doc 3x - Всероссийский фестиваль педагогического творчества

Всероссийский интернет-конкурс педагогического творчества
(2013/14 учебный год)
Номинация конкурса: Педагогические идеи и технологии: профессиональное образование
Название работы: Методические указания по выполнению практической работы по теме: «Решение
систем линейных уравнений методом Крамера и методом Гаусса»
(дисциплина «Математика»)
для специальности СПО 150401 Металлургия черных металлов
Автор: Саргсян Галина Викторовна.
Место выполнения работы: ГОБПОУ «Липецкий металлургический колледж»
Методические указания по выполнению практической работы по теме: «Решение
систем линейных уравнений методом Крамера и методом Гаусса»
(Дисциплина «Математика». Раздел 2. Элементы линейной алгебры.
Специальность 150401 Металлургия черных металлов II курс)
Автор:
Саргсян Галина Викторовна,
преподаватель математики
Введение
Методические указания по проведению практической работы содержат
необходимый теоретический материал, образец выполнения практических заданий;
практические задания (варианты); контрольные вопросы для самопроверки.
Методические указания по проведению практической работы могут быть
использованы студентами для самостоятельной работы, преподавателями на учебных
занятиях по математике.
Указания по выполнению
практической работы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
К выполнению практической работы необходимо подготовиться до начала
учебного занятия.
При подготовке к практической работе используйте рекомендованную
литературу, предложенную в данных методических указаниях, конспекты
лекций.
К выполнению работы допускаются студенты, освоившие необходимый
теоретический материал.
Выполнять практические задания следует в рабочей тетради по математике
четко и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения.
По окончании выполнения практической работы проверьте себя, ответив на
контрольные вопросы для самопроверки.
Если практическая работа не сдана в указанные сроки (до выполнения
следующей практической работы) по неуважительной причине, оценка
снижается.
Практическая работа № 11
Тема:
«Решение систем линейных уравнений методом Крамера и
методом Гаусса»
Цель работы: овладеть методами Крамера и Гаусса решения систем
линейных
уравнений.
В
результате
выполнения
практической работы студенты
должны уметь:
применять методы решения систем линейных уравнений к
решению задач, проводить конкретные расчёты в рамках
выполнения аудиторных и домашних заданий.
должны знать:
условия применения метода Крамера и метода Гаусса.
Наиболее универсальным из них является метод Гаусса,
называемый также методом исключения неизвестных.
Применение метода Гаусса не зависит ни от числа
уравнений, ни от числа неизвестных в системе.
Приборы,
материалы и
инструмент
Тетрадь, ручка, методические рекомендации, конспект
лекций.
Порядок
выполнения
практической
работы
1. Усвоить теоретический материал по теме «Решение
систем линейных уравнений методом Крамера и методом
Гаусса».
2. Ответить на контрольные вопросы для самопроверки.
3. Выполнить и записать задания практической работы в
тетрадь для практических работ по математике.
4. Сдать выполненную практическую работу на проверку
преподавателю.
Теоретическая часть:
Метод Крамера применяют при решении систем, в которых число уравнений и
количество неизвестных совпадают (m = n).
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
𝑎 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
{ 1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
(1)
Если определитель Δ системы отличен от нуля, то система имеет единственное
решение, которое находится по формулам Крамера:
x=
𝚫𝒙
𝚫
,y=
𝚫𝒚
𝚫
, где Δ = |
𝒂𝟏 𝒃𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟐
| , 𝚫𝒙 = |
𝒄𝟏 𝒃𝟏
𝒄𝟐 𝒃𝟐
|, 𝚫𝒚 = |
𝒂 𝟏 𝒄𝟏
𝒂 𝟐 𝒄𝟐
|. (2)
Если Δ = 0, а хотя бы один определитель Δ𝑥 или Δ𝑦 не равен нулю, то система (1) не
имеет решений (несовместна).
Если Δ = Δ𝑥 = Δ𝑦 = 0, то система имеет бесконечное множество решений
(неопределенна).
Теперь рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
𝒂𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏 𝒚 + 𝒄𝟏 𝒛 = 𝒅𝟏
{ 𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 𝒚 + 𝒄𝟐 𝒛 = 𝒅𝟐 (3)
𝒂𝟑 𝒙 + 𝒃𝟑 𝒚 + 𝒄𝟑 𝒛 = 𝒅𝟑
Системе (2) соответствует определитель, составленный из коэффициентов при
неизвестных x,y и z.
𝒂𝟏 𝒃𝟏 𝒄𝟏
Δ = |𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 | - определитель системы. По аналогии с (2) составим еще три
𝒂𝟑 𝒃𝟑 𝒄𝟑
определителя:
𝒅𝟏
∆𝒙 = |𝒅𝟐
𝒅𝟑
𝒃𝟏
𝒃𝟐
𝒃𝟑
𝒄𝟏
𝒂𝟏
𝒄𝟐 |, ∆𝒚 = |𝒂𝟐
𝒄𝟑
𝒂𝟑
𝒅𝟏
𝒅𝟐
𝒅𝟑
𝒄𝟏
𝒂𝟏
𝒄𝟐 |, ∆𝒛 = = |𝒂𝟐
𝒄𝟑
𝒂𝟑
𝒃𝟏
𝒃𝟐
𝒃𝟑
𝒅𝟏
𝒅𝟐 |, (4)
𝒅𝟑
каждый из которых получен из определителя системы заменой столбца
коэффициентов при соответствующей неизвестной столбцом свободных членов
системы.
Правило Крамера. Если определитель системы (3) отличен от нуля, то система имеет
единственное решение:
𝒙=
𝚫𝒙
𝚫
, y=
𝚫𝒚
𝚫
, z=
𝚫𝒛
𝚫
(5)
Если же определитель системы ∆ = 0, а хотя бы один из определителей ∆𝑥 , ∆𝑦 или
∆𝑧 отличен от нуля, то система (3) не имеет решений, т. е несовместна.
Если Δ = Δ𝑥 = Δ𝑦 =∆𝑧 = 0, то система имеет бесконечное множество решений
(неопределенна).
Образец выполнения задания:
Пример 1. Решить систему уравнений методом Крамера.
5𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 11
{ 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −6
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2
Для этого нам потребуется вычислить четыре определителя: Δ ; Δ𝑥 ; Δ𝑦 и ∆𝑧.
5
Δ = |2
3
−3 4
−1
−1 −2| = 5 |
−2
−2 1
2 −2
2 −1
−2
| – (−3) |
|+4|
| = 5∙(−5) + 3∙(8)
1
3 1
3 −2
+ 4∙ (−1) = −25 +24 −4= −5. Определитель не равен нулю, следовательно, система
имеет единственное решение.
11 −3
Δ𝑥 = |−6 −1
