Доказательство неравенства (1)

Математика
Вестник Нижегородского университета
Н.И. Лобачевского, 2007, № 1, с. 162–166
А.А.им.
Жидков
162
УДК 517.9
ОЦЕНКИ СКАЛЯРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
 2007 г.
А.А. Жидков
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
[email protected]
Поступила в редакцию 26.12.2006
Доказываются L2 -оценки скалярных произведений векторных полей в неограниченных областях в
весовых функциональных пространствах.
В формулировках широкого класса задач математической физики (например, задачи гидродинамики, электромагнитной теории, теории
упругости) присутствуют дифференциальные
операции векторного анализа. В обширной математической литературе, посвященной таким
задачам, в частности, детально изучаются свой-
rot u  L p  , div u  Lq  и оценки норм u
работах существенно используется ограниченность пространственной области  .
Однако, нелокальный характер многих физических полей (в частности, электромагнитных
полей) приводит к необходимости изучения
соответствующих неравенств в неограниченных
областях.
В настоящей работе устанавливаются L2 оценки для скалярных произведений векторных
полей в весовых функциональных пространствах для неограниченных областей.
в различных функциональных пространствах
Основные результаты
ства классов функций u :   R3 (   R3 –
открытое
подмножество),
для
которых
через rot u
L p  
и div u
Lq  
. В списке ли-
тературы [1]–[7] приведены лишь некоторые из
основополагающих работ в этом направлении.
Однако, во многих прикладных задачах, связанных прежде всего с изучением физических
явлений в неоднородных средах, естественно
возникает необходимость изучения классов
Пусть   R 3 – некоторое открытое подмножество пространства R 3 (в частности,
  R 3 ).
Через L2  обозначается гильбертово пространство функций u :   R , суммируемых с
квадратом, со скалярным произведением
u  v L     ux vx dx .
функций u :   R3 , для которых rot u  L p  ,
div  u  Lq  , где  – некоторый оператор
или, в частном случае, коэффициент, не обладающий достаточной гладкостью. В этом случае нельзя говорить о включении функции u в
пространства Соболева. Исследование таких
задач проводится, как правило, в предположении кусочной гладкости коэффициентов с дополнительными условиями согласования на
границах раздела сред [6].
Один из возможных подходов исследования
таких задач предложен в работах [8]–[11] и связан с изучением оценок скалярных произведений
 u  vdx

через
rot u
L p  
и div v
Lq  
.
При доказательстве основных неравенств в этих
2

Через
L2 3
пространство
обозначается гильбертово
u :   R3 ,
вектор-функций
ux   u1 x , u 2 x , u3 x  , таких, что ui  L2 
( i  1,2,3 ), со скалярным произведением
u  v
3
L2  
Для каждого
3

 u
i 1
i
 vi L   .
2
  R определяются гильбер-
товы пространства функций в R
H  rot;  


3
2  /2


 u  L2 3 : 1  x
rot u  L2 3  ,


Оценки скалярных произведений векторных полей в неограниченных областях
H  div ;  


2  /2


 u  L2 3 : 1  x
div u  L2 


с соответствующими скалярными произведениями
u  v
 
 u  v L2  3 
H  rot; 


H  div ; 


 
Теорема. Пусть   1 ,   R3 . Тогда существует положительная постоянная C   (зависящая только от  ) такая, что при всех





 u
L2 R
L2 R  L2 R 
 1  x 
2  /2
3 3
3 3
v
div v

1/ 2
  r ,
,
  
r

ux   grad  u  s , s d  
0

   
1r
   rot u  s  s d ,
r0
(3)
  
r

ux   rot    u  s  s d  
0


 
s 1 2
  div u  s d .
r2 0
(4)
Покажем справедливость неравенства (1).
Рассмотрим интеграл вида
3 3

2  /2
 1 x
rotu



r  x  x12  x 22  x32
справедливо
u  v     C   
L2 R
(2)
записаны в виде:
div u  L2   понимаются в смысле теории распределений (см. [11], [12]).
Основным результатом работы является


s  x / x . Тогда тождества (1), (2) могут быть
rot u  L2  3 ,
u  H  rot; R 3 , v  H  div ; R 3
неравенство

1

ux   rot x    uz   x d  
0

Пусть

включения
(1)
z
где z  x ,   0, 1 .
2  /2
2  /2


  1 x
div u  1  x
div v 
.

