Математика - Оренбургский филиал

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ
СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
Оренбургский филиал
Рабочая программа
По дисциплине: Математика (ЕН.Ф.01)
Для специальности: Менеджмент организации
Форма обучения: заочная
Оренбург
2011
Рецензент: кандидат технических наук, доцент Оренбургского государственного университета Костин В.Н.
Рабочая программа дисциплины «Математика» / Сост. И.А. Головин –
Оренбург: Оренбургский филиал РАНХиГС, 2011. - 30 с.
Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины студентам специальностей 080507.65 - «Менеджмент организации» в 1 и 2-м семестрах (для 3-годичного обучения) и в 1, 2 и 3-м семестрах (для 6-ти годичного обучения) заочной формы обучения.
Рабочая программа составлена с учетом Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования для специальности 080507.65 - «Менеджмент организации» по направлению подготовки дипломированных специалистов (утвержденного 17 марта 2000 г. Министерством
образования Российской Федерации).
Составитель: ____________________ Головин И.А.
01.09.2011 г.
Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры «Математических и
естественнонаучных дисциплин» «01» сентября 2011 г. протокол № 1
Зав. кафедрой ________________________ Масюто О.М..
© Головин И.А., 2011
© ОФ РАНХиГС , 2011
2
Содержание
1 Выписка из ГОС ВПО «Требования к обязательному минимуму содержания по дисциплине «Математика» …………………………………………. 4
2 Цель и задачи преподавания дисциплины…………………………………... 5
3 Объем дисциплины и виды учебной работы………………………………... 6
4 Содержание учебного курса………………………………………………….. 7
5 Тематика практических занятий ……………………………………….......... 15
6 Вопросы для самостоятельного изучения …………………………………... 18
7 Учебно-методическое обеспечение дисциплины …………………………... 18
7.1 Основная литература………………………………………………………... 18
7.2 Дополнительная литература………………………………………………... 18
7.3 Интернет-ресурсы…………………………………………………………… 19
8 Перечень современных образовательных технологий и наличие методических материалов к ним……………………………………………………….. 20
9 Вопросы для зачета..……………………………….......................................... 20
10 Вопросы к экзамену ………………………………........................................
22
11 Тестовые задания…………………………………………………………….. 27
12 Критерии оценки знаний, умений и навыков…………………………….... 29
3
1. Выписка из ГОС ВПО «Требования к обязательному минимуму содержания по дисциплине «Математика»
Математический анализ. Понятие множества. Операции над множествами. Понятие окрестности точки. Функциональная зависимость. Графики основных элементарных функций. Предел числовой последовательности. Предел
функции. Непрерывность функции в точке. Свойства числовых множеств и последовательностей. Глобальные свойства непрерывных функций. Производная
и дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения. Выпуклость функции. Неопределенный интеграл. Несобственные интегралы. Точечные множества в N – мерном пространстве. Функции нескольких
переменных, их непрерывность. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных. Классические методы оптимизации. Функции спроса и
предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.
Линейная алгебра. Системы линейных уравнений. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве. Определители. Системы векторов, ранг матрицы. N – мерное линейное векторное пространство. Линейные операторы и матрицы. Комплексные числа и многочлены.
Собственные векторы линейных операторов. Евклидово пространство. Квадратичные формы. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.
Основные определения и задачи линейного программирования. Симплексный
метод. Теория двойственности. Дискретное программирование. Динамическое
программирование. Нелинейное программирование.
Теория вероятностей и математическая статистика. Сущность и условия
применимости теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей.
Вероятностное пространство. Случайные величины и способы их описания.
Модели законов распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях. Закон распределения вероятностей для
функций от известных случайных величин. Неравенство Чебышева. Закон
больших чисел и его следствие. Особая роль нормального распределения: центральная предельная теорема. Цепи Маркова и их использование в моделирова4
нии социально-экономических процессов. Статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.
2. Цель и задачи дисциплины
1.1. Целью преподавания дисциплины является формирование математической культуры у студентов, развитие их интеллекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышлению; подготовка специалистов, владеющих
определенным запасом систематизированных знаний и навыков по математическому анализу и теории рядов в объеме, необходимом будущему учителю математики.
1.2. Задачи преподавания дисциплины.
Студент, изучивший данную дисциплину, должен:
иметь представление:

об основных понятиях математического анализа (функция, предел,
производная, дифференциал, интеграл, ряд);

