Задание №2. Найти производные сложных функций

СЕВЕРО-КАВКАЗСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ
ГУМАНИТАРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ
АКАДЕМИЯ
Кафедра математики
А.А. Узденов
Методические указания и контрольные задания по математике
для студентов-заочников аграрного института
1 курс
1 семестр
Черкесск, 2013.
1
ВВЕДЕНИЕ
Цель изучения математики в вузах – развитие логического и алгоритмического мышления; обучение основным математическим методам, необходимым для
анализа и моделирования устройств, процессов и явлений, а также для решения
различных прикладных (инженерных и экологических) задач, приобщение к
самостоятельному изучению учебной литературы по математике и ее
приложениям; овладение основными численными методами исследования и
решения математических задач.
Подготовка кадров квалифицированных специалистов, способных
обеспечить все ступени планирования обоснованными и наиболее выгодными
расчетами возможна только при поступлении этих расчетов на надежной
математической основе. Поэтому становиться необходимым улучшение уровня
математических знаний студентов аграрных специальностей. Этой цели служит
издание методических указаний, отражающих
специфику программы по
математике для аграрных специальностей академии.
Предлагаемое методическое указание дает возможность студентам разных
форм обучения систематически закреплять полученные теоретические знания
самостоятельным решением примеров и задач по разделам: линейная алгебра с
элементами аналитической геометрии, введение в анализ, дифференциальное
исчисление.
Примеры и задачи в предлагаемом методическом указании расположены в
соответствии с изложением материала в учебниках для студентов аграрных
специальностей.
В процессе изучения курса математики студент должен выполнить ряд
контрольных работ, главная цель которых – оказать студенту помощь в его работе.
Рецензии на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им
соответствующего раздела курса, указывают на имеющиеся у него пробелы, на
желательное направление дальнейшей работы, помогают сформулировать
вопросы для постановки их перед преподавателем.
ПРАВИЛА ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Перед выполнением контрольного задания следует изучить соответствующие разделы курса по изданиям, которые рекомендуются ниже. В методических
указаниях даются некоторые начальные теоретические сведения для решения
задач из контрольных работ. При затруднении в освоении теоретического или
практического материала можно получить консультацию на кафедре математики
или в учебно-консультационных пунктах.
2
Каждая контрольная работа должна быть сделана в отдельной тетради, на
обложке которой следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы, шифр,
название группы, номер контрольной работы, название дисциплины.
Задачи контрольной работы выбираются из таблицы вариантов в соответствии с номером, который совпадает с последней цифрой учебного шифра
студента. Решения задач необходимо проводить в последовательности, указанной в таблице вариантов. При этом условие задачи должно быть полностью переписано. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку,
следует переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными из
соответствующего номера.
Решение задач нужно излагать подробно и аккуратно, объясняя все
действия. В конце решения, следует записать ответ. Контрольная работа,
выполненная не по-своему варианту, не допускается к собеседованию. К
собеседованию не допускается также работа, в которой выполнены не все
задания.
В зачтенной контрольной работе студент должен исправить отмеченные
рецензентом ошибки и учесть его рекомендации и советы. Если же работа не
зачтена, то ее выполняют еще раз и отправляют на повторную рецензию. Зачтенные контрольные работы предъявляются преподавателю при сдаче зачета
или экзамена.
3
Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии
Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики – матричная
алгебра – имеет чрезвычайно важное значение для математиков и физиков,
экономистов и юристов и т.д. Объясняется это тем, что значительная часть
математических моделей различных объектов и процессов записывается в
достаточно простой, а главное – компактной матричной форме.
1.1 ПОНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Прямоугольную таблицу из чисел, содержащую произвольное число m строк
и n столбцов, называют матрицей. Числа, составляющие матрицу. называют
элементами матрицы.
Матрицы обозначают прописными буквами латинского алфавита, например,
А; В; С;…, а для обозначения элементов матрицы используют строчные буквы с
двойной индексацией: aij, где i – номер строки, j – номер столбца.
Например, матрица
 х11

 х21


 хi1


х
 m1
х12

х22



хi 2



х1n 

х2 n 

,
хin 
 
хmn 
хm 2 
(1)
или в сокращенной форме А=(xij), i=1; 2; …; m; j=1; 2; …; n.
 2 5 13,1


Например, А   7,2 1 0  .
9 7 9 


Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица
называется квадратной.
Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:
 а1

 а2
b1 

b2 
(2)
Эта матрица называется квадратной матрицей второго порядка.
Определителем матрицы второго порядка (2) называется число, равное a1b2
– a2b1 и обозначается символом
а1
b1
а2 b2
= a1b2 – a2b1
(3)
Элементы, составляющие матрицу данного определителя обычно
называются элементами этого определителя.
Справедливо следующее утверждение: для того, чтобы определитель
второго порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы его
строк (или, соответственно, его столбцов) были пропорциональны, то есть
4
а1 b1
а
a
и 1 2

а2 b2
b1 b2
(4)
1.2 СИСТЕМА ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ
Покажем, как применяются определители второго порядка для исследования
и отыскания решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными:
а1 x  b1 y  h1 ,

а2 x  b2 y  h2 ;
(5)
(коэффициенты a1; a2; b1; b2 и свободные члены h1 и h2 считаются при этом
заданными). Напомним, что пара чисел х0 и у0 называются решением системы (5),
если подстановка этих чисел на место х и у в систему (5)обращает оба уравнения
(5) в тождества.
Умножая первое уравнение системы (5) на b2, а второе на b1 и затем
складывая полученные при этом равенства, будем иметь
(a1b2 – a2b1) х = b2h1- b1h2
(6)
Аналогично, путем умножения уравнений системы (1.5) на a1 и -a2
соответственно получим:
(a1b2 – a2b1) у = а1h2- а2h1
(7)
Введем следующие обозначения  
а1
b1
а2 b2
; x 
h1
b1
h2 b2
; y 
а1
h1
а2
h2
(8)
С помощью этих обозначений выражения для определителя второго порядка
(6) и (7) могут быть переписаны в виде
x=x, y=y,
(9)
откуда
х
у
х
.
;у


(10)
Определитель , составленный из коэффициентов при переменных системы
(5) принято называть определителем этой системы или главным
определителем системы (5). Заметим, что определители x и y получаются из
определителя  посредством замены первого, или, соответственно, второго
столбцов свободными членами.
2 х  3 у  21,
 х  4 y  23.
Пример 1. Решить систему уравнений с двумя переменными 

▲
2
3
1
4
y 
2
 2  4  (1)  (3)  5;  x 
21
 1  23
Отсюда х 
21
3
 23
4
 21  4  (23)  (3)  15;
 2  (23)  (1)  21  25;
у
 х 15
25

 3; у 

 5; x  3, у  5.

5

5
5
Могут представиться два случая: 1) определитель  системы отличен от
нуля; 2) определитель равен нулю.
Рассмотрим сначала случай   0. В этом случае из уравнений (9) мы сразу
получим формулы для переменных (10).
Полученные нами так называемые, формулы Крамера дают решение
системы (9) и поэтому доказывают единственность решения исходной системы
(5).
Итак, если у исходной системы (5) существует при   0 решение, то это
решение однозначно определяется формулами Крамера (10).
Рассмотрим теперь тот случай, когда определитель  системы (5) равен
нулю. Могут представиться два подслучая: а) хотя бы один из определителей x
или y отличны от нуля; б) оба определителяx и y равны нулю.
В подслучае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (9), то
есть система (9) не имеет решения, а поэтому не имеет решения и исходная
система (5).
В подслучае б) исходная система (5) имеет бесчисленное множество
решений.
Приходим к следующему выводу: если определитель  системы (5) равен
нулю, то система (5) либо вовсе не имеет решения (в случае, если хотя бы один из
определителей x или y отличны от нуля), либо имеет бесчисленное множество
решений (в случае, когда x = y = 0).
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Рассмотрим квадратную матрицу
 а1

 а2
а
 3
b1
b2
b3
c1 

c2 
c3 
(11),
состоящую из девяти элементов.
Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (11),
называется число a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3 – c1b2a3 – b1a2c3 – a1c2b3
(12)
и обозначается
символом:
а1
b1
c1
а2
b2
а3
b3
c2 = a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3 – c1b2a3 – b1a2c3 – a1c2b3
c3
(13).
Как и в случае определителя второго порядка, элементы матрицы (11) будем
называть элементами самого определителя. Кроме того, договоримся называть
диагональ, образованную элементами a1; b2 ; c3 главной, а диагональ отраженную
элементами a3; b2 ; c1 – побочной.
Для запоминания конструкции слагаемых, входящих в выражение для
определителя (12), укажем два правила.
6
Заметим, что первые три слагаемых, стоящих в выражении (12) со знаком
«плюс», представляют собой произведение элементов определителя, взятых по три
так, как указано пунктирами на нижеприведенной схеме:
а1
b1
c1
а2
b2
c2
а3
b3
c3
Последние же три слагаемых, стоявших в выражении (12) со знаком
«минус», представляют собой произведение элементов, взятых по три так, как
указано различными пунктами на следующей схеме:
а1
b1
c1
а2
b2
c2
а3
b3
c3
Правило составления шести слагаемых, входящих в выражение (12) для
определителя, опирающиеся на указанные две схемы обычно называют правилом
треугольника.
1 2 3
Пример 2. Вычислить определитель матрицы: 4 5 6 .
7 8 9
1 2 3
▲ 4 5 6 =159+267+483-753-429-861=0.
7 8 9
1.3. Элементы матричного анализа.
В данном разделе изучаются векторные величины (или просто векторы), т.е.
такие величины, которые, кроме своего численного значения, характеризуются
еще направленностью.
Физическими примерами векторных величин могут служить смещение
материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой
точки, а также действующая на нее сила.
Мы рассмотрим простейшие операции над векторами (сложение векторов,
умножение вектора на число), введем понятие линейной зависимости векторов и
рассмотрим основные приложения этого понятия, изучим различные типы
произведений векторов, актуальные для физических приложений (скалярное и
векторное произведение двух векторов, смешанное произведение векторов).
7
ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
1°. Понятие вектора. Абстрагируясь от конкретных свойств,
встречающихся в период физических векторных величин, мы приходим к понятию
геометрического вектора или просто, вектора.
Геометрическим вектором, или просто, вектором, будем
а называть направленный отрезок (рис. 1)
Вектор обозначают символом АВ , где точки А и В обозначают,
соответственно, начало и конец данного направленного отрезка, либо
Рис. 1
латинской буквой а ; b и т.п.
Начало вектора называют точкой его приложения. Если точка А является
началом вектора а , то говорят, что вектор а приложен в точке А. Для
обозначения длины вектора будем пользоваться символом АВ или а .
Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой
вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Это
позволяет нам при записи отождествлять нулевой вектор с вещественными
числами и нулем.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, или
на параллельных прямых.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют
одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы равны.
а
а
b
b
а)
а
б)
b
в)
Рис. 2
На рис. 2 изображены слева неравные векторы (а и б), а справа – равные
векторы (в). Из определения равенства векторов непосредственно вытекает
следующее утверждение: каковы бы ни были векторы а и точка Р,
существует, и при том единственный, вектор PQ с началом в точке Р, равный
вектору а .
Иными словами, точка приложения данного вектора а может быть
выбрана произвольно (!)
2°. Линейные операции над векторами.
Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и
операцию умножения вектора на вещественное число λ ≠ 0.
8
Сначала определим операцию сложения двух векторов.
Определение. Суммой а + b двух векторов а и b называется вектор С,
идущий из начала вектора а в конец вектора b , при условии, что вектор b
приложен к концу вектора а (рис. 3).
Правило сложения двух векторов, содержащееся в этом
b
определении (рис. 3) обычно называют «правилом
Треугольника». Правила сложения векторов обладают
а
а +b =
свойствами:
Рис. 3
1) а + b = b + а - переместительное свойство;
2) ( а + b )+ c = а +( b + c ) – сочетательное свойство;
3) существует нулевой вектор О такой, что а + О = а для любого вектора а ;
4) для каждого вектора а существует противоположный ему вектор а такой, что
а + а = О .
При сложении нескольких векторов пользуются следующим правилом: если
приложить вектор а 2 к концу вектора а1 ; вектор а3 к концу вектора а 2 ,..., вектор
аn к концу вектора а n 1 , то сумма а1 + а 2 +…+ а n 1 будет представлять собой вектор,
идущий из начала вектора а1 в конец вектора а n 1 (рис. 4).
а2
а1
а3
аn
аb
а
Определение. Разностью а - b
вектора а и вектора b называется
такой вектор c , который в сумме с
вектором b дает вектор а (рис. 5).
b
а n 1
Рис. 4
аi
Рис. 5
Определение. Произведением α а (или а α) вектора а на действительное
число α называется вектор b , коллинеарный вектору а , имеющий длину, равную
 × а и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора а в случае
α>0 и противоположное направлению вектора а в случае α<0.
Замечание. В случае, когда α= 0 или а = О произведение α а представляет
собой нулевой вектор, направление которого неопределенно.
Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:
5) α ( а + b ) = α а +α b - распределительное свойство числового множителя
относительно суммы векторов;
9
6) (α+β) а = α а +  - распределительное свойство векторного множителя
относительно суммы чисел;
7) α (β а ) = (αβ) а - сочетательное свойство числовых множителей.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
1°. Под углом между двумя векторами будем подразумевать тот угол,
который не превосходит π (180°).
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число,
равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов а и b обозначают а · b . Если угол между
векторами а и b равен  , то по определению скалярное произведение этих
векторов выражается формулой
(14).
а · b = а · b ×cos 
Два нулевых вектора а и b составляют острый (тупой) угол тогда и только
тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно). На самом

