Пример решения транспортной задачи в среде MS Excel

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФГБОУ ВПО «СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»
Кафедра «Систем автоматизированного проектирования»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ
ПО КУРСУ “МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ”
для магистров по направлению подготовки
260800.68 «Технология продукции и организация общественного питания»
Составитель: к.т.н., доц. каф. САПР А.В. Калиниченко
Владикавказ, 2014
УДК 519.8
ББК 22
Рецензент:
доцент каф. алгебры и геометрии Северо-Осетинского государственного
университета им. К.Л. Хетагурова, кандидат физико-математических наук
ГУТНОВА А. К.
Калиниченко Алла Викторовна
Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине
«Математическое моделирование» для магистров по направлению подготовки
260800.68 «Технология продукции и организация общественного питания»
[Электронный ресурс]- Владикавказ, СКГМИ, 2014. – 51 с.
Методические указания содержат описание 7 лабораторных работ,
соответствующих рабочей программе по дисциплине «Математическое
моделирование» для магистров по направлению подготовки 260800.68
«Технология продукции и организация общественного питания».
В методических указаниях приведён порядок выполнения лабораторных
работ; разобраны методы решения задач
линейного и нелинейного
программирования
разного
содержания; разобрана технология расчета
показателей эффективности систем массового обслуживания; приведены
контрольные вопросы, необходимые теоретические сведения и индивидуальные
задания по каждой лабораторной работе.
Подготовлено кафедрой «Системы автоматизированного проектирования» в
авторской редакции
2
СОДЕРЖАНИЕ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ ........................................................ 4
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ ............................................................... 7
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ СРЕДСТВАМИ MS EXCEL: ЗАДАЧА О СМЕСЯХ, ЗАДАЧА ОБ
ОПТИМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ РЕСУРСОВ ............................................................ 12
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ СРЕДСТВАМИ MS EXCEL: ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ........ 19
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ СРЕДСТВАМИ MS EXCEL И ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ .... 25
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6. ИЗУЧЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО С
ПРИМЕНЕНИЕМ ТАБЛИЧНОГО ПРОЦЕССОРА ЕXCEL.................................................. 29
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ
МНОГОКАНАЛЬНОЙ СМО C ОТКАЗАМИ ......................................................................... 36
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ................................................. 41
ЛИТЕРАТУРА ....................................................................................................................... 51
3
Лабораторная работа №1. Решение задачи линейного
программирования графическим методом
ЦЕЛЬ
РАБОТЫ:
овладение
графическим
методом
решения
оптимизационных задач в области технология продукции и организации
общественного питания.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Геометрический (или графический) метод решения задачи линейного
программирования предполагает последовательное
выполнение
ряда
шагов.
Ниже представлен порядок решения задачи линейного программирования на
основе ее геометрической интерпретации.
1. Сформулировать задачу линейного программирования.
2. Построить на плоскости {х1, х2} прямые, уравнения которых
получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки
точных равенств.
3. Найти полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
4. Найти область допустимых решений.
5. Построить прямую c1x1 + c2x2 = h, где h - любое положительное
число,
желательно
такое,
чтобы
проведенная
прямая
проходила
через
многоугольник решений.
6.
Перемещать
найденную
прямую
параллельно
самой
себе
в
направлении увеличения (при поиске максимума) или уменьшения (при
поиске минимума) целевой функции. В результате, либо отыщется точка, в
которой целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение, либо
будет установлена неограниченность функции на множестве решений.
7. Определить координаты точки максимума (минимума) функции и
вычислить значение функции в этой точке.
ЗАДАНИЕ
Пусть задана математическая модель задачи линейного программирования.
Область допустимых решений задачи:
4
4x1 + 6x2 ≤ 120,
2x1 + 6x2 ≤ 72,
x2 ≤ 10;
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Целевая функция имеет вид:
f= 2x1 + 4x2 → max; Найти значения управляющих переменных х1, х2,
удовлетворяющих заданным ограничениям, при которых целевая функция
принимает максимальное значение.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. В сформулированного задаче линейного программирования число
переменных равно двум, а ограничениями является система неравенств, то задачу
можно решать графическим методом.
2. Построим прямые, соответствующие каждому из функциональных
ограничений задачи, как показано на рисунке 1.1. Эти прямые обозначены на
рисунке (1), (2) и (3).
Рисунок 1.1 – Область допустимых решений
3.
Штрихи
на
прямых
указывают
полуплоскости,
определяемые
ограничениями задачи.
4. Область допустимых решений включает в себя точки, для которых
выполняются все ограничения задачи. В нашем случае область представляет собой
пятиугольник (на рисунке обозначен ABCDO и окрашен синим цветом).
5
5. Прямая, соответствующая целевой функции, на рисунке представлена
пунктирной линией.
6. Прямую передвигаем параллельно самой себе вверх (направление
указано стрелкой), поскольку именно при движении в этом направлении
значение целевой функции увеличивается. Последней точкой многоугольника
решений,
с
покинет
его,
которой
соприкоснется
является
точка
C.
передвигаемая
Это
и
есть
прямая, прежде
чем
точка, соответствующая
оптимальному решению задачи.
7. Необходимо вычислить координаты точки С. Она является точкой
пересечения прямых (1) и (2). Решив совместно уравнения этих прямых,
найдем: х1=24,
х2=4. Подставляя найденные величины в целевую функцию,
найдем ее значение в оптимальной точке: f=64 .
ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1.
Цель и порядок выполнения работы.
2.
Математическую
модель
задачи
и
краткую
характеристику
математической модели.
3.
Описание хода выполнения расчетов.
4.
Результаты расчетов.
6.
Выводы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Может ли задача линейного программирования иметь несколько
решений?
2. Что такое область допустимых решений?
3. Когда
применим
графический
метод
решения
задачи
линейного
программирования?
4. Назовите основные шаги графического метода решения задачи линейного
программирования.
5. Перечислите возможные варианты областей допустимых решений.
6
Лабораторная работа №2. Решение задач линейного
программирования симплекс-методом
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: овладение симплекс-методом решения оптимизационных
задач в области технология продукции и организации общественного питания.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Данный метод является методом целенаправленного перебора опорных
решений задачи линейного программирования. Он позволяет за конечное число
шагов либо найти оптимальное решение, либо установить, что оптимальное
решение отсутствует.
Основное содержание симплексного метода заключается в следующем:
 Указать способ нахождения оптимального опорного решения
 Указать способ перехода от одного опорного решения к другому, на
котором значение целевой функции будет ближе к оптимальному, т.е.
указать способ улучшения опорного решения
 Задать критерии, которые позволяют своевременно прекратить перебор
опорных решений на оптимальном решении или сделать заключение об
отсутствии оптимального решения.
Алгоритм симплексного метода решения задач линейного программирования
Для того, чтобы решить задачу симплексным методом необходимо выполнить
следующее:
1. Привести задачу к каноническому виду;
2. Найти начальное опорное решение с "единичным базисом" (если опорное
решение отсутствует, то задача не имеет решение ввиду несовместимости системы
ограничений);
3. Вычислить оценки разложений векторов по базису опорного решения и
заполнить таблицу симплексного метода;
4. Если выполняется признак единственности оптимального решения, то
решение задачи заканчивается;
7
5. Если
выполняется
условие
существования
множества
оптимальных
решений, то путем простого перебора находят все оптимальные решения.
ЗАДАНИЕ
Решить симплексным методом задачу:
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Приводим задачу к каноническому виду.
Для этого в левую часть первого ограничения-неравенства вводим
дополнительную переменную x6 с коэффициентом +1. В целевую функцию
переменная x6 входит с коэффицентом 0 (т.е. не входит).
