«Юный знаток математики» Ответы и решения 1.

ПСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ И ЮНОШЕСТВА
Областной конкурс «Юные дарования», 2011/2012 учебный год
Финал конкурса «Юный знаток математики»
7 класс
Ответы и решения
1. Два невисокосных года идут подряд. В первом из них больше
понедельников, чем сред. Определите, какой из семи дней недели чаще всего
встретится во втором году.
Решение:
В невисокосном году
дней, то есть 52 недели и один
день. Тем самым ровно один день недели встречается чаще других – тот
самый, который будет первым и последним днем года. Если в первом году
таким днем был понедельник, то во втором это будет вторник.
Ответ: вторник.
2. Докажите, что при любом целом
число
делится на 6.
Доказательство:
Разложим данное выражение на множители:
.
В результате получилось произведение трех последовательных целых
чисел. Одно из трех последовательных чисел обязательно делится на 3, из трех
последовательных чисел хотя бы одно делится на 2. Поэтому произведение
делится на 6. Значит, при любом целом число
делится на 6. Ч.т.д.
3. На доске написано слово ЛЕТО. Каждую минуту Вася выбирает две
буквы, стирает их, а вместо каждой из них записывает букву, соседнюю в
алфавите со стертой. Используется весь алфавит из 33 букв. Может ли через
несколько минут на доске появится слово ЗИМА? Ответ обоснуйте.
Решение: Каждой букве поставим в соответствие число, которое
является её номером. При указанных операциях у получаемых слов не
меняется четность суммы номеров букв. У исходного слова ЛЕТО сумма
номеров букв является нечетным числом. И при каждой операции получаются
слова с нечетной суммой номеров. У слова ЗИМА сумма номеров букв
является четным числом.
Таким образом, из слова ЛЕТО слова ЗИМА не получится.
Ответ: не может.
4. Найдите угол между часовой и минутной стрелками в 7 часов 38
минут.
Решение:
За час минутная стрелка проходит полный круг (360 ), а часовая – в 12
раз меньше, т.е. 30 . Поэтому в 7 часов ровно минутная стрелка будет
отставать от часовой на 210 . Через 38 минут минутная стрелка повернется на
, а часовая – на угол, в 12 раз меньший (т.е. 19 ).
Следовательно, в 7 часов 38 минут угол между стрелками равен
210
.
Ответ:
.
5. Докажите, что не существует такого целого числа, которое при
зачеркивании первой цифры уменьшается в 58 раз.
Доказательство: Обозначим через
количество остальных цифр, через
зачеркиваемую цифру, через
–
– число, остающееся после зачеркивания.
Предположим, что существует такое число , которое при зачеркивании
уменьшается в 58 раз, т.е. выполняется равенство:
В разложении правой части на простые множители будет содержаться
19, а в разложении левой части на простые множители 19 содержаться не
будет. Значит, равенство не выполняется. Получили противоречие, значит
предположение неверно. Следовательно, не существует такого целого числа,
которое при зачеркивании первой цифры уменьшается в 58 раз. Ч.т.д.