Численные методы линейной алгебры в задачах космической

Численные методы линейной алгебры
Задание 1
Векторное пространство, операции с векторами
1. Линейные операции, нормы векторов
В трехмерном линейном вектором пространстве R3 в качестве базисных
векторов взяты ортонормированные векторы i , j , k… Векторы х и у заданы
в форме линейной комбинации единичных орт i , j , k: х=х1i + х2j + х3к ,
у=у1i + у2i +у3к, где коэффициенты х1,х2,х3 и у1, у2, у3 даны по вариантам.
1.1.
Найти вектора z=x +у и d= х – у.
1.2.
Вычислить скалярное произведение векторов х и у.
1.3.
Определить, с какой плоcкостью [i, j] [i, k] или [j, k] совпадают
подпространства R2, содержащие векторы х и у соответственно.
1.4.
Для векторов х и у вычислить нормы:  - норму, евклидову
норму, С-норму.
2. Расстояния, углы между векторами
В инерциальной системе координат заданы геоцентрический радиусвектор спутника r(х,у,z) и геоцентрический радиус вектор «наблюдателя» R
(Х,У,Z) (по вариантам).
2.1. Определить топоцентрический радиус-радиус вектор спутника  как
разность векторов r и R.
2.2. Определить топоцентрическое расстояние до спутника как
расстояние между векторами r и R, а также как евклидову норму вектора .
2.3. Определить угол между векторами r и R, дать его географическую
интерпретацию.
Исходные данные к п.1 задания 1
Вариант
х1
х2
х3
у1
у2
у3
1
0
2
8
4
0
20
2
3
4
0
0
0
5
11
7
2
3
4
7
15
20
0
0
0
18
16
14
5
6
0
13
6
0
12
4
11
0
0
8
12
10
7
8
10
7
0
0
3
7
0
0
9
10
8
6
9
10
20
18
0
0
10
8
0
0
11
12
4
2
11
2
7
0
1
13
0
12
10
4
0
2
14
0
13
8
3
0
3
15
0
14
15
16
24
18
0
16
10
3
0
0
8
4
5
0
10
8
24
0
0
11
17
0
4
9
0
23
12
18
19
20
0
0
0
5
6
7
10
11
12
0
0
0
22
21
20
13
14
15
Исходные данные к п.2 задания 1
Вариант
вектор спутника r (x, y,z) (метры)
вектор «наблюдения» R (X, У, Z)
(м)
1
х
-17 263 786
у
4 742 087
z
19 923 005
X
459 431
У
3 644 015
Z
5 197 087
2
3
4
-7 344 199
-16 648 851
15 194 565
-14 080 330
20 584 406
-4 638 169
21 464 265
-351 837
21 005 451
459 431
459 431
459 431
3 644 015
3 644 015
3 644 015
5 197 087
5 197 087
5 197 087
5
6
16 336 372
-18 822 637
15 997 346
-6 009 044
19 235 593
17 438 038
459 431
459 431
3 644 015
3 644 015
5 197 087
5 197 087
7
8
-7 909 697
-17 167 581
24 918 755
4 491 366
-701 169
20 062 054
459 431
459 431
3 644 015
3 644 015
5 197 087
5 197 087
9
-7 058 765
-14 132 021
21 529 306
459 431
3 644 015
5 197 087
10
-16 625 557
20 606 828
8 066
459 431
3 644 015
5 197 087
11
12
15 373 419
16 290 058
- 4 404 986
15 791 835
20 921 618
14 491 684
459 431
459 431
3 644 015
3 644 015
5 197 087
5 197 087
13
-18 943 255
-6 221 304
17 232 603
459 431
3 644 015
5 197 087
14
15
16
-7 921 426
-17 072 254
-6 772 875
24 923 500
4 238 329
-14 185 638
-324 468
20 196 247
21 589 089
459 431
459 431
459 431
3 644 015
3 644 015
3 644 015
5 197 087
5 197 087
5 197 087
17
-16 599 456
20 625 756
335 054
459 431
3 644 015
5 197 087
18
19
20
15 552 972
16 243 823
-19 063 556
-4 173 778
15 602 811
-6 430 474
20 832 458
14 744 322
17 022 792
459 431
459 431
459 431
3 644 015
3 644 015
3 644 015
5 197 087
5 197 087
5 197 087
Профессор, к.т.н.