Получаем:
2. Находим
начальное
опорное
решение.
Для
этого
свободные
(неразрешенные) переменные приравниваем к нулю х1 = х2 = х3 = 0.
Получаем опорное решение Х1 = (0,0,0,24,30,6) с единичным базисом Б1 = (А4,
А5, А6).
3. Вычисляем оценки разложений векторов условий по базису опорного
решения по формуле:
Δk = CбXk — ck, где:
Cб = (с1, с2, ... , сm ) — вектор коэффициентов целевой функции при базисных
переменных;
Xk = (x1k, x2k, ... , xmk ) — вектор разложения соответствующего вектора Ак по
базису опорного решения;
8
Ск — коэффициент целевой функции при переменной хк.
Оценки векторов входящих в базис всегда равны нулю. Опорное решение,
коэффициенты разложений и оценки разложений векторов условий по базису
опорного решения записываются в симплексную таблицу:
Сверху над таблицей для удобства вычислений оценок записываются
коэффициенты целевой функции. В первом столбце "Б" записываются векторы,
входящие в базис опорного решения. Порядок записи этих векторов соответствует
номерам разрешенных неизвестных в уравнениях ограничениях. Во втором
столбце таблицы "Сб" записываются коэффициенты целевой функции при
базисных переменных в том же порядке. При правильном расположении
коэффициентов целевой функции в столбце "Сб" оценки единичных векторов,
входящих в базис, всегда равных нулю.
В последней строке таблицы с оценками Δk в столбце "А0" записываются
значения целевой функции на опорном решении Z(X1).
Начальное опорное решение не является оптимальным, так как в задаче на
максимум оценки Δ1 = -2, Δ3= -9 для векторов А1 и А3 отрицательные. Если в
задаче на максимум хотя бы один вектор имеет отрицательную оценку, то можно
найти новое опорное решение, на котором значение целевой функции будет
больше.
9
Определим, введение какого из двух векторов приведет к большему
приращению целевой функции.
Приращение целевой функции находится по формуле:
.
Вычисляем значения параметра θ01 для первого и третьего столбцов по
формуле:
Получаем θ01 = 6 при l = 1, θ03 = 3 при l = 1.
Находим приращение целевой функции при введении в базис первого вектора
ΔZ1 = - 6*(- 2) = 12, и третьего вектора ΔZ3 = - 3*(- 9) = 27.
Следовательно, для более быстрого приближения к оптимальному решению
необходимо ввести в базис опорного решения вектор А3 вместо первого вектора
базиса А6, так как минимум параметра θ03 достигается в первой строке (l = 1).
Производим преобразование Жордана с элементом Х13 = 2, получаем второе
опорное решение Х2 = (0,0,3,21,42,0) с базисом Б2 = (А3, А4, А5).
Это решение не является оптимальным, так как вектор А2 имеет
отрицательную оценку Δ2 = — 6. Для улучшение решения необходимо ввести
вектор А2 в базис опорного решения.
Определяем номер вектора, выводимого из базиса. Для этого вычисляем
параметр θ02 для второго столбца, он равен 7 при l = 2. Следовательно, из базиса
выводим второй вектор базиса А4. Производим преобразование Жордана с
элементом х22 = 3, получаем третье опорное решение Х3 = (0,7,10,0,63,0) Б2 = (А3,
А2, А5).
10
Это решение является единственным оптимальным, так как для всех векторов,
не входящих в базис оценки положительные: Δ1 = 7/2, Δ4 = 2, Δ6 = 7/2.
Ответ: max Z(X) = 201 при Х = (0,7,10,0,63).
ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1.
Цель и порядок выполнения работы.
2.
Математическую
модель
задачи
и
краткую
характеристику
математической модели.
3.
Описание хода выполнения расчетов.
4.
Результаты расчетов.
6.
Выводы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чем заключается основная идея симплекс-метода решения задач
линейного программирования?
2. Назовите разновидности задач линейного программирования.
3. Опишите алгоритм симплексного метода решения задач линейного
программирования.
4. В чем заключается приведение задачи линейного программирования к
каноническому виду?
5. Дайте понятие целевой функции.
11
Лабораторная работа № 3. Решение задач линейного
программирования средствами MS Excel: задача о смесях,
задача об оптимальном распределении ресурсов
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: овладение методикой решения оптимизационных задач в
области технология продукции и организации общественного питания средствами
MS Excel.
ЗАДАНИЕ
Определить структуру выпуска блюд на предприятии общественного
питания, обеспечивающую максимальную выручку на основе заданных объемов
ресурсов и нормативов затрат продуктов на первые и вторые блюда,
представленных в таблице:
Ресурсы
Мясо, кг
Рыба, кг.
Овощи, кг
Мука, крупа, кг.
Молоко, л.
Выручка, у.е.
Плановый
фонд
ресурсов
40000
25000
27000
20000
45000
Нормативные затраты ресурсов на 100 блюд
Первые Вторые Вторые Вторые
Вторые
блюда мясные рыбные молочные прочие
4,0
8,0
3,8
2,5
10
3,2
2,0
3,0
4,6
2,1
2,6
2,3
2,2
6,5
21
1,3
2,0
1,5
0,3
1,7
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Выполним построение математической модели.
Обозначим, х2, х3, х4, х5 – количество блюд, соответствующего вида
(100шт.): х1 - первые блюда; х2 – вторые мясные блюда; х3 - вторые рыбные; х4 вторые молочные блюда; х5 - 2-е вторые прочие блюда.
Запишем целевую функцию, максимизирующую выручку:
F(X) = 1,3х1 + 2х2 + 1,5х3 + 0,3х4 + 1,7х5  max
Запишем ограничения:
4х1 + 8х2 + 0х3 + 0х4 + 3,8х5  40000 (ограничение по ресурсу «Мясо»);
2,5х1 + 0х2 + 10х3 + 0х4 + 0х5  25000 (ограничение по ресурсу «Рыба»);
3,2х1 + 2х2 + 3х3 + 0х4 + 4,6х5  27000 (ограничение по ресурсу «Овощи»);
12
2,1х1 + 2,6х2 + 2,3х3 + 2,2х4 + 0х5  20000 (ограничение по ресурсу «Мука,
крупа»);
6,5х1 + 0х2 + 0х3 + 21х4 + 0х5  45000 (ограничение по ресурсу «Молоко»);
х1,2,3,4,5  0 (условие неотрицательности количества блюд)
В результате получаем следующую экономико-математическую модель:
F(X) = 1,3х1 + 2х2 + 1,5х3 + 0,3х4 + 1,7х5  max
4х1 + 8х2 + 0х3 + 0х4 + 3,8х5  40000
2,5х1 + 0х2 + 10х3 + 0х4 + 0х5  25000
3,2х1 + 2х2 + 3х3 + 0х4 + 4,6х5  27000
2,1х1 + 2,6х2 + 2,3х3 + 2,2х4 + 0х5  20000
6,5х1 + 0х2 + 0х3 + 21х4 + 0х5  45000
х1,2,3,4,5  0
2.Создаем документ Microsoft Excel и вводим исходные данные задачи, как
показано на рисунке 2.1.
Рисунок 2.1. – Исходные данные задачи линейного программирования
3. Вводим зависимость для целевой функции
Для этого ставим курсор в ячейку G4, затем нажимаем на кнопку «Мастер
функций», которая находится на панели инструментов. Окно мастера функций
показано на рисунке 2.2.Выбираем категорию «Математические», Функцию
13
«СУММПРОИЗВ» и нажимаем OK. Окно для ввода
аргументов функции
показано на рисунке 2.3.
