сюда объемную плотность свободных зарядов

29. Условия на границе раздела двух сред.
 div D = 4πρ

Уравнения Максвелла 
1 ∂B для границы раздела двух сред
 rot E = −
c ∂t

 D2n − D1n = 4πσ
,
превращаются в граничные условия для электрического поля 
0
−
=
E
E
1τ
 2τ
где n = n1→ 2 , σ — поверхностная плотность свободных зарядов.
Граничные условия позволяют найти поле бесконечной плоскости в вакууме
с поверхностной плотностью
заряда σ .
В вакууме D = E
=>
E2 n − E1n = 4πσ
Из симметрии задачи следует, что E2 n = E1n = E
=>
E = 2πσ
( )
( )
--------Уравнения
 div B = 0


4π 1 ∂D
j+
 rot H =
c
c ∂t

( )
( )
для
границы
раздела
двух
сред
 B2n − B1n = 0

превращаются в граничные условия для магнитного поля 
4π , где i
−
=
H
H
i
1τ
 2τ
c

i — плотность поверхностного тока проводимости, τ =  , n1→2  — единичный
i

вектор, направленный по касательной к границе раздела и перпендикулярно
поверхностным токам границы. Направление скачка поля Hτ образует правый
винт с направлением поверхностного тока проводимости.
Граничные условия позволяют найти магнитное
поле бесконечной
плоскости в вакууме с плотностью поверхностного тока i . Пусть токи текут от
нас.
В вакууме B = H
=>
B2τ − B1τ =
4π
i
c
Из симметрии задачи следует, что B2τ = B1τ = B
=>
B=
2π
i
c
-------Граничные условия позволяют найти поле в полости вытянутой вдоль поля
и в полости сплюснутой перпендикулярно полю.
Если на границе полости нет свободных поверхностных зарядов и
σ = 0
, то граничные условия для
поверхностных токов проводимости  i = 0
электрического и магнитного полей выглядят одинаково:
 D2 n − D1n = 0
 B2 n − B1n = 0
,


−
=
0
−
=
0
E
E
H
H
1τ
1τ
 2τ
 2τ
Поэтому дальнейшие рассуждения одинаковы для электрического и
магнитного полей.
-------Рассмотрим полость в виде длинного цилиндра с осью цилиндра
направленной вдоль поля.
Для цилиндрической полости, вытянутой вдоль поля, линии поля идут по
касательной к боковой поверхности цилиндра полости и почти не искривляются.
Граничные условия на боковой поверхности полости:
или H 2τ − H1τ = 0 . =>
E2τ − E1τ = 0
Напряженность в полости, вытянутой вдоль поля, одинаковая в среде и в
полости. Индукция поля в среде и в полости различная.
Измеряя поле в такой полости, мы измеряем напряженность электрического
или магнитного поля в веществе.
--------
Для цилиндрической полости, сплюснутой перпендикулярно полю, линии
поля направлены перпендикулярно донышкам полости и, проходя через донышки,
почти не искривляются.
Граничные условия на донышках полости:
D2 n − D1n = 0
или B2 n − B1n = 0
=>
Индукция в полости, сплюснутой перпендикулярно полю, одинаковая в
среде и в полости. Напряженность поля в среде и в полости различная.
Измеряя поле в такой полости, мы измеряем электрическую или магнитную
индукцию в веществе.
28. Объемная плотность и поток энергии электромагнитного поля.
По определению потенциал — это потенциальная энергия единичного
W
заряда: ϕ ≡ . Тогда энергия заряда q в точке с потенциалом ϕ равна W = qϕ .
q
1
1
Энергия взаимодействия системы зарядов W = ∑ qiϕi , где коэффициент
2
2 i
связан с тем, что энергия взаимодействия каждой пары зарядов учитывается в
сумме два раза, как энергия одного заряда из пары и как энергия второго заряда.
Для непрерывного распределения зарядов
1
1
W = ∫ ϕ dq = ∫ ϕ ρ dV .
2
2
V
V
Подставим сюда объемную плотность свободных зарядов ρ из выражения
div D = 4πρ и получим
1
1
W=
ϕ
div
D
dV
=
ϕ
∇
, D dV .
8π ∫
8π ∫
( )
( )
(
V
)
V
Проинтегрируем правую
часть равенства по частям,
производную с сомножителя D на сомножитель ϕ , и получим
1
W =−
∇
ϕ , D dV .
8π ∫
(
V =∞
)
перебросив
Подставим сюда E = −∇ϕ и получим
D, E
W= ∫
dV .
8π
(
)
V =∞
Отсюда следует, что подынтегральное выражение — это объемная
плотность энергии:
D, E
.
w=
8π
Аналогичное выражение можно получить для магнитного поля:
B, H
.
w=
8π
В результате объемная плотность энергии электромагнитного поля:
D, E
B, H
.
w=
+
8π
8π
Рассмотрим дифференциал объемной плотности энергии. Дифференциал от
каждого из двух слагаемых нужно брать, как дифференциал от произведения.
В результате получаем
1
dw =
E , dD + H , dB .
4π
Это равенство справедливо в более общем случае, чем предыдущее
равенство, так как оно справедливо и при нелинейной и при гистерезисной
зависимости индукции поля от напряженности.
Разделим это равенство на дифференциал времени и получим
∂w 1  ∂D   ∂B  
=
 E ,
 +  H ,  .
∂t 4π  ∂t  
∂t  
∂D
∂B
Сюда вместо производных
и
подставим их выражения из уравнений
∂t
∂t
Максвелла