В.А. Ащеулов
Численные методы линейной алгебры
Задание 2
ОПЕРАЦИИ С МАТРИЦАМИ
1. Привести примеры квадратных матриц размером 3  3:
диагональной, единичной, верхней треугольной, нижней треугольной,
симметричной, кососимметричной.
2. Вычислить определитель квадратной матрицы А3,3 (по вариантам).
Определить след матрицы А.
3. Для заданных (по вариантам) матриц А3, 2 , В3 ,2 , С2, 4 и числа N (номер
варианта) выполнить следующие операции:
3.1. Умножение матрицы на число D = NA
3.2. Сложение матриц
D = A+B
3.3. Транспонирование матриц
D = CТ
D = (A + B)Т
3.4. Перемножение матриц
D = AC
D = CT BT
D = (A + B)C
4. Для заданной (по вариантам) матрицы А4, 3 определить нормы матрицы:
L-норму, С-норму, евклидову норму, m-норму, М-норму.
5. Даны две блочные матрицы А2, 2 и В2, 2 (по вариантам). Выполнить
следующие операции с блочными матрицами:
сложение
D=A+B
умножение D =AB
Исходные данные к заданию 2
А3, 3 =
2.
А3, 2 =
3.
1  N
40  N
3  N
2  N
25  N
5  N
3  N
4
 N
4  N
5
 N
4  N
1
 N
3  N
1  N
5  N
3  N
11  N
В3, 2 = 3  N
15  N
3  N
1  N
С2, 4= 4  N
9
 N
2
 N
1  N
3
1  N
5  N
1  N
N
N
4. А4, 3 =
1 
А2, 2 =
1 
N
2  N
2  N
2 
N
3 
3  N
3 
N
4  N
N
5 N
5
N
 16  N
1
N
3 N
1
N
 11  N
1
N
N
4 N
4
N
 15  N
1  N
4
14
2 N
3 N
4 N
11  N
N
3 N
4 N
N
4 N
3 N
N
22  N
2 N
9 N
8 N
5
N
3 N
N
7
В2, 2 =
N
N
1
5.
1 
N
 N
Численные методы линейной алгебры
Задание 3
Вычисление обратной, псевдообратной матрицы
3. Вычислить обратную матрицу для квадратной матрицы А3,3 (по
вариантам). Определить ранг матрицы. Выполнить контроль правильности
вычисления обратной матрицы.
4. Вычислить псевдообратную матрицу для прямоугольной матрицы
В4, 2 (по вариантам). Определить ранг матрицы.
Исходные данные к заданию 3
2  N
5  N
8  N
Для пункта 1 задания 3 А3, 3 = 3  N
6  N
9  N ,
4  N
7  N
N
Для пункта 2 задания 3 В4,2=
4  N
1  N
5 
N
2  N
6 
N
3 
7  N
N
N
,
где N – номер варианта.
Профессор к.т.н.
В.А. Ащеулов
Численные методы линейной алгебры
Задание 4
Вычисление собственных значений и собственных векторов
матрицы
Для заданной квадратной матрицы А2, 2 (по вариантам) определить:
1. Собственные значения матрицы А путем решения векового уравнения.
2. Найти след матрицы А и определитель матрицы А непосредственно и
с использованием найденных собственных значений.
3. Найти собственные векторы матрицы А.
Исходные данные к заданию 4:
3  N
2  N
А=
,
4  N
1
 N
где N – номер варианта.
Профессор к.т.н.
В.А. Ащеулов
Численные методы линейной алгебры
Задание 5
Решение СЛАУ с использованием программы SVD
сингулярного разложения матриц
Содержание задания:
1. Загрузить программу SVD MNK.
2. Открыть файл входных и выходных данных программы SVD MNK.
3. Ввести исходные данные к программе:
- массив логических переменных KEY (1-4), определяющих перечень
вывода на печать промежуточных результатов счета;
- число уравнений m (целое число), число неизвестных n (целое число) и
относительную точность вычислений  в виде десятичной дроби;
- расширенную матрицу коэффициентов уравнений.
4. Вычисление по программе SVD. EXE выполнить минимум два раза –
изменяя точность вычислений  получить результат с полным рангом
СЛАУ r = n и r < n.
5. Проанализировать результаты счета: таблицу решения системы
линейных уравнений, параметры решения, промежуточные результаты
счета (по выбору студента).
Профессор кафедры
астрономии и гравиметрии, к.т.н.
В.А. Ащеулов