УДК 519.615.5 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ КОРРЕКТНОСТИ МЕТОДА МАТРИЧНОЙ ПРОГОНКИ٭ Е.А. Васильева Метод матричной прогонки является одним из широко применяемых точных методов решения систем уравнений с блочными матрицами ленточной структуры. В статье сформулированы и доказаны более общие условия корректности метода матричной прогонки, сводящиеся к проверке существования обычного LU - разложения для матрицы Якоби, элементами которой являются значения матричных норм для блоков исходной матрицы системы уравнений. метод матричной прогонки, полное блочное разложение Одним из методов решения систем алгебраических уравнений является метод Гаусса или, как его вариант, LUна блоки, то можно построить блочное LUкоторое мы в дальнейшем будем называть полным разложением. Пусть матрица системы уравнений Ku=f (1) имеет вид 0 0 D1 U 1 L1 D2 U 2 K 0 L2 0 , (2) Dm 1 U m 1 0 0 Lm 1 Dm где Li -1, Di, Ui R ni ni . Тогда полное блочное разложение матрицы K, если оно существует, можно представить в виде (3) K (L T)T1 (U T), где L = blocktridiag{ -Li, 0, 0}; U = blocktridiag{0, 0, -Ui}; T = blockdiag{Ti}. Приравнивая соответствующие блоки в левой и правой части (3), получим выражения для блоков полного блочного разложения Ti T1 D1 ; Ti Di Li 1Ti 11U i 1 (i 2,, m). (4) Если ввести обозначение T1 (U T)u z, то процесс решения системы (1) разбивается на два этапа: (L T) z f ; (I T 1U)u z. ٭Работа поддержана РФФИ: грант 08-01-00431. Покомпонентно каждый из них можно записать в следующем виде: для вычисления (L T) z f последовательно выполняются действия z1 T11 f1 ; zi Ti 1 ( f i Li 1 zi 1 ) (i 2,, m), (5) 1 а для вычисления (I T U)u z можно воспользоваться следующими рекуррентными формулами: (6) u m z m ; ui z i Ti 1U i ui 1 (i m 1,,1). Отсюда видно, что для решения системы уравнений (1) нам требуется уметь вычислять не саму матрицу Ti 1 , а ее произведение на вектор. С полным блочным разложением тесно связан метод матричной прогонки (напр., [1, 2]), алгоритм которого можно записать в следующем виде. Алгоритм матричной прогонки. Пусть требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с блочной трехдиагональной матрицей вида (2) (Ku)i -Li-1 ui -1 + Diui Uiui+1 = fi (i = 1,…, m); Lm = Um = 0 . (7) Здесь ui и fi ni. Тогда решение этой системы уравнений находится рекуррентно по формулам B1 D11U1 , Bi ( Di Li 1 Bi 1 ) 1U i , z1 D11 f1 , z i ( Di Li 1 Bi 1 ) 1 ( f i Li 1 z i 1 ) um zm , ui zi Bi ui 1 (i 2,, m), (8) (i m 1, ,1). Матрицы Bi обычно называют прогоночными коэффициентами. Перепишем выражение для zi из (8) в виде z i BiU i1 ( f i Li 1 z i 1 ) (i 2,, m). Тогда, если сравнить его с выражением для zi из (5) и выражениями для ui из (6) и (8), можно сделать вывод, что матричные прогоночные коэффициенты Bi и матрицы Ti полного блочного разложения связаны простым соотношением Bi Ti 1U i . (9) Тогда метод матричной прогонки (8) в матричном виде можно записать как (L + T)z = f; (I + B)u = z, откуда видно, что вспомогательный вектор z в обоих случаях один и тот же. Поэтому полное блочное разложение можно рассматривать как один из вариантов метода матричной прогонки (или наоборот). В связи с этим, вопрос существования полного блочного разложения (невырожденности матриц Ti) однозначно связан с обоснованием корректности метода матричных прогонок (существованием Bi). Наиболее