Рисунок 2.2. – Окно «Мастера функций»
В появившемся окне «Аргументы функции», в строку «Массив 1» вводим
B$3:F$3, а в строку «Массив 2» вводим B4:F4 и нажимаем ОK. В ячейку G4
введена функция.
Рисунок 2.3. – Окно для ввода аргументов функции
4. Вводим зависимости для ограничений. Для этого повторяем процесс,
описанный в п.3 для каждого из ограничений. В результате в ячейке G7 должна
появиться формула: =СУММПРОИЗВ(B$3:F$3, B7:F7). В ячейке G8 должна
появиться формула: =СУММПРОИЗВ(B$3:F$3, B8:F8), в ячейке G9 должна
появиться формула: =СУММПРОИЗВ(B$3:F$3, B9:F9), в ячейке G10 должна
появиться формула: =СУММПРОИЗВ(B$3:F$3, B10:F10), а в ячейке G11 должна
появиться формула: =СУММПРОИЗВ(B$3:F$3, B11:F11)
14
Далее в строке Меню выбираем Сервис Поиск решения. В появившемся
окне «Поиск решения» назначаем целевую функцию. Для этого ставим курсор в
строку «Установить целевую ячейку» вводим адрес ячейки $G$4, равной
«Максимальному значению» курсор в строку «Изменяя ячейки» вводим
адреса искомых переменных $B$3:$F$3. Окно «Поиск решения» показано на
рисунке 2.3.
Рисунок 2.3 – Окно «Поиск решения»
Нажимаем
на
кнопку
«Добавить»,
появляется
окно
«Добавление
ограничения», представленного на рисунке 2.4.
Рисунок 2.4 – Окно «Добавление ограничения»
В строке «Ссылка на ячейку» вводим адрес $G$7 вводим знак
ограничения в строке «Ограничение» вводим адрес $I$7 нажимаем на кнопку
«Добавить». Вводим остальные ограничения по этому же алгоритму. После
введения последнего ограничения нажимаем кнопку OK. На экране появляется
окно «Поиск решения» с введенными условиями, как показано на рисунке 2.5.
15
Рисунок 2.5 – Окно «Поиск решения» с введенными ограничениями
5. Вводим параметры для решения ЗЛП.
Для этого в окне «Поиск решения» нажимаем на кнопку «Параметры».
Появляется окно «Параметры поиска решения». Устанавливаем в окнах
«Линейная
модель»
(это
обеспечивает
применение
симплекс-метода)
и
«Неотрицательные значения» , как показано на рисунке 2.6.
Рисунок 2.6 – Окно «Параметров поиска решения»
Далее нажимаем кнопку OK и на экране появляется окно «Поиск решения».
Нажимаем кнопку «Выполнить». Появляется окно «Результаты поиска решения» и
исходная таблица с заполненными ячейками B3:F3 и ячейка G4 с максимальным
значением целевой функции, как показано на рисунке 2.6.
16
Рисунок 2.7 – Окно «Результаты поиска решения»
Нажимаем кнопку OK.
Полученное решение означает, что для максимизации выручки необходимо:
Х1 = 0; Х2 = 3763,70; Х3 = 2500; Х4 = 2029,27; Х5 = 2602,74;
Максимальная выручка составляет: 16310,83 у.е.
Ответ: Максимальная выручка составляет 16310,83 у.е.
При этом, структура выпуска блюд на предприятии общественного питания:
Первые блюда – 0 шт.;
Вторые мясные - 3763,70*100 шт.;
Вторые рыбные - 2500*100 шт.;
Вторые молочные - 2029,27*100 шт.;
Вторые прочие - 2602,74*100 шт.;
Нулевое значение выпуска первых блюд показывает, что при их выпуске
общая выручка будет снижаться.
Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета.
Для этого в диалоговом окне “Результаты поиска решения” следует указать тип
отчета из списка «Тип отчета». Выберем опцию «Результаты». Отчет будет создан
на отдельном рабочем листе
17
ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1.
Цель и порядок выполнения работы.
2.
Математическую
модель
задачи
и
краткую
характеристику
математической модели.
3.
Описание и результаты решения задачи линейного программирования
в среде MS Excel
4.
Краткий анализ решения.
5.
Выводы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Каковы основные этапы решения задач линейного программирования в MS
Excel?
2. Какая надстройка MS Excel применяется для решения зада линейного
программирования?
3. Опишите основные этапы работы с надстройкой MS Excel «Поиск
решения».
4. Каким образом в MS Excel задается направление оптимизации целевой
функции?
5. Назовите разновидности задач линейного программирования.
18
Лабораторная работа №4. Решение задач линейного
программирования средствами MS Excel: транспортная
задача
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: овладение методикой решения оптимизационных задач в
области технология продукции и организации общественного питания средствами
MS Excel.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Транспортная
задача
является
частным
типом
задачи
линейного
программирования и формулируется следующим образом. Имеется m пунктов
отправления (или пунктов производства) Аi ,…, Аm, в которых сосредоточены
запасы однородных продуктов в количестве a1, ..., аm единиц. Имеется n
пунктов назначения (или пунктов потребления) В1, ..., Вm, потребность которых
в
указанных
продуктах
составляет
b1, ..., bn единиц. Известны также
транспортные расходы Сij, связанные с перевозкой единицы продукта из пункта
Ai в пункт Вj, i 1, …, m; j 1, ..., n. Предположим, что ,
т. е. общий объем производства равен общему объему потребления.
Требуется составить такой план перевозок (откуда, куда и сколько
единиц
продукта
везти),
чтобы
удовлетворить
спрос
всех
пунктов
потребления за счет реализации всего продукта, произведенного всеми
пунктами производства, при минимальной общей стоимости всех перевозок.
Приведенная формулировка транспортной задачи называется замкнутой
транспортной моделью.
ЗАДАНИЕ
Пусть производство продукции осуществляется на 4-х предприятиях А1, А2,
А3, А4 а затем развозится в 5 пунктов потребления этой продукции B1, B2, B3, B4,
B5. На предприятиях Ai (i = 1, 2, 3, 4) продукция находится соответственно в
количествах ai (условных единиц). В пункты Bj (j = 1, 2, 3, 4,5) требуется доставить
bj единиц продукции. Стоимость перевозки единицы груза (с учетом расстояний)
из Ai в Bj определена матрицей
.
19
Предприятия могут выпускать в день 235, 175, 185 и 175 единиц продукции.
Пункты потребления готовы принимать ежедневно 125, 160, 60, 250 и 175 единиц
продукции. Стоимость перевозки единицы продукции (в у. е.) с предприятий в
пункты потребления приведена ниже.
Требуется минимизировать суммарные транспортные расходы по перевозке
продукции.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Выполним проверку сбалансированности математической модели задачи.
Модель является сбалансированной, так как суммарный объем производимой
продукции в день равен суммарному объему потребности в ней:
235+175+185+175=125+160+60+250+175
(При решении этой задачи не учитываются издержки, связанные со
складированием и недопоставкой продукции).
2. Приступим к построению математической модели поставленной задачи.
Неизвестными
будем
считать
объемы
перевозок.
Пусть хij – объем перевозок с i-го пункта поставки в j-й пункт потребления.
Суммарные транспортные расходы:
,
где сij – стоимость перевозки единицы продукции с i-го предприятия в j-й
пункт потребления.
20
Неизвестные в этой задаче должны удовлетворять следующим ограничениям:
• Объемы перевозок не могут быть отрицательными, т. е.
;
• Поскольку модель сбалансирована, то вся продукция должна быть вывезена с
предприятий, а потребности всех пунктов потребления должны быть полностью
удовлетворены, т. е.
;
.
Итак, имеем следующую задачу линейного программирования:
найти минимум функции:
при ограничениях:
,
,
3. Приступаем к решению задачи на компьютере.