о связи математического анализа с другими математическими дис-
циплинами;
знать:

основные понятия математического анализа;

методы и алгоритмы математического анализа;

дифференциальное и интегральное исчисления;
уметь:

проводить структурный анализ понятий и теорем данного курса;

составлять и анализировать математические модели простых реаль-
ных задач;

использовать аппарат математического анализа при решении мате-
матических формализованных задач;

анализировать полученные данные;
5

находить оптимальное решение поставленных задач и наилучшие
способы реализации решений этих задач;

работать с литературой по математическому анализу и его прило-
жениями;
владеть:

основными методами и приемами решения задач математического
анализа;

основными алгоритмами решения задач математического анализа.
3. Объем дисциплины и виды учебной работы
Форма обучения – заочная.
Количество семестров – 2 для 3-х годичного обучения; 3 – для 4-х и 6-ти
годичного обучения.
Форма контроля – зачет в 1 семестре, экзамен во 2 семестре для 3-х годичного обучения;
- зачет в 1 семестре, экзамен во 2 и 3 семестрах для 4-х годичного и 6-ти
годичного обучения.
Виды учебных занятий
Всего часов по
дисциплине
Самостоятельная
работа
Аудиторных занятий
В том числе:
Лекций:
Практических
занятий:
3-ое обучение
1 семестр
2 семестр
Всего часов
204
204
408
192
192
384
12
12
24
4
4
8
8
8
16
6
Виды учебных
занятий
Всего часов по
дисциплине
Самостоятельная
работа
Аудиторных занятий
В том числе:
Лекций:
Практических
занятий:
4-ое обучение
6-ое обучение
1
сем.
2
сем.
3
сем.
Всего
часов
1
сем.
2
сем.
3
сем.
Всего часов
136
136
136
408
136
136
136
408
124
124
124
372
120
120
120
360
12
12
12
36
16
16
16
48
4
4
4
12
4
4
4
12
8
8
8
24
12
12
12
36
4. Содержание учебного курса
Для 3-х годичного обучения
Разделы дисциплины, изучаемые в 1 семестре
Тематика занятий
Лекц.
Прак.
Сам.
1. Системы линейных уравнений. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в
трехмерном пространстве. Определители. Системы векторов, ранг матрицы.
1
1
24
2. N – мерное линейное векторное пространство.
Линейные операторы и матрицы. Комплексные
числа и многочлены. Собственные векторы линейных операторов.
1
1
24
3. Евклидово пространство. Квадратичные формы. Системы линейных неравенств. Линейные
задачи оптимизации.
4. Основные определения и задачи линейного
программирования. Симплексный метод. Теория
двойственности.
5. Дискретное программирование. Динамическое
программирование. Нелинейное программирование.
6. Понятие множества. Операции над множествами. Понятие окрестности точки. Функциональная
зависимость. Графики основных элементарных
функций.
1
1
24
1
1
24
1
24
1
24
7
Тематика занятий
Лекц.
Прак.
Сам.
7. Предел числовой последовательности. Предел
функции. Непрерывность функции в точке. Свойства числовых множеств и последовательностей.
1
24
8. Глобальные свойства непрерывных функций.
Производная и дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения. Выпуклость функции.
Итого:
1
24
8
192
Прак.
1
Сам.
26
2
26
4
Разделы дисциплины, изучаемые во 2 семестре
Тематика занятий
Лекц.
1. Неопределенный интеграл. Несобственные ин1
тегралы. Точечные множества в N – мерном пространстве. Функции нескольких переменных, их
непрерывность.
2. Производные и дифференциалы функций не1
скольких переменных. Классические методы оптимизации. Функции спроса и предложения.
Функция полезности. Кривые безразличия.
3. Сущность и условия применимости теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей.
4. Вероятностное пространство. Случайные величины и способы их описания. Модели законов
распределения вероятностей, наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях.
5. Закон распределения вероятностей для функций от известных случайных величин. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его следствие.
6. Особая роль нормального распределения: центральная предельная теорема. Цепи Маркова и их
использование в моделировании социальноэкономических процессов.
7. Статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.
1
1
28
1
1
28
1
28
1
28
1
28
Итого:
4
8
192
8
Для 4-х и 6-ти годичного обучения
Разделы дисциплины, изучаемые в 1 семестре
Тематика
занятий
Лекц.
Прак.
Сам.
4-ое
6-ое
4-ое
6-ое
4-ое
6-ое
1. Системы линейных уравнений. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве. Определители. Системы векторов,
ранг матрицы.
1
1
2
4
24
24
2. N – мерное линейное векторное пространство. Линейные операторы и матрицы. Комплексные числа и
многочлены. Собственные
векторы линейных операторов.
3. Евклидово пространство.
Квадратичные формы. Системы линейных неравенств.
Линейные задачи оптимизации.
1
1
2
2
24
24
1
1
2
2
24
24
4. Основные определения и
задачи линейного программирования. Симплексный
метод. Теория двойственности.
5. Дискретное программирование. Динамическое программирование. Нелинейное
программирование.
1
1
2
2
24
24
2
28
24
Итого:
4
12
124