 L2  
Здесь
rot uz  xd ,
0
0
 u  v L2  3 

1
+ 
1
2  /2
2  /2


,
  1 x
rot u  1  x
rot v 

L2  3
u  v 


1

ux   grad x   uz , x d  
0

   2 x div z uz d ,


163
3 3
 
L2 R 3
  R  x u x   v x dx

,
(5)
R3
(1)

.


где  R  x  – функция вида
1,

 R  x    A1 R,   

0,
1

x
A2 R,  ,
x  12 R,
1
2
R  x  R,
x  R,
Доказательство неравенства (1)
Для доказательства потребуется следующее
утверждение
Лемма. (см. [8]) Пусть  – открытое множество в R 3 (в частности,   R 3 ), звездное
относительно точки 0   . Тогда для любого


x   и всех функций u  C 
тождества:
1
3
справедливы
1
где A1 R,    1 2  , A2 R,    1R2 ,  –

фиксированное положительное число.
Пусть B R – замкнутый шар с центром в нуле, с границей B R .
В (5) применим представление (2) для вектор-функции v .
А.А. Жидков
164
  x ux vxdx 
I1,1  
R



1

    R  x u  x   rot    v x   x d  dx 
BR 
0

1


   R  x ux     2 x div v x d dx 
BR 
0

 ( I 1 )  ( I 2 ).
Используя соотношение
  
 

div a  b  a  rot b  rot a  b ,
и применяя теорему Гаусса – Остроградского,
получим
I 1  



1


    R  x u  x   rot    v x   x d  dx 
BR 
0





   R  x ux     v x   x d dS 
BR 
0

1
 


1


   rot  R  x ux     v x   x d dx.
BR 
0

Первый интеграл в полученном соотноше-
 
нии равен нулю, так как  R x  0 при x  R ,
поэтому
I 1  
   
R
BR
r
  dS  r R r  rot u r s   v  s d dr 
S
0
R
  dS  r
S
0
 
0
 
dr 
1/ 2
2
r

  dS   2 v  s d  
S
0

1
/
2
R r  r 
 /2
R

 r 1  r2
rot u r s dr.

/
2
2
0

1  r 
 

Применяя ко второму интегралу неравенство
Коши – Буняковского, получаем следующую
оценку:
 
R
I1,1   dS   2 v  s
S
0
 
1/ 2
 R r 2 r  
R
 
dr 
0

2 
 1 r



2

d 



1/ 2
R
   r 2 1  r 2
0

 rotur s dr 
2
1/ 2

Из оценки
r R2 r 
R
R
 1  r  dr   1  r  dr 
2
0

r
2
0
1 
1
1
2  1 
1  R2



,
 1 


при   1   , где     1  0 следует
 


1


   rot  R  x ux     v x   x d dx 
BR 
0

    
I 1,1   C1,1 R 

 1 x

2  /2
R 
r

  dS  r R r rot u r s    v  s  s d dr 
S
0 
0

где C1,1 R  
R

 
  dS  r ( grad R r   u r s 
S
r
 
1/ 2
2
r

 R r  rot u r s    2 v  s d 
0

3/ 2
0
  
   v  s  s d )dr  ( I1,1 )  ( I1,2 ).
0
 
Оценим I1,1 . Применяя неравенство Коши
r
– Буняковского к
 
  v  s d , получим
0
rot ux 
v
3,
L2 R3 3 L2 R3 


1  1 2   .