3.1. Откроем новый рабочий лист Excel.
3.2. В ячейки B3:F6 стоимость перевозок единицы груза.
3.3. В ячейках B16:F16 укажем формулы для расчета суммарной потребности
продукции для j-го пункта, в ячейках G12:G15 – формулы суммарного объема
производства i-го предприятия.
3.4.
В
ячейки B18:F18 заносим
значения
потребности
продукции
соответствующего пункта потребления, в ячейки H12:H15 заносим значения
объема производства соответствующего предприятия.
3.5. В ячейку B20 занесем формулу целевой функции. Результаты выполненных
операций представлены на рисунке 3.1.
21
Рисунок 3.1. – Исходные данные задачи линейного программирования в MS Excel
3.6. Выполним команду «Сервис → Поиск решения». Откроется диалоговое
окно «Поиск решения». Если такой команды во вкладке Сервис нет, то следует
подключить эту надстройку перейдя по «Сервис → Надстройки», и поставив
галочку напротив нужной, т.е. «Поиск решения».
3.7. В поле «Установить целевую ячейку» указываем ячейку, содержащую
оптимизируемое значение. Установим переключатель «Равный» в положение
«минимальному значению».
3.8.
В
поле «Изменяя
ячейки» мышью
зададим
диапазон
подбираемых
параметров $B$12:$F$15.
3.9. В поле «Ограничения» введем необходимые ограничения и нажмем на
кнопку «Добавить», затем «Выполнить». Окно «Поиск решения» показано на
рисунке 3.2.
22
Рисунок 3.2. – Окно «Поиск решения»
В
результате
получится
оптимальный
набор
переменных
при
данных
ограничениях, как показано на рисунке 3.3.
Рисунок 3.2. – Оптимальный набор переменных
Оптимальность решения можно проверить, экспериментируя со значениями
ячеек $B$12:$F$15.
ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1.
Цель и порядок выполнения работы.
2.
Математическую
модель
задачи
и
краткую
характеристику
математической модели.
23
3. Описание и результаты решения задачи линейного программирования в
среде MS Excel
4.
Краткий анализ решения.
5.
Выводы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
Дайте определение транспортной задачи линейного программирования.
2.
Какие основные отличия между сбалансированной и несбалансированной
транспортными задачами?
3.
Поясните общий порядок работы с формой «Поиск решения».
4.
Каков вид и способы задания формул для целевой ячейки и ячеек левых
частей ограничений?
5.
Назовите разновидности задач линейного программирования
24
Лабораторная работа №5. Решение задачи нелинейного
программирования средствами MS Excel и графическим
методом
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Решение задач нелинейного программирования средствами MS Excel
принципиально
ничем
не
отличается
от
решения
задач
линейного
и
целочисленного программирования. Единственное отличие заключается в том,
что при установке параметров поиска решения в диалоговом окне «Параметры
поиска решения», необходимо снять галочку в строке «Линейная модель».
Кроме
того,
процедура
поиска
решения
задач
нелинейного
программирования более критична к исходным начальным данным.
Для решения задач нелинейного программирования в Excel реализовано два
метода: метод Ньютона и метод сопряженных градиентов Флетчера-Ривса. Выбор
метода решения производится в диалоговом окне «Параметры поиска решения».
В качестве критерия останова поиска решения в Excel используется следующее
условие:
   
 
f x k 1  f x k

f k 
f xk
Значение ε вводится в окне «Параметры поиска решения» в строке
«Относительная погрешность».
В соответствии с указанным выражением начальные значения переменных
желательно назначать близкими к оптимальным значениям, что значительно
ускорит процесс решения задачи. Обязательным условием является требование
неравенства целевой функции в начальной точке нулю, иначе при вычислении
погрешности по приведенному выражению возможно деление на ноль.
Рассмотрим общую задачу нелинейного программирования:
вычислить
max(min) z  f ( x1 , x 2 ,..., x n );

при условиях  i ( x1 , x 2 ,..., x n ) , , }bi , i  1, m.
25
где z , i - заданные функции, bi - действительные числа.
Если определена область допустимых решений, то нахождение решения
задачи нелинейного программирования сводится к определению такой точки этой
области, через которую проходит гиперповерхность наивысшего (наинизшего)
уровня: f ( x1 , x2 ,..., xn )  h . Указанная точка может находиться как на границе
области допустимых решений, так и внутри нее.
Если число переменных в задаче нелинейного программирования равно
двум, то она может быть решена графическим методом. Математическая
формулировка задачи имеет вид:
max(min) z  f ( x1 , x2 );

при условиях  i ( x1 , x2 ) , , }bi , i  1, m,
х1 , х2  0.
Этапы решения задачи нелинейного программирования с использованием ее
геометрической интерпретации:
1) находят
область
допустимых
решений
задачи,
определяемую
соотношениями. Экстремум функции может достигаться как внутри области, так и
на ее границе;
2) строят гиперповерхность, в нашем случае гиперповерхность 2-го
порядка – гиперплоскость z( x1 , x2 )  h . Записать уравнения линий уровня целевой
функции, построить их графики и определить направление возрастания
(убывания) целевой функции;
3) определяют гиперплоскость наивысшего (наинизшего) уровня или
устанавливают неразрешимость задачи;
4) находят точку области допустимых решений, через которую проходит
гиперплоскость наивысшего (наинизшего) уровня, и определяют в ней значение
целевой функции.
ЗАДАНИЕ
Найти наибольшее и наименьше значения функции f ( x, y)  x 2  y 2  y при
заданных ограничениях при ограничениях y  1  x 2 и у  0 .
26
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Целевая функция f определяет в трехмерном пространстве окружность:
1
1 1
x2  y2  y  х2  у2  2 у    0 ,
2
4 4
1
1
x2  ( y  )2  .
2
4
Центр окружности в точке (0;
1
1
), радиус равен . Построим область
2
4
допустимых значений, как показано на рисунке 5.1.
Рисунок 5.1. – Область допустимых значений
На рисунке 5.1 изображена парабола у  1  x 2 , ветви направлены вниз,
вершина в точке (0;1). Строим окружность минимального радиуса. Это точка –
центр окружности (0;
1
1
). В этой точке f=- . Увеличиваем радиус окружности до
2
4
тех пор, пока она не пересечет последнюю точку области определения. Это точки
с координатами (1;0) и (-1;0), f=1.
27
ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1.
Цель и порядок выполнения работы.
2.
Математическую
модель
задачи
и
краткую
характеристику
математической модели.
4.
Описание хода решения задачи нелинейного программирования с
использованием ее геометрической интерпретации.
5. Описание и результаты решения задачи нелинейного программирования
в среде MS Excel
6.
Краткий анализ решения.
7.
Выводы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чем заключается различие решения задач линейного и нелинейного
программирования в среде MS Excel
2. Что
является
графическим
решением
задачи
нелинейного
программирования?
28
Лабораторная работа №6. Изучение метода Монте-Карло с
применением табличного процессора Еxcel
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить метод Монте-Карло, позволяющий моделировать
ситуации, неопределённые в данный момент, а также
реализацию метода
средствами Excel
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Метод Монте-Карло в большей мере используется для решения задач теории
массового обслуживания, задач теории игр и математической экономики, задач
теории передачи сообщений при наличии помех и ряд других.
Предположим, что необходимо оценить вероятность точно неизвестных
событий. Метод Монте-Карло позволяет моделировать ситуации, неопределённые
в данный момент, и множество раз проиграть их на компьютере.
Рассмотрим в примерах, как с помощью Excel реализовать моделирование
методом Монте-Карло.
