метод замены множителей - Сайт учителя математики

Метод замены множителей или метод рационализации.
Статью подготовила учитель высшей категории С.М. Гамзатова.
Метод замены множителей заключается в замене сложного множителя в неравенстве
на более простой, знакосовпадающий с ним и имеющий одни и те же корни. В результате
чего приходим к неравенству, к решаемому методом интервалов.
Существуют две основные замены:
1.
 x1  x2    f  x1   f  x2 
если
2.
f  x
строго возрастающая функция,
 x1  x2    f  x2   f  x1 
если
f  x
строго убывающая функция
Например.
1.Решить неравенство:
 4х 
 4

 х 1
2
3 х2  х
 х4  1 

2 
 4х 
x2
Решение.
x0
Область определения неравенства:
ab  ac при a  1 имеет тот же знак, что и b  c ( y  a
Выражение
возрастающая) , и противоположный , если
0  a 1( y  a
варианта можно объединить в один: выражения
один и тот же знак.
x2
 х4  1 

2 
 4х 
3 x 2  x
0
 х4  1 
 1 x  2   3x 2  x   0

2
 4х


x
4

 4 x 2  1 3x 2  2   0
x
Нули уравнения
 2 3
4
 4 x 2  1 3x 2  2   0
 2 3

2
3
-
x
- убывающая) . Оба
ab  ac и  a 1b  c имеют
Имеем
 х4  1 

2 
 4х 
x
,
и
Методом интервалов находим решение исходного неравенства.
Ответ:
 2 3  x  
2
3;
 2 3  x  0; 0  x  2 3 ;
2
 x  2 3
3
Аналогично можно решать и логарифмические неравенства.
Монотонность – ключ к замене.
Выражение
log a b  log a c
имеет тот же знак, что и b  c
и противоположный, если
при
a  1 ( y  log a x
0  a  1( y  log a x
- возрастающая функция)
- убывающая функция)
Оба варианта можно объединить в один
 a 1b  c  , имеющий тот же знак, что и
исходное выражение
.
log a b  log a c
2.Решить неравенство:
2
x2
log
x
 x  1  0
Решение.
Заменим неравенство равносильной системой, где учитывается область определения
логарифмической функции.
 x  1 x  1 x  2  x  1  0

1  5
1  5

x
,x 


2
2
x  0

 x  1
 x 2  1 x 2  x  1  1  0

 x2  x 1  0

x  0
 x  1

,

1  5 

2;


2



1  5 
 2;

2

Ответ: 
3.Решить неравенство:
Решение.
log 2 x 3 x 2  1
log 2 x 3 x 2  1  0
log2 x3 x2  log2 x3  2x  3  0
Выражение
log h f  log h g
и
 h 1 f  g  имеют один знак.
Заменим исходное неравенство равносильной системой, где учитывается область
определения логарифмической функции.
 2 x  3  1  x 2   2 x  3   0  2 x  2   x 2  2 x  3  0


 x  1,5
2 x  3  0


x  0
x  0
 x  1
2 x  3  1

.
 x  1 x  1 x  3  0

 x  1,5

x  0
 x  1

 1,5; 1   1;0  0;3
Ответ:
Полезная таблица замены показательных и логарифмических неравенств на
равносильные
исходное неравенство
равносильная замена
1
a f  ag
 f  g  a  1  0

a  0
2
a f  b

b  0
 f  loga b a 1  0
3
a f  ag
0
p
q
a a
f g
0
pq
4
 f h  gh  0

f 0
g  0

 f  gh  0
5
log a f  log a g
 f  g  a  1  0

a  0

f 0
g  0

6
log a f  log a g  0
7
log f h  log g h  0
 fg  1 a  1  0

a  0

f 0
g  0

 f  1 g  1 h  1 g  f 
8
log a f  b
9
f  g 0
f 0
g 0
10
f  g 0

 f 1
g  1

 f  a b   a  1  0

a  0
f 0

f g 0

f 0
g  0

 f  g  f  g   0
В таблице для определённости взят знак «>», его можно заменить на любой другой
знак неравенства.
4. Решите
log 2 x  5 x  1 log3 x  7 x  1
15 x 2  2
2
2
11x
0
Решение.
Область определения:


x  0
1

x



5
5 x  1  0 
1


7 x  1  0   x 
2


1
1
x 

x

2


3


1
x 
3

Заменяя каждый множитель на выражение того же знака, получим
 2 x  1 5x  2  3x  1 7 x  2   0
15x2  2 11x   2 1
1 
2 
1 
2

 x   x   x   x  
2 
5 
3 
7

0
1 
2

15  x   x  
3 
5

 1 2  1
 5 ; 7    2 ; 
 

Ответ:
5 Решите неравенство.
 2 x  3  2 x 
2log 2 x  log 2  x  6 
1
Решение.
Область определения: х>0
 2 x  3  2 x 
2log 2 x  log 2  x  6 
1
,
log 2 x log 2  x6 

 2
1


0
x   x  6    2 x  3  x  1  0
 2 x  3  1 



2

 


2


2x 

x  0

x

0

2

22 x  2 x  3

2
 x  x  6 
0

2x
x  0

Выражение
22 x  2x  3  0 для любого х (можно убедится рассмотрев
квадратный трёхчлен
t 2  t  3 , где t  2x , дискриминант отрицателен).
2x  0 по определению показательной функции.
Тогда наше неравенство равносильно
 x  3 x  2   0
 x2  x  6  0


 x3

x

0
x

0



Ответ:
x3
6. Решите неравенство
log12 x2 41x35 3  x   log2 x2 5x3 3  x 
Решение.
log12 x2 41x35 3  x   log2 x2 5 x3 3  x   0
Заменим на равносильную систему с учётом области определения.
12 x 2  41x  35  1 2 x 2  5 x  3  1  3  x  1  10 x 2  36 x  32   0

12 x 2  41x  35  0
 2
12 x  41x  35  1
 2
2 x  5 x  3  0
 2
2 x  5 x  3  1
3  x  0

8 
17  
1
4
x

2
x

x

x






0

5 
12  
2



5 
7
 x    x    0
3 
4


3

 x  1  x    0
2



17
 x    x  2   0
12 


 x  2   x  1   0

2


x  0
 1  8 5   7
 ;1   ;    ; 2    2;3
 2  5 3   4
Ответ:
Литература:
1. И.Ф.Шарыгин «Математика для поступающих в ВУЗы» «Дрофа» 1997
2. А.Г. Корянов г. Брянск «Задания С3»
3. В. Голубев «Метод замены множителей» «Квант» №4 2006