Математика - Оренбургский Государственный Педагогический

Министерство образования и науки РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный педагогический университет»
Программа вступительных испытаний по дисциплине
МАТЕМАТИКА
(отделение заочного обучения)
Оренбург - 2013
Программу составил: Опимах А.В., к. ф. – м. н., доцент кафедры алгебры,
геометрии и истории математики
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Программа составлена в соответствии с примерной программой
вступительных экзаменов по математике, разработанной Министерством
образования РФ в целях обеспечения равных прав граждан при поступлении
в учебное заведение.
Содержание программы определено обязательным минимумом
содержания образования по предмету основного и среднего (полного) общего
образования, Федеральным компонентом государственных образовательных
стандартов основного общего и среднего (полного) общего образования по
предмету.
Объем знаний и степень владения материалом, описанным в программе,
соответствуют курсу математики средней школы. Поступающий может
пользоваться всем арсеналом средств этого курса, включая и начала анализа.
Однако для решения экзаменационных задач достаточно уверенного
владения лишь теми понятиями и их свойствами, которые перечислены в
настоящей
программе.
Объекты
и
факты,
не
изучаемые
в
общеобразовательной школе, также могут использоваться поступающим, но
при условии, что он способен их пояснять и доказывать.
Основные умения и навыки
Экзаменующийся должен уметь:
Производить арифметические действия над числами, заданными в виде
обыкновенных и десятичных дробей; с требуемой точностью округлять
данные числа и результаты вычислений; пользоваться калькуляторами или
таблицами для вычислений.
Проводить тождественные преобразования многочленов, дробей,
содержащих
переменные,
выражений,
содержащих
степенные,
показательные, логарифмические и тригонометрические функции.
Строить графики линейной, квадратичной, степенной, показательной,
логарифмической и тригонометрических функций.
Решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и
неравенства, приводящиеся к ним; решать системы уравнений и неравенств
первой и второй степени и приводящиеся к ним. Сюда, в частности,
относятся простейшие уравнения и неравенства, содержащие степенные,
показательные, логарифмические и тригонометрические функции.
Решать задачи на составление уравнений и систем уравнений.
Изображать геометрические фигуры на чертеже и производить
простейшие построения на плоскости.
Использовать
геометрические
представления
при
решении
алгебраических задач, а методы алгебры и тригонометрии — при решении
геометрических задач.
Проводить на плоскости операции над векторами (сложение и
вычитание векторов, умножение вектора на число) и пользоваться
свойствами этих операций.
Пользоваться понятием производной при исследовании функций на
возрастание (убывание), на экстремумы и при построении графиков
функций.
2. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ
Основные математические понятия и факты
Арифметика, алгебра и начала анализа
Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное.
Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.
Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
Целые числа (Z). Рациональные числа (Q), их сложение, вычитание,
умножение и деление. Сравнение рациональных чисел.
Действительные числа (R), их представление в виде десятичных дробей.
Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его
геометрический смысл.
Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы
сокращенного умножения.
Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический
корень.
Логарифмы, их свойства.
Одночлен и многочлен.
Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере
квадратного трехчлена.
Понятие функции. Способы задания функции. Область определения.
Множество значений функции.
График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность,
четность, нечетность. Достаточное условие возрастания (убывания) функции
на промежутке. Понятие экстремума функции. Необходимое условие
экстремума функции (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума.
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.
Определение и основные свойства функций: линейной, квадратичной,
степенной, y 
k
, показательной, логарифмической, тригонометрических
x
функций (у = sin x, у = cos x, у = tg x, y = ctg x), арифметического корня.
Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.
Неравенства. Решения неравенства. Понятие о равносильных
неравенствах.
Система уравнений и неравенств. Решения системы.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула n-го члена и
суммы первых n членов арифметической прогрессии. Формула n-го члена и
суммы первых n членов геометрической прогрессии.
Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).
Преобразование в произведение сумм sin а ± sin β; cos а ± cos β.
Определение производной. Ее физический и геометрический смысл.