2 −2
4
−1 −2
−6 −2
−6
| −(−3) |
|+4|
−2| = 11 |
−2 1
2
1
2
1
−1
|=
−2
= 11 ∙ (−5) + 3 ∙ (−2) + 4 ∙ 14 = −55 − 6 + 56 = −5;
11 −3 4
2 −2
2
−6 −2
Δ𝑦 = |−6 −1 −2| = 5 |
| − 11 |
|+4|
2
1
3 1
3
2 −2 1
−6
|=
2
= 5 ∙ (−2) − 11 ∙ 8 − 4 ∙ 22 = −10 − 88 + 88 = −10;
5
∆𝑧. = |2
3
−3 11
−1
−1 −6| = 5 |
−2
−2 2
2 −1
−6 (−3) 2 −6
|–
|
| + 11 |
|=
2
3 2
3 −2
= 5 ∙ (−14) + 3 ∙ 22 + 11 ∙ (−1) = −70 + 66 − 11 = −15.
Тогда по формулам (5) получаем:
𝑥=
Δ𝑥
Δ
=
−5
−5
= 1; y =
Ответ: (1;2;3).
Δ𝑦
Δ
=
−10
−5
= 2; z =
Δ𝑧
Δ
=
−15
−5
= 3.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Сведения из теории:
Метод Гаусса представляет собой специальный
алгоритм последовательного исключения неизвестных из уравнений
системы. В этом алгоритме обычно различают два этапа:
Первый этап называется прямой ход,
Второй этап – обратный ход.
Цель прямого хода метода Гаусса заключается в приведение матрицы системы к
треугольному виду, когда в результате некоторых элементарных
преобразований уравнений системы на главной диагонали матрицы системы
будут располагаться ненулевые элементы, а все элементы ниже главной
диагонали будут равны нулю. В результате наших преобразований должна
получаться система, равносильная исходной системе линейных уравнений.
Преобразования, которые позволяют свести исходную систему к треугольной,
сохраняя равносильность, называются элементарными. Что будем понимать под
элементарными преобразованиями? Или, говоря простым языком, что можно
делать с уравнениями, входящими в систему, чтобы сохранить множество
решений системы и не получить лишних корней?
Определение. Элементарными преобразованиями уравнений
системы называют следующие преобразования:
1) перестановка местами двух любых уравнений;
2) умножение обеих частей какого-либо уравнения на любое число, не равное
нулю;
3) прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей
любого другого уравнения;
4) перестановка (перенумерация) неизвестных системы.
Примем без доказательства, что все перечисленные преобразования
приводят к системам, которые равносильны (эквивалентны) исходной системе линейных уравнений.
Удобно в методе Гаусса работать не с самой системой линейных уравнений, а с
основой системы – расширенной матрицей. Эту матрицу обозначают символом
Ā= (A | B) , и она содержит две части – матрицу A системы и
столбец B свободных членов.
Элементарным преобразованиям системы соответствуют следующие
элементарные преобразования расширенной матрицы:
1) умножение произвольной строки на любое число, отличное от нуля;
2) прибавление к произвольной строке матрицы любой другой строки матрицы;
3) перестановка местами любых двух строк;
4) перестановка местами любых двух столбцов матрицы A
системы.
Образец выполнения
Пример 1. Решить систему уравнений:
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1
{ 3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
4𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = −3
.Расширенная матрица системы будет иметь вид:
2 1 2 1
Ā= (A | B) = (3 −1 2| 1 )
4 −1 5 −3
Выполним прямой ход метода Гаусса.
Процесс приведения матрицы системы к треугольному
виду состоит из нескольких шагов:
Первый шаг.
Надо элемент 𝑎11 сделать равным единице. Так как мы имеем право переставлять
строки, умножать на число какую-либо строку и складывать ее с любой другой
строкой, то вычтем из второй строки первую и поставим результат на место первой
строки, соответственно первая строка станет второй, а третья останется на своем
месте. Получим:
2
Ā ~ (3
4
1 2 1
1
−1 2| 1 ) ~ (2
−1 5 −3
4
−2 0 0
1 2| 1 )
−1 5 −3
Важно то, что между двумя матрицами нет знака равенства, – его заменяет
следующий символ ~ эквивалентности двух систем (матрицы разные, а
соответствующие им системы уравнений имеют одинаковые решения).
Второй шаг.
Необходимо сделать, чтобы равнялись нулю все элементы 1-го столбца, матрицы A ,
расположенные ниже элемента 𝑎11 .
Для этого надо ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на
-2. Аналогично, прибавить к третьей строке первую, умноженную на -4.
1
Получим: Ā ~(2
4
−2 0 0
1
1 2| 1 ) ~ (0
−1 5 −3
0
−2 0 0
5 2| 1 )
7 5 −3
Третий шаг.
На третьем шаге получим нулевой элемент во втором
столбце ниже элемента 𝑎22 . Для этого вторую строку последней
матрицы умножим на -7 , а третью строку на 5 и прибавим вторую
строку к третьей:
1
Ā ~ (2
4
−2 0 0
1
1 2| 1 ) ~ (0
−1 5 −3
0
−2 0 0
1 −2 0 0
5 2| 1 ) ~ (0 5
2 | 1 ) (*)
7 5 −3
0 0 11 −22
Прямой ход выполнен, в результате мы получили треугольную матрицу (*)
Теперь выполним обратный ход, для чего перейдем от матричной записи к
соответствующей системе уравнений:
{
𝑥 − 2𝑦 = 0
5𝑦 + 2𝑧 = 1
11𝑧 = −22
Из названия хода (обратный), понятно, что надо начинать с последнего уравнения, т.к.
в нем содержится одна неизвестная z. Находим:
z = -2, теперь подставим значение z во второе уравнение, получим:
1
1
5
5
y = (1 − 2𝑧) =
(1 − 2 ∙ (−2)) = 1,
Далее подставим значения y = 1 в первое уравнение:
x = 2y = 2 ∙ 1 = 2.
Система имеет единственное решение (2;1;-2).
Ответ: (2;1;-2).
Метод Гаусса – творческий метод. В этом его большое преимущество перед другими
методами, т.к. указанное решение не является единственно возможным. И чем гибче
мыслит человек, тем короче получается у него решение.
Пример 2. Решить систему уравнений:
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5
{ 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 6
𝑥 − 4𝑦 + 7𝑧 = 8
1 −1
Ā = (2 1
1 −4
2 5
1 −1
−1|6) ~ (0 3
0 −3
7 8
2 5
1 −1
−5|−4) ~ (0 3
5 3
0 0
2 5
−5|−4)
0 −1
Получили несовместную систему, так как из последней строки расширенной матрицы
получаем уравнение:
0 ∙ x + 0 ∙ 𝑦 + 0 ∙ 𝑧 = −1, которое не имеет решения.
Варианты заданий практической работы №11
1.
x2y3z1