1 ∂B
 rot E = −
c ∂t
и получим

π
∂
D
4
1
 rot H =
j+

c
c ∂t
∂w
c
= − E, j +
⋅ E , ∇, H  − H , ∇, E 
∂t
4π
Здесь в каждом слагаемом с вектором набла ∇ делаем циклическую
перестановку вектором в смешанном скалярно-векторном произведении так,
(
)
(
)
(
) (
{(
)
) (
)}
( )
( )
(
)
{(
) (
)}
чтобы вектор ∇ оказался на первом месте. А затем объединим два слагаемых, как
производную от произведения и получим
∂w
c = − E, j −
⋅ ∇,  E , H  .
∂t
4π
Введем обозначение:
c
S≡
⋅  E , H  — вектор Пойнтинга. Тогда
4π
∂w
−
= E , j + div S
∂t
Это равенство можно интерпретировать, как закон сохранения энергии.
∂w
Уменьшение энергии электромагнитного поля −
идет на нагрев среды E , j
∂t
(Ленц-Джоулево тепло) и вытекает из рассматриваемого объема через его границу
div S .
Тогда, вектор Пойнтинга S — это плотность потока энергии
электромагнитного поля или энергия, которая в единицу времени протекает через
единицу площади.
В качестве примера движения энергии электромагнитного поля рассмотрим
разряд конденсатора через резистор.
(
)
(
(
)
( )
)
(
( )
25. Уравнение непрерывности (закон сохранения заряда) в
дифференциальной и интегральной формах.
Это уравнение следует из закона сохранения заряда.
Рассмотрим силу тока, вытекающего через границу S1 объема V1 :
dQ0
= I = ∫ dI = ∫ j , dS .
dt
(
S1
S1
)
)
Здесь Q0 — заряд, который вытекает. Если рассматривать вместо него заряд,
который остается в объеме, то производная от заряда по времени поменяет знак.
Этот результат связан с законом сохранения заряда. Обсудим эту связь подробнее.
Обозначим область, в которую вытекают заряды, как объем V2 .
За границы объема V1 + V2 заряды не вытекают. Следовательно, по закону
сохранения заряда в объеме V1 + V2 заряд сохраняется.
Если Q1 и Q2 заряды в объемах 1 и 2, то закон сохранения заряда:
∆ ( Q1 + Q2 ) = 0
Q1 + Q2 = const =>
где Q0 = ∆Q2 — заряд, который вытекает через границу S1 объема V1 .
dQ1
dQ
=>
=>
∆Q1 = −Q0
= − 0 = − ∫ j , dS
dt
dt
(
)
S1
dQ1
j
dS
,
+
=0
(
)
∫
dt
S1
Теперь в этом выражении можно опустить индекс 1. Тогда
dQ
∫ j , dS + dt = 0 — уравнение непрерывности или
(
)
уравнение
S
неразрывности в интегральной форме. Здесь Q — заряд внутри замкнутой
поверхности S1, которую теперь естественно называть поверхностью S.
Разделим это равенство на объем, ограниченный поверхностью S , и
устремим объем к нулю. Тогда получим
∂ρ
div ( j ) +
= 0 — уравнение непрерывности или уравнение неразрывности
∂t
в дифференциальной форме. Здесь частная производная по времени подчеркивает
неизменность пространственных координат при дифференцировании по времени.
-------Уравнение непрерывности
∂ρ
div ( j ) +
=0
∂t
можно записать в ковариантной форме. И действительно
∂ρ ∂ ( c ρ ) ∂j x ∂j y ∂j z
=
+
+
+
= ∂α jα ,
div ( j ) +
∂t ∂ ( ct ) ∂x ∂y ∂z
 cρ 
 
