КАФЕДРА ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ (направление

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(государственный университет)»
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
_______________О.А.Горшков
«____»______________ 2014 г.
ФАКУЛЬТЕТ ИННОВАЦИЙ И ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ
КАФЕДРА ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
ПРОГРАММА
вступительных испытаний поступающих на обучение по программам
подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре
по специальной дисциплине
НАПРАВЛЕНИЕ ПОДГОТОВКИ: 01.06.01 Математика и механика
НАПРАВЛЕННОСТЬ: 01.01.09 Дискретная математика и математическая кибернетика
Форма проведения вступительных испытаний.
Вступительные испытания проводятся в устной форме. Для подготовки ответов поступающий
использует экзаменационные листы.
ЗАВ.КАФЕДРОЙ
(подпись)
«
»
2014 г.
Райгородский А.М.
(фамилия)
Алгебра











Подстановки. Определение подстановки, четность подстановок. Произведение подстановок,
разложение подстановок в произведение транспозиций и независимых циклов.
Комплексные числа. Геометрическое изображение, алгебраическая и тригонометрическая
форма записи, извлечение корней, корни из единицы.
Системы линейных уравнений. Прямоугольные матрицы. Приведение матриц и систем
линейных уравнений к ступенчатому виду. Метод Гаусса.
Линейная зависимость и ранг. Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о
линейной зависимости, базис и ранг системы строк (столбцов). Ранг матрицы.
Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов
матриц. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.
Определители. Определитель квадратной матрицы, его основные свойства. Критерий
равенства определителя нулю. Формула разложения определителя матрицы по строке
(столбцу).
Операции над матрицами. Операции над матрицами и их свойства. Теорема о ранге
произведения двух матриц. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная
матрица, ее явный вид (формула), способ выражения с помощью элементарных
преобразований строк.
Векторные пространства; базис. Векторное пространство, его базис и размерность.
Преобразования координат в векторном пространстве. Подпространства как множества
решений систем однородных линейных уравнений. Связь между размерностями суммы и
пересечения двух подпространств. Линейная независимость подпространств. Базис и
размерность прямой суммы подпространств.
Линейные отображения и линейные операторы. Линейные отображения, их запись в
координатах. Образ и ядро линейного отображения, связь между их размерностями.
Сопряженное пространство и сопряженные базисы. Изменение матрицы линейного оператора
при переходе к другому базису.
Билинейные и квадратичные функции. Билинейные функции, их запись в координатах.
Изменение матрицы билинейной функции при переходе к другому базису. Ортогональное
дополнение к подпространству относительно симметрической билинейной функции. Связь
между симметрическими билинейными и квадратичными функциями. Существование
ортогонального базиса для симметрической билинейной функции. Нормальный вид
вещественной квадратичной функции. Закон инерции.
Собственные векторы и собственные значения. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора. Собственные подпространства линейного оператора, их линейная
независимость. Условие диагонализируемости оператора.
Теория вероятностей и математическая статистика



Основные понятия теории вероятностей. Определение вероятностного пространства,
простейшие дискретные случаи (выборки с порядком и без него, упорядоченные и
неупорядоченные), классическая вероятностная модель.
Условные вероятности. Определение условной вероятности, формула полной вероятности,
формула Байеса. Независимость событий. Попарная независимость и независимость в
совокупности.
Случайная величина. Функция распределения. Плотность. Математическое ожидание,
дисперсия, корреляция. Определение математического ожидания, дисперсии, ковариации и
корреляции, их свойства.







Основные теоремы теории вероятностей. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.
Центральная предельная теорема.
Дискретные марковские цепи. Эргодическая теорема.
Распределения. Стандартные дискретные и непрерывные распределения, их математические
ожидания, дисперсии и свойства: биномиальное, равномерное, нормальное, пуассоновское,
показательное, геометрическое.
Гауссовские, стационарные и марковские случайные процессы, случайные функции с
ортогональными и независимыми приращениями. Винеровский процесс.
Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом событий. Аксиоматика
Колмогорова. Разные виды сходимости случайных величин.
Выборки. Точечные оценки параметров, их свойства: несмещенность, состоятельность,
асимптотическая нормальность. Выборочные среднее, медиана, дисперсия. Доверительные
интервалы. Случайное блуждание. Вероятности разорения и средняя продолжительность при
игре с бросанием монеты. Принцип отражения. Закон арксинуса.
Статистические гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Сравнение критериев. Равномерно
наиболее мощные критерии. Лемма Неймана-Пирсона. Мартингалы. Определение. Примеры
мартингалов. Определение момента остановки. Тождества Вальда.
Комбинаторика и математическая логика