общим условием существования полного блочного разложения для матрицы K является отличие от нуля всех ее главных миноров. Однако это условие является трудно проверяемым. Поэтому на практике предпочтение отдают условиям, сформулированным в следующей теореме (напр., [2]), которые для скалярных трехдиагональных матриц соответствуют условию (слабого) диагонального преобладания. Теорема 1 (Самарский). Если Di для 1 i m – невырожденные матрицы, а Li и Ui - ненулевые матрицы, для которых выполнены условия D11U 1 1; Dm1 Lm1 1; Di1U i Di1 Li 1 1 (2 i m 1), где некоторая матричная норма, причем хотя бы в одном из неравенств имеет место строгое неравенство, то алгоритм метода матричной прогонки корректен. Эта теорема имеет следующий недостаток: если рассмотреть трехдиаго~ нальную матрицу K , которая получается из K заменой блоков Li Li 1 и U i U i , то выражения для блоков ее полного блочного разложения (4) будут такими же, как для матрицы K, а условия теоремы 1 при достаточно больших могут не выполняться. Частично этот недостаток исправлен в следующей теореме (см. [3]). Теорема 2 (Джангава). Пусть матрицы Bi определяются соотношениями (8) и пусть выполняются условия 1 Di1U i i ; Di1 Li 1 i ; i 1 i . 4 Тогда алгоритм матричной прогонки корректен, а для прогоночных коэффициентов справедливы неравенства i Bi 2u i (i 1,2, ). i 1 -2 и гарантирующую существование полного блочного разложения при условии существования обычного LU – разложения для некоторой трехдиагональной матрицы Якоби. Теорема 3. Пусть матрица системы K имеет вид (2), где блоки ni ni Di R , Li R ni 1ni , Di регулярные. Обозначим через какую - либо из матричных норм, а через i Di1U i , i Di11 Li . Пусть также для матрицы Якоби J1 0 1 1 0 1 1 2 J 0 2 0 1 m 1 0 0 1 m 1 существует LU - разложение J = L D U, а для элементов di диагональной матрицы D выполняются условия di 1 i1i1 / di1 0 (i > 1). (10) Трехдиагональная матрица J = tridiag{ai, bi, ci} напр., [4]), если aici1 > 0 (i = 2, ..., n). 1 (i = 1, ..., n) называется матрицей Якоби (см. Тогда для любой блочно - трехдиагональной матрицы вида (2) существует ее полное блочное разложение (3). Матрица K регулярная. Блоки Ti полного блочного разложения удовлетворяют следующей оценке: Ti 1 Di 1 / d i , (11) а для коэффициентов матричной прогонки Bi будет справедлива следующая оценка: Bi i . (12) di Доказательство. Покажем индуктивно, что блоки Ti регулярные и что они удовлетворяют оценке (11). При i = 1 утверждения верны. По индуктивному предположению блоки Ti -1 регулярные и выполняется неравенство Ti11Di1 1 / d i1 . Следовательно, Di1 Li1Ti11U i1 Di1Li1 Ti11Di1 Di11U i1 i1 i1 . (13) d i1 В силу (10) справедливы неравенства i-1 i-1 / di-1 < 1, поэтому матрица I Di1 Li 1Ti 11U i 1 регулярная. Так как блоки Di регулярные, регулярными будут и матрицы Ti Di Li 1Ti 11U i 1 . Так как любая матрица A, для которой ||A|| < 1 удовлетворяет 1 неравенству I A (1 A ) 1 , то оценка (11) будет следовать из Ti 1 Di ( I Di1 Li 1Ti 11U i 1 ) 1 1 1 1 . 1 D L T U i 1 1 i 1 i 1 / d i 1 d i 1 1 i i 1 i 1 Воспользовавшись этим результатом, покажем справедливость оценки (12): Bi Ti 1U i Ti 1 Di Di1U i Ti 1 Di Di1U i Замечание. Пусть i U i Di11 , i Li Di1 , i di . а также выполнено усло- вие (10). Тогда можно аналогично доказательству теоремы 3 показать, что блоки Ti полного блочного разложения регулярные и удовлетворяют оценке DiTi 1 1 / d i . Мы видим, что теорема 3 действительно является обобщением теоремы 2. В самом деле, пусть для матрицы K выполнены условия теоремы 2. Покажем по индукции справедливость в этом случае следующего неравенства: i 1 di . 