2

Если  = , то cos  = 0 и а ⊥ b .
2
деле, если 0<  < , то cos  >0 и а · b >0; если

<  <π, то cos  <0 и а × b <0.
2
Алгебраические свойства скалярного произведения векторов
Скалярное произведение векторов обладает следующими
свойствами:
1) а · b = b · а - переместительное свойство;
2) (α а )β = α( а · b ) – сочетательное свойство числового множителя;
четырьмя
3) ( а + b )· c = а · c + b · c - распределительное свойство относительно суммы
векторов;
4) а · а >0, если а - не нулевой вектор и а · а = 0, если а - нулевой вектор.
2°. Выражение скалярного произведения в декартовых координат. Если
два вектора а и b определены своими декартовыми координатами а = ( x1 ; y1 ; z1 )
и b = ( x2 ; y2 ; z2 ), то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных
произведений их соответствующих координат, т.е.
а · b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
Следствие 1. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности
векторов а и b является равенство x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0.
Следствие 2. Угол  между векторами а = ( x1 ; y1 ; z1 ) и b = ( x2 ; y2 ; z2 )
определяется по формуле
10
cos  =
x1 x2  y1 y2  z1 z2
x12  y12  x12  x22  y22  z22
3°. Длина вектора. Вектор АВ , имеющий начало в точках А ( x1 ; y1 ; z1 ) и
конец в точке В ( x2 ; y2 ; z2 ), то его длина вычисляется по формуле:
АВ = d =
( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2
Доказательство этой формулы было приведено в учебниках по математике
для средних школ и основывается на основании теоремы Пифагора.
Пример 3. Найти скалярное произведение векторов а =(3; 4; 7) и
b =(2;-5; 2).
▲ Находим: а · b = 3×2+4×(-5)+7×2 = 0 , т.к. а · b =0, то а ⊥ b .
Пример 4. Даны векторы а = (m; 3; 4) и b = (4; m; -7). При каком m а ⊥ b ?
▲ Находим скалярное произведение векторов по формуле ②: а · b = 4m+3m-28=0,
7m = 28; m = 4. При m = 4 векторы а и b перпендикулярны.
Пример 5. Найти угол между векторами а = (1; 2; 3) и b = (6; 4; -2).
▲ Так как а · b = а × b ×cos  , то cos  =
=
а b
ab
. cos  =
x1 x2  y1 y2  z1 z2
x  y12  x12  x22  y22  z22
2
1
1 6  2  4  3  6
2
2
 и  = arccos .
7
1  4  9  36  16  4 7
Пример 6. Найти длины сторон треугольника АВС, если А(1;1;1;); В(2;3;4);
С (4;3;2;).
▲ Находим длины векторов АВ ; ВС и АС . Имеем
АВ =
(2  1) 2  (3  1) 2  (4  1) 2  44 ; ВС =
(4  2) 2  (3  3) 2  (2  4) 2  2 2 ; АС =
(4  1) 2  (3  1) 2  (2  1) 2  14 .
Следовательно, стороны треугольника имеют длину АВ = АС = 14 ; ВС = 2 2 .
1.4 Прямая на плоскости. Понятие об уравнении плоскости и прямой в
пространстве.
10 Прямой линии на плоскости соответствует уравнение первой степени с двумя
неизвестными.
а) Общее уравнение прямой Аx+Вy+С=0 , где А;В; С – произвольные коэффициенты, причем А2+В2≠0.
б) Уравнение прямой с угловым коэффициентом у=kx+b, где k = tgφ –угловой
коэффициент прямой; φ – угол наклона прямой к положительному направлению
оси ОX, b – величина отрезка, отсекаемая прямой на оси ОY от начала координат
(рис. 2)
11
y
b
в) Уравнение прямой в отрезках
p
φ
α
o
а
x y
  1 (15), здесь
a b
а; b – величины отрезков, которые прямая отсекает от
осей координат (рис. 6).
г) Уравнение прямой, проходящей через две данные
x
y  y1
x  x1
точки Ì 1 ( x1 ; y1 ) и Ì 2 ( x2 ; y2 )
(16).

y 2  y1
Рис. 6
x2  x1
д) Нормальное уравнение прямой x * cos   y * sin   p  0 (17).
Здесь Р- длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала
координат, - угол, отсчитываемый от положительного направления оси Ох,
против часовой стрелки, до перпендикуляра р (рис. 1). Чтобы привести общее
уравнение прямой к нормальному виду, нужно общее уравнение прямой умножить
на нормирующий множитель  
1
 A2  B 2
, взятый со знаком, противоположный
знаку свободного члена С.
1.5 Кривые и поверхности второго порядка.
Кривыми второго порядка называются кривые, уравнения которых в
прямоугольных координатах представляют уравнения второй степени с двумя
неизвестными Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0
Существуют три типа таких кривых: 1) если АС-В20, кривая
эллиптического типа; 2) если АС-В20 - гиперболического типа; 3) АС-В2=0 параболического типа
а)
Окружностью
называется
геометрическое
место
точек,
равноудаленных
от
одной
точки,
называемой
центром
окружности.
Уравнение окружности имеет вид
(ха)2+(у-b)2= R2, где а и b- координаты
центра, R- радиус окружности.
Если центр окружности находится в
начале координат, то ее уравнение
x2+y2= R2
Рис. 7
б) Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых
до двух данных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина
постоянная r1+r2=2a, а- const (рис. 7)
12
x2 y2
Каноническое уравнение эллипса имеет вид 2  2  1 , где a и b-большая и малая
a
b
полуоси эллипса. Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного
расстояния F1F2=C к его большой полуоси ε=
c
a
в) Гиперболой называется геометрическое место точек, абсолютная величина
разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть
величина постоянная r2-r1=2a, а- const(рис8). Каноническое уравнение гиперболы
имеет вид
x2 y2
 1 , где а- действительная
a2 b2
полуось, b- мнимая полуось гиперболы.
b
a
Уравнение асимптоты y   x
г) Параболой называется геометрическое
место точек, равноудаленных от точки ,
называемой ее фокусом от данной прямой,
называемой ее
директрисой (рис 9).
Каноническое уравнение параболы имеет
вид y2= 2Px , где Р- параметр параболы,
Рис. 8
равный расстоянию от фокуса до биссектрисы. Общее уравнение параболы, ось
симметрии которой параллельна оси Оу, имеет вид y= ax2+ bx+c , где a,b,cпостоянные коэффициенты.
y
d

p
2
z
c
M(x;y)
0
p
F( 2
x
r
;0)
b
y
М(х;у;z)
a
x
Рис. 9
Рис. 10
а) Всякая плоскость определяется уравнением первой степени с тремя
неизвестными Ах+By+Cz+Д=0, где А, В, С и Д, постоянные коэффициенты,
причем А2+В2+С20
б) Нормальное уравнение плоскости r  n  p  0 или х cos+у cos+z cos -p =0, где
Р - длина перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат, γуглы, которые перпендикуляр образует с положительным направлением
13
координатных осей; n единый вектор направления ОР (рис 10). Для приведения
общего уравнения плоскости к нормальному виду нужно его уравнение умножить
на нормирующий множитель μ=
1
 A2  B 2  C 2
, при этом знак нормирующего
множителя должен быть противоположен знаку Д в уравнении в) Уравнение
плоскости в отрезках на осях
x y z
  , где а, b, с- отрезки, которые отсекает
a b c
плоскость на координатных осях (рис 10).
г) Уравнение плоскости, проходящей
через данную точку
Ì 1 ( x1 ; y1 )
и
перпендикулярной данному вектору N =(А;В;С) A( x  x1 )  B( y  y1 )  C( z  z1 )
д) Точка пересечения трех плоскостей находится из совместного решения их
уравнений.
е) Уравнение плоскости, проходящей через три точки М 1 ( x1 ; y1 ) ; М 2 ( x2 ; y2 ) и
x  x1
y  y1
z  z1
М 3 ( x3 ; y3 ) x2  x1
y 2  y1
z 2  z1  0 ж) Угол между двумя плоскостями равен углу
x3  x1
y3  y1
z 3  z1
между нормальными к ним векторами N1  ( A1 ; B1 ; C1 ) и N 2  ( A2 ; B3 ; C4 )
cos  
N1  N 2
N1  N 2
A1 A2  B1 B2  C1C 2

A  B12  C12  A22  B22  C 22
2
1
Если плоскости перпендикулярны, то
параллельны, то
A1 A2  B1 B2  C1C2  0 . Если плоскости
A1 B1 C1


A2 B2 C 2
з) Расстояние от точки М 1 ( x1 ; y1 ) до плоскости d 
Ax1  By1  Cz1  D
 A  B C
2
2
2
)
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
б) Уравнение прямой в
 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
а) Уравнение прямой в общем виде 
каноническом виде
A C
B C
A B
x  x0 y  y 0 z  z 0
, где l  1 1 ; m   1 1 ; n  1 1


