Множество Мандельброта Множество Мандельброта M

Множество Мандельброта
Множество Мандельброта M определяется как множество всех комплексных чисел c, для
которых последовательность c, c2 + c, (c2 + c)2 + c, . . . ограниченна. Множество M отвечает
за зависимость динамики многочлена pc (z) = z 2 + c от параметра c. Определим заполненное
множество Жюлиа Kc многочлена pc как множество всех точек z ∈ C, орбиты которых под
действием pc не убегают на бесконечность.
1. 1) Любой квадратный многочлен z 2 + az + b можно привести к виду pc (z) аффинным
сопряжением. 2) Утверждения c ∈ M и 0 ∈ Kc эквивалентны.
2. Если c 6∈ M , то множество Kc имеет несчетное
число компонент связности. Если c ∈ M ,
T∞
то множество Kc связно. Указание: Kc = n=0 p−n
c (D), где D — достаточно большой диск с
центром в нуле; если ограниченное множество X линейно связно и 0 ∈ X, то f −1 (X) тоже
линейно связно.
Предположим, что p◦k
c (z) = z. Тогда точка z называется периодической периода k. Пред0
положим, что k — это минимальный период. Число λ = (p◦k
c ) (z) называется мультипликатором точки z.
3. Если |λ| < 1, то найдется такой круг U с центром в точке z, что p◦k
c (U ) b U .
Такие точки z (и соответствующие периодические циклы) называются притягивающими.
Теорема: если pc имеет притягивающий периодический цикл, то c принадлежит внутренности
множества Мандельброта. Такие многочлены pc называются гиперболическими.
4. Множество значений c, для которых pc гиперболичен, является открытым. Указание: если
p◦k
c0 (U ) b U , то это же верно для всех c, достаточно близких к c0 .
Компоненты этого открытого множества называются гиперболическими компонентами.
Каждой гиперболической компоненте Ω соответствует период k — такое минимальное число,
что для любого c ∈ Ω, многочлен pc имеет притягивающий k-цикл.
5. 1) Гиперболическая компонента периода 1 только одна. Ее граница называется главной
кардиоидой. Выпишите уравнение главной кардиоиды. 2) Докажите, что граница единственной гиперболической компоненты периода два является окружностью. Найдите уравнение
этой окружности. 3) Сколько существует гиперболических компонент периода три? Периода
четыре?
6. Зафиксируем c ∈ C. В некоторой окрестности бесконечности определена однозначная ветвь
√
n
φn функции 2 p◦n
c , такая, что φn (z) = z+o(z) при z → ∞. Докажите, что последовательность
φn сходится равномерно в сферической метрике на некоторой окрестности бесконечности.
Обозначим предел через φ (или φc , чтобы отметить зависимость от c).
Отображение φ называется координатой Ботткера.
7. 1) Отображение φc голоморфно и удовлетворяет функциональному уравнению φc (pc (z)) =
φc (z)2 . 2) Существует открытая окрестность бесконечности U , такая, что φc продолжается в
U с сохранением свойства 1), φc (U ) = {z | |z| ≥ R} для некоторого R ≥ 1, и c ∈ U . 3) Если
c ∈ M , то можно положить R = 1.
8. * 1) Соответствие c 7→ φc (c) является конформным изоморфизмом между дополнением до
множества Мандельброта и множеством {z | |z| > 1}. 2) Множество Мандельброта связно.
1