Презентация "Метод мажорант"

Выполнили:
Пахомова Ксения, Бражнова Виктория,
ученицы 9 класса МОУ «Лицей №2»
Научный руководитель:
Сатеева Анна Ивановна,
учитель математики
МОУ «Лицей №2»
 Исследовать
применение метода мажорант
к решению нестандартных уравнений и
неравенств и составить задания подобного
типа.
 Изучить
определения мажоранты функции и
исследовать, какие функции имеют
мажоранту.
 Изучить метод мажорант и алгоритм
решения уравнений и неравенств этим
методом.
 Рассмотреть применение метода мажорант
для решения нестандартных уравнений и
неравенств.
 Разработать алгоритм составления задач,
при решении которых используется метод
мажорант.
 Довольно
большой класс уравнений и
неравенств в математике решается с
помощью метода мажорант, но этот метод
отдельно не рассматривается в школьном
курсе. Изучение самого метода мажорант и
рассмотрение различных заданий, в том
числе довольно сложных (заданий части С
ЕГЭ).
 Рассмотренный
метод мажорант можно
использовать при изучении различных
методов решения нестандартных
уравнений и неравенств, а разработанный
алгоритм и составленные задания можно
использовать при проверке знаний
учащихся по указанной теме.
Пример: f(x)= sin x.
-1 ≤ sin x ≤ 1.
m= –1, М =1
Пример: f(x)= ах2 + bx + с
(m, n) – координаты вершины
параболы. n = f(m).
При a<0 мажоранта квадратичной
функции - ордината вершины. М = n.
М = (4ас–b2)/4а.
При a>0 миноранта квадратичной
функции – ордината вершины m=n.
m = (4ас–b2)/4а.
Пример:
M=–2, m=2.
 Пусть
мы имеем уравнение f (х) = g (x) (1),
и существует такое число М, что для
любого х из области определения
уравнения имеем f (х)≤ М и g(x)≥M (или
наоборот).
Тогда уравнение (1) равносильно системе:
1.Смешанное уравнение (или неравенство),
т.е. в задании есть разнородные функции,
например, логарифмическая и линейная,
или квадратный трехчлен и
тригонометрическая, или вообще
несколько видов.
2.Сложный, трехэтажный и пугающий вид,
большие числа и коэффициенты.
 Примечание: мажоранта, в каком-либо
виде, может быть припрятана в задании С6
из ЕГЭ
 Оценить
значение левой части
уравнения/неравенства (M и m)
 Оценить значение правой части
уравнения/неравенства (M и m)
 Сравнить мажоранты и миноранты левой и
правой части
 Составить систему в соответствии с
условием задачи
 Сделать вывод
 Решить
уравнение
 Решить
уравнение
Может ли при каком-нибудь значении параметра а,
уравнение
2x+2-x =ax4+2x2+2
иметь нечетное число корней?
Решение. Так как при замене х на -х данное уравнение не
изменится, то множество его корней вместе с каждым
корнем содержит противоположный корень.
Следовательно, уравнение имеет четное число корней,
отличных от нуля. Проверка показывает, что 0 – корень,
значит, данное уравнение имеет нечетное число корней.
Ответ: да
y2 2
x
у
x
а=1
а=2
2
а=3
1
х
0
y  ax 4  2 x 2  2
а = -1
а = -2
а = -3
Определить (задать) тип составляемого задания:
уравнение/неравенство, найти корни/найти
количество корней/задание с параметром.
 Определить (задать) вид функций в правой и
левой части уравнения/неравенства
(квадратичная, с модулем, тригонометрическая,
дробно-линейная)
 Составить функции.
 Подобрать мажоранту/миноранту функций.
 Составить задание.
 Сделать проверку решением.

Итак, мы считаем, что цели, которые мы ставили перед
собой при выполнении нашей работы, достигнуты, а
именно:
 В нашей работе мы дали определение мажоранты и
миноранты функции, привели примеры функций,
имеющих мажоранту.
 Мы изучили метод мажорант и привели примеры его
применения при решении различных неравенств и
уравнений.
 Разобрали решение большого количества сложных,
нестандартных заданий, при решении которых
используется метод мажорант.
 Разработали собственный алгоритм составления задач
на применение метода мажорант.
 Составили дидактические материалы (4 варианта по 5
заданий) на проверку умений решать уравнения и
неравенства методом мажорант (в том числе задания с
параметром).