A2 C 2
B2 C2
A2 B2
l
m
n
проекции направляющего вектора a  (l; m; n) прямой, проходящей через точку
Ì 01 ( x0 ; y0 ) .
в) Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М 01 ( x0 ; y0 ; z 0 ) в
направлении вектора a  (l; m; n) имеет вид x  x0  lt ; y  y0  mt; z  z 0  nt;
50
а)
Уравнение
прямой,
приходящей
через
две
x  x1
y  y1
z  z1


x2  x1 z 2  z1 z 2  z1
б) Угол между двумя прямыми cos   
l1l 2  m1 m2  n1n2
l12  m12  n12 * l 22  m22  n22
14
данные
точки
Если прямые взаимно- перпендикулярны, то
прямые параллельны, то
l1 m1 n1


l 2 m2 n 2
60. Угол между прямой и плоскостью sin  
Условие
параллельности
прямой
и
Al  Bm  Cn
A  B 2  C 2 l 2  m2  n2
2
плоскости
перпендикулярности прямой и плоскости
x  x0 y  y 0 z  z 0


l
m
n
l1l2  m1m2  n1n2  0 , если две
A l +B m +C n =0,
условие
A B C
. Точка пересечения прямой
 
l m n
и плоскости Ax+By+Cz+D=0 находится по формулам
x  x0  lt ; y  y0  mt; z  z 0  nt ; где t 
Ax0  By 0  Cz0  d
Al  Bm  Cn
ВВЕДЕНИЕ А АНАЛИЗ
2.1 ФУНКЦИЯ
Метод координат представляет собой один из наиболее универсальных
математических методов и используется для решения самых разнообразных задач.
В основе метода лежит понятие системы координат на прямой, плоскости и в
пространстве.
xx/
Две взаимно перпендикулярные прямые
и
образуют
yy /
прямоугольную (декартову) систему координат. Прямые xx/ и yy / называют
осями координат, одна из них xx/ (обычно изображается горизонтально)
называется осью абсцисс, другая yy / - осью ординат; точка О их пересечения –
началом координат. На каждой из осей выбирается по произвольному масштабу.
Взяв произвольную точку М на плоскости, в которой расположены оси,
найдем ее проекции Р и Q на координатной оси. Отрезок ОР на оси абсцисс, также
число х, измеряющие его в избранном масштабе, называется абсциссой точка М;
отрезок ОQ на оси ординат, а также измеряющее его число у – ординатой точки
М. Величины х = ОР и у = ОQ называются прямоугольными координатами
(или просто координатами) точки М. Они считаются положительными или
отрицательными в соответствии с заранее установленными направлениями
положительных отрезков на каждой оси. Обычно на оси абсцисс положительные
отрезки откладываются вправо, а на оси ординат – вверх от начала координат.
Каждой точке плоскости соответствует одна пара чисел x; y. Каждой паре
действительных чисел х; у соответствует одна точка М.
у
у2
M2
15
M1
y1
x1
x2
М
Рис. 12
Каждой точке плоскости соответствует одна пара чисел х; у. Каждой паре
действительных чисел х; у соответствует одна точка М.
В школе было доказано, что расстояние между двумя точками плоскости
M1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x2 ; у2 ) вычисляется по формуле M1 M 2 = ( x2  x2 ) 2  ( y2  y1 ) 2 .
Доказательство основано на применении теоремы Пифагора к прямоугольному
треугольнику М M1 M 2 (рис. 12).
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ.
1. Наиболее удобным для изучения свойства функции является
аналитический способ задания (если он возможен).Этот способ заключается в
том, что правило составления задается в виде аналитического выражения, или
формулы, содержащей указания на те операции или действия, которые надо
произвести с аргументом х, чтобы получить соответствующее значение у = f (x)
функции f. Например, если функция f определена формулой f ( x) 
1
, то здесь
x 1
3
указано правило: каждому значению х1 ставится в соответствие частное
отделения единицы на разность между третьей степенью числа х и единицей.
Заметим, что правило, характеризующее одну и ту же функцию может

задаваться разными формулами. Так, функции f (x)=cos x ( x  [0; ] ) и g (x) =
2

1  sin 2 x ( x  [0; ]) совпадают, так как правило, определяющее их, одно и то же
2

хотя и выражено разными символами. В то же время функции f (x)=cos x ( x  [0; ]
2
) и h (x)=cos x ( x  [0; ] ) различны.
Часто рассматриваются функции, которые на разных частях множества
своего существования задаются разными формулами.
Пример 7. Функция  определена на промежутке [0;1] следующим образом:
0, если 0  x  1;
1, если х  1
 (х) = 
Пример 8.
образом:
g (x) =
Функция g определена на промежутке (-; +) следующим
x 2  1, если x  (;  1)  (1; );
1  x 2 , если x  [1; 1]
16
областью определения функция g разбита на две части: одна часть состоит из
интервалов (-; -1) и (+1; ), другая – из обрезка [-1; 1]. Формулы, определяющие
функцию g, различные на каждой из этих частей.
Пример 9. Функция Дирихле:
1, если х рационально
0, если х иррационально
D (x) = 
Пример 10. Функция «СИГНУМ»**
1, если х  0;

Sgn x = 0, если x  0;
 1, если x  0

2. Иногда бывает так, что нужную нам функцию не удается задать с
помощью формулы (или формул), содержащей известные нам символы. В этом
случае правило, характеризующее функцию, описывается словами. Это
описательный способ задания функции.
3. В естественных науках, технике и других областях человеческой
деятельности зависимость между величинами часто устанавливается
экспериментально или путем наблюдений. Эту зависимость удобно задавать
таблицей, где просто составлены полученные из опыта данные. Это табличный
способ задания функции. Этот способ заключается в том, имеется таблица, в
которой даны значения аргумента и соответствующие им значения функции.
Например, в таблице приведены результаты измерения силы звука самолета, (она
обозначается V и измеряется в децибелах (дб)) на различных расстояниях от точки
взлета (расстояние обозначается, как обычно, через S и измеряется в километрах):
S
V
1
115
2,5
108
3
102
5,5
98
7
93
8,5
89
10
87
15
72
20
60
30
65
Заметим, что область определения функции, заданной таблицей, является
«не сплошным» множеством (промежутком), а содержит лишь некоторое
фиксированное число элементов.
4. В некоторых случаях функция задается графиком. Но не всякое
множество может служить графиком функции.
О графическом способе задания функции и свойствах графиков функции мы
расскажем в следующем параграфе.
ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ
Чтобы графически изобразить заданную функциональную зависимость, на
оси абсцисс отличаем ряд значений x1 ; x2 ; х3 ;… одной из переменных х (обычно
аргументы) и строим ординаты y1 ; у2 ; y3 ;…, представляющие соответствующие
значения другой переменной у (функции), получим ряд точек M1 ( x1 ; y1 ); M 2 ( x2 ;
17
у2 ); М 3 ( х3 ; y3 );…. Соединяя их на глаз плавной кривой линией, получим график
данной функциональной зависимости.
По графику можно найти (приближенно) значение функции и для тех
значений аргумента, которые в таблице не помещены. Например, пусть требуется
найти значение t при t = 170 C. Отметив на оси абсцисс (или на прямой At, ей
параллельной) абсциссу t = АР = 170 и поставив перпендикуляр РМ, найдем
ординату Е = РМ = 20,745, т.е. М (170; 20,75).
Нахождение промежуточных значений функции по ее графику называется
графической интерполяцией.
На практике всякий график строится «по точкам», т. е. от руки проводится
плавная линия, соединяющая ряд последовательных точек M1 ; M 2 ; М 3 ;…. При
этом теоретически никогда не исключается возможность, что промежуточные
точки, не нанесенные на график лежат очень далеко от проведенной плавной
кривой. Ввиду этого теоретически следует определить график как
геометрическое место точек М (х; у), координаты которых связаны данной
функциональной зависимостью.
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим функцию f, определенную на некотором промежутке Х.
Если f ( x1 )  f ( x2 ) при x1 ≤ x2 ( x1 ; x2  X), то функция f называется
возрастающей.
Если f ( x1 )  f ( x2 ) при x1 ≤ x2 ( x1 ; x2  X), то функция f называется убывающей.
Если f ( x1 ) < f ( x2 ) при x1 < x2 ( x1 ; x2  X), то функция f – строго возрастающая.
Если f ( x1 ) > f ( x2 ) при x1 < x2 ( x1 ; x2  X), то функция f – строго убывающей.
Возрастающая или убывающая функции называются монотонными, а
строго возрастающая или строго убывающая – строго монотонной.
Пусть теперь функция f определена на некотором симметрическом
промежутке Х. (Симметричным называется любой из промежутков вида ((-а; а);
[а; а]; а>0; и (-; +)). Тогда, если для любого х и Х f (-х)=f(x), что функция f
называется четной, если же f (-x) = -f (x), то – нечетной. Если же не выполняется
ни одно из этих условий, то функция называется функцией общего вида (или ни
четной, ни не четной).
Нетрудно показать, что график четной функции симметричен
относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен
относительно начала координат.
Функция f, определенная на некотором множестве Х, называется
ограниченной, если существует число L>0 такое, что f (x)  L для любого x  X.
у
у
у
18
Рис. 19
Рис. 20
Рис.21
Функция f, определенная на некотором множестве Х, называется
периодической, если существует такое число T 0, то для любого х  Х: 1) х+Т 
Х; 2) х-Т  Х; 3) f (х+Т)=f (х). Число Т при этом называется периодом функции f.
Заметим, что если число Т является периодом функции f, то и число  Т w
(n N) также является ее периодом.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Кроме функций, перечисленных выше, изучаются еще тригонометрические
функции синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, причем последние
четыре просто выражаются через синус и косинус: tg x =
=
sin x
cos x
; ctg x =
; sec x
cos x
sin x
1
1
; cosec x =
cos x
sin x
Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая
часть не содержит зависимой переменной; например, функция у = х²-5х+4 – явная.
Функция у аргумента х называется неявной, если она задана уравнением
F (х; у) = 0, не разрешенным относительно зависимой переменной. Например,
функция у (у0), заданная уравнением х³ + у² - у ln x+x sin y = 0 неявная, так как
она не разрешима ни относительно х, ни относительно у.
Из основных функций новые функции могут быть получены двумя
способами при помощи: а) алгебраических действий; б) операций образования
сложенной функции.
Пусть функция у = f (u) есть функция от переменной U, определенной на
множестве U с областью значений Y, а переменная U в свою очередь является
функцией U = φ(x) от переменной х, определенной на множестве Х с областью
значений U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f (φ (х)) называется
сложной
функцией
(или
композицией
y
функций, суперпозицией функций, функцией
1
от функции).
M (a; b)
Например, у = log sin x – сложная
b
функция, так как ее можно представить в
х
виде у = lg U, где U = sin x.
-1
o
а
1
x
19
-1
Определение. Функции, построенные из элементарных функций с помощью
конечного числа алгебраических действий и конечного
числа операций
образования сложной функции,
Рис. 22
называется элементарными.
Например, функция у =
5
х  sin 3 x
 ln 3 x  1 является элементарной, так как
3x 7
x5 7
здесь число операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в
степень, и образования сложной функции sin 3 x ; 7 3 x  7 ; ln 3 x  1 конечно.
Примерами неэлементарных функций являются функции у = |х|; у = [х]–
целая часть х; у = {х} – дробная часть х и др.
Рассмотрим более подробно некоторые элементарные функции
тригонометрические. По определению sin x = a; cos x = b, где (а; b) координаты
точки М, которая лежит на окружности единичного радиуса с центром в начале
координат (рис. 22), а х – угол, образованный вектором ОМ и осью Ох.
Если точка М сделает полный оборот и придет в исходное положение, то
угол х увеличится на 2π*. Но числа а и b в результате этой процедуры, не
изменяются. Отсюда следует, что синус, косинус и другие тригонометрические
функции будут периодическими функциями с периодом Т = 2π, т.е. для них
sin x = sin (x+2π)+…+sin (x+2πk); k  z;
cos x= cos (x+2π)+cos (x+4π)+…+cos (x+2πk); k z.
Периодичность – важнейшее специфическое свойство тригонометрических
функций. Другие функции – степенная, показательная, логарифмическая периодическими не являются. С помощью тригонометрических функций
описываются самые разнообразные периодические процессы, происходящие в
живой и не живой природе: колебательные и вращательные движения, движение
планет, биологический ритм и т.п.
Функции, как и числа, можно складывать, вычитать, умножать и делить.
Например, если разделить одну линейную функцию на другую, то получим
функцию, которая получила название дробно-линейной или дробнорациональной. Например, у =
ах  b
, (сx+d  0; a; b; c и d – любые рациональные
cx  d
числа).
Если сложить несколько степенных функций вида у = а х n , где n  N или n =
0, то получим многочлен. Например, у = ах³+ bx²+ сх +с – многочлен 3-й степени.
Аналогично получается многочлен
любой степени
n:
у =
4
n 1
n2
a0 x  a1 x  a2 x  ...  an 1 x  an . Многочлены в математике играют важную роль, и
не только в математике, но и в ее приложениях.
20
Карл Вейерштрасс – выдающийся математик XIX века, доказал, что любую
непрерывную функцию можно приближать с любой степенью точности. В
частности, приближенное значение функций находят по формулам:
ex  1  x 
1 2 1 3 1 4
1
x  x  x  ...  x n  ...
2!
3!
4!
n!
x3 x5 x7
x 2 n 1
n 1
sin x  x     ...  (1)
 ...
3! 5! 7 !
(2n  1) !
2 n
x2 x4 x6
n x
cos x  x  
  ...  (1)
 ...
2! 4! 6!
( 2n) !
(1  x) m  1  mx 
m(m  1) 2 m(m  1)( m  2) 3
m(m  1)( m  2)...( m  n  1) n
x 
x  ... 
x  ...
2!
3!
n!
n 1
x 2 x3 x 4
n x
ln( 1  x)  x     ...(1)
 ...
2
3
4
n 1
m
Чем больше n (число слагаемых), тем выше точность, т.е. тем меньше
приближенное значение отличается от ее истинного значения.
2.2 ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Теперь остановимся на примерах вычисления пределов, когда теоремы о
связи предела с алгебраическими операциями непосредственно применить нельзя.
Если ищется предел при x→x0 дроби, числитель и знаменатель которой
многочлены, обращающиеся в нуль, то, используя теорему Безу, легко показать,
что числитель и знаменатель делится без остатка на x-x0, т.е. данную дробь всегда
можно преобразовать тождественно, сократив на x-x0 (здесь нет сокращения на
нуль, так как x≠x0). Если и после сокращения на x-x0 числитель и знаменатель
обращается в нуль при x→x0, то надо проводить повторное сокращение на x-x0 и
т.д. Приведем соответствующие примеры.