Производные функций у = sin х; у = cos х; у = tg х; у = аx; у=хn(n 𝜖 Z); у = ln х.
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
РЕКОМЕНДОВАННАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учеб. Пособие. В.К.
Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; Под ред. М.И. Сканави. – М.:
Издательский Дом ОНИКС: Альянс-В, 2000. – 608 с.
В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и
начала анализа. М.: Просвещение, 1990.
В.В. Ткачук. Математика — абитуриенту: В 2 т. М.: МЦНМО, 1996
Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных
учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под
ред. А.Н. Колмогорова – М: Просвещение, 2008. – 384 с.
Дополнительная литература
2500 задач с решениями для поступающих в вузы / В.К. Егерев, В.В. Зайцев,
Б.А. Кордемский и др.; Под ред. М.И. Сканави. – М: «ОНИКС 21 век»,
«Мир и Образование», «Альянс-В», 2003. – 912 с.
Мамонтова Г.Г. Математика. Подготовка к тестированию: Пособие для
учащихся учреждений, обеспечивающих получение общего среднего
образования – Минск: Новое знание, 2005. – 686 с.
Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике.- М.: Айрис-пресс,
2003. -320 с.
Пособие по математике для поступающих в вузы. Под ред. Г.Н. Яковлева.
М.: Наука, 1988.
Геометрия
Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла.
Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг . Параллельные прямые.
Примеры преобразования фигур, виды симметрии. Преобразование
подобия и его свойства.
Векторы. Операции над векторами.
Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.
Треугольник, его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников.
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
Четырехугольник: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат,
трапеция.
Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Касательная к
окружности. Дуга окружности. Сектор.
Центральные и вписанные углы.
Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма,
ромба, квадрата, трапеции.
Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла.
Площадь круга и площадь сектора.
Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.
Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.
Параллельность прямой и плоскости.
Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.
Двугранные
углы.
Линейный
угол
двугранного
угла.
Перпендикулярность двух плоскостей.
Многогранники. Их вершины, грани, диагонали. Прямая и наклонная
призмы; пирамиды. Правильная призма и правильная пирамида.
Параллелепипеды, их виды.
Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус
сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.
Формулы площади поверхности и объема призмы.
Формулы площади поверхности и объема пирамиды.
Формулы площади поверхности и объема цилиндра.
Формулы площади поверхности и объема конуса.
Формулы объема шара.
Формулы площади сферы.
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
РЕКОМЕНДОВАННАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. М.:
Просвещение, 1990.
В.В. Ткачук. Математика — абитуриенту: В 2 т. М.: МЦНМО, 1996
Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений /
Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение,
2008. – 336 с.
Геометрия, 10-11: Учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С.
Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2008. – 206
с.
Дополнительная литература
2500 задач с решениями для поступающих в вузы / В.К. Егерев, В.В. Зайцев,
Б.А. Кордемский и др.; Под ред. М.И. Сканави. – М: «ОНИКС 21 век»,
«Мир и Образование», «Альянс-В», 2003. – 912 с.
Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике.- М.: Айрис-пресс,
2003. -320 с.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика, справочник для поступающих в
вузы. М.: АСТ-ПРЕСС, 2001, 576 стр.
3600 задач для школьников и поступающих в вузы. Звавич Л.И. и др. – М.:
Дрофа, 1999.
Основные формулы и теоремы
Алгебра и начала анализа
Свойства функции y=kx+ b и ее график.
Свойства функции y 
k
и ее график.
x
Свойства функции у=ах2 + bх+ с и ее график.
Формула корней квадратного уравнения.
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
Свойства числовых неравенств.
Логарифм произведения, степени, частного.
Определение и свойства функций у = sin х и у = cos х и их графики.
Определение и свойства функций у = tg х и у = ctg x и их графики.
Решение уравнений вида sin х = a, cos x = а, tg x = а.
Формулы приведения.
Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же
аргумента.
Тригонометрические функции двойного аргумента.
Производная суммы двух функций.
Геометрия
Свойства равнобедренного треугольника.
Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка.
Признаки параллельности прямых.
Сумма углов