120
4
8
9
Разделы дисциплины, изучаемые во 2 семестре
Тематика
занятий
1. Понятие множества. Операции над множествами.
Понятие окрестности точки.
Функциональная зависимость. Графики основных
элементарных функций.
2. Предел числовой последовательности. Предел
функции. Непрерывность
функции в точке. Свойства
числовых множеств и последовательностей.
3. Глобальные свойства непрерывных функций. Производная и дифференциал.
Основные теоремы о дифференцируемых функциях и
их приложения. Выпуклость
функции.
4. Неопределенный интеграл. Несобственные интегралы. Точечные множества
в N – мерном пространстве.
Функции нескольких переменных, их непрерывность.
Лекц.
Прак.
4-ое
1
6-ое
1
4-ое
2
6-ое
4
4-ое
24
6-ое
24
1
1
2
2
24
24
1
1
2
2
24
24
1
1
2
2
24
24
2
28
24
12
124
120
5. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных. Классические методы оптимизации.
Функции спроса и предложения. Функция полезности.
Кривые безразличия.
Итого:
Сам.
4
4
8
10
Разделы дисциплины, изучаемые в 3 семестре
Тематика
занятий
Лекц.
Прак.
Сам.
4-ое
1
6-ое
1
4-ое
2
6-ое
4
4-ое
24
6-ое
24
2. Вероятностное пространство. Случайные величины
и способы их описания. Модели законов распределения
вероятностей, наиболее употребляемые в социальноэкономических
приложени3. Закон распределения
веях.
роятностей для функций от
известных случайных величин. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и
его следствие.
4. Особая роль нормального
распределения: центральная
предельная теорема. Цепи
Маркова и их использование
в моделировании социально-экономических процессов.
5. Статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных
данных.
1
1
2
2
24
24
1
1
2
2
24
24
1
1
2
2
24
24
2
28
24
Итого:
4
12
124
120
1. Сущность и условия
применимости теории вероятностей. Основные понятия
теории вероятностей.
4
8
Тема 1. Системы линейных уравнений. Элементы аналитической
геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве. Определители. Системы векторов, ранг матрицы.
Система линейных алгебраических уравнений, ее матричная запись. Про11
странство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы.
Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений однородной системы. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем.
Применение определителей: 1) критерий невырожденности квадратной матрицы; 2) нахождение ранга матрицы; 3) критерий существования ненулевых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, состоящей из n уравнений; 4) нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера; 5) нахождение обратной матрицы.
Тема 2. N – мерное линейное векторное пространство. Линейные операторы и матрицы. Комплексные числа и многочлены. Собственные векторы линейных операторов.
Комплексные
интерпретация
числа.
числа
комплексных
Алгебраическая
и
действия
чисел.
и
Модуль
над
и
ними.
Геометрическая
аргумент
тригонометрическая
комплексного
формы
записи
комплексных чисел.
Корни n-ой степени из комплексного числа. Формулировка основной
теоремы алгебры. Собственные значения и собственные векторы неотрицательных
матриц. Теорема Фробениуса-Перрона. Число и вектор Фробениуса, их свойства.
Продуктивность неотрицательных матриц.
Тема 3. Евклидово пространство. Квадратичные формы. Системы
линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.
Линейные преобразования пространства Rn . Матрица линейного оператора.
Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Собственные
значения квадратных матриц.
Квадратичные формы, их матрицы в заданном базисе. Приведение квадратичной
формы к нормальному виду методом Лагранжа. Закон инерции квадратичных форм.
Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
12
Тема 4. Основные определения и задачи линейного программирования.
Модель многоотраслевой экономики Леонтьева. Продуктивные модели Леонтьева. Различные критерии продуктивности модели Леонтьева. Примеры экономикоматематических моделей, приводящих к задачам линейного программирования.
Стандартная и каноническая формы записи задач линейного программирования.
Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования в случае
двух переменных. Графический метод решения. Решение задачи линейного программирования методом перебора вершин.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования*. Алгоритм симплекс-метода. Нахождение исходного допустимого базиса. Метод искусственного
базиса.
Понятие о взаимно-двойственных задачах линейного программирования.
Основные теоремы двойственности. Двойственность в экономико-математических моделях.
Тема 5. Понятие множества. Операции над множествами. Понятие
окрестности точки. Функциональная зависимость. Графики основных
элементарных функций. Дифференцируемость функции, производная,
дифференциал. Правила дифференцирования.
Понятие функции, основные свойства функций, числовые функции.
Ограниченные функции. Монотонные функции. Обратная функция. Четные и