x  1 x 2  2 x  3  lim x 2  2 x  3  12  2  1  3  6.
x  x 2  x3  3
 lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
Пример 11. lim




x  3 x 2  3x  9  lim x 2  3x  9   32  3  (3)  9  27.
x3  27
 lim
x  3 x  3
x  3
x  3
x3
Пример 12. lim


Пример 13. Пусть m и n натуральные числа (mn). Тогда имеем:
m раз



x 1
x  1 x  x    x  1
x  x  x 1
111 m
lim n
 lim
 lim n 1
 lim
 .
x 1 x  1
x 1  x  1 x n 1  x n  2    x  1
x 1 x
 x n  2    x  1 x 1 1
1
1 n

m


m 1
m2


m 1
m2
n раз
Прием, примененный в рассмотренных примерах позволяет вычислить и
пределы некоторых выражений, у которых в числителе и знаменателе фигурируют
тригонометрические функции или выражения.
Пример 14.
1  cos x 1  cos x   lim 1  cos x
sin 2 x
1  cos 2 x
2
lim
 lim
 lim
 .
x  1  cos 3 x
x  1  cos 3 x
x  1  cos x  1  cos x  cos 2 x
x  1  cos x  cos 2 x
3

21

Пример 15. lim
x
2
1  sin x
1  sin x
1  sin x
1
1
 lim
 lim
 lim
 .
2
2



cos x
2
x  1  sin x
x  1  sin x 1  sin x 
x  1  sin x
2
Пример 16. Найдем lim
x
6
2
2
1  4 sin x
.
cos 3x
2
Решение: Проведем тождественные преобразования
1

1
1  4 sin 2 x  4  sin 2 x   4  sin
4

2
 1
x     sin
 2

x ;


3
3 
3

   cos x 
.
cos 3x  4 cos3 x  3 cos x  4 cos x cos 2 x    4 cos x cos x 
4
2  
2 


отсюда, учитывая, что
1

3

 sin и
 cos , имеем:
2
6
2
6
 
  

 sin  sin x    sin  sin x 
1  4 sin x
1
6
6

 

lim


.

 

cos 3 x
cos x

x
cos x cos x  cos    cos x  cos 
6
6 
6

2
1  4 sin 2 x
1 
2

 lim  
.


cos 3x
cos x 
3
x
x 
6
6
Следовательно, искомый предел есть lim
В связи с последним примером, заметим, что ели выражение предел
которого ищется содержит сумму или разность тригонометрических функций, то
часто бывает полезным тождественно преобразовывать их в произведение по
известным тригонометрическим формулам.
Рассмотрим теперь случай, когда ищется предел при х∞ или х- ∞ дроби.
Числитель и знаменатель которой есть многочлены. Для нахождения предела в
этом случае можно тождественно преобразовать дробь так, чтобы были
применимы теоремы (1 – 5) из 3.3 п. 30, или заменить предельный переход при
1
х
х∞ (х- ∞) предельным переходом при 0, получив, что   .
Пример 17.
1 5
2
1
2  2
 2 5
3
2
3
2 x3  x 2  5
2
2
x

x

5
2    5 3 2
x x  или lim
 
lim

lim

lim

lim
 .
x  3x3  x  1
x 
x  3x3  x  1
 0 3
 0 3     3
1 1
1
3
3
3 2  3
 1
x
x
x3 
Чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональные выражения, необходимо
тождественно преобразовать дробь, перенеся иррациональность из числителя в
знаменатель или из знаменателя в числитель, и после этого сделать необходимые
упрощения. Если же имеется предел выражения, содержащего иррациональность
(но не являющегося дробью), то можно поступить аналогично, считая данное
выражение дробью со знаменателем, равным единице.
22
x2  3  3
.
x2
Пример 18. Найдем lim
x 2
Решение: Проведем преобразования:

x2  4
 x  2  

x 3 3
2
откуда lim
x 2

x2
x 5 3
2
x2  3  3
 lim
x 2
x2
Пример 19.
3x  7  2 x  10
 lim
4 x  13  x  22 x 3
lim
x 3
x  3  
x  3 3 x  3
 lim


x


3 3

x  2  






3x  7  2 x  10 
3x  7  2 x  10 
x 

x 33
2


4 x  13  x  22

4 x  13  x  22
4 x  13  x  22
4 x  13  x  22
5
 lim
 .
x 3 3 3x  7 
3x  7  2 x  10
2 x  10 12

x .

Решение: Представим данный предел в виде дроби:


x2  3  3
22
4 2
  .
45 3 6 3
3x  7  2 x  10 
4 x  13  x  22 
Пример 20. Найдем lim  x  2 
x 
lim

x2  3  3 
;
x2
2
x2  3  3

x2

x  2  x  lim
x 


x2  x
 lim
x 
1



x2  x  x2  x
2
 lim
 0.
x 
x2  x
x2  x

Пример 21. Найдем lim

x2
1
4 
 2
.
 x 2 x 4
1
4
x2
1
 2
 2

; искомый предел равен следующему
x2 x 4 x 4 x2
4 
1
1
 1
lim 
 2
 .
  lim
x2 x  2
x

2
x 4
x2 4

Решение: Так как
Мы рассмотрим только два самых важных предела, которые называются
замечательными пределами.
10. Первым замечательным пределом называется lim
x0
sin x
1
x
(22)
Для доказательства формулы (22) рассмотрим круг радиуса R с центром в

точке О (рис.23). Пусть ОВ – подвижный радиус, образующий угол х  0  x   с

2
осью Ох. Из геометрических соображений следует, что площадь треугольника
ОАВ меньше площади сектора АОВ, которая в свою очередь меньше площади
прямоугольного треугольника АОС, то есть SAOB  Sсек AOB  SAOС . Так как
1
1
1
1
1
1
R  R  sin x  R 2 sin x; Sсек AOB  R 2 x; S AOC  AO  OC  AO   AO  tgx  R 2tgx, то
2
2
2
2
2
2
1
1
1
имеем R 2 sin x  R 2 x  R 2tgx, откуда, разделив части двойного неравенства на
2
2
2
1 2
x
1
sin x
R sin x  0, получим 1 

, или cos x 
 1.
2
х
sin x cos x
S AOB 
23
y
B
C
х
x
A
0
Рис.23
Так как функции cos x и
справедливы и при 

2
sin x
х
четные, то полученные неравенства
 x  0 . Переходя к пределу при х0, получим
lim 1  1 ,
x 0
lim cos x  1 .
x 0
На основании признака существования предела промежуточной функции
sin x
 1.
x 0
x
lim
sin 6 x
x 0 4 x
Пример 22. Найдем lim
Решение: Так как
sin 6 x 3  sin 6 x 3 sin 6 x
sin 6 x 3 3
sin 6 x 3
3


 ,
, то lim
lim
 1 
x 0
4x
3  4x
2  6x
4x
2 2 x 0 6 x
2
2
2
x
 2 x
2 sin
 sin

1  cos x
1
2
2   1  12  1 .

lim

lim

lim
Пример 23. x 0
x 0
2 x 0  x 2 
2
2
x2
x2




2
Пример 24.
sin x
 sin x
tgx  sin x
sin x1  cos x 
 1 sin x 1  cos x 
cos
x
lim
 lim
 lim
 lim 



3
3
3
x 0
x

0
x

0
x

0
2x
2x
2 x cos x
2x2 
 cos x x
x

2 x 
sin 2
 1 sin x sin

2   lim 1  lim sin x  lim
2  1 1  1  1 .
 lim 


2
2
x  0  cos x
x

0
x

0
x

0
x
x
x 
cos x
x
4 4
4




2
х
 1
2 . Вторым замечательным пределом называется lim
1    е
x 
х

0
(23)
Чтобы доказать равенство (23), вспомним, прежде всего, что предел не
зависит от выбора последовательности значений переменного, стремящегося к
бесконечности. Составим эту последовательность из натуральных чисел
1; 2; 3; … и найдем соответствующие функции
24
х
1
2
2
3
3
n
 1
 1
 1
3
 1  4
 1
f ( x)  1   : f (1)  1    2; f (2)  1      ; f (3)  1      ; ...; f (n)  1   .
х

 1
 2
2
 3  3
 n
Теперь воспользуемся биномом Ньютона:
a  b n  a n  n  a n 1b  n(n  1) a n  2b 2  n(n  1)n  2 a n 3b3    n(n  2)n  2  2 ab n 1  b n
2!
(n  1)!
3!
n
1
1
Подставляя в выражение f (n)  1   вместо а единицу, а вместо b дробь , мы
n
 n
получим следующее:
1 n 1 1 n 1 n  2 1 n 1 n  2 n  3
1
n 1 n  2
2

 

 





 
2! n
3! n
n
4! n
n
n
(n  1)! n
n
n
1 n 1 n  2
1



n! n
n
n
f ( n)  2 
Каждая из дробей
(24)
n 1 n  2 n  3
;
;
; меньше единицы. Поэтому, если в
n
n
n
последней сумме эти дроби заменить единицами, то получим число, большее
f ( n) : f ( n)  2 
1 1
1
 
2! 3!
n
(25)
Заметим, что правая часть неравенства (3.13) есть в точности сумма первых
n слагаемых того самого ряда, с помощью которого мы определили ненулевое
число (см. глава 1): е  2 
1 1 1
    . Поэтому, устремляя в неравенстве (25) n к
2! 3! 4!
f ( n)  e .
бесконечности, мы получим lim
x 
(26)
Вернемся теперь снова к сумме (24). В ней все слагаемые положительные,
поэтому если часть последних слагаемых отбросить и оставить k первых
слагаемых, то сумма уменьшится:
2
1 n 1 1 n 1 n  2
1 n 1 n  2
n  k 1

