15. Линия уравнений и неравенств в школьном

12. Системный подход к проектированию урока математики: цели,
содержание, методы и формы обучения. Типы уроков.
Развернутый план лекции
1)
2)
3)
4)
5)
Описание понятия «урок».
Основные требования к уроку.
Постановка целей и отбор содержания урока.
Отбор методов обучения (на уроке применяется комплекс методов).
Один тип урока представить подробно: охарактеризовать сам тип
урока, представить конспект такого типа урока (выделить элементы
структуры урока).
Литература: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ:
Учебное пособие: курс лекций. – Н.Новгород: НГПУ, 2002.Авторы:докт. пед. наук, проф. Т.А. Иванова;
докт. пед. наук, проф. Е.Н. Перевощикова; канд. пед. наук, доц. Т.П. Григорьева; канд. пед. наук, доц. Л.И.
Кузнецова
С. 189-195.
13. Теоретические особенности изучения понятия числа в школьном
курсе математики. Методика изучения числовых систем в 5-6
классах.
Развернутый план лекции
1) Теоретические особенности изучения понятия числа в школьном курсе
математики (исторические и теоретические аспекты построения теории
действительного числа; расширение понятия числа (принцип
перманентности), операции на числовых множествах.
2) Числовые множества, изучаемые в 5-6 классах: цели, знания, умения,
формы и методы обучения.
3) Методика изучения какого-либо числового множества (на выбор),
конспект урока.
14. Понятие тождества. Методика формирования навыков
тождественных преобразований на основе теории поэтапного
формирования умственных действий.
Развернутый план лекции
1) Понятие тождества и тождественных преобразований в математике
(определение, виды).
Выражения: алгебраические и трансцендентные.
Выражения алгебраические: рациональные и иррациональные.
Выражения алгебраические рациональные: целые и дробные
(охарактеризовать теоретические основы каждого).
Типы задач: а) упростить (разновидности такого упражнения);
б) доказательство тождеств;
в) при решении уравнений.
2) Три этапа в формировании навыков тождественных преобразований.
I этап – применение свойств арифметических операций.
II этап – формирование навыков конкретных преобразований
(сократить, умножить, арифметический квадратный корень и т.д.;
логарифмических; тригонометрических).
III этап – формирование общего понятия «преобразование».
3) Наиболее показателен II этап. См. технологию работы с правилом на
основе теории поэтапного формирования умственных действий.
4) Пример (формулы сокращенного умножения).
15. Линия уравнений и неравенств в школьном курсе математики.
Методика обучения школьников решению уравнений и неравенств.
Развернутый план лекции
1) Роль уравнений и неравенств в математике и в школьном курсе.
Инструмент познания реальной действительности, модель объектов и
процессов реального мира.
2) Понятия, связанные с уравнениями и неравенствами: уравнение,
неравенство, корень, решение, решить, свойства. Равносильность
уравнений (неравенств), методы решения, теоремы о равносильности.
3) Развертывание линии уравнений и неравенств (с 5-го по 11-й класс) –
типы и обоснование процесса решения.
4) Методика обучения школьников решению уравнений и неравенств.
В 7-8-9 классах – линейные, квадратные, дробно-рациональные,
биквадратные, сводящиеся к квадратным, иррациональные. Как
строить обучение, какие алгоритмы. Добавляется к алгоритмам
решения – метод разложения на множители и замена переменных.
В 10-11 классах:
– решение простейших (логарифмических, тригонометрических,
показательных) уравнений (неравенств);
- выделение типов уравнений данного вида, специальные и общие
методы их решения;
- формирование умений решать уравнения (неравенства).
5) Фрагмент урока. Рассмотреть либо введение свойств уравнений в 7
классе (неравенств в 8 классе), либо введение понятия равносильных
уравнений в 9 (10) классе.
Если фрагмент урока по 7 классу, то показать, как развертывается
здесь линия уравнений, т.е. последовательность решения уравнений.
Если фрагмент урока по 9(10) классу, то показать, как идет обучение
решению логарифмических или других уравнений.
16. Функциональная линия в школьном курсе математики. Методика
изучения функций в девятилетней школе.
Развернутый план лекции
1) Определения понятия функции в математике и в школьном курсе.
Свойства функции (перечислить, определения не давать).
2) Три этапа в изучении функции в школьном курсе.
I этап – накопление опыта (5-8 классы).
II этап – изучение функции на формально-логическом уровне,
исследование функции элементарными средствами.
III этап – изучение функции с помощью производной.
3) Изучение функции в 7-9 классах.