2x3y2z9
5x8yz7

2.
x2y 3z 5

2x y z 1
x3y 4z 6

3.
x y z 0

3x2y z 5
4x y 5z 3

4.
x2y3z14

5xyz0
4x3y2z16

5.
2xy3z 11

3x2yz 5
xyz 3

6.
2xyz2

3x2y2z2
xy2z1

7.
x2yz2

2x3y2z2
3xyz8

8.
x  y z 2

4x 3y  z 1
2x  y z 1

9.
xy2z1

2xy2z4
4xy4z2

10.
xyz 1

8x3y6z 2
4xy3z 3

Контрольные вопросы для самопроверки
1. Определители второго, третьего, и высших порядков. Их свойства и способы
вычисления.
2. Понятие решения системы линейных уравнений. Совместные, несовместные,
неопределённые системы.
3. Формулы Крамера, условие их применения.
4. Метод Гаусса решения и исследования систем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дадаян А.А. Математика М.: ФОРУМ – ИНФРА-М,2011.552 с.
2. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2ч.: учеб. пособие / П.Е.
Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - 7-е изд., испр. – М. : Оникс : Мир
и образование, 2009.
3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для
средних спец. учеб. заведений – 6-е изд. стер.- М.: Высш. шк., 2003. – 495
с.
4. Апанасов П.Т. Орлов М.И. Сборник задач по математике: Учеб. пособие
для техникумов – М: Высш. шк., 1987.- 303 с.