Предположим, что спрос на продукцию определяется следующей дискретной
случайной величиной:
Спрос
Вероятность
10000
20000
40000
60000
0,10
0,35
0,30
0,25
Необходимо в Excel многократно смоделировать этот спрос на продукцию.
Для того чтобы связать каждое возможное значение функции СЛЧИС (RAND) с
возможным
спросом
на
календари,
необходимо
реализовать
следующее
сопоставление - спрос на 10000 штук реализуется в 10% случаев и так далее.
Спрос
10000
20000
40000
60000
Присвоенное случайное число
Меньше 0,10
Больше или равно 0,1 и
меньше 0,35
Больше или равно 0,45 и
меньше 0,75
Больше или равно 0,25
29
Основной принцип моделирования в данном случае заключается в том, чтобы
воспользоваться случайным числом для просмотра в диапазоне таблицы F2:G5
(ему дано имя поиск). Случайные числа, большие или равные 0 и меньшие 0,10,
соответствуют спросу в 10000 штук; случайные числа, большие или равные 0,10 и
меньшие 0,45, соответствуют спросу в 20000 штук; случайные числа, большие или
равные 0,45 и меньшие 0,75, соответствуют спросу в 40000 штук; случайные
числа, большие или равные 0,75, соответствуют спросу в 60000 штук.
Сгенерировав 400 случайных чисел, скопировав из ячейки С3 в С4:С402 формулу
СЛЧИС() [ RAND()], как показано на рисунке 6.1.
Рис. 6.1. Пример моделирования дискретной случайной величины
Затем, сгенерировав 400 испытаний, или итераций, скопируем из ячейки ВЗ в
В4:В402 формулу ВПР(СЗ;поиск;2). Эта формула гарантирует, что любое
случайное число меньше 0,10 сгенерирует спрос, равный 10000; любое случайное
число в диапазоне от 0,10 до 0,45 сгенерирует спрос, равный 20000 единицам и
так далее. В диапазоне ячеек F8:F11 с помощью функции СЧЁТЕСЛИ (COUNTIF)
определим долю каждого значения спроса в наших 400 итерациях. Причем при
нажатии клавиши F9 для повторной генерации случайных чисел моделируемые
вероятности окажутся близки к нашим предполагаемым вероятностям спроса.
Из рассмотренного выше примера видно, что с помощью Excel достаточно
просто решать задачи такого типа.
ЗАДАНИЕ
Предположим, что спрос на заданный вид продукции определяется
следующей дискретной случайной величиной:
30
Спрос
Вероятность
10000
20000
40000
60000
0,10
0,35
0,30
0,25
Продукция продается по цене $4.00 за штуку, а переменные издержки на
производство одной единицы продукции составляют $1.50. Нереализованная в
определенный cрок продукция должна быть распродана по цене $0.20 за штуку.
Какой объем продукции следует изготовить?
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Смоделируем каждый возможный объем производства (10000, 20000, 40000 и
60000 штук) множество раз (скажем, 1000 итераций). Затем определим, какой
объем обеспечивает максимальный средний доход для этих 1000 итераций.
Назначим ячейкам С1:С11 имена диапазонов из ячеек В1:В11.
Диапазону G3:H6 дадим имя поиск. Параметры цены реализации и затрат
указаны в ячейках С4:С6, как показано на рисунке 6.2.
Рис. 6.2 – Моделирование объёма производства продукции
Введём пробный объем производства (в данном примере — 40000) в ячейку
С1. Затем сгенерируем случайное число в ячейке С2 с помощью формулы
=СЛЧИС(). Далее моделируем спрос на открытку в ячейке СЗ по формуле
=ВПР(случайное_число;поиск;2) [в формуле ВПР (VLOOKUP) случайное число
— это имя, назначенное ячейке С2, а не функция СЛЧИС (RAND)].
31
Объем проданной продукии меньшего объема производства и спроса. В
ячейке С8 подсчитываем доход по формуле :
МИН(объем_производства;спрос)*цена_открытки.
В ячейке С9 вычисляем общие затраты на производство по формуле:
объем_производства*себестоимость_пр_ва.
Если будет произведено продукции больше, чем нужно, то количество
нереализованной продукции равно объему производства минус спрос; в
противном случае нереализованной продукции не будет. Вычисляем затраты на
переработку в ячейке 10 по формуле =стоимость_при_продаже*ЕСЛИ(объем
производства>спрос;объем_производства-спрос;0). Далее в ячейке С11 вычисляем
прибыль по формуле:
доход-общие_переменные_издержки-общие_издержки_на_распродажу.
В данном случае требуется эффективная имитация многократного (скажем,
1000 раз) нажатия клавиши F9 и подсчета дохода для каждого объема
производства. Для этого используем таблицу подстановки с двумя переменными,
как показано на рисунке 6.3.
Рис. 6.3. – Подстановка с двумя переменными для моделирования объема
производства продукции
32
В диапазоне ячеек А16:А1015 введём числа от 1 до 1000 (соответствующие
1000 испытаний). Один из простых способов создать эти значения – ввести 1 в
ячейку А16 и затем выбрать в меню Правка (Edit) команду Заполнить –
Прогрессия (Fill\Series). В поле Шаг (Step value) диалогового окна Прогрессия
(Series) введем 1, а в поле Предельное значение (Stop value) – 1000, , как показано
на рисунке 6.4. Установим переключатель по столбцам (Columns)и затем щелкнем
ОК. Столбец А, начиная с ячейки А16, будет заполнен числами от 1 до 1000 .
Рис. 6.4 – Установка номера испытаний от 1 до 1000
Затем следует ввести возможные объемы производства (10000, 20000, 40000
и 60000 единиц) в ячейки В15:Е15. Для того чтобы вычислить прибыль
для
каждого испытания (от 1 до 1000) и каждого объема производства, в верхней
левой ячейке (А15) нашей таблицы подстановки ссылаемся на формулу прибыли,
которая задана в ячейке С11, вводя =С11.
Теперь с помощью Excel смоделируем 1000 итераций спроса для каждого
объема производства. Выделим диапазон таблицы (А15:Е1014) и затем щелкнем в
меню Данные (Data) команду Таблица подстановки (Table). Чтобы
создать
таблицу подстановки с двумя параметрами, указываем в качестве ячейки для
подстановки по строкам любую пустую ячейку (в данном случае –I14), а в
качестве ячейки для подстановки по столбцам – объем производства (C1). После
того как щелкнем OK, Excel смоделирует 1000 значений спроса для каждого
объема производства.
Рассмотрим значения, полученные в таблице подстановки (диапазон ячеек
С16:С1015). Для каждой из этих ячеек Excel подставляет значение 20000 в ячейку
С1. В С16 в пустую ячейку помещается значение, подставляемое по строкам (1), и
33
случайное число в ячейке С2 генерируется заново. После этого в ячейку С16
записывается соответствующее значение прибыли. Затем в пустую ячейку снова
помещается значение, подставляемое по строкам (2), и случайное число в ячейке
С2 генерируется заново. Соответствующее значение прибыли
записывается в
ячейку С17. Скопировав из ячейки В13 в С13:Е13 формулу СРЗНАЧ(В16:В1015),
подсчитаем среднюю прибыль для каждого объема производства. Скопировав
формулу СТАНДОТКЛОН(В16:В1015) из ячейки В14
в диапазон С14:Е14,
вычисляем стандартное отклонение прибыли для каждого объема производства.
При каждом нажатии клавиши F9 для всех объемов производства моделируются
1000
итераций
спроса.
Производство
40000
единиц
продукции
всегда
обеспечивает максимальную прибыль, поэтому производство 40000 – правильное
решение.