 

 


 f ( n)
2! n
3! n
n
k! n
n
n
(27)
Устремим в этом неравенстве n к бесконечности. Так как каждая из дробей
n 1 n  2 n  3
;
;
; стремится при этом к единице, то в результате получится такое
n
n
n
неравенство: 2 
1 1
1
     lim f (n) . Из вышеуказанного вытекает, что k – число
2! 3!
k! x  
слагаемых слева – может быть любым, поэтому неравенство сохранится, если k
устремить в бесконечность. Но тогда слева получится бесконечный ряд, то есть
е  lim f (n)
число е. Таким образом,
(28)
x 
f (n)  е , что и требовалось
Из неравенств (26) и (28) следует, что lim
x 
доказать.
25
Число е (число Эйлера) играет весьма важную роль в математическом
анализе. График функции у=ех получил название экспоненты. Широко
используются логарифмы по основанию е, называемые натуральными, которые
обозначаются символом: loge x=ln x.
2.3 Непрерывность функции
1 0 . Если аргумент функции получает приращение  x=x 2 -x 1 , что значение
функции при новом значении аргумента равно f(x+  x)=y+  y. Отсюда
приращение функции  y= f(x+  x) – f(x), т.е. приращение функции равно
разности наращенного значения функции (при наращенном значении аргумента) и
начального значения функции. Приращение аргумента может быть не только
положительным, но и отрицательным числом.
2 0 . Определение непрерывности функции:
а) функция y=f(x) непрерывна в точки x=а, если пределы слева и справа равны и
равны значению в этой точке, т.е. lim f(x)= lim f(x)=f(a).
x a  0
x a  0
б) функция y=f(x) непрерывна в точке x=a , если она определена в этой точке и
если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое
приращение функции, т.е. lim  y=0 вблизи точки a.
x  0
3 Значения аргумента, которые не удовлетворяют условиям непрерывности,
называют точками разрыва функции. При этом различают два рода разрыва
функции. Если при x  a слева функция имеет конечный предел к 1 , а при x  a
0
справа функция имеет конечный предел k 2 и k 2  k 1 , то говорят что функция при
x=a имеет разрыв первого рода.
Разность |k 1 - k 2 | определяет скачек функции в точке x=a . Значение функции при
x=a при этом может быть равно какому угодно числу k 3 .
Если k 1 = k 2  k 3 , то говорят, что функция имеет в точке а устранимый разрыв.
Если при x  a справа и слева предел функции не существует или равен
бесконечности,
т.е.
lim f(x)=  , то говорят, что при x=a функция имеет разрыв второго рода.
x a
Решение типовых примеров.
№1. Вычислить четность (нечетность) функции: a) f(x)=x-ctg 3 x; б)y=x 
2x 1
2x 1
Решение: а)f(-x)=-x-ctg 3 (-x)=-x+ctg 3 x=-(x-ctg 3 x). Т.к. f(-x)=-f(x), то данная
функция нечетна.
26
2x  1
2x 1
б) f(-X)=(-X)·  x =x· x
(после преобразования). Т.к. f(-x)=f(x), то данная
2 1
2 1
функция четная.
№2. Найти область определения функции: а)y= x -lg(2x-3); б)y=arccos
2x
.
1 x2
x  0
2 x  3  0
Решение: a) Область определения х найдем из системы неравенств: 
Откуда x>
3
3
или D(y)=  ;   .
2
2 
б) Область определения найдем из неравенства
2x
2x
 1, откуда -1 
 1. Т.к.
2
1 x2
1 x
при любом x 1+x 2 >0, то перейдем к равносильному неравенству -1-x 2  1+x 2 ,
откуда
2 x  1  x 2
(1  x) 2  0
или


2 x  1  x 2
(1  x) 2  0
Очевидно, что полученные неравенства справедливы при любом Х т.е. область
определения функции Д(у)=(-∞;∞).
№ 3. Найти пределы:
а)
lim
x2
д)
4 x  4 x
x2  4
; б) lim
; в)
2
x  6 x  16
3x
x 0
lim ( x
x
1
2

) ; е)
1 x 1
2
lim (
x 
x  4 5x
) ; ж)
x
sin 3x  sin 4 x
; г)
lim
6x
x 0
x2
lim ( x  1 )
13 x
3x 4  4 x 2  1
;
lim
4
x  2  5 x  2 x
.
x 
Решение:
а) Разложим на множители числитель и знаменатель т.к. здесь неопределенность
0
0
вида ( )
x2  4
0
( x  2)( x  2)
x2 4
 ( )  lim
 lim

 0.4 .
lim
2
0
10
x  x  6 x  16
x 2 ( x  2)( x  8)
x 2 x  8
б) Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю:
lim
x 0
lim
x 0
4 x  4 x
0
( 4  x  4  x )( 4  x  4  x )
 2x
2
 ( )  lim
 lim

3x
0
3
3x( 4  x  4  x )
x 0
x 0 3x( 4  x  4  x )
1
1

6
4 x  4 x
27
в) Применим первый замечательный предел, выполнив соответствующие
преобразования:
lim
x 0
sin 3x  sin 4 x
sin 3x
sin 4 x 1
sin 3x 2
sin 4 x 7
 lim
 lim
 lim
 lim

6x
6x
6x
2 x0 3x
3 x0 4 x
6
x 0
x 0


г) Разделим числитель и знаменатель на х4 т.к. здесь неопределенность вида ( )
3x  4 x  1
4
2
lim 2  5x  2 x
x 
4

 ( )  lim

x 
4
1
 4
2
x
x   3 , т.к. величины 2 , 1 , 1 есть величины
2
5
x4 x3 x2
2


2
x 4 x3
3
при х→∞ бесконечно малые.
д) приведем к общему знаменателю, т.к. здесь неопределенность вида (  )
lim ( x
x 1
1
2
1  2( x  1)
 2x  1

)  lim
 lim 2
  при х→ 1 знаменатель стремится
2
1 x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
2
к0
е) Разделим почленно на х и применим второй замечательный придел:
lim (
x 
x  4 5x
4
)  lim (1  ) 5 x
x
x
x 
x


4
4



 lim 1   
x 
x  


x


4
4



х→∞, t→∞ и lim 1   
x 
x  


20
20
 e 20 т.к. если сделать замену х=4t, то при
 4  t 
 lim 1   
t  
x  

20
 e 20
ж) Выделим целую часть и почленно разделим числитель на знаменатель
x 1
lim ( x  1)
13 x
x 
 lim (
x 
x  1  1 13 x
1 13 x
)
 lim (1 
)
x 1
x 1
x 
Сделаем замену х+1=t, тогда при х→∞, t→∞ и предел примет вид при х=1-t
 1  t 
1   
lim
t  
 t  
3
1
lim (1  t )
2
 e 3 т.к. второй предел неопределенности не представляет
t 
и равен 1
№ 4. Найти точки разрыва функций и определить их вид:

sin 2 x при x≤0;

f ( x)   x 3
при 0<x≤2,
 3x

x 6
28
при x>2.
Решение:
Т.к. Данная функция не определена в точке х=6, то данная точка является
«подозрительной» на разрыв. Вычислим односторонние пределы в этой точке
3x
lim x  6  ;
x 60
3x
lim x  6   .
Т.к.
оба
предела
равны
бесконечности,
x 6 0
следовательно, точка х=6 является точкой разрыва второго ряда.
Также «подозрительными» на разрыв являются те точки, в которых
изменяется аналитическое выражение функции, т.е. точки х=0 и х=2. Вычислим
односторонние пределы в этих точках.
Для точки х=0 имеем: lim sin 2 x  0; lim x 3  0 , x0 – точка непрерывности
x 0
Для точки х=2 имеем:
lim x
x 20
x0
3
 8;
3x
6
3
lim x  6   4   2
x 2  0
Односторонние пределы функции в точке х=2 существует, но не равны между
собой. Следовательно, те точки являются точкой разрыва первого ряда.
Дифференциальное исчисление.
3.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
1º. Дифференцируемость функции и производная. Производной функции
у = f (x)называется предел отношения приращения функции к приращению
аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю, т.е. у' = xlim
0
у
.
х
В основу операции по нахождению производной (дифференцированию)
функции кладется ее определение.
Пример 1. При равномерном движении пройденный путь пропорционален
времени, т.е. S (t) = Vt, где V – постоянная величина (скорость). Если только
движение прямолинейно, но не равномерно, то скорость в каждый момент
времени равная. Скорость тела в момент времени t называют мгновенной
скоростью в точке t и обозначается V(t).
Предположим, что к моменту времени t тело прошло путь S (t), а к моменту
времени t + ∆t (∆t – малый промежуток времени) – путь S (t + ∆t), тогда за время ∆t
оно прошло путь S(t + ∆t)-S(t), и средняя скорость тела будет на этом участке ∆V.
Пусть промежуток времени ∆t уменьшается и стремится к нулю, т.е. ∆t→0, тогда и
путь, пройденный за это время, так же стремится к нулю, а средняя скорость Vср
за промежуток времени ∆t стремится к скорости тела в момент времени t.
Используя определение предела, можно записать: V (t) = xlim
0
S (t  t )  S (t )
. Эта
t
формула является строгим определением мгновенной скорости и одновременно
дает способ для ее вычисления.
29
Отказавшись от физических терминологий, перейдем к стандартным
обозначениям. Вместо «путь S(t)» будем говорить «функция f (x)», а вместо
«скорость» - «производная функции f (x) в точке х».
Итак, по определению f' (x) = xlim
0
f ( x  x)  f ( x)
 f ( x)
y
lim
= xlim
=
.
0
x  0 x
x
x
2º. Начальные формулы производной.
а) Основные свойства дифференцирования.
1) для у = С; С' = 0 (с = const); 2) для у = х; у' = 1; 3) для у = U±V; у' = U'±V', где U
= U(x), V = V (x); 4) у = mu; y' = mu' (m = const); 5) у = UV; y' = U'V+UV'; 6) y
=
U
U V  UV 
; y' =
; V ≠ 0.
V
V2
б) Основные формулы дифференцирования
U
;
2 U
u
1) ( х n )' = n х n 1 ;
2) ( U )' =
3) ( U n )' = n u n 1  u ;
4) ( n u )' =

1
U 
5)    U  (С = const)
C C
если y = f (x); A U = φ(x), то y = f (φ(x)), т.е. у –
n n u n 1
;
сложная функция от функции и у'=f' (U)× φ'(x)

 C   CV 
6)    2 (С = const)
V
V 
Примеры.
1) Используя определение производной, найти у', если у = х²+8х+5.
▲у+∆у = (х+∆х)²+8(х+∆х)+5; ∆у = ((х+∆х)²+8(х+∆х)+5) –
(х²+2∆х×х+∆х²+8х+8∆х+5-х²-8х-5 = 2х∆х+8∆х+∆х²);
у 2 хх  х 2  8х
у
= 2х+8+∆х; xlim
= xlim
(2х+8+∆х = 2х+8; у' = 2х+8


0
0
х
х
х
2) Найти производную сложной функции у = 4 3  х 2
1
3
▲у = 4 3  х 2 = (3-х² ) 4 ; у' =
3


