Математическая теория устойчивости

Аннотация программы учебной дисциплины
«Математическая теория устойчивости»
для направления 010100.62 – Математика
1. Цели освоения дисциплины.
Целью освоения дисциплины является знакомство с методами исследования математических моделей различных продолжительных по времени процессов и явлений естествознания, изучение основных методов решения возникающих при этом математических задач,
выяснение смысла полученного решения.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО.
Дисциплина «Математическая теория устойчивости» включена в вариативную часть
естественнонаучного цикла (дисциплина по выбору), является важной дисциплиной в освоении математических знаний. Освоение теории устойчивости необходимо для определения
условий существования периодических процессов в динамических системах.
Дисциплина "Математическая теория устойчивости" излагается на базе математического
анализа, дифференциальных уравнений, в тесной связи с теорией функций комплексного переменного и с основами вариационного исчисления.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
(модуля):
общекультурные компетенции:
- способность применять знания на практике ОК-6;
- умение быстро находить, анализировать и грамотно контекстно обрабатывать научно-техническую, естественнонаучную и общенаучную информацию, приводя ее к проблемно-задачной форме ОК-1О;
- навыки работы с компьютером ОК-12;
- иметь базовые знания в областях информатики и современных информационных
технологий, навыки использования программных средств и навыки работы в компьютерных
сетях, уметь создавать базы данных и использовать ресурсы Интернета ОК-13;
научно-исследовательская и научно-изыскательская деятельность:
- умение определять общие формы, закономерности, инструментальные средства отдельной предметной области (ПК- 1);
- иметь навыки самостоятельного построения алгоритма и его анализа (IIК-11);
- обладать глубоким пониманием сути точности фундаментального знания (ПК-1З);
производственно- технологическая деятельность:
- владение методом алгоритмического моделирования при анализе постановок математических задач (ПК-19);
- владение методами алгоритмического и математического моделирования при анализе теоретических проблем и задач ПК-21;
- владение проблемно-задачной формой представления математических знаний ПК22;
- умение проанализировать результат и скорректировать математическую модель, лежащую в основе задачи (ПК-23);
- умение самостоятельно математически корректно ставить естественнонаучные и
инженерно-физические задачи ПК-25;
- умение приобретать опыт самостоятельного различения типов знания (ПК-26);
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
знать: основные понятия, определения и свойства объектов теории устойчивости, методы исследования дифференциальных систем с целью отыскания условий существования
устойчивых решений.
1
условия существования устойчивых процессов в реальных динамических системах.
формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства, возможные
сферы их связи и приложения в других областях математического знания и дисциплинах
естественнонаучного содержания.
уметь: применять методы теории устойчивости для исследования конкретных динамических систем, анализировать устойчивость реальных динамических систем по отношению к начальным и постоянно действующим нагрузкам.
владеть: аппаратом теории устойчивости, методами доказательства утверждений,
навыками применения этого в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.
4. Структура и содержание дисциплины (модуля) «Математическая теория
устойчивости»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц.
Содержание
1.1. Некоторые сведения из матричного исчисления. Степень матрицы. Клеточные
матрицы. Норма матрицы. Жорданова форма матрицы. Функции матрицы. Матричные
ряды. Тождество Кейли и формула Сильвестра. Производная и интеграл матрицы.
Экспоненциал матрицы. Нормальная форма экспоненциала матрицы. Логарифм матрицы.
1.2. Устойчивость линейных дифференциальных систем. Основные понятия теории устойчивости. Общие свойства решений линейной дифференциальной системы. Формула Остроградского-Лиувилля. Матрицант. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа. Общие теоремы об устойчивости линейных дифференциальных систем. Устойчивость линейных однородных дифференциальных систем. Устойчивость линейной дифференциальной системы с постоянной матрицей. Критерий Гурвица. Критерий Михайлова. Леммы
Гронуолла-Беллмана и Бихари. Устойчивость линейной дифференциальной системы с почти
постоянной матрицей. Случай Лаппо-Данилевского.
1.3. Первый метод Ляпунова. Характеристические показатели функций.
Характеристические показатели функциональных матриц. Спектр линейной однородной
системы. Нормальные фундаментальные системы. Достаточное условие асимптотической
устойчивости линейной дифференциальной системы. Неравенство Важевского. Неравенство
Ляпунова. Приводимые системы. Теорема Н.П.Еругина. Приводимость к системе с нулевой
матрицей. Асимптотически эквивалентные системы. Правильные системы. Теорема Перрона.
Правильность треугольной линейной системы. Теорема Перрона о триангуляции линейной
системы. Теория Флоке. Приводимость периодической линейной системы. Линейное
дифференциальное уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами.
Гамильтонова система дифференциальных уравнений. Возвратные уравнения. Теорема
Ляпунова-Пуанкаре. Неоднородная периодическая система. Метод малого параметра.
1.4. Второй метод Ляпунова. Приведенная система. Знакоопределенные
функции. Первая теорема Ляпунова (теорема об устойчивости). Вторая теорема Ляпунова
(теорема об асимптотической устойчивости). Третья теорема Ляпунова (теорема об
неустойчивости).
Теорема Четаева. Асимптотическая устойчивость в целом.
Экспоненциальная устойчивость. Теорема Персидского. Устойчивость квазилинейных
систем. Оценка матрицы Коши для правильной системы.
Теорема Ляпунова об
устойчивости по первому приближению. Признак устойчивости для нелинейных систем с
неправильной линейной частью. Неограниченная продолжаемость решений. Устойчивость
по Лагранжу. Системы с конвергенцией. Диссипативные системы. Уравнения в вариациях.
Орбитальная устойчивость. Аналог теоремы Андронова-Витта. Признак Пуанкаре. Условная
устойчивость.
Составитель: доцент В.В.Сельвинский
2