Влияние риска на наше решение. Если будет произведено 20000 единиц
продукции вместо 40000, то ожидаемая прибыль упадет примерно на 22%, однако
риск (измеряемый стандартным отклонением прибыли) упадет практически на
73%. Следовательно, если риск крайне неприемлем, то в этом случае произведено
20000 единиц продукции может оказаться правильным бизнес-решением. При
производстве 10000 единиц продукции стандартное отклонение всегда равно
нулю, поскольку в
данном случае будет продана вся продукция. Вычислим
доверительный интервал для средней прибыли. Возникает вопрос: «Для какого
интервала значений можно быть уверены на 95%, что средняя прибыль верна?»
Этот
интервал называется 95-процентным доверительным интервалом для
средней прибыли. Для среднего значения вывода любой операции моделирования
95- процентный доверительный интервал вычисляется по формуле:
Средняя прибыль число интераций стандартное отклонение прибыли:
В
ячейке
J11
мы
вычислили
нижнюю
границу
95-процентного
доверительного интервала для средней прибыли при производстве 40000
открыток, воспользовавшись формулой: =D13-1,96*D14/KOPEHb(1000)
34
В ячейке J12 вычислим верхнюю границу 95-процентного доверительного
интервала по формуле: =D13+1,96*D14/KOPEHb(1000).
Эти вычисления показаны на рисунке 6.5.
Рис. 6.5 – Девяностопятипроцентный доверительный интервал для средней
прибыли при производстве 40000 единиц продукции
Можно сказать, что мы на 95% уверены в том, что средняя прибыль при
производстве 40000 календарей составит от $56578 до $62445.
ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1.
Цель и порядок выполнения работы.
2. Описание и результаты решения задачи методом Монте-Карло в среде
MS Excel.
3.
Краткий анализ решения.
4.
Выводы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чем суть метода Монте-Карло?
2. Перечислите основные этапы решения задачи методом Монте-Карло
3. Для чего предназначена функция СЛЧИС() MS Excel?
4. Для чего предназначена функция СТАНДОТКЛОН () MS Excel?
5. Для чего предназначена функция ВПР() MS Excel?
35
Лабораторная работа №7. Расчет показателей
эффективности многоканальной СМО c отказами
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить технологию расчета показателей эффективности
систем массового обслуживания на примере многоканальной СМО c отказами
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В каждую систему массового обслуживания (СМО) поступает входящий
поток заявок на обслуживание. Результатом работы СМО является выходящий
поток обслуженных заявок. Если в СМО одновременно может обслуживаться
несколько заявок, то СМО называется многоканальной, в противном случае
СМО
называется
одноканальной.
многоканальные СМО делятся на
Как
одноканальные
СМО,
так
и
СМО с отказами и СМО с очередью
(ожиданием). В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы
обслуживания заняты, получает «отказ» в обслуживании и покидает СМО.
В
СМО с очередью заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания
заняты, становится в очередь из заявок, ожидающих обслуживания. Как только
один из каналов обслуживания освобождается, к обслуживанию принимается одна
из заявок, стоящих в очереди.
Важнейшими показателями эффективности СМО с отказами являются
следующие параметры:
1. Абсолютная пропускная способность системы;
2. Относительная пропускная способность системы.
Абсолютной пропускной способностью СМО называется среднее число
заявок, которое может обслужить система за единицу времени. Относительной
пропускной
заявок,
способностью
обслуживаемая
СМО
системой,
называется
т.е.
средняя
отношение
доля
поступивших
среднего числа заявок,
которое может обслужить система за единицу времени, к среднему числу заявок,
поступивших в систему за это время.
В некоторых практических задачах используются и другие показатели
эффективности СМО с отказами, например, среднее число занятых каналов,
36
среднее относительное время простоя системы, среднее относительное время
простоя отдельного канала и т.п.
Список используемых терминов и обозначений:
Постановка задачи
37
ЗАДАНИЕ
На вход многоканальной СМО с отказами поступает поток заявок,
интенсивность которого составляет 11 заявок/час. Среднее время обслуживания
одной заявки 0,15 часа. Каждая заявка приносит доход 130 руб., а содержание
одного канала обходится в 122 руб./час. Найти оптимальное число каналов СМО.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Воспользовавшись данными из условия задачи, проведем следующие вычисления:
Из условия задачи также вытекает, что в случае, если СМО имеет n каналов, то
она приносит доход D = D (n), который можно определить по формуле
D = 130*A-122*n,
где A = A (n) − абсолютная пропускная способность СМО.
38
Сравнивая доходы, поступающие от СМО в случаях n =1,2,3,4,5, замечаем,
что при увеличении числа каналов от одного до четырех доход растет и при n = 4
становится наибольшим. Это значение и является оптимальным.
39
Ответ. Оптимальным является наличие в СМО 4-х каналов.
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1.
Цель и порядок выполнения работы.
2.
Математическую
модель
задачи
и
краткую
характеристику
математической модели.
3.
Описание и результаты решения
4.
Выводы.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется интенсивностью потока событий?
2. Что называется абсолютной пропускной способностью СМО?
3. Что называется относительной пропускной способностью СМО?
4. Что называется приведенной интенсивностью потока заявок?
5. В чем состоит схема расчета показателей эффективности одноканальной СМО
с неограниченной очередью?
40
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ
Лабораторная работа № 1
Вариант 1. В мастерской освоили производство продукции двух видов: П1 и
П2 для торговой сети. Для их изготовления имеется 2 вида ресурсов. Первого вида
– 72 единицы, второго вида – 56 единицы. На каждое изделие требуется:
Продукция
Виды ресурса (единиц)
Ресурс 1
Ресурс 2
П1
0.18
0.08
П2
0.09
0.28
Цена продукции П1– 0.7 у.е., продукции П2 – 1.1 у.е. В каком объеме нужно
выпускать продукцию П1 и П2, чтобы мастерская получила максимальную
прибыль? Решить задачу графическим методом.
Вариант 2. Мебельный цех получает ежедневно 40 досок первого сорта и 19
второго сорта. Цех выпускает столы и стулья, при этом на изготовление стола
требуется 4 доски первого сорта и одна доска второго сорта, а на изготовление
стула – 1 доска первого и одна доска второго. Прибыль же от стола составляет 8
руб., а от стула – 6 руб. Какой план работы будет наиболее выгоден этому цеху.
Графическим методом найти оптимальный план задачи линейного
программирования, при котором линейная функция Z = 2х1 - х2 + х3- 3х4 + 4х5
достигает максимального значения при ограничениях:
х1 - х2 + 3х3 - 18х4 + 2х5 = -4
2х1 - х2 + 4х3 - 21х4 + 4х5 = 2
3х1 - 2х2 + 8х3 - 43х4 + 11х5 = 38
xj0 (j = 1, 2, ..., 5)
Вариант 3. Фабрика выпускает продукцию двух видов: П1 и П2. Продукция
обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства этой продукции
используются три исходных продукта - А, В, С. Максимально возможные суточные
запасы этих продуктов составляют 6, 8 и 5 т соответственно. Расходы сырья А, В, С
на 1 тыс. изделий П1 и П2 приведены в таблице:
Исходный
продукт
Расход исходных продуктов на 1 Максимально возтыс. изделий (т.) П1 П2
можный запас (т.)
А
1
2
6
В
2
1
8
С
1
0.8
5
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на изделия П2 никогда не
41
превышает спроса изделия П1 более чем на 1 тыс. шт. Кроме того, установлено, что
спрос на изделия П2 никогда не превышает 2 тыс. шт. в сутки.
Оптовые цены 1 тыс. шт. изделий П1 равны 3 тыс. руб., 1 тыс. шт. П2 - 2 тыс. шт.