нечетные функции. Определение производной. Таблица производных. Геометрический, физический смысл производной. Односторонние и бесконечные производные. Дифференцируемые функции и их свойства.
Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Правила
дифференцирования. Арифметика производных. Дифференцирование обратной
функции. Дифференцирование сложной функции.
13
Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия
монотонности. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба. Необходимое условие выпуклости (вогнутости). Достаточное условие.
Асимптоты графика функции и методы их нахождения. Схема исследования
функции и построение графика функции. Понятие математической модели.
Тема 6. Предел числовой последовательности. Предел функции. Непрерывность функции в точке. Свойства числовых множеств и последовательностей.
Числовые последовательности. Определение предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Единственность предела последовательности. Ограниченность последовательности, имеющей предел.
Свойства сходящихся последовательностей, имеющих предел. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции над
сходящимися последовательностями. Предел монотонной последовательности..
Тема 7. Неопределенный интеграл. Несобственные интегралы. Точечные множества в N – мерном пространстве. Функции нескольких переменных, их непрерывность.
Определение первообразной, первообразная линейной комбинации, свойства первообразной. Неопределенный интеграл. Интегрирование заменой (подстановкой) переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональной функции. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций.
Определение интеграла Римана. Необходимое условие существования
интеграла. Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости. Геометрический смысл
интеграла Римана. Равномерная непрерывность функции. Классы интегрируемых функций. Свойства интеграла Римана. Интеграл с переменным верхним
пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление интегралов с помощью
подстановки и по частям.
14
Тема 8. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных. Классические методы оптимизации. Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.
Функции многих переменных (ФМП), их линии (поверхности) уровня,
графики.
Предел ФМП в точке. Эквивалентность определений предела по Коши и
Гейне. Непрерывность ФМП. Теоремы о локальных и глобальных свойствах
непрерывных функций многих переменных. Компактные множества и теорема
Вейерштрасса.
Дифференцируемость и дифференциал ФМП. Геометрический смысл
дифференцируемости и дифференциала функции двух переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Производная по направлению и градиент,
геометрический смысл градиента. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных. Формула Тейлора. Локальные экстремумы: необходимые и достаточные условия существования. Глобальный
экстремум. Условный экстремум; метод множителей Лагранжа. Неявные функции. Условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявных
функций.
5. Тематика практических занятий
Тема 1. Системы линейных уравнений. Элементы аналитической
геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве. Определители. Системы векторов, ранг матрицы.
1. Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы.
2. Умножение матриц. Невырожденные квадратные матрицы. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Решение матричных
уравнений вида AX =B.
3. Определители и их свойства.
4. Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядка.
15
5. Вычисление определителя с помощью разложения его по строкам и столбцам.
Тема2. N – мерное линейное векторное пространство. Линейные операторы и матрицы. Комплексные числа и многочлены. Собственные
векторы линейных операторов.
1. Комплексные числа и операции над ними.
2.Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
3.Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи.
4.Формула Муавра
Тема3. Евклидово пространство. Квадратичные формы. Системы
линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.
1. Квадратичные формы.
2. Приведение формы к нормальному и каноническому виду.
3. Знакоопределенные квадратичные формы, критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
Тема4.
Последовательности. Пределы последовательностей.
1. Числовые последовательности. Определение предела последовательности.
2. Свойства сходящихся последовательностей. Единственность предела
последовательности.
3. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Свойства сходящихся последовательностей, имеющих предел. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
4.Арифметические операции над сходящимися последовательностями.
Предел монотонной последовательности.
5. Число e. Теорема Кантора о вложенных отрезках. Критерий Коши.
16
Тема 5.
Предел функции. Свойства пределов.
1. Предел функции. Определения предела по Коши и Гейне, их эквивалентность.