α  jx 
где j ≡
— это контравариантный 4-х вектор (или контравариантный
 jy 
 
 jz 
тензор первого ранга) плотности тока, так как свертка его прямого произведения с
оператором ковариантной производной ∂α равна нулю и, следовательно, является
скаляром по группе преобразований Лоренца.
Тогда уравнение неразрывности в ковариантной форме примет следующий
вид:
∂α jα = 0 .
Строго говоря, если производная является тензором, это еще не гарантирует,
что дифференцируемая величина то же тензор, но об этом на экзамене лучше не
 cρ 
j 
x
упоминать. Мы доказали, что четверка величин   если и отличается от
 jy 
 
 jz 
контравариантного тензора первого ранга, то только на величины, которые не
зависят ни от времени, ни от пространственных координат (после
дифференцирования по времени и пространственным координатам и после
свертки получился скаляр). На бесконечности эти отличия должны обращаться в
ноль, но от пространственных координат они не зависят, тогда они везде равны
нулю.
26. Выражения для напряженности электрического и индукции
магнитного полей через скалярный и векторный потенциалы.
Калибровочная инвариантность.
Потенциалы переменных электромагнитных полей.
B = rot A
( )
Для постоянных магнитных полей это равенство доказывается, а для
переменных — это определение векторного потенциала A .
Рассмотрим одно из уравнений системы Максвелла:
 1 ∂A 
1 ∂B
1 ∂
=>
rot E = −
=−
rot A = −rot 

c ∂t
c ∂t
c
∂
t


( )
( )
 1 ∂A 
=> существует ϕ такое, что
rot  E +
=0
c
t
∂
 
1 ∂A
E+
= −∇ϕ — это определение скалярного потенциала ϕ для
c ∂t
переменных электромагнитных полей. Это определение потенциала не имеет
смысла энергии единичного заряда.
Итак, определение потенциалов переменного электромагнитного поля имеет
вид:

1 ∂A
 E = −∇ϕ −
c ∂t

 B = rot A

Заметим, что это определение превращается в обычное определение
потенциалов электростатики и магнитостатики в случае постоянных полей E и B .
-------Калибровки потенциалов.

1 ∂A
 E = −∇ϕ −
c ∂t
определены только некоторые
В определении

 B = rot A

производные от потенциалов, при этом в определении самих потенциалов остался
некоторый произвол.
Разные варианты устранения произвола — это и есть разные калибровки
потенциалов.
Если ϕ → 0 , то из первого уравнения определений потенциалов
( )
( )
r →∞
скалярный потенциал
потенциал и поле E .
1
Из
∇ϕ = − E −
c
единственным образом находится через векторный
∂A
следует
∂t
∞ 
1 ∂A 
ϕ (r ) = ∫  E +
, dl 
c ∂t