Какое количество изделий (в тыс. шт.) каждого вида должна производить фабрика,
чтобы доход от реализации продукции был максимальным? Решить задачу
графическим методом.
Вариант 5. Предприятие изготавливает и продает консервы двух видов:
натуральные и бланшированные. Для производства консервов используется два
вида сырья А и Б. Расходы сырья А и Б на 1 туб. соответствующих консервов и
запасы этих продуктов на складе приведены в таблице:
Расход сырья (в тоннах на 1 туб консервов)
Запас
Исходное
сырья на
консервы
сырье
складе
консервы натуральные
бланшированные
(тонн)
А
1
2
3
Б
3
1
3
Продажная цена за 1 туб консервов натуральных составляет 2000 рублей,
консервы бланшированные продаются по 1000 рублей за 1 тубу. Требуется
определить такое количество консервов каждого вида, которое следует
производить предприятию, чтобы получить максимальный доход. Решить задачу
графическим методом.
Лабораторная работа № 2
Вариант 1. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом. В
меню столовой 5 блюд, которые изготавливаются из 5 видов продуктов
(картофель, мясо, вермишель, рис, овощи), вода в неограниченном количестве,
соль и специи по вкусу. Нормы продуктов на каждое блюдо следующие:
В последней колонке таблицы указано максимальное количество
продуктов, которое может быть размещено в кладовой и холодильнике.
Картофельное пюре с мясом посетители потребляют в день не более 500
порций, супа мясного не более 450 порций, плов едят в 2 раза и менее раза
чаще картошки.
Каждый день в столовую приходит группа вегетарианцев, которые съедают
300 порций овощного супа и 450 порций салата. Нужно из имеющихся
продуктов приготовить максимальное число порций (с учётом всех
ограничений).
42
Вариант 2. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.
ТОО специализируется на продаже молочных продуктов (молоко, йогурт,
творог, масло). Продукция заказывается на одном московском заводе, имеются
затраты на транспортировку к месту продажи. Для закупки предусмотрен фонд
1550 руб., имеются также ограничения сверху по отдельным видам расходов.
В киоске, где продаётся товар, имеется два холодильника. Первый
предназначен для хранения молока и йогурта, его вместимость 200 пакетов,
второй – для творога и масла, его вместимость 150 пачек. Какова может быть
максимальная прибыль с одной партии товара?
Вариант 3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.
Для производства сэндвичей (биг-маков, чизбургеров, гамбургеров, двойных
гамбургеров и филе-о-фиш) и пирожков в ресторане “Макдональдс” используют
оборудование
–
биг-маковский
тостер, стандартный тостер, гриль и
фритюрницу. Чтобы определить оптимальный режим выхода сотрудников на
работу, нужно выяснить загруженность оборудования для каждого часа. Ниже
приводятся фактические данные на период от 17.00 до 18.00.
Площадь для оборудования выделена ограниченная – 9.5 м2. Для
одного тостера необходимо 0.75 м2 площади, для гриля – 0.75 м2, а для
фритюрницы – 0.15 м2 площади. Над каждым грилем и фритюрницей
обязательно должны стоять фильтры. Возможности вентиляции не позволяют
установить более 10 фильтров.
Вариант 4. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.
Определить структуру выпуска блюд на предприятии общественного питания,
обеспечивающую максимальную выручку на основе заданных объемов ресурсов и
нормативов затрат продуктов на первые и вторые блюда, представленных в
таблице:
Ресурсы
Плановый Нормативные затраты ресурсов на 100 блюд
фонд
Первые Вторые Вторые Вторые
Вторые
ресурсов блюда мясные рыбные молочные прочие
43
Мясо, кг
Рыба, кг.
Овощи, кг
Мука,
крупа, кг.
Молоко, л.
Выручка,
у.е.
40000
25000
27000
20000
4,0
2,5
3,2
2,1
8,0
2,0
2,6
10
3,0
2,3
2,2
3,8
4,6
-
45000
6,5
1,3
2,0
1,5
21
0,3
1,7
Вариант 4. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.
Вариант 5. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.
Кондитерский цех выпускает три вида конфет A,B,C, используя три вида сырья
(какао, сахар, наполнитель). Нормы расхода сырья на производство 10 кг конфет а
также прибыль от реализации 10 кг конфет каждого вида приведены в таблице:
Нормы расхода сырья
Сырье
Запасы сырья
A
B
C
какао
a11
a12
a13
b1
сахар
a21
a22
a23
b2
наполнитель
a31
a32
a33
b3
прибыль
c1
c2
c3
Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли.
Лабораторная работа №3
Вариант 1. Пусть имеется два вида продуктов (Р1,Р2),
вида питательных веществ, например белки, жиры и
Содержание количества единиц питательных веществ
продукта, норма содержания питательных веществ в
стоимость 1 кг продукта представлены в таблице:
в которые входят три
углеводы (S1,S2,S3).
в 1 кг каждого вида
дневном рационе и
44
Норма
Содержание питательных
Питательные содержания веществ в1 кг продукта
вещества питательных
P1
P2
веществ
S1
1100
200
300
S2
620
120
100
S3
800
150
200
Стоимость, усл. ед.
5000
6000
Требуется составить такой рацион питания, при котором затраты
на
приобретение продуктов будут минимальными. Построим математическую
модель: обозначим х1 и х2 -суточное потребление продуктов Р1 и Р2,тогда
стоимость рациона определяется из следующих условий:
Вариант 2. Предприятие может выпускать два вида продукции (Р1,Р2). На их
изготовление расходуется три вида сырья (S1,S2,S3,). Запасы сырья, нормы их
расхода на единицу изделия aij (i = 1,2,3; j= 1,2), себестоимость сi (j=1,2) и
оптовые цены приведены в таблице:
Т
Запасы
Нормы расхода сырья
ип
сырья
на изделие
с
Р1
Р2
ырья
S
100
10
20
1
S
120
20
10
2
S
140
20
20
3
Себестоимост
5
10
ь, усл. ед.
Цены, усл.
7
13
ед.
Требуется составить план выпуска продукции, обеспечивающий получение
максимальной прибыли. Решить задачу линейного программирования средствами
MS Excel.
Вариант 3. Для откорма животных на ферме в их еженедельный рацион
необходимо включать не менее 33 единиц питательного вещества А, 23 единицы
питательного вещества В и 12 единиц питательного вещества С. Для откорма
используются три вида кормов. Данные о содержании питательных веществ и
стоимость одной весовой единицы каждого из кормов даны в таблице:
А
В
С
Стоимость 1 весовой
единицы.
В одной весовой ед.
4ед.
3 ед.
1 ед.
20 коп.
корма 1
45
В одной весовой ед.
3 ед.
2 ед.
1 ед.
20 коп.
корма 2
В одной весовой ед.
2ед.
1 ед.
2ед.
10 коп.
корма 3
Составить наиболее дешевый рацион, при котором каждое животное
получало бы необходимые количества питательных веществ А, В, С. Решить
задачу линейного программирования средствами MS Excel.
Вариант 4. Для поддержания жизнедеятельности человеку ежедневно
необходимо потреблять не менее 118г белков, 56г жиров, 500г углеводов, 8г
минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг
каждого вида потребляемых продуктов, а также цены 1кг каждого из этих
продуктов приведены в следующих таблицах:
Питательные
вещества
Белки
Жиры
Углеводы
Минеральные
соли
Мясо
31,8
Содержание питательных веществ в 1 кг продуктов (г)
Мясо Рыба Молоко
Масло Сыр Крупа
Картофель
180
20
_
9
Рыба
21
190
3
_
10
30
40
50
7
10
865
6
12
260
310
20
60
130
30
650
20
Цена за 1 кг продуктов (руб.)