2.Первый замечательный предел. Различные типы пределов. Односторонние пределы.
3.Бесконечные пределы в конечной точке. Локальные свойства функции,
имеющей предел. Ограниченность функции, имеющей конечный предел.
4. Знак функции в окрестности, ограниченность функции 1/g(x). Свойства
пределов, связанные с неравенствами.
5. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями.
Непрерывность функции. Точки разрыва функции. Свойства функций,
непрерывных в точке.
Тема 6.
Свойства непрерывных функций.
1. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Ограниченность непрерывной функции. Достижимость точных граней.
2. Теорема о промежуточных значениях.
3. Теорема о функции, обратной к монотонной непрерывной функции.
4. Непрерывность элементарных функций. Многочлены и рациональные
функции. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Степенная функция с рациональным показателем.
5. Показательная функция. Логарифмическая функция. Гиперболические
функции и обратные к ним.
Тема 7. Вычисление пределов функций
1.Раскрытие неопределенностей. Замена переменного при вычислении
предела. Второй замечательный предел.
2. Следствия второго замечательного предела. Сравнение функций.
3. Эквивалентные функции. Замена функций эквивалентными им функциями при вычислении пределов.
17
6. Вопросы для самостоятельного изучения
1. Метод математической индукции.
2. Модуль числа, его свойства, неравенства с модулем.
3. Построение графиков функций методом преобразований графиков элементарных функций (растяжение, сдвиг, параллельный перенос, операции взятия модуля).
4. Прикладные задачи, приводящие к использованию понятия производной.
5. Исследование функций, заданных параметрически. Методы построения графиков.
6. Мера Жордана на плоскости. Свойства измеримых фигур.
7. Интегрирование иррациональных функций.
8. Общее уравнение плоскости.
9. Уравнение прямой и плоскости в отрезках на осях.
10. Каноническое уравнение кривых 2-го порядка.
11. Свойства функций непрерывных на отрезке.Односторонние пределы.
12. Асимптоты графика функции.
13. Производная сложной функции.
14. Построение графика функции одной переменной.
7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
7.1 Основная литература
1. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов.
- M. : ЮНИТИ-ДАНА, 2010.- 543 с.
2. Кремер Н.Ш.Практикум по высшей математике для экономистов: Учебник для вузов. - M. : ЮНИТИ-ДАНА, 2005.- 423 с.
3. Прояева И.В. Учебно-методичское пособие по теории вероятностей.- Оренбург,
2006.
7.2 Дополнительная литература
1. Выгодский М.Я.: Справочник по высшей математике. М. Просвеще18
ние, 2002.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. В 2-х ч. Учебное пособие для втузов. - 6-е изд., - ML:
Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2003.
3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И.Ермакова. - М.: ИНФРА-М, 2001. -575 с.
4. Теория статистики с основами теории вероятностей: Учеб. пособие для
вузов/ И.И.Елисеева, B.C. Князевский, Л.И. Ниворожкина, З.А.Морозова: под
ред. И.И. Елисеевой. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 446 с.
7.3 Интернет-ресурсы
Образовательные порталы:
• Российский образовательный портал: http://www.school.edu.ru
• Все образование в Интернете http://all.edu.ru/
• Сервер Центра информатизации Министерства общего и профессионального образования Информика http://www.informika.ru/
• Федерация Интернет образования (ФИО) – http://www.fio.ru
Виртуальные учебные курсы и сайты дистанционного образования:
• Дистанционное образование в Интернете http://www.lessons.ru/
• Центр дистанционного образования http://www.eidos.ru/
• Центр дистанционного обучения http://www.cdo.ru/
• Институт дистанционного образования МЭСИ http://www.ido.ru/
• Евразийская ассоциация дистанционного образования http://www.distedu.ru
• Виртуальная школа “Кирилла и Мефодия” http://vschool.ru/
Энциклопедии и справочные сайты:
• Энциклопедия Британника http://www.britannica.com
19
• Словари и энциклопедии On-line http://dic.academic.ru/
• Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия http://mega.km.ru/
8. Перечень современных образовательных технологий и наличие
методических материалов к ним
№
темы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Темы лекций, семинарских и
практических занятий
Системы линейных уравнений.
Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в
трехмерном пространстве. Определители.
Основные определения и задачи
линейного программирования.
Симплексный метод. Теория
двойственности.
Понятие множества. Операции
над
множествами.
Понятие
окрестности точки. Функциональная зависимость. Графики
основных элементарных функций.
Неопределенный интеграл. Несобственные интегралы.
Модели законов распределения
вероятностей, наиболее употребляемые
в
социальноэкономических приложениях.
Статистическое оценивание и
проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.
