Департамент образования г

ГОУ СОШ №887
Исследователь:
Костуров Георгий Александрович,
10Б класс
Руководители проекта:
Ермишина Надежда Федоровна,
учитель математики,
Жилин Сергей Анатольевич,
учитель информатики
Роль компьютерного эксперимента в исследовании динамических систем на комплексной плоскости.
1. Предмет и цели исследования
Идея настоящей работы возникла следующим образом. Понятия «эксперимент» и «математика» обычно не используют рядом. Математика изучает
не явления природы, а логические построения. Но существуют математические задачи и объекты, где экспериментальные работы не только применяются, но являются очень полезным инструментом научного исследования. Эксперименты в математике являются не испытанием природы, а испытанием гипотез в условиях логики. Под экспериментальной математикой можно понимать те математические исследования, которые стали доступны при использовании вычислительной техники, методы математики,
в которых используются элементы машинных вычислений. Экспериментальная математика – это получение математических суждений с помощью компьютерной техники и технологии. Понятно, что использование машинных вычислений имеет смысл только там, где ручной счет приводит к очень большим затратам времени. Т.е. там, где математика сталкивается с изучением объектов очень сложной структуры и с очень сложными моделями поведения. Одна из таких областей математики – это динамика чисел на комплексной плоскости (комплексная динамика). Исследования в этой области привели к открытию очень сложных математических
объектов, которые обычно называют алгебраическими или динамическими
фракталами (фрактальными множествами).
2
2. Задачи исследования
1. Изучить возможности экспериментальных исследований математических объектов со сложной моделью поведения с помощью компьютерной
технологии. Для примера объекта использовать точечные множества на
комплексной плоскости, которые расположены за границей множества
Мандельброта.
2. Изучить динамические свойства чисел на комплексной плоскости –
формы распределения количества чисел по скоростям «убегания» в бесконечность, зависимость скорости «убегания» от степени преобразования и
расстояния от начала координат, возможность существования нижнего
предела для скорости «убегания».
3. Методы и средства исследования
Основным методом исследования выбирается метод вычислительного эксперимента. Для проведения исследования необходимо разработать программные средства. Программные средства проекта должны обеспечивать
создание графической визуальной модели множества Мандельброта и
множеств, которые порождаются преобразованием вида z→zn+c. Так же
должны определяться границы множеств точек на комплексной плоскости,
которые находятся за границей множества Мандельброта и имеют одинаковую скорость «убегания» в бесконечность – одинаковое количество итераций до пересечения окружности R=2.
Для изучения динамических свойств комплексных чисел были разработаны программные средства (язык и среда программирования – Delphi). С
помощью программы были построены модели точечных множеств на комплексной плоскости для различных степеней функции преобразования и
проведена экспериментальная работа из трех частей.
4. Эксперимент 1.
Цель эксперимента: Исследовать свойства распределения количества точек комплексной плоскости по скоростям убегания в бесконечность. Исследовать характер поведения границ между множествами точек с различными скоростями убегания.
3
Результаты эксперимента 1.
1) Изучение графических моделей и числовых данных показало, что за
пределами множества Мандельброта наблюдается обратная зависимость
между количеством итераций цикла и количеством точек, которые выходят
за границу окружности R=2 после данного количества итераций. Чем ближе к множеству Мандельброта, тем больше падает количество точек, уходящих в бесконечность с данной скоростью.
2) Границы между множествами точек с различными скоростями убегания
явно не являются фрактальными. При этом «гладкость» линий увеличивается по мере удаления множества от множества Мандельброта. С возрастанием степени функции фигура множества стремится к форме круга с
фрактальной гранью.
5. Эксперимент 2.
Цель эксперимента: Исследовать зависимость скорости убегания точки
от степени функции преобразования и расстояния от начала координат.
Результаты эксперимента 2.
1) В зависимости от степени функции меняется «насыщенность» скоростей. Чем больше степень, тем больше «насыщенность» на первых скоростях и тем меньше на высоких скоростях. Например у функции 2 степени в
промежутке от 500 до 1000 количество точек ≈ 50, а у 10 степени ≈ 10.
2) С возрастанием степени увеличивается количество точек «убегающих»
на 1 скорости и уменьшается количество остальных точек.
3) Чем ближе к границе множества Мандельброта, тем больше нужно операций для ухода в бесконечность.
6. Эксперимент 3.
Цель эксперимента: Исследовать вопрос о существовании наименьшей
скорости убегания точки, т.е. наибольшего количества итераций, после достижения которого любая точка будет принадлежать множеству Мандельброта.
Результаты эксперимента 3.
4
Точно говорить о существовании или отсутствии минимальной скорости убегания невозможно. При этом очевидно, что количество точек, убегающих с малыми скоростями уменьшается и при определенных значениях
скорости становится равным нулю на всем интервале значений, которые
используются для наблюдения. Например, при количестве наблюдаемых
итераций до 250000 и степени функции 1000 не наблюдается ни одной
точки, которая уходит в бесконечность после 388 итераций цикла. Интересно, что эта «критическая» скорость монотонно уменьшается для всех
степеней функции от 2 до 9, потом увеличивается до 10140 для десятой
степени, после чего снова монотонно уменьшается.