1
1
х
(3-х² ) 4 (3-х²)' = (3-х² ) 4 ×(-2х) = 4
4
4
2 (3  х 2 )3
3º. Формулы производных от некоторых трансцендентных функций.
(sin x)' = cos x;
( а х )' = а х ln a;
(sin U)' = U'cosU;
( е х )' = е х ;
(cosx)' = - sin x;
( еU )' = U' еU ;
(cos U)' = U'sinU;
(log a x) 
1
х
U
(lnU)' = ;
U
U
(log a U ) 
U ln a
(ln x)' =
log a e
1

x
x ln a
30
Примеры.
1) Найти производные следующих функций: а) у = ln x  1  ln( x  1) ;
б) у = 5x ln 2 x ; в) у =
3
sin 2 x
.
cos 2 x
1
1
 (ln x  1) +
( х  1) 
2 ln x  1
х 1
1
1
1
1
1
=
( x  1) 
 

x 1
2 ln x  1 x
x 1 2 x
▲ а) у = ln x  1  ln( x  1) ;
1
2 ln x  1
 (ln x  1) 
1 
1

2 x  x(ln x  1)
у' =
1 
;
x  1 
x
2
x
2
x
2
x
3
2
x
б) у= 5 ln x ; у' = (5 ) ln x  5 (ln x)  [5 ln 5( x )] ln x  5 [2 ln x(ln x)] =
3
3
5 x ln 5  3x 2 ln 2 x  5 x  2 ln x 
5
2
sin 2 x
в) у =
;
cos 2 x
3
3
3
3
1
2
 5 x ln x(3 ln 5 x 2 ln x  ) ;
2
x
(sin 2 x)  cos 2 x  sin 2 x( cos 2 x )
у' =
; учитывая, что (sin²x)' =
( cos 2 x ) 2
2 sin x(sinx)' = 2sin x cоs x = sin2x; ( cos 2 x ) 
1
 (cos 2 x) 
2 cos 2 x
1
sin 2 x
.
 ( sin 2 x)  (21x) = 2 cos 2 x
cos 2 x
Получим после преобразования у' =
sin 2  cos 2 x
cos3 2 x
.
4º. Дифференцирование неявной функции.
Выше было рассмотрено дифференцирование явных функций, заданных в
виде у = f (х). Рассмотрим дифференцирование неявной функции, заданной
уравнением F (х; у) = 0.
Для нахождения производной функции у, заданной неявно, нужно
продифференцировать обе части уравнения, рассматривая у как функцию от х, а
затем из полученного уравнения найти производную у'. Фактически этим методом
мы пользовались при выводе производных у = е х ; у = x n и других.
Пример. Найти производную у' не решая уравнения х³-х²у-х²у²+а = 0
относительно у.
▲ Так как в правой части уравнения стоит нуль, а производная постоянной равна
нулю, то имеем:
d
( х³-х²у-х²у 4 +а) = 0; применяя почленное дифференцирование,
dx
находим: (х³-х²у-х²у²+а)' = (х³)'-(х²у)'-(х²у 4 )'+(а)' = 3х²-2ху- х²у'-2х у 4 -4х²у³у' = 0;
Собирая в левой части члены, содержащие производную у' и перенося остальные
члены в правую часть, имеем: у' (х²+4х²у³) = 3х²-2ху-2ху 4 ;
31
3x 2  2 xy  2 xy4 3x  2 y  2 y 4
у' =
.

x2  4x2 y3
x  4 xy3
3.2 ДИФФЕРЕНЦИАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Для дифференциала функции у = f (х) применяется формула dy = f' (х)dx или
dy = у'dx.
Дифференциал применяется для приближенного вычисления наращенного
значения функции по следующей формуле: f (x+∆x) ≈ f (x) + df (x) или
f
(x-∆x) ≈ +f (x) +f' (x)∆x.
Примеры.
1. Найти дифференциал, функции у = е х (х+3).
▲ dy = у'dx; dy = [ e  x ([+3))' dx ①. Найдем производную: [ e  x (x+3)]' = ( e  x )' (x+3)+
+ e  x (x+3)'= - e  x (x+3)+ e  x = - e  x (x+2.
Найденную производную подставим в равенство ① и получим: dy = - e  x (x+2)dx.
2. Зная, что ln 99 = 4,59512, найти без таблицы ln 100, пользуясь дифференциалом
логарифмической функции.
1
x
∆x, значит, ln (x+∆x) ≈ lnx+ . В частности, при ∆x = 1
x
x
1
формула дает: ln 100 = ln (99+1) ≈ 4,59512+  1 ≈ 4,60522. По таблице находим ln
99
▲ Имеем у = ln x, dy =
100 = 4,60517. Как видим, ошибка не значительна.
3. Вычислить 26 .
▲ Имеем у = x ; dy =
f (x)+f''(x)∆x имеем
1
2 x
26 =
dx . Пусть х = 25; ∆x = 1, тогда по формуле f (x+∆x) ≈
25  1 ≈
25 +
1
1
1  5 
 5,1 .
10
2 25
По таблицам квадратов находим 26 = 5,0990, ошибка не значительна.
3.3 УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ К КРИВОЙ y = f(x)
Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке ( х0 ; у0 )имеет вид:
у- у0 = у0/ (х- х0 ), где у0/ = f'( х0 ), или у = f ( х0 )+f'( х0 )(x- х0 ).
Уравнение нормали к кривой у = f (x) в точке ( х0 ; у0 ) имеет вид:
у- у0 =
1
1
(х- х0 ), или (х- х0 )+ у0/ (у- у0 ), или у = - ( x0 ) (х- х0 ).
/
у0
f
Примеры.
1. Составить уравнение касательной и нормами к кривой у = ln(х-2) в точке х0 = 3.
▲ Определим ординату этой точки. В уравнение кривой поставим вместо х число
3; ln (3-2) = ln1 = 0; у = 0.
32
Далее найдем угловой коэффициент касательной в данной точке, для чего и
найдем значение производной в точке (3; 0): у'=
1
1
; у0/ =
=1. Таким образом
х2
32
уравнение касательной имеет вид: у-0 = 1(х-3) или х-у-3=0.
1
1
Уравнение нормали: у-0=- (х-3) или х+у-3 = 0.
3.4 ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ
Признаком возрастания функции у = f (x) в некотором промежутке (a; b)
является положительное значение ее производной для всех значений х в этом
промежутке, т.е. f' (x)>0.
Аналогично, признаком убывания функции у = f (х) служит значение
производной во всех точках рассматриваемого промежутка, т.е. f' (x)<0.
Другое важное приложение производной – задача о нахождении наибольших
и наименьших (экстремальных) значений. Оно основано на следующем простом
факте: Если функция принимает в некоторой точке экстремальное значение,
и производная в этой точке существует, то она (т.е. производная) равна нулю.
Пример. В тюрьме города Дрюкова собрались строить железную камеру для
содержания особо опасных преступников. Какое наименьшее количество железа
нужно для этой цели. Если по санитарным условиям высота камеры должна быть
не менее 2,5 м, а ее площадь не менее 6 м²?
▲ Количество железа пропорционально площади поверхности камеры,
которая, как и обыкновенная комната, имеет вид прямоугольного
параллелепипеда. Обозначим длину камеры через х, а ширину – через у. Тогда пол
и потолок имеют площадь ху каждый, две боковые стенки по 2,5 х, две другие по
2,5 у. Общая площадь получается S = 2ху+5+5у. При этом, согласно санитарным
нормам, ху=6. Отсюда выразим у и подставим в выражение для S=2×6+(5х+
5 6
)
х
6
х
= 12+5 (х+ ).
Итак, мы учли все данные, но величину х еще можно выразить произвольно,
т.е. она является переменной величиной. Ее нужно выбрать так, чтобы значение
S получилось наименьшим. Согласно теорем для минимизации функции S (x)
следует приравнять нулю производную S' (х). Пользуясь правилами вычисления
производных, находим:
6
х
S' = 0+5 (х'+( )') = 5(1-
6
6
). Из уравнения 1- = 0
2
х
х
находим, что х = 6 . При этом значении х площадь будет наименьшей. Она равна:
S = 12+10 6 ≈ 36,5 (м²).
Пример. Исследовать на возрастание и убывание функцию у = х²+2.
▲ Найдем производную функции: у' = 2х. Определим корни производной
(положив f' (x) = 0), 2х = 0; х =0. Разобьем область существования функции (в
33
данном случае на два промежутка) (-∞; 0) и (0; +∞). В первом промежутке при
всех значениях x<0 f' (х)<0, т.е. функция убывает. Во втором промежутке – при
всех значениях х > f' (х)>0, т.е. функция возрастает.
Есть и другие, не менее важные,
+
приложения производной. Например, в
О
геометрии часто используется тот факт, что
производная от функции у = f (х) в точке х = а, равна тангенсу угла наклона
касательной к графику функции f (х) в точке х = а; у' = tgα.
Пример. Применяя формулы и правила дифференцирования,
найти
производную функции у  х х (3 ln x  2) .
▲
y 
Перепишем
1
заданную
3
1
функцию
1
в
виде
3
2
y  x (3 ln x  2).
Тогда:
1
3 2
3 9
9
x (3 ln x  2)  x 2 *  x 2 ln x  3x 2  3x 2 
x ln x.
2
x 2
2
Пример. Логарифмируя предварительно данную функцию:
у
х2 х  1
, найти ее производную.
( х  1)3 * 5 5 х  1
1
2
1
5
▲ Логарифмируем функцию ln y  2 ln x  ln( x  1)  3 ln( x  1)  ln( 5 x  1).
Дифференцируем по х левую и правую части, получим
у 2
1
3
5
 


, отсюда получим:
у х 2( х  1) х  1 5 х  15
2
х2 х  1
1
3
1 
.
у 
*  


3 5
( х  1) * 5 х  1  х 2( х  1) х  1 5х  1 
Пример. Найти производную у неявной функции х3  х 2 у  х 2 у 4  а  0 , не
решая уравнения относительно у.
▲ Так как в правой части стоит нуль, а производная постоянной равна 0, то


d 3
x  x 2 y  x 2 y 4  a  0; применяя почленное дифференцирование,
dx
находим: 3x 2  2 xy  x 2 y  2 xy4  4 x 2 y 3 y  0; собирая в левой части уравнения члены,
имеем:
содержащие производную у и перенося остальные члены в правую
часть, имеем у( х 2  4 х 2 у 3 )  3х 2  2 ху  2 ху4 , отсюда:
у 
3х 2  2 ху  2 ху4 х(3х  2 у  2 у 4 ) 3х  2 у  2 у 4


.
х2  4х2 у3
х 2 (1  4 у 3 )
х(1  4 у 3 )
xn
, если n – целое положительное число.
x e x

▲ В данном случае имеем неопределенность . Применим правило Лопиталя

Пример. Найти lim
– Бернулли n раз:
34
xn 
n  x n 1
n(n  1)  e n  2
n(n  1)( n  2)1
lim x   lim
 lim
   lim
 0.
x
x
x  e
x


x


x



e
e
ex
Пример. Найти
1 
sin x  x
cos x  1
 sin x
1
lim  
 lim
 lim
 0.
  lim
x 0 x
x  0 sin x  cos x
x  0 cos x  cos x  x sin x
sin x  x  0 x sin x

3.5 Исследование функций с помощью производной.
Уравнение касательной к кривой y  f (x) в точке (х0;у0) имеет вид
y  f ( x0 )  f x0 x  x0  , уравнение нормали к кривой y  f ( x0 ) 
1
x  x0 .
f ( x0 )
Под исследованием функции понимают изучение их изменений в
зависимости от аргумента. На основании исследования функции строят ее график,
предварительно изображая характерные точки.
Исследование функции и построение ее графика можно проводить по
следующей схеме:
1. Найти область определения функции, ее точки разрыва.
2. Изучить изменение функции при стремлении аргумента к концам
промежутка ОДЗ.
3. Найти точки экстремумов, промежутки возрастания и убывания.
4. Вычислить значения экстремумов, построить соответствующие точки.
5. Определить промежутки выпуклости и вогнутости графика, найти точки
перегиба.
6. Найти точки пересечения графика с координатными осями.
7. Найти асимптоты графика функции.
Порядок исследования иногда целесообразно выбирать исходя из
конкретных особенностей данной функции.
Пример. Построить график функции y  
x3
. Написать уравнение
x  12
касательной и нормали в точке х0=1.
▲ 1) Область определения:  ;1   1; . Функция общего вида.
 x3
 x3
 x3
Находим предельное значение функции xlim
 ; lim
 ; lim
 .
 