Методические
материалы
понятийный аппарат,
наглядные
пособия
Используемые
технологии
Мультимедийные
средства обучения
наглядные
пособия
Мультимедийные
средства обучения
понятийный
аппарат,
схемы
Мультимедийные
средства обучения
понятийный
аппарат,
схемы
наглядные
пособия
Мультимедийные
средства обучения
наглядные
пособия
Мультимедийные
средства обучения
Мультимедийные
средства обучения
9. Вопросы для зачета
1-ый семестр
20
1.
Определители второго и третьего порядков. Определители высших
порядков.
2.
Свойства определителей. Практический прием вычисления опреде-
лителей.
3.
Матрицы. Обратная матрица. Действия над матрицами.
4.
Три метода решения системы трёх линейных уравнений с тремя не-
известными.
5.
Методы решения системы n линейных уравнений с m неизвестны-
6.
Прямая линия; уравнение, разрешенное относительно ординаты (с
ми.
угловым коэффициентом).
7.
Общее уравнение прямой.
Уравнение прямой, проходящей через
две точки. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно
данной прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.
8.
Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности двух
прямых. Условие параллельности прямых. Расстояние от точки до прямой.
9.
Эллипс. Построение эллипса по его осям.
10.
Гипербола. Форма гиперболы; вершины и оси. Построение гипер-
болы по ее осям. Асимптоты гиперболы. Сопряженные гиперболы.
11.
Парабола.
12.
Полярные координаты. Связь между полярными и прямоугольными
координатами.
13.
векторов
14.
Понятие вектора. Коллинеарные векторы. Нуль-вектор. Равенство
. Координаты вектора.
Действия над векторами, заданными своими координатами. Длина
вектора. Расстояние между двумя точками.
15.
Скалярное произведение двух векторов. Свойства скалярного про-
изведения. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей. Условие перпендикулярности векторов.
21
16.
Угол между векторами.
17.
Векторное произведение двух векторов. Свойства векторного про-
изведения. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.
18.
Объем параллелепипеда. Объём пирамиды.
10. Вопросы к экзамену
2-ой семестр
1.
Функция. Способы задания функции. Область определения функ-
ции. Предел последовательности. Предел функции. Определение предела
функции.
2.
Предел постоянной величины. Бесконечно малая величина. Беско-
нечно большая величина. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.
3.
Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные
пределы.
4.
Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных
в точке. Односторонний предел; скачок функции. Точки разрыва функции, их
классификация.
5.
Комплексные числа, их геометрическое изображение, равенство
комплексных чисел, сопряженные числа.
6.
Основные действия над комплексными числами в алгебраической
форме.
7.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и де-
ление комплексных чисел в тригонометрической форме.
8.
Степень комплексного числа с натуральным показателем, формула
Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.
9.
Определение производной функции.
10.
Касательная.
22
11.
Правила нахождения производных. Примеры нахождения произ-
водных постоянной, суммы, разности, произведения и частного.
12.
Дифференциал. Геометрический и механический смысл дифферен-
циала.
13.
Производная сложной функции. Пример нахождения производной
сложной функции.
14.
Логарифмическое дифференцирование. Пример логарифмического
дифференцирования.
15.
Дифференцирование неявных функций.
16.
Уравнение касательной и нормали к плоской линии.
17.
Производные и дифференциалы высших порядков. Выражения
высших производных через дифференциалы.
18.
Высшие производные функций, заданных параметрически.
19.
Высшие производные неявных функций.
20.
Теорема Ролля.
21.
Теорема Лагранжа о среднем значении.
22.
Обобщённая теорема о среднем значении (Коши).
23.
Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей.
24.
Двойной интеграл. Геометрический смысл двойного интеграла.
25.
Свойства двойного интеграла.
26.
Вычисление двойного интеграла (общий случай).
27.
Выражение двойного интеграла через полярные координаты.
28.
Возрастание и убывание функции. Признаки возрастания и убыва-
ния функции в точке и в промежутке.
29.
Максимум и минимум. Необходимое условие максимума и мини-
мума. Правило нахождения максимумов и минимумов.
30.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции. При-
мер нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
31.
Выпуклость плоских кривых. Точка перегиба. Сторона вогнутости.
Правило для нахождения точек перегиба.
23
32.
Асимптоты. Нахождение асимптот.
33.
Частные производные. Выражение частной производной через
дифференциал.
34.
Полное и частное приращение.
35.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Уравнения каса-
тельной
36.
Экстремум функции нескольких переменных. Правило нахождения
экстремума. Достаточные условия экстремума (случай двух аргументов).
37.
