Решение уравнений с использованием свойств функций

Открытый урок в 11 классе
Тема: «Решение уравнений с использованием свойств
функций»
Учитель математики ЧОУ СОШ «Личность»
г.Новороссийска Старчунова Любовь Николаевна.
Цель урока - на этапе итогового повторения изученного
1.
2.
3.
4.
5.
материала:
рассмотреть обобщенную схему исследования функции,
вспомнить основные свойства элементарных функций и их
графики,
заострить внимание на ограниченности некоторых функций,
рассмотреть основные методы решения комбинированных
нестандартных уравнений:
а) теорему о единственности корня,
б) метод мажорант ( две теоремы),
основанные на применении свойств функций
закрепить изученные методы при решении таких уравнений.
Оборудование: интерактивная доска, компьютер, слайдовая презентация к
уроку, таблицы с графиками элементарных функций, цветные мелки,
карточки-справочники, карточки с домашним заданием.
Ход урока.
Организационный момент. В кабинете математики расставить столы
для работы трех групп по 7 человек. Заранее назначить руководителей групп
из числа учащихся, организующих активную работу внутри своей группы на
уроке. В ходе урока используется слайдовая презентация.
Слайд№1.
Учитель. Тема нашего сегодняшнего урока: «Решение уравнений с
использованием свойств функций». За годы обучения в школе вы, ребята,
научились решать различные виды уравнений: линейные, квадратные,
тригонометрические, показательные, логарифмические и даже
комбинированные. Все они решаются хорошо вами изученными
конкретными методами. Однако в математике встречается еще один тип
уравнений, который невозможно решить обычными методами. В левой и в
правой частях таких уравнений расположены «нестыковочные» функции, то
есть функции, с которыми невозможно сделать общепринятых
преобразований, приводящих к решению уравнений. Поэтому целью нашего
сегодняшнего урока является - рассмотрение методов решения таких
уравнений и повторение свойств функций, на которых основаны данные
методы.
Слайд №2.
Давайте вспомним основные свойства функций.
-Решая любую задачу, связанную с функцией, мы в первую очередь находим
что? /Учащиеся отвечают: «Область определения». Учитель одобряет и на
слайде появляется овал с соответствующей надписью. Далее идет серия
вопросов учителя и ответов учеников аналогично. Таким образом, на слайде
появляется кластер с основными свойствами функций« Цветик- семицветик».
Слайд№3.
Рассмотрим серию свойств, связанных с множеством значений, а точнее с
ограниченностью функций./ На слайде перечислен ряд функций с их
ограничениями/. Такие функции сегодня встретятся нам при решении
уравнений.
Слайд№4.
К основным методам решения уравнений по свойствам функций относятся:
1) Теорема о единственности корня.
2) Метод мажорант.
/Учитель подробно объясняет суть этих методов по слайду. При этом он
работает и с текстом учебника, вовлекая учащихся в эту работу.
Предлагается учащимся открыть учебник на стр. 358. (автор Мордкович).
- Найдите и подчеркните в тексте теорему о единственности корня. Обратите
внимание на графическую иллюстрацию этой теоремы, на слайде.
Слайд №5.
-Второй метод это Метод мажорант .В математике мажорантой называют
функцию, значения которой в рассматриваемой области превосходят
значения данной функции. Найдите в учебнике на стр. 358 ( мелким
шрифтом) теорему, которую относят к методу мажорант. На слайде №5 это
вторая теорема. Существует еще одна разновидность метода мажорант - это
первая теорема на слайде№5 .
Итак, приступим к решению уравнений по свойствам функций.
Слайд№6.
Для начала можно воспользоваться подсказкой из аналогичного примера в
учебнике. Правильно, представим уравнение в виде:
f (x)
g (x)
f(x) возрастает, а g(x) убывает. Значит, по теореме о единственности корня
x=2- только один. Сделайте проверку. Изобразите на доске схематично
графическую иллюстрацию к данному уравнению.
Слайд№7.
x=2. А как доказать, что он единственный корень?
=
Обратитесь за помощью к аналогичному примеру в учебнике на стр.359.
Верно! Представим в виде:
(
f(x)
g(x)
по теореме о единственности корня x=2
только один.
Cлайд №8 .
Заметим, что функция четная. Почему? Объясните.
Обозначим:
f(t)
один корень x=4
g(t)
Значит,
тогда x=2 и x=-2.
Слайд №9.
С чего начнем? Верно, с области определения. Назовите условия, при
которых функция слева имеет смысл. Верно. Что еще нужно заметить, для
того чтобы уравнение имело решение? Верно! Запишем все перечисленные
условия в системе:
Слайд№10.
А здесь , что можно сказать об ограниченности функций f(x) слева и
g(x)справа? Вот здесь и приходит на помощь метод мажорант (теорема2).
Функция f(x)=
параболы
достигает своего наименьшего значения в вершине
= -2, y=f(-2)=4-8+5=1.
Функция g(x)=
при х=-2 достигает своего наибольшего значения тоже
равного1.Тогда по
теореме2 метода мажорант данное уравнение
равносильно системе:
x=-2-решение системы, а, значит,
и решение исходного уравнения.
Слайд№11.
Представим левую часть в виде f(x)=
Заметим, что при
а g(x) =9+
то есть при x= f(x)=9-наибольшее,
при x =
принимает свое наименьшее значение
равное 9 . По методу мажорант :
системы,а ,значит, и исходного уравнения.
Слайд№12.
x= - решение
Данное уравнение соответствует условиям метода мажорант(теоремы 1):
исходное уравнение
,
равносильно системе:
, откуда x=2
- решение системы, а
значит, и решение исходного уравнения.
Слайд №13.
Вспомним замечательное неравенство:
, кроме того,2
уравнение равносильно системе:
2
, решением которой является x=1 и x=-1.Следовательно, x=1 и
x=-1- решения исходного уравнения
Слайд №14.
Когда произведение двух множителей равно1? Верно. Когда:
они оба равны 1,или оба равны -1,или они взаимно - обратны. То
есть
. Учитывая, что
уравнение равносильно совокупности
систем:
или
Решением первой системы является x=
Вторая система
решений не имеет. Значит,
x=
Итак, давайте подведем итог:
1)Какими методами решаются «нестыковочные» уравнения?
2)На каких свойствах они основаны?
3)Руководители групп, поставьте оценки членам своей группы.
(Заслушивается комментарий оценок. Учитель раздает карточки с
домашним заданием и благодарит учащихся за урок).
Карточка с домашним заданием:
Решить уравнения:
1)
=
2)
3)
+(
=
4)
5)
6)
7)
.