r
аналогично
∞ тому, как в электростатике из ∇ϕ = − E следует ϕ ( r ) = ∫ E , dl .
r
(
)
Следовательно, если векторный потенциал A определен однозначно, то и
скалярный потенциал ϕ находится без произвола.
Таким образом, весь произвол в определении потенциалов — это произвол в
определении A равенством B = rot A .
( )
Рассмотрим два разных векторных потенциала A1 и A 2 , соответствующих
одному и тому же полю B :
B = rot A1 = rot A 2
Обозначим Y ≡ A 2 − A1 . Тогда
rot Y = rot A 2 − rot A1 = 0 . Если ротор поля равен нулю, то всегда
( )
( )
( )
( )
( )
существует скалярное поле X такое, что
Y = −∇X <=> A 2 − A1 = −∇X <=>
A 2 = A1 − ∇X
И, наоборот, для любого поля X , если A 2 = A1 − ∇X , и A1 — векторный
потенциал (в том смысле, что B = rot A1 ), то A 2 — тоже векторный потенциал
для того же поля B (то есть B = rot A 2 ). И действительно
rot A 2 = rot A1 − ∇X = rot A1 − ∇, ∇X  = rot A1 − ∇, ∇  X = rot A1 = B
Следовательно, произвол в определении A такой и только такой, что
A 2 = A1 − ∇X , где X — любая функция координат и времени.
Рассмотри теперь, каков при этом оказывается произвол в величине div A .
div A 2 = div A1 − ∇X = div A1 − ∇, ∇X = div A1 − ∇, ∇ X = div A1 − ∆X
( )
( )
(
(
)
)
( )
( )
( )
( ) (
( )
( ) (
)
( )
)
( )
( )
Докажем, что ∆X можно сделать равным любой наперед заданной функции
координат и времени. И действительно, уравнение ∆ϕ = −4πρ имеет решение
относительно ϕ для любой функции ρ . То есть ∆ϕ можно сделать равным любой
функции −4πρ .
И так произвол в определении A таков, что div A можно изменить на
любую величину ∆X . Следовательно, div A можно сделать равной любой
наперед заданной функции. Произвол в определении A такой и только такой.
Произвол только такой, так как при заданной исходной функции div A1 и
однозначно задана их разность
заданной конечной функции div A2
∆X = div A1 − div A2 . А при заданном ∆X однозначно находится X (если
( )
( )
( )
( )
( )
( )
считать, что X → 0 ) аналогично тому, как уравнение ∆ϕ = −4πρ имеет
r →∞
единственное решение при нулевом потенциале на бесконечности. Тогда,
однозначно задано изменение векторного потенциала A 2 = A1 − ∇X . То есть из
заданного изменения div A однозначно находится изменение A , а из заданного
изменения A однозначно находится изменение div A .
Произвол в определении потенциалов такой и только такой, что div A
( )
( )
( )
можно приравнять к любой функции координат и времени.
В различных калибровках потенциалов выбирают различные выражения для
div A .
( )
1). Калибровка Кулона.
div A = 0
( )
2). Калибровка ϕ = 0 .
С одной стороны:
ϕ =0
=>
∇ϕ = 0
1 ∂div A
div E +
=0
c ∂t
( )
( )
С другой стороны:
t
div A = −c ∫ div E dt
( )
( )
−∞
=>
=>
1 ∂A
=>
E+
=0
c ∂t
t
div A = −c ∫ div E dt .
( )
( )
−∞
=>
1 ∂div A
=0
div E +
c ∂t
( ( ))
∂
rot
A
1
( )
( )
1 ∂A
Откуда с учетом rot E +
= 0 следует E +
= 0 =>
∂t
c
c ∂t
=> ϕ = 0
∇ϕ = 0
3). Калибровка Лоренца.
εµ ∂ϕ
div A = −
c ∂t
Обычно рассматривают калибровку Лоренца в вакууме, тогда
1 ∂ϕ
div A = −
.
c ∂t
Запишем калибровку Лоренца в виде:
∂Ay ∂Az
∂ϕ
∂A
+ x+
+
= 0.
∂ ( ct ) ∂x
∂y
∂z
( )
( )
( )
Это равенство можно рассматривать, как свертку ковариантной производной
ϕ 
 
 ∂
∂
∂
∂ 
α  Ax 
∂α = 
 неизвестно с чем: A =  A  . Свертка равна нулю, то
y
 ∂ ( ct ) ∂x ∂y ∂z 
 
 Az 
есть является скаляром по группе Лоренца. Следовательно, неизвестно что в виде
ϕ 
 
α  Ax 
A =
является контравариантным вектором.
 Ay 
 
 Az 
Тогда калибровку Лоренца можно записать в ковариантной форме:
∂α Aα = 0 .