Перечень поверхностей второго порядка.
38.
Исторические сведения. Понятие об интеграле.
39.
Первообразная функция.
40.
Неопределённый интеграл.
41.
Геометрический смысл интегрирования.
42.
Свойства неопределённого интеграла.
43.
Способ подстановки (интегрирование через вспомогательную пере-
менную).
44.
Способ интегрирования по частям.
45.
Интегрирование тригонометрических выражений.
46.
Приёмы интегрирования рациональных дробей.
47.
Интегрирование простейших рациональных дробей.
48.
Определённый интеграл. Свойства определённого интеграла. Гео-
метрический смысл определённого интеграла.
49.
Механический смысл определённого интеграла. Интеграл диффе-
ренциала. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определённого интеграла
с помощью неопределённого.
50.
Определённое интегрирование по частям. Способ подстановки в
определённом интеграле. Объём тела вращения.
3-ий семестр
1.
Случайные события и их классификация, классическое определение
вероятности события.
24
2.
Частота события, статистическое определение вероятности.
3.
Геометрическое определение вероятности.
4.
Понятия суммы и произведения событий.
5.
Теорема о вероятности суммы событий, её следствия.
6.
Зависимые и независимые события, условная вероятность, теорема
о вероятности произведения событий, её следствия.
7.
Полная вероятность события, формула полной вероятности, форму-
лы Бейеса.
8.
Случайные величины и их классификация.
9.
Ряд распределения и многоугольник распределения дискретной
случайной величины.
10.
Интегральная функция распределения, её свойства.
11.
Вероятность попадания случайной точки в заданный интервал.
12.
Плотность распределения вероятностей, ее свойства, кривая рас-
пределения, связь между плотностью распределения и интегральной функцией
распределения.
13.
Числовые характеристики случайности величины: математическое
ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана,
начальные и центральные моменты высших порядков.
14.
Последовательность независимых испытаний, формула Бернулли.
15.
Биномиальное распределение, его числовые характеристики.
16.
Закон Пуассона, его числовые характеристики, связь между бино-
миальным и пуассоновским распределениями.
17.
Закон равномерной плотности, его числовые характеристики.
18.
Нормальный закон распределения, его параметры, кривая распреде-
ления.
19.
Интеграл вероятностей, вероятность попадания случайной точки в
заданный интервал, «правило трех сигм».
20.
Системы случайных величин, закон распределения системы двух
дискретных случайных величин.
25
21.
Интегральная функция распределения системы двух случайных ве-
личин, её свойства.
22.
Плотность распределения системы двух непрерывных
случайных
величин, её свойства, связь между плотностью распределения и интегральной
функцией распределения.
23.
Зависимые и независимые случайные величины, условие независи-
мости двух случайных величин.
24.
Числовые характеристики системы двух случайных величин: мате-
матические ожидания, дисперсии, корреляционный момент и коэффициент
корреляционный момент и коэффициент корреляции, коррелированность и зависимость случайных величин.
25.
Система n – случайных величин, её законы распределения и число-
вые характеристики, корреляционная матрица.
26.
Нормальный закон распределения системы двух случайных вели-
чин, его параметры, эллипсы рассеивания, нормальный закон в канонической
форме, вероятность попадания случайной точки в эллипс рассеивания.
27.
Функции случайных аргументов, их числовые характеристики.
28.
Теоремы о числовых характеристиках: свойства математического
ожидания и дисперсии.
29.
Закон больших чисел: неравенство Чебышева, сходимость по веро-
ятности, теорема П.Л. Чебышева, теорема Якова Бернулли.
30.
Понятие центральной предельной теоремы: локальная теорема Му-
авра-Лапласа, теорема А.М. Ляпунова.
31.
Предмет и задачи математической статистики, генеральная и выбо-
рочная совокупности, сущность выборочного метода.
32.
Статистический ряд распределения, полигон и гистограмма.
33.
Числовые характеристики статистического распределения.
34.
Статистические оценки параметров распределения: точечные оцен-
ки и их свойства, доверительная вероятность и доверительный интервал.
35.
Понятия о проверке статистических гипотез и критериях согласия.
26
36.
Случайная функция, её реализация и сечение.
37.
Основные характеристики случайного процесса: математическое
ожидание и корреляционная функция, их свойства.
38.
Стационарные случайные процессы, их характеристики, полная
стационарность и стационарность в широком смысле.
39.
Нахождение характеристик случайной функции из опыта, эргодиче-
ское свойство стационарного случайного процесса.
40.
Спектральное разложение стационарной случайной функции спек-
тральная плотность, формулы Винера-Хинчина, стационарный белый шум.
11. Тестовые задания
1. Расстояние между точками A(6,0),B(21,8) на плоскости OXY равно…(введите число)
x 1 y  2 z


