rate, Phys.Rev.
E, 58, (1998).
8. Tsirlin A.M. The Second Law of Thermodynamics and Extreme Performance of Heat
Engines. Journal of Tech. Physics, No. 1, 1999, p. 140-142.
9. Tsirlin A.M. Optimality Conditions of Averaged Problems with Nonstationary Parameters.
Reports of RAS, v. 374, No. 2, p. 174-177 (2000).
10. Tsirlin A.M., Kazakov V.A.,Zubov D V., Finite-time thermodynamics: Limiting possibilites
of irreversible separation processes// J.Phys.Chem,A, V 106, No.45 2002 , pp.1026-1036.
11. Kolinko N.A., Tsirlin A.M. Optimal Control in Problems on Extreme Performance of
Irreversible Thermodynamic and Economic Systems. Izvestiya RAS. Control Theory and
Systems. No.1, p. 61-77 (2003).
12. Tsirlin A.M. Extremal Principles and Optimal Processes in Open Macrosystems.
Avtomatika i Telemekhanika, No.3 (2005).
13. Tsirlin A.M., Kazakov V.A. Extremal principles and limiting possibilities of open
thermodynamic and economic systems. //Variational and extremum principles in
macroscopic systems, S. Sieniutycz & H. Farkas (eds.), Kluwer Academic Publishers. 2005.
14. Tsirlin A.M., Kazakov V.A. Average relaxations of extremal problems and generalized
maximum principle. // Nova Science Publishers, Advances in Mathematics Research, vol.6,
pp. 141-156.2005.
15. Tsirlin A.M. Problems and Methods of Averaged Optimization. Works of Steklov
Mathematical Institute, 261 (2008) p.276-292.
16. Yumaguzhin V.A. Classification of Linear Ordinary Differential Equations I, II. Differential
Equations, v. 38, No.8, p. 1063-1070; No.12, p..1627-1632, (2002).
17. Yumaguzhin V.A. On the obstruction to linearizability of 2-order ordinary differential
equations, Acta Applicandae Mathematicae, Vol. 83, No. 1-2, 2004. pp.133-148.
18. Yumaguzhin V.A. Differential invariants of 2-order ODEs, I. , Acta Applicandae
Mathematicae, (2008) to appear., e-print: arXiv.org: 0804.0674.
19. Marvan M., Vinogradov A.M., Yumaguzhin V.A. Differential invariants of generic
hyperbolic Monge--Ampere equations, Central European Journal of Mathematics, 5(1) 105133, (2007).
20. Znamenskii S. V., Znamenskaya E. A. Existing of Analytical Antiderivatives on Arbitrary
Set of Complex Domain. Progress in Mathematical Sciences, v. 55, No. 1, 2000.
21. Znamenskii S. V., Znamenskaya E. A. Surjectivity of Convolution Operator with Pointed
Medium in Space of Holomorphic Functions in C. Reports of RAS. Mathematics. vol. 376.
No 5. 2001.
22. Znamenskii S. V., Znamenskaya E. A. Convexity of a Set on the Plane in a Given Direction.
// Journal of Mathematical Sciences v.120. Issue 6, April 2004, pp.1803-1841
23. Znamenskii S. V., Znamenskaya E. A. Convexity of a Set on Plane in Definite Directions.
Resume of Sciences and Technologies. Ser. Modern Mathematics and its Applications v.
108, p. 5-66 (2006).
9