Решения 9 класс 9.1. Ответ: Время отправления 6 часов утра

Решения 9 класс
9.1. Ответ: Время отправления 6 часов утра. Решение: Обозначим C – место встречи. Тогда 1ый прошел отрезок АС за x часов, BC за 4 часа. Второй прошел АС за 9 часов, BС за x часов.
Составляем пропорции x/4 = 9/x. Отсюда, x = 6.
9.2. Делится. Решение: 2014 делится на 53. Следовательно, 20142015 делится на 53.
Остальные слагаемые сгруппируем
2015
(1
+ 20132015 ) + (22015 + 20122015 ) + ⋯ + (10062015 + 10082015 ) + 10072015 . Каждая скобка
делится на 2014, а значит и на 53. Последнее слагаемое также делится на 53.
9.3. Ответ: x = -1, x = 2. Решение: [𝑥3 ] и [3𝑥 + 2] – целые числа, тогда {𝑥 + 2015} – тоже должно
быть целым, но это возможно, только если x – целое. Тогда {𝑥 + 2015} = 0, [𝑥3 ] = 𝑥3 , [3𝑥 +
2] = 3𝑥 + 2. Решая уравнение 𝑥3 = 3𝑥 + 2, находим x = -1, x = 2.
9.4. Пусть Q – точка пересечения прямой CE и PD. Нетрудно показать, что треугольники APD
и DQC равны. Значит, Q - середина AD. QP – диаметр окружности, на которой лежат точки A и
E. Значит, углы AEP и AQP равны (как опирающиеся на дугу AP) между собой, и равны 45°.
9.5. Всегда. Доказательство. Заметим, что на полосе шириной 2 клетки можно закрасить не
более 2n + 1 клеток, так чтобы они не образовывали уголок. Тогда всего на доске можно
закрасить не более n(2n + 1)+ 2n + 1= 2𝑛2 + 3𝑛 + 1 < 2𝑛2 + 3𝑛 + 2.
Решения 10 класс
10.1. Ответ: x = 3, y = 2. Решение: Обозначим 2𝑥 − 3𝑦 + 1 = 𝑎, 𝑦 − 𝑥 + 2 = 𝑏, 2𝑦 − 𝑥 =
𝑐. Заметим, что a + b + c = 3, причем a>0, b>0,c>0. Единственное целое решение a=1,
b=1,c=1. Тогда 2𝑥 − 3𝑦 + 1 = 1, 𝑦 − 𝑥 + 2 = 1, 2𝑦 − 𝑥 = 1. Решаем систему, получаем x = 3, y
= 2.
10.2. Ответ: (x - y)(y - z)(x - z).
10.3. Построение. Построим взаимно перпендикулярные прямые. Для этого проведем две
пары параллельных прямых так, чтобы одна пара не была параллельна другой паре. Точки
пересечения
прямых
–
вершины
ромба.
Проведя
диагонали
ромба,
получим
перпендикулярные прямые. Опираясь на них, можно с помощью двусторонней линейки
построить два соседних по стороне квадрата со стороной √2. Проведем в квадратах
диагонали (половинка диагонали – отрезок длины 1) и соберем из половинок диагоналей
квадрат со стороной 1.
10.4. Ответ: 10 + 34/143 часа – время начала олимпиады, 4 + 8/13 часа - длительность
олимпиады. Пусть олимпиада началась в 10 + x часов, закончилась в 14 + y часов. Тогда,
начиная с 10 часов до времени начала олимпиады, часовая стрелка сдвинулась на x, а
минутная на 2 + y. Минутная стрелка двигается в 12 раз быстрее минутной. Получаем
первое уравнение (2 + y)/12 = x. Поменяем минутную и часовую стрелки местами. Со
времени окончания олимпиады до 15 часов минутная стрелка сдвинется на 2 – x, а часовая
на 1 – y. Получаем второе уравнение (2 – x)/12 = 1 – y. Решая систему, найдем x = 34/143
часа, y = 122/143 часа. Тогда время начала 10 + 34/143 часа, время окончания 14 +
122/143 часа. Тогда длительность олимпиады y – x = 4 + 8/13 часа.
10.5. Не может. Доказательство. Пусть удалена клетка в правом верхнем углу. Расставим
числа 0, ±1,2 как в таблице
1 -1 1 -1 1 -1
0 2 0 2 0 2 0
1 -1 1 -1 1 -1 1
0 2 0 2 0 2 0
1 -1 1 -1 1 -1 1
0 2 0 2 0 2 0
1 -1 1 -1 1 -1 1
Каждое вертикальное домино закрывает два числа суммой 1. Каждое горизонтальное
домино закрывает сумму 0 или 2. Сумма всех чисел в таблице 21. Тогда количество
вертикальных домино нечетно. А значит и количество горизонтальных нечетно.
Решения 11 класс
11.1. Ответ: 17. Числа 3, 9, 15, …, 99.
Решение: Докажем, что в наборе из трех или более чисел с указанным свойством могут
встречаться только числа, делящиеся на 6 или дающие остаток 3 при делении на 6.
Действительно, если одно из чисел дает при делении на 6 остаток 1, то все остальные числа
должны давать остаток 5 (чтобы сумма делилась на 6). А тогда сумма двух чисел с остатком
5 не будет делиться на 6. Аналогично, остатки от деления на 6 не могут быть равны 2, 4 или
5. Остается сравнить два варианта: числа 6, 12, 18, …, 96 (кратные 6) и числа 3, 9, 15, …, 99 (с
остатком 3). В первом варианте 16 чисел, во втором - 17.
11.2. Ответ: 10 + 34/143 часа – время начала олимпиады, 4 + 8/13 часа - длительность
олимпиады. Пусть олимпиада началась в 10 + x часов, закончилась в 14 + y часов. Тогда,
начиная с 10 часов до времени начала олимпиады, часовая стрелка сдвинулась на x, а
минутная на 2 + y. Минутная стрелка двигается в 12 раз быстрее минутной. Получаем
первое уравнение (2 + y)/12 = x. Поменяем минутную и часовую стрелки местами. Со
времени окончания олимпиады до 15 часов минутная стрелка сдвинется на 2 – x, а часовая
на 1 – y. Получаем второе уравнение (2 – x)/12 = 1 – y. Решая систему, найдем x = 34/143
часа, y = 122/143 часа. Тогда время начала 10 + 34/143 часа, время окончания 14 +
122/143 часа. Тогда длительность олимпиады y – x = 4 + 8/13 часа.
11.3. Существуют. Например, x = 103, y = 2102, 3103.
11.4. Разобьем каждую дорогу на полудороги. Из каждого города выходят 3 полудороги.
Кроме этого, есть 3 внешние полудороги, не выходящие, из городов. Если n – количество
городов в государстве, а ci – количество внешних дорог цвета i, то числа полудорог каждого
цвета будут n + c1 , n + c2 , n + c3 . Все эти числа четные, следовательно, четность чисел c1 , c2 ,
c3 одинакова. По условию, c1 + c2 + c3 = 3. Значит, c1 = c2 = c3 = 1.
11.5. Из точки О опустим перпендикуляры OK, OL, OM, ON на стороны AD, DC, BC, AB
соответственно. Искомые углы обозначим , , , . Ясно, что AOK=, BON=, COM=,
DOL=. Пусть S- центр квадрата, P-середина стороны AB, а точка О лежит внутри
треугольника SPB. Тогда угол KOB больше или равен 135. AON<+. Следовательно,+
+ +> KOB135. Аналогично, если точка О расположена в других частях квадрата.