3
1
2. Плоскость Ax-3y+3z+1=0 будет параллельна прямой 2
при значении коэффициента A, равном…(введите число)
3. Вертикальной асимптотой графика функции
y
3  4x
2 x  6 является прямая
a) y=-2/3
b) y=3
c) x=-2/3
d) y=2
e) x=3
x
4. Производная функции x равна
x
a) x (ln x  1)
x
b) x (ln x  1)
x
c) x ln x
27
x 1
d) x
x
e) xe
6
5. Найти модуль комплексного числа (1  i ) (введите число)
1 3 2 6


2 m 4 k 
0 0 0 0


0
0
0
0
 равен 1 при
6. Ранг матрицы 
a) m=20 k=40
b) m=8 k=16
c) m=2 k=4
d) m=6 k=12
e) m=1 k=1
 1 2 2 4


10
m
20
k


 0 0 0 0


7. Ранг матрицы  0 0 0 0  равен 1 при
a) m=2 k=4
b) m=8 k=16
c) m=20 k=40
d) m=6 k=12
e) m=1 k=1
8. Расстояние между точками A(7,9),B(2,-3) на плоскости OXY равно…(введите число)
9. Расстояние от точки A(1,1,2) до плоскости 2x+3y+6z+11=0 равно
…(введите число)
28
x
10. Производная функции sin x равна
a) 1  xctgx
sin x  cos x
2
b) sin x
sin x  x cos x
sin 2 x
c)
d) 1
sin x  x cos x
2
e) sin x
12. Критерии оценки знаний, умений и навыков
Итоговой формой контроля умений и навыков по дисциплине является
зачет, а итоговой формой контроля знаний и умений является экзамен.
Оценка «зачет» выставляется студенту, если он усвоил программный материал курса, умеет увязывать теорию с практикой, справляется с задачами и
вопросами, обосновывает принятые решения, владеет навыками и приемами
выполнения практических задач;
Оценка «незачет» выставляется студенту, который не знает значительной
части программного материала, допускает существенные ошибки, неуверенно,
с большими затруднениями решает практические задачи или не справляется с
ними самостоятельно.
Экзамен проводится по билетам, которые включают два теоретических
вопроса.
Оценка знаний студентов производится по следующим критериям:

оценка «отлично» выставляется студенту, если он глубоко и прочно
усвоил программный материал курса, исчерпывающе, последовательно, четко и
логически стройно его излагает, умеет тесно увязывать теорию с практикой,
свободно справляется с задачами и вопросами, причем не затрудняется с ответами при видоизменении заданий, правильно обосновывает принятые решения,
29
владеет разносторонними навыками и приемами выполнения практических задач;

оценка «хорошо» выставляется студенту, если он твердо знает ма-
териал курса, грамотно и по существу излагает его, не допуская существенных
неточностей в ответе на вопрос, правильно применяет теоретические положения при решении практических вопросов и задач, владеет необходимыми навыками и приемами их выполнения;

оценка «удовлетворительно» выставляется студенту, если он имеет
знания только основного материала, но не усвоил его деталей, допускает неточности, недостаточно правильные формулировки, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, испытывает затруднения при выполнении практических задач;

оценка «неудовлетворительно» выставляется студенту, который не
знает значительной части программного материала, допускает существенные
ошибки, неуверенно, с большими затруднениями решает практические задачи
или не справляется с ними самостоятельно.
30