Молоко
Масло
Сыр
Крупа
4,28
25,4
32,9
6,5
21
2
200
10
Картофель
3,1
Составить дневной рацион, содержащий не менее минимальной суточной
нормы потребности человека в необходимых питательных веществах, так, чтобы
общая стоимость продуктов была минимальной. Решить задачу линейного
программирования средствами MS Excel.
Лабораторная работа №4
Вариант 1. Крупная оптовая фирма занимается поставкой некоего товара в
магазины города. Товар поставляется из трех складов, месячные запасы которых
составляют 1500, 1300 и 1600 единиц товара соответственно. Товар нужно
развести по трем магазинам, месячные потребности которых равны 2100, 1600 и
1000 единиц товара соответственно. Транспортные расходы по доставке единицы
товара из соответствующего склада в соответствующий магазин приведены в
таблиице. Необходимо определить оптимальные по транспортным расходам
способы доставки товара со складов в магазины.
Магазины
Магазин 1
Магазин 2
Магазин 3
Склады
Склад 1
80
200
70
46
Склад 2
100
105
Склад 3
120
70
Решить задачу транспортную задачу средствами MS Excel.
120
90
Вариант 2. Пусть в некотором городе имеется 4 комбината и 4 микрорайона.
Известны производственные мощности комбинатов и потребности в
унифицированных комплектах изделий для каждого микрорайона. Ресурсы
отправителей и потребителей известны. Известны приведенные затраты,
связанные с доставкой одного комплекта унифицированных изделий с каждого
комбината в каждый микрорайон. Требуется так распределить продукцию
комбината по микрорайонам, чтобы суммарные затраты, связанные с доставкой
были минимальны.
B1
B2
B3
B4
ai
A1
70
38
24
92
14
A2
A3
58
19
18
10
56
100
72
30
20
26
A4
3
36
121
8
41
bj
30
22
15
34
ai и bj - соответственно ресурс отправителя и потребности потребителя.
xij - количество объектов груза поставляемых i-ым комбинатом j-му микрорайону.
Решить задачу транспортную задачу средствами MS Excel.
Вариант 3. Определить план доставки грузов о поставщиков к потребителям при
условии минимальной суммарной стоимости всех перевозок. Решить задачу
транспортную задачу средствами MS Excel.
Вариант 4. Дано 5 производителей А1, А2, А3, А4, А5, мощность (запасы)
которых соответственно равна(равны): 20, 45, 25, 30,20. И четыре потребителя В1,
В2, В3, В4, потребность которых в продукте составляет соответственно: 45, 50, 20,
25. Также известна матрица издержек Сij – издержки перевозки единицы груза от
i-ого поставщика к j-ому потребителю. Ее можно представить таблицей:
12
9
10
4
4
7
7
6
7
11
5
8
47
9
6
9
9
10
11
6
5
Необходимо определить оптимальные по транспортным расходам способы
доставки грузов потребителям. Решить задачу транспортную задачу средствами
MS Excel.
Вариант 5. Четыре предприятия данного экономического района для
производства продукции используют три вида сырья. Потребности в сырье
каждого из предприятий соответственно равны 120, 50, 190 и 110 ед. Сырье
сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160,
140, 170 ед. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта
его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и задаются
матрицей
Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок
является минимальной. Решить задачу транспортную задачу средствами MS Excel.
Лабораторная работа №6
Решить задачу нелинейного программирования
геометрической интерпретации и средствами MS Excel
Вариант 1.
Вариант 2.
с
использованием
max(min) z  ( x1  4) 2  ( x2  3) 2 ;
max(min) z  x1  x2 ;
2 x1  3 x 2  6,

3 x1  2 x 2  18,
 x  2 x  8,
2
 1
x1 , x 2  0.
 x1 x 2  4,
 x  x  5,
 1
2

 x1  7,
 x 2  6,
x1 , x 2  0.
Вариант 3.
Вариант 4.
max(min) z  x2  x1 ;
max(min) z  ( x1  5) 2  ( x2  8) 2 ;
 x1 2  x 2 2  8,

 x1  1  0.
 x1  2 x2  4,

2,5 x1  2 x2  20,
2
ее
2
x1 , x2  0.
Вариант 5.
Вариант 6.
max(min) z  x1  x2  2;
max z  x1  x2 ;
48
 x2  2  2 x1 ,

 x1  0, x2  0.
 x 2  1  x1 2 ,

 x1  0, x 2  0.
Лабораторная работа №6
Вычислить определенный интеграл функции методом Монте-Карло
средствами MS Excel. Определить точность метода в зависимости от мощности
множества М.
Вариант
1
2
3
4
5
1
Интеграл
 sin xdx
0
1
 cos xdx
0
2
x
1
dx
0
2 1
x
0
2
2 dx
e
x
dx
0
Лабораторная работа №7
Вариант 1. В одноканальную СМО с отказами поступает простейший поток
заявок с интенсивностью =0,5 заявки в минуту. Время обслуживания заявки
имеет показательное распределение с t =1,5 мин. Определите вероятностные
характеристики СМО в установившемся режиме работы.
Вариант 2. Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну
телефонную линию. Заявка (вызов), пришедшая в момент, когда линия занята,
получает отказ. Все потоки событий простейшие. Интенсивность потока =0,95
вызова в минуту. Средняя продолжительность разговора t=1 мин. Определите
вероятностные характеристики СМО в установившемся режиме работы.
Вариант 3. Определите среднюю длину очереди в кассу магазина, если
среднее время обслуживания одного покупателя 0,3 мин. Поток покупателей
близок к пуассоновскому с интенсивностью 3 покупателя в минуту. Сколько
необходимо установить касс, если интенсивность потока возрастет в 5 раз?
Средняя длина очереди при этом не должна превышать 10 человек.
Вариант 4. На промышленном предприятии решается вопрос о том, сколько
потребуется механиков для работы в ремонтном цехе. Пусть предприятие имеет
10 машин, требующих ремонта с учетом числа ремонтирующихся. Отказы машин
происходят с частотой X = 10 отк/час. Для устранения неисправности
механику требуется в среднем t = 3 мин. Распределение моментов возникновения
отказов является пуассоновским, а продолжительность выполнения ремонтных
работ распределена экспоненциально. Возможно организовать 4 или 6 рабочих
мест в цехе для механиков предприятия. Необходимо выбрать наиболее
49
эффективный вариант
для механиков.
обеспечения
ремонтного
цеха
рабочими
местами
Вариант 5. На вход телефонной станции, имеющей 9 каналов обслуживания,
поступает в среднем 120 заявок в час. Заявка получает отказ, если все каналы
заняты. Среднее время обслуживания в одном канале равно 4 мин. Все потоки в
системе простейшие. Определите вероятностные характеристики телефонной
станции, выступающей в качестве СМО.
50
ЛИТЕРАТУРА
1.
Афанасьев М.Ю. Прикладные задачи исследования операций :учеб. пособие
для вузов /М.Ю.Афанасьев, К.А.Багриновский, В.М.Матюшок; Учеб.-метод.
объединение по образованию. -М.: ИНФРА-М, .-2014. -352c.
2.
Васильев А. Н. Финансовое моделирование и оптимизация средствами Excel
2007 /А.Н.Васильев. -М. [и др.]: Питер, -2009. -317с.
3.
Введение в математическое моделирование :[Учеб. пособие для вузов.
Допущено МО РФ] /[Под ред. П.В.Трусова]. -М.: Логос, - 2005. - 439с.
4.
Орлова И. В. Экономико-математическое моделирование :Практ.пособие по
решению задач /Всероссийский заочный финансово-экономический ин-т. -М.:
Вузовский учебник, -2004. -142с.
51