x 
x  1
x  12
x  12
x  12
График функции имеет одну вертикальную асимптоту х=-1. Наклонные
асимптоты
ищем
по
формулам


f ( x)
 x3
x3
k  lim
 lim
 1; в  lim ( f ( x)  kx)  lim  
 x   2.
2
2
x 
x   ( x  1) x
x 
x 
x
 ( x  1)

Уравнение
наклонной асимптоты у=-х+2. График функции пересекает координатные оси в
точке (0;0).[если х=0, то у=0].
2)
у  0, у  
Находим
первую
производную:
у  
х 2 х  3
.
х  13
получим точки «подозрительные» на экстремум:
35
Из
уравнений
 х 2 х  3
 х  3х 2
 0; x1  0; x2  3;

х  13
х  13
при х3=-1. Исследуем эти точки, т. е.
находим промежутки монотонности функции:
На промежутках  ;3   1;0  0; - функция убывающая (производная на них
отрицательна). На (-3;-1) - возрастает (производная на нем положительна). В
точке х=-3, ymin  4,75 ; в точке х=-1 функция не определена; при х=0; у=0.
3) Вторая производная
6х
и у  0 при 
х  14
у  
6х
обращается в бесконечность при х=-1
х  14
 0; х  0, которая является единственной точкой перегиба на
 ;1 - график вогнутый, на (-1;0) – график вогнутый, на 0;  - график
выпуклый, точка (0;0) – точка перегиба.
Учитывая полученные результаты, строим график функции y  
36
x3
.
x  12
Напишем
уравнение
касательной
в
точке
х0=1:
1
1
f (1)   ; f (1)  1; y    ( x  1);4 x  4 y  3  0. Напишем уравнение нормали в точке
4
4
1
х0=1: y    ( x  1);4 x  4 y  5  0.
4
Задачи для контрольных заданий
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
ВАРИАНТ №1
Задание №1. Найти матрицу, обратную данной:
2 1 3


А=  7 3 10  .
15 6 20 


Задание №2. Найти ранг матрицы:
 2 5 0 0


 3 7 0 0 .
 0 0 0 0


Задание №3. Решить систему уравнений методом: а) обратной матрицы;
б) по формулам Крамера; в) методом Гаусса:
 х1  х2  4 х3  1,

 х1  2 х2  3х3  5,
3х  2 х  4 х  4;
2
3
 1
Задание №4. Даны точки: А(3; 3; 3), В(-1; -5; -7). Найти координаты точек С и Д,
делящих отрезок АВ на три равные части.
Задание №5. Даны два вектора а =(8; -7; -2) и в =(7; -11; 8). Найти угол ( а ˆ; в ).
37
Задание №6. Уравнение прямой задано в виде
х  2 5 у  2 52

 0 . Написать:
4
а) общее уравнение прямой; б) уравнение с угловым коэффициентом; в) уравнение
в отрезках; г) нормальное уравнение.
ВАРИАНТ №2
Задание №1. Найти матрицу, обратную данной:
1 1 1


А=  1 2 2  .
2 2 1


Задание №2. Найти ранг матрицы:
 1 1  1  1


2 3 4
1
8 7 6 5


1 1 1 1 


Задание №3. Решить систему уравнений методом: а) обратной матрицы;
б) по формулам Крамера; в) методом Гаусса:
 4 х1  3х2  2 х3  9,

 2 х1  5 х2  3х3  4 ,
5 х  6 х  2 х  18;
2
3
 1
Задание №4. Найти координаты точки М( х; у; z), делящей отрезок АВ между
точками А(2; 1; 3) и В(3; 5; 4): а) пополам; б) в отношении 3:2.
Задание №5. Даны векторы а  2i  j  2k и в  8i  4 j . Найти: а) векторы c  2а и
d  в  а ; б) длины векторов с и d , в) скалярный квадрат вектора c , г) скалярное
произведение векторов c и d ; д) угол между векторами c и d .
Задание №6. Какой угол образует с положительным направлением оси Ох прямая
2х+2у-5=0?
ВАРИАНТ №3
Задание №1. Найти матрицу, обратную данной:
38
 4  8  5


А=   4 7  1  .
3 5
1 

Задание №2. Найти ранг матрицы:
3 5 7


1 2 3
1 3 5


Задание №3. Решить систему уравнений методом: а) обратной матрицы;
б) по формулам Крамера; в) методом Гаусса:
 х1  х 2  4 х3  1,

 х1  2 х 2  3х3  5,
3х  2 х  4 х  4;
2
3
 1
Задание №4. Даны две точки А(3; -4; 7) и В(5; -6; 8). Найти координаты вектора
АВ ; координаты точки Е(х; у; z), делящей отрезок АВ в отношении 2:3.
Задание №5. Найти длину вектора a  20i  30 j  60k
косинусы.
и его направляющие
Задание №6. Определить площадь треугольника, образованного прямой 4х+3у36=0 с осями координат.
ВАРИАНТ №4
Задание №1. Найти матрицу, обратную данной:
3 2 2


А=  1 3 1 
5 3 4


Задание №2. Найти ранг матрицы:
1 2 3 4 


2 4 6 8 
 3 6 9 12 


Задание №3. Решить систему уравнений методом: а) обратной матрицы;
б) по формулам Крамера; в) методом Гаусса:
 4 х1  3х2  2 х3  9,

 2 х1  5 х2  3х3  4 ,
5 х  6 х  2 х  18;
2
3
 1
39
Задание №4. Даны четыре точки: А(5; 6; -8); В(8; 10; -3); С(1;-2; 4) и D(7; 6; 14).
Коллинеарные ли векторы АВ иСD ?
Задание №5. Найти длину вектора a  mi  (m  1) j  m(m  1)k .
Задание №6. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-2; 4) и
В(-2;-1).
ВАРИАНТ №5
Задание №1. Найти матрицу, обратную данной:
2 3 2 


А=  1 2  3  .
3 4 1 


Задание №2. Найти ранг матрицы:
1 0 0 0 5 


0 0 0 0 0 
 2 0 0 0 11


Задание №3. Решить систему уравнений методом: а) обратной матрицы;
б) по формулам Крамера; в) методом Гаусса:
4 x1  2 x2  3x3  2

2 x1  8 x2  x3  8
9 x  x  8 x  0
2
3
 1
Задание №4. Дано: с  3а  4в и d  а  5в ; а  2i  5 j  k 2 5 и в  i  3 j  k 5 .
Найти c  d .
Задание №5. Даны векторы АВ  а  2в ; ВС  4а  в и СД  5а  3в .
Задание №6. Показать, что прямые 3х-2у+1=0 и 2х+5у-12=0 пересекаются, и
найти координаты точки пересечения.
ВАРИАНТ №6
Задание №1. Найти матрицу, обратную данной:
10 20 30 


А=  0 10 20 
 0 0 10 


40
Задание №2. Найти ранг матрицы:
 4 3 2 2


0 2 1 1
 0 0 3 3


Задание №3. Решить систему уравнений методом: а) обратной матрицы;
б) по формулам Крамера; в) методом Гаусса:
2 x1  3x2  x3  6  0

3x1  4 x2  3x3  5  0
x  x  x  2  0
2
3
 1
Задание №4. Дан треугольник с координатами его вершин: А(-1; -1; -1); В(-5; 1; 2) и С(7; 9; 1). Найти координаты точки Д пересечения биссектрисы угла В со
стороной АС.
Задание №5. Нормировать вектор a  i  2 j  2k .
Задание №6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; -5) и
параллельной прямой 3х+4у+2=0.
ВАРИАНТ №7
Задание №1. Найти матрицу, обратную данной:
 2 5 0


А=  3 0 7 
 0 1 5


Задание №2. Найти ранг матрицы:
 1 0 2 0 0


 0 1 0 2 0
 2 0 4 0 0


Задание №3. Решить систему уравнений методом: а) обратной матрицы;
б) по формулам Крамера; в) методом Гаусса:
2 x1  x 2  x3  0

3x 2  4 x3  6  0
x  x  1
3
 1
Задание №4. Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами
А(2; 3; 4); В(3; 4; 4) и С(4; -1; 3).
41
Задание №5. Нормировать вектор a  3i  4 j  12k .
Задание №6. Даны вершины треугольника АВС: А(2; 2); В(-2; -8) и С(-6; -2).
Составить уравнение медиан этого треугольника.
ВАРИАНТ №8
Задание №1. Найти матрицу, обратную данной:
 2 1 0 


А=   3 1 1 
 2
0  1

Задание №2. Найти ранг матрицы:
 

 2


5

 2
 

10 
 3 
Задание №3. Решить систему уравнений методом: а) обратной матрицы;
б) по формулам Крамера; в) методом Гаусса:
2 x1  x2  x3  x4  1

 x 2  x3  2 x 4  2
2 x  2 x  3x  3
2
4
 1
Задание №4. На плоскости хОу найти точку, равноудаленную от точек
А(1; -1; 5); В(3; 4; 4) и С(4; 6; 1).
Задание №5. Построить параллелограмм на векторах OA =(1; 1; 0) и OB =(0; -3; 1)
и определить диагонали параллелограмма OC и AB и их длины.
Задание №6. Определить расстояние между параллельными прямыми 3х+у-3 10
=0 и 6х+2у+5 10 =0.
ВАРИАНТ №9
Задание №1. Найти матрицу, обратную данной:
100 200 300 


А=  0 100 200 
 0
0 100 

Задание №2. Найти ранг матрицы:
42
 1 2 3 6


 2 3 1 6
 3 1 2 6


Задание №3. Решить систему уравнений методом: а) обратной матрицы;
б) по формулам Крамера; в) методом Гаусса:
 x1  x2  x3  3

2 x1  x2  x3  11
x  x  2x  8
2
3
 1
Задание №4. На плоскости уОz найти точку, равноудаленную от точек А(3; 1; 4);
В(3; 1; 2) и С(7; 10; 3).
Задание №5. Даны векторы a =(4; -2; 4); в =(4; -2; 4). Найти: а) угол между
векторами c и d ; б) длины векторов c и d ; в) скалярное произведение векторов c
и d ; г) скалярный квадрат вектора d , если c  2a и d  a  в .
Задание №6. Составить уравнения биссектрис углов между прямыми х+у-5=0
и 7х-у-19=0.
ВАРИАНТ №10
Задание №1. Найти матрицу, обратную данной:
3 5 7


А=  1 2 3  .
1 3 5


Задание №2. Найти ранг матрицы:
1 2 1 3 4


3 4 2 6 8 .
1 2 1 3 4


Задание №3. Решить систему уравнений методом: а) обратной матрицы;
б) по формулам Крамера; в) методом Гаусса:
 x1  2 x2  x3  7