В 5-6 классах происходит пропедевтика изучения функции. В 7-8-9
классах…(здесь подробно остановиться на I и II этапах).
4) Введение понятия функции в 7 классе (фрагмент).
5) Методика введения какого-нибудь свойства функции в 9 классе, или
методика изучения степенной функции (фрагмент).
17. Введение в тригонометрию. Методика работы с числовой
окружностью.
Пропедевтика
решения
тригонометрических
уравнений и неравенств.
Развернутый план лекции
1) Тригонометрия как инструмент познания объектов и явлений
процессов окружающего мира.
Первоначально тригонометрия возникла как наука об измерении
треугольников. Длительное время она развивалась как часть геометрии,
т.е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах
тригонометрических функций, формулировались и доказывались с
помощью геометрических понятий и утверждений. Дальнейшее
развитие тригонометрии стимулировалось в связи с решением задач
астрономии.
Принципиальное значение имело составление К. Птолемеем первые
таблицы синусов: появилось практическое средство решения ряда
прикладных задач, и в первую очередь задач астрономии.
Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик 18
столетия Л. Эйлер. Он первым ввел известные определения
тригонометрических
функций,
стал
рассматривать
функции
произвольного угла, получил формулы приведения. После Эйлера
тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали
доказываться путем формального применения формул тригонометрии,
доказательства стали намного короче, компактнее, проще.
Тригонометрические функции, составляющие значительную часть
объема тригонометрии, служат, прежде всего, для описания
разнообразных периодических процессов (пример, можно из лекции).
2) Трудности, связанные с изучением начал тригонометрии (это выводы
из логико-дидактического анализа темы).
Возможны разные определения синуса…(синус – отношение ординаты
точки окружности к радиусу). В современных учебниках предпочтение
отдается определению с помощью единичной числовой окружности.
При этом часто недооценивается возможность изучения самой модели
«числовая окружность». Это приводи к следующим трудностям:
- непривычная модель (числовая окружность), хотя это аналог
числовой прямой;
- непривычный способ введения понятий и функций (синус как
ордината, косинус как абсцисса точки окружности);
- наличие не одной, а фактически двух моделей, которые приходится
изучать школьникам: собственно числовая окружность и числовая
окружность на координатной плоскости (одновременная работа с
двумя системами координат).
На эти трудности особое внимание обращено в учебниках А.Г.
Мордковича, в его учебниках разработана специальная система работы
с числовой окружностью.
3) Этапы в изучении числовой окружности:
а) вспомогательные геометрические примеры;
б) введение числовой окружности. Упражнения, которые готовят
к решению простейших уравнений и неравенств;
в) числовая окружность на координатной плоскости.
Упражнения, которые решаются с помощью нее есть практически
решения простейших тригонометрических уравнений и
неравенств.
Отдельных фрагментов уроков приводить не надо, они должны быть в
процессе ответа-рассказа, фрагментов должно быть несколько.
18. Функциональная линия в школьном курсе математики. Методика
изучения тригонометрических функций.
Развернутый план лекции
1) Три этапа в изучении функций в школьном курсе. Особенности II этапа
для 9-10 класса.
2) Особенности изучения тригонометрических функций:
а) сразу изучаются четыре (или три) функции. Порождены одной
природой – отображением множества действительных чисел на
множество точек единичной окружности;
б) специфическое свойство – периодичность. Это свойство меняет и
характер других свойств;
в) график функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 получен из графика функции 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥,
свойства перечисляются и иллюстрируются на графике.
3) Методика введения свойства периодичности, установление того, что
основным периодом функции 𝑦 = ⋯ является число…
4) Методика изучения функции 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 (𝑦 = 𝑡𝑔𝑥), или всех сразу
(семинар: воспроизведение известных свойств и лекция: изучение
новых свойств).
5) Фрагмент урока.
19. Методика изучения предела числовой последовательности,
предела и непрерывности функции.
Развернутый план лекции
План ответа в одноименной лекции, часть содержания лекции развернуть
как фрагменты урока.
20. Методика введения понятия производной. Исследование функций
с помощью производной.
Развернутый план лекции
1)
2)
3)
4)
5)
Содержание темы см. в курсе математики 11 класса.
Общие рекомендации по методике изучения темы.
Создание проблемной ситуации.
Введение понятия производной (фрагмент).
Исследование функции на монотонность и экстремумы («открытие»
теорем, получение схем исследования функции на монотонность и
экстремумы, на наибольшее и наименьшее значения функций на
отрезке; общая схема исследования функции с помощью производной).