2i При i = 1 индуктивное предположение выполняется, так как d1 = 1. Пусть k для i = k - 1 неравенство выполняется: d k 1 . Тогда из условия теоре2(k 1) мы 2 и индуктивного предположения следует, что 2(k 1) k 1 k 1 dk 1 k k 1 k k 1 . d k 1 k 2k 2k Отсюда и из оценки (12) следует справедливость теоремы 2. Для более частного вида матрицы K условия теоремы 3 можно сформулировать следующим образом. Теорема 4. Пусть матрица системы K имеет вид D1 LT1 0 0 T L1 D2 L2 K 0 (14) L2 0 , T 1 Lm1 0 Lm1 Dm 0 где Di R ni ni , Li R ni 1ni , Di > 0. Обозначим через 1 1 H i Di 2 Li 1 Di 12 ; i Hi 2 H iT 2 H i H iT 1 2 2 и построим трехдиагональную матрицу Якоби J = tridiag{i -1, 1, i}. Обозначим через di элементы диагональной матрицы D LU J = L D -1 LT. Эти элементы удовлетворяют следующей рекурсии: d1 = 1 ; d i 1 i21 / d i1. (15) Для любой блочной трехдиагональной матрицы вида (14) при условии, что J > 0, существует полное блочное разложение (16) K (L T)T1 (LT T). Матрица K положительно определена. Блоки полного блочного разложения Ti удовлетворяют следующей оценке: Ti di Di, (17) где di из (15). Доказательство. Так как матрица J положительно определена, все элементы di > 0. Предположим далее, что справедлива оценка (17). Тогда в силу того, что Di > 0, будет следовать, что K > 0. Поэтому остается доказать лишь оценку (17). Блоки Ti удовлетворяют следующей рекурсии: T1 D1 ; Ti Di Li 1Ti 11 LTi1 (i 1). (18) Первое равенство позволяет утверждать, что при k = 1 неравенство (17) выполняется. В силу индуктивного предположения при k = i ства Ti 1 d i 1 Di 1. Так как для любой положительно определенной матрицы A из неравенства A I следует A 1 1 / I , то из неравенств Ti 1 d i 1 Di 1 следует выполнение Ti 11 1 / d i 1 Di11. 1 1 Воспользовавшись обозначением Gi Di 2 Ti Di 2 , последние неравенства можно переписать в виде Gi11 1 / d i 1 I , откуда следует Gi11 1 / di 1. Учитывая 2 эти неравенства и равенства (15), получим Gi I H i1Gi11H iT1 (1 H i1Gi11H iT1 ) I (1 i21 / d i1 ) I d i I . СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. – Новосибирск: Изд-во Института математики, 2000. – 344 c. 2. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.– М.: Наука, 1978. – 591 с. 3. Джангава П.В. Об одном свойстве коэффициентов метода прогонки // Труды Вычислительного центра ГрАН СССР. – Тбилиси, 1976. 4. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления.– М.: Наука, 1984. – 318 c. AMPLE CONDITIONS OF EXISTENCE OF THE COMPLETE BLOCK DECOMPOSITION E.A. Vasilieva The method of the complete block decomposition is one of the popular exact methods of solution of the systems of equations with block matrices with belt structure. There are some conditions of existence of this method (e.g. [1-3]). In this article have been formulated and proved more general conditions of the existence of the complete block decomposition, that come to the testing of existence of the usual LU - decomposition of the Jacobi matrix, which elements are values of matrix norms for the blocks of the initial matrix of the system of equations. complete block decomposition