Основные правила комбинаторики. Правило подсчета количества комбинаторных объектов.
Принцип Дирихле. Сочетания. Размещения, перестановки и сочетания. Бином Ньютона.
Треугольник Паскаля. Сочетания с повторениями.
Графы, вершины, ребра. Ориентированные и неориентированные графы. Путь в графе. Вес
ребра, вес пути. Деревья.
Множества. Подмножества. Операции на множествах, тождества. Круги Эйлера, Формула
включений и исключений. Мощность множества. Счетные множества и их свойства.
Булевы функции и пропозициональные формы. Конъюнктивная и дизъюнктивная нормальная
форма. Тавтологии.
Языки первого порядка. Правила построения формул. Модель (интерпретация). Истинность
формулы в модели. Общезначимые формулы первого порядка. Аксиомы и правила вывода.
Модели вычислений. Машина Тьюринга. Вычислимые функции. Вычислимые и
перечислимые множества, теоретико-множественные операции над ними.
Детерминированный конечный автомат. Конфигурация автомата, начальная конфигурация;
такт автомата; допуск слова автоматом; язык, определяемый автоматом; граф переходов
автомата. Недетерминированный конечный автомат. Эквивалентность НКА и ДКА
(доказательство).
Регулярные выражения и регулярные языки. Конечные автоматы (finite state automata).
Совпадение классов автоматных и регулярных языков (теорема Клини).
Иерархия грамматик Хомского. Нормальная форма Хомского. Алгоритм устранения ε-правил.
Алгоритм устранения цепных правил. Алгоритм преобразования грамматики к нормальной
форме Хомского. Алгоритмы разбора контекстно-свободных грамматик.
Литература
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру, 1977, Наука.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. I,II, 2000, Физматлит.
3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры, 1975, Наука.
Винберг Э.Б. Курс алгебры, 1999, 2001, Факториал.
Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по мат. анализу. Изд-во
Университет, 1999.
Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. М.: Наука, 1981. 544 с. Часть II.
М.: Наука, 1984. 640 с.
Кудрявцев, Л.Д., Курс математического анализа (в трех томах).
Т.1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной.
Т.2. Ряды. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных.
Т. 3. Гармонический анализ. Москва, Изд-во Высшая школа, 1981.
10. Демидович, Б. П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
Изд-во АСТ, 2007.
11. Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения. Изд-во Регулярная и
хаотическая динамика, 2000.
12. Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей, УРСС. М.: 2001.
13. Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей, 1970.
14. Ширяев, А. Н. Вероятность, Наука. М.: 1989.
15. Севастьянов Б. А., Курс теории вероятностей и математической статистики,
16. Ҹ М.: Наука, 1982.
17. Севастьянов, Б. А., Чистяков, В. П., Зубков, А. М. Сборник задач по теории вероятностей,
М.: Наука, 1986.
18. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. М., Наука, 1969.
19. Э.Мендельсон. Элементы математической логики. М., Наука, 1971.
20. Н.К.Верещагин, А.Шень. Начала теории множеств. М., МЦНМО, 2012.
21. Н.К.Верещагин, А.Шень. Языки и исчисления. М., МЦНМО, 2012.
22. Н.К.Верещагин, А.Шень. Вычислимые функции. М., МЦНМО, 2012.
23. Ф. Харари, Теория графов, Москва, Мир, 1973.
24. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ,
25. 2-е издание. - М. Издательский дом Вильямс, 2005.
26. Ахо А., Хопкрофт Д., Ульман Д. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.:
Мир, 1999.
27. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей, Москва, Физматлит, 1961.
28. А. Натан, О. Горбачев, С.А. Гуз. Основы теории случайных процессов. М.: МЗ-Пресс,
2003.
29. Б.М. Миллер, А.Р. Панков. Случайные процессы в примерах и задачах. М.: Издательство
МАИ, 2001.
4.
5.
6.
7.
8.
9.