1

R


Теперь оценим интеграл I 1, 2  . Поскольку
gradθ R ( r ) 
1
2
dθ R ( r )

dr

Rβ
1
1
 β 1 ,
RrR
 β β

2
2 1 r
0,
в противном случае ,

применяя неравенство Коши – Буняковского,
получим
.
Оценки скалярных произведений векторных полей в неограниченных областях
 
R  R2 ( r ) r
1/ 2
R
2
I1,2     dS   2 v  s d 
S 0


(
R
1/ 2
 
.
Поскольку
d R r 
dr 
 r
dr
R/2
2

2
2
R2

R


2
1
dr

r 2  1
R/2
 2  1

 ,
2 2  1
 
1/ 2
R
2


при   0 , и   dS  r 2 u r s dr   0 при
 S R/2

R   , то I1, 2   0 при R   .
Получим оценку для интеграла I 2  . Приме-
0
Рассмотрим второй интеграл из правой части
полученного неравенства. Здесь, как и при
оценке интеграла I 1,1  , положим   1   .
Получаем
R 2
R

 
2
  div v  s d 
0

r

0
1   
2
r 2
 
0
2
 1 

/2


/2
 
div v  s d 
1/ 2

d 




R 1 r d
1 r 2

d

dr

 2  2 dr 
2 
r
0
0
1 r 0
1




 
2
.
 

00 1  2

 div v s d 

R
  dS   2 1   2
S
0



 2 112  1 
1
R 2
div v
.
 
,
L2 R3
Итак, переходя к пределу при R   и
пользуясь условием, что


  R  x  ux   v x  dx 

  

 1
C  max 
,

2




 
 R r  u r s dr 
 

1
1


.
6 2 1  2  

Работа выполнена под руководством А.В. Калинина.
1/ 2
2

d 


2  /2
Теорема доказана.
1/ 2
2
1
6
L2 R
 1  x 
3 3
R
при R   , получаем оценку (1.1) с константой
1/ 2

div v  s d 

R
  dS   2 1   2
S
0

. .

Таким образом, получаем оценку
3
I 2  

1
1
1


1  2
6 2 1  2   R
  ux   vx  dx  u  v L2 R3 3
Отсюда следует оценка

2

BR

d dr 
1   
где C 2 R  
 1  2
r
    2 1   2
0
R r

0
2
I 2   C2 R   u
няковского
r
r  r
r2
0
ним к   2 div v  s d неравенство Коши – Бу0
 
 (  r 2 u ( rs ) d )1 2 .
 
r
2
ddr)1 / 2 

2 
0 (1   )
r2
0
2
R
R


2
d r 
   dS  r R
dr  r 2 u r s dr 
 S R/2

dr
R/2


R
165
1/ 2

div v  s d 

2

Список литературы
1. Вейль Г. Метод ортогональной проекции в
теории потенциала / Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984.
2. Ладыженская О.А. Математические вопросы
динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физматгиз, 1961.
3. Ладыженская О.А., Солонников В.А. Решение
некоторых нестационарных задач магнитной гидро-
166
А.А. Жидков
динамики вязкой жидкости // Труды МИАН СССР,
1960. Т.59. С. 115–173.
4. Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций,
квадратично суммируемых по заданной области, и
операторах векторного анализа // Труды МИАН
СССР, 1960. Т. 59. С. 5–36.
5. Масленникова В.Н., Боговский М.Е. Пространства Соболева соленоидальных векторных полей // Сибирский математический журнал, 1981.
Т. 22. № 3. С. 91–118.
6. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике
и физике. М.: Наука, 1980.
7. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и
численнй анализ. М.: Мир, 1981.
8. Калинин А.В. Некоторые оценки теории векторных полей // Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление,
1997. Т. 20, № 1. С. 32–38.
9. Калинин А.В., Калинкина А.А. Оценки векторных полей и стационарная система уравнений
Максвелла // Вестник ННГУ. Серия Математическое
моделирование и оптимальное управление, 2002.
Вып. 1 (25). С. 95–107.
10. Калинин А.В., Калинкина А.А. L p -оценки
векторных полей // Известия вузов. Математика,
2004. № 3. С. 26–35.
11. Калинин А.В., Калинкина А.А. L p -оценки
для скалярных произведений векторных полей //
Вестник ННГУ. Серия Математика, 2004. Вып. 1(2).
С. 104–115.
12. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.
13. Жидков А.А., Калинин А.В. Оценки скалярных произведений векторных полей в неограниченных областях. Деп. в ВИНИТИ РАН 13.10.06,
№ 1235-В2006.
ESTIMATES OF THE SCALAR PRODUCTS OF VECTOR FIELDS
IN UNBOUNDED REGIONS
A.A. Zhidkov
We prove L2 -estimates of the scalar products of vector fields in unbounded regions of weighted function
spaces.