2 x1  3x2  x3  3
x  x  x  6
2
3
 1
Задание №4. В каком соотношении точка М, равноудаленная от точек А(3; 1; 4)
и В(-4; 5; 3) разделяет отрезок оси оу от начала координат до точки С(0; 6; 0).
Задание №5. Выяснить, являются ли векторы а1; а2 ; а3 линейно зависимыми:
а) а1 =(2; -1; 3); а2 =(1; 4; -1); a3 =(0; -9; 5);
43
б) a1 =(1; 2; 0); а2 =(3; -1; 1); a3 =(0; 1; 1).
Задание
№6.
Найти
прямую,
принадлежащую
2х+3у+5+(х+8у+6)=0 и проходящую через точку М(1; 1).
пучку
прямых
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
ВАРИАНТ №1
Задание №1. По формулам дифференцирования найти производные функций:
y  5( x  2) .
Задание №2. Найти
логарифмируя их:
y3
производные
сложных
функций,
предварительно
x( x 2  1)
.
( x  1) 2
Задание №3. Найти производные логарифмической, показательной и степенной
функций:
y  earctgx .
Задание №4. Найти производные тригонометрических функций:
y
arcsin x
.
x
Задание №5. Найти производную y x неявных функций:
х2+у2=4
Задание №6. Найти производные высших порядков:
y  3x3  2 x 2  5 x  1, найти уш .
Задание №7. Вычислить следующие пределы, используя правило Лопиталя:
44
x 2  1  ln x
.
lim
x 1
ex  e
Задание №8. Найти экстремум функций:
y
( x  2)(3  x)
.
x2
Задание №9. Исследовать данные функции, построить их графики и
написать
уравнение касательной к графику в точке М(х; у):
y
1
e
2
x2
2
, М(0;1).
ВАРИАНТ №2
Задание №1. По формулам дифференцирования найти производные функций:
y
ax  b
.
a
Задание №2. Найти
логарифмируя их:
y
( x  1)3 4 ( x  2)3
5
( x  3)3
производные
сложных
функций,
предварительно
.
Задание №3. Найти производные логарифмической, показательной и степенной
функций:
y  arctg
e x  e x
.
2
Задание №4. Найти производные тригонометрических функций:
y
sin x  cos x
.
sin x  cos x
Задание №5. Найти производную y x неявных функций:
x3+lny-x2ey=0.
Задание №6. Найти производные высших порядков:
y  5 x 3 , найти уш.
Задание №7. Вычислить следующие пределы, используя правило Лопиталя:
45
x4
lim x .
x e
Задание №8. Найти экстремум функций:
y  2e x  e x .
Задание №9. Исследовать данные функции, построить их графики и
уравнение касательной к графику в точке М(х; у):
написать
y  ( x  1)e x , М(1;0).
ВАРИАНТ №3
Задание №1. По формулам дифференцирования найти производные функций:
y
x
ax
.

c bc
Задание №2. Найти
логарифмируя их:
y
производные
сложных
функций,
предварительно
( x  1) 2
.
( x  2) 3 ( x  3) 4
Задание №3. Найти производные логарифмической, показательной и степенной
функций:
1 x 4 1
)  arctgx .
1 x
2
1
y  ln(
Задание №4. Найти производные тригонометрических функций:
y  tg 6 x .
Задание №5. Найти производную y x неявных функций:
x3+y3-3xy=0.
Задание №6. Найти производные высших порядков:
y  a2  x2 ,
найти уп.
Задание №7. Вычислить следующие пределы, используя правило Лопиталя:
x3  3x 2  2
.
x 1 x 3  4 x 2  3
lim
46
Задание №8. Найти экстремум функций:
y  x2  2x  3 .
Задание №9. Исследовать данные функции, построить их графики и
написать
уравнение касательной к графику в точке М(х; у):
y  4x 
x3
, М(2;3).
3
ВАРИАНТ №4
Задание №1. По формулам дифференцирования найти производные функций:
y
1 3 1 2 2
x  x  x  13 .
3
2
5
Задание №2. Найти
логарифмируя их:
5
y
4
( x  1) 2
( x  23 ) 3 ( x  3)7
производные
сложных
функций,
предварительно
.
Задание №3. Найти производные логарифмической, показательной и степенной
функций:
y  ln( x  x 2  1 .
Задание №4. Найти производные тригонометрических функций:
y  cos 2 x .
Задание №5. Найти производную y x неявных функций:
x2+2xy+y2+2x+2y+4=0.
Задание №6. Найти производные высших порядков:
4) y  x5  2 x 4  3x3  x 2  0,5x  7 , найти уIV.
Задание №7. Вычислить следующие пределы, используя правило Лопиталя:
e x  e x
lim
.
x   ln( 1  x )
Задание №8. Найти экстремум функций:
47
x3
y
 2 x 2  3x  1 .
3
Задание №9. Исследовать данные функции, построить их графики и
уравнение касательной к графику в точке М(х; у):
написать
x4
, М(1;2).
4
y  2x2 
ВАРИАНТ №5
Задание №1. По формулам дифференцирования найти производные функций:
y
1 3 1 2 2
x  x  x  13 .
3
2
5
Задание №2. Найти
логарифмируя их:
y
x(1  x 2 )
1  x2
производные
сложных
функций,
предварительно
.
Задание №3. Найти производные логарифмической, показательной и степенной
функций:
y  e x arctge x .
Задание №4. Найти производные тригонометрических функций:
y  tg ln x .
Задание №5. Найти производную y x неявных функций:
x4-6x2y2+9y4-5x2+15y2-100=0.
Задание №6. Найти производные высших порядков:
y  ln x , найти
уIV.
Задание №7. Вычислить следующие пределы, используя правило Лопиталя:
x
2
xe
.
x  x  e x
lim
Задание №8. Найти экстремум функций:
y  x3  9 x 2  15x  3 .
48
Задание №9. Исследовать данные функции, построить их графики и
написать
уравнение касательной к графику в точке М(х; у):
y
4x
, М(0;2).
1  x2
ВАРИАНТ №6
Задание №1. По формулам дифференцирования найти производные функций:
y  0,8 x 4  0,5x3  0,2 x 2  0,5x .
Задание №2. Найти
логарифмируя их:
производные
сложных
функций,
предварительно
y  x 5 ( a  3 x)3 ( a  2 x 3 ) .
Задание №3. Найти производные логарифмической, показательной и степенной
функций:
y  ln( x 2  5) .
Задание №4. Найти производные тригонометрических функций:
y  sin 2
x
.
3
Задание №5. Найти производную y x неявных функций:
x4-2y2+4y-x=0.
Задание №6. Найти производные высших порядков:
y  (2 x  3)3 2 x  3 , найти
уп.
Задание №7. Вычислить следующие пределы, используя правило Лопиталя:
x 1
.
x 1 x n  1
lim
Задание №8. Найти экстремум функций:
y   x 4  2x 2 .
Задание №9. Исследовать данные функции, построить их графики и
уравнение касательной к графику в точке М(х; у):
49
написать
y
1 3
x  x 2 , М(1;2).
6
ВАРИАНТ №7
Задание №1. По формулам дифференцирования найти производные функций:
y  (10  3x  x 2 )(3  x) .
Задание №2. Найти
логарифмируя их:
y
производные
сложных
функций,
предварительно
2 x ( x  1)3
.
( x  1) 2 2 x  1
Задание №3. Найти производные логарифмической, показательной и степенной
функций:
 1  3x 
y  ln 3 
 .
 1  3x 
2
Задание №4. Найти производные тригонометрических функций:
y
sin x
1  sin x
.
 ln
2
cos x
cos x
Задание №5. Найти производную y x неявных функций:
xy-yx=0.
Задание №6. Найти производные высших порядков:
y  cos x , найти
уIV.
Задание №7. Вычислить следующие пределы, используя правило Лопиталя:
e x  e x
.
lim
x  0 sin x
Задание №8. Найти экстремум функций:
y  x4  8x2  2 .
Задание №9. Исследовать данные функции, построить их графики и
уравнение касательной к графику в точке М(х; у):
y  e x , М(0;1).
2
50
написать
ВАРИАНТ №8
Задание №1. По формулам дифференцирования найти производные функций:
y  x( x 2  4) .
Задание №2. Найти
логарифмируя их:
y
( x  3)3 x
3
x2  1
производные
сложных
функций,
предварительно
.
Задание №3. Найти производные логарифмической, показательной и степенной
функций:
y  4 1  e4 x  5 .
Задание №4. Найти производные тригонометрических функций:
y  (sin x) x .
Задание №5. Найти производную y x неявных функций:
х siny+y sinx=0.
Задание №6. Найти производные высших порядков:
y  2 x  2 x , найти уп.
Задание №7. Вычислить следующие пределы, используя правило Лопиталя:
e y  sin y  1
.
x 
ln( 1  y )
lim
Задание №8. Найти экстремум функций:
y  3x5  125x3  2160 x .
Задание №9. Исследовать данные функции, построить их графики и
написать
уравнение касательной к графику в точке М(х; у):
y
1  x2
, М(0;2).
1  x2
ВАРИАНТ №9
Задание №1. По формулам дифференцирования найти производные функций:
51
y  2 x( x 2  3)  3x( x 2  3) .
Задание №2. Найти
логарифмируя их:
y
7
производные
сложных
функций,
предварительно
x 2 ( x  2)3
.
( x  1) 2
Задание №3. Найти производные логарифмической, показательной и степенной
функций:
y  ( xe2 x  3)5 .
Задание №4. Найти производные тригонометрических функций:
3 
 2
y

 sin x .
4
2
 cos x cos x 
Задание №5. Найти производную y x неявных функций:
ex+ey-2xy-1=0.
Задание №6. Найти производные высших порядков:
y
1 4
x (2 ln x  3) , найти уп.
4
Задание №7. Вычислить следующие пределы, используя правило Лопиталя:


lim 1  x 2  3 1  x3 .
x 
Задание №8. Найти экстремум функций:
y
x 2  3x  2
.
x 2  3x  2
Задание №9. Исследовать данные функции, построить их графики и
написать
уравнение касательной к графику в точке М(х; у):
y
2 x3 ln x
, М(2;0).
x2  1
ВАРИАНТ №10
Задание №1. По формулам дифференцирования найти производные функций:
y  (1  0,3x  3x 2 )3 .
52
Задание №2. Найти
логарифмируя их:
y
( x  4)5 3 ( x  1) 2
4
( x  2) 2
производные
сложных
функций,
предварительно
.
Задание №3. Найти производные логарифмической, показательной и степенной
функций:
y  4e
ln x
(1  ln x ) .
Задание №4. Найти производные тригонометрических функций:
y  sin 3 x cos x .
Задание №5. Найти производную y x неявных функций:
ex+ey-2xy-1=0.
Задание №6. Найти производные высших порядков:
1
2
y   x sin 3 x 
cos 3 x , найти уп.
9
27
Задание №7. Вычислить следующие пределы, используя правило Лопиталя:
1  xx
.
x 1 1  x
lim
Задание №8. Найти экстремум функций:
y  x ln 2 x .
Задание №9. Исследовать данные функции, построить их графики и
уравнение касательной к графику в точке М (х; у):
y
x
, М (2;1).
ln x
53
написать
ЛИТЕРАТУРА
№
п/п
Наименование
Автор(ы)
Год и место издан.
1
2
3
4
1.
Высшая математика
Шипачев В.С.
– М.: Высшая школа, 2001
2.
Высшая математика в з-х томах
Бугров Я.С.
-М.: 2003
3.
Конспект лекций по высшей
математике. 1, 2 ч.
Письменный
Д.Т.
- М.: Айрис-Пресс,
4.
Теория вероятностей и
математическая статистика.
Гмурман В.Е.
- М.: Высшая школа,
2003.
5.
Руководство к решению задач по
теории вероятностей и математической
статистике
Гмурман В.Е.
- М.: Высшая школа,
2006.
6.
Высшая математика.
Дифференциальные уравнения.
Кратные интегралы. Ряды. Функции
комплексного переменного.
Бугров Я.С.,
– М.: Наука, 2003.
Никольский С.М.
7.
Задачи по высшей математике.
Шипачев В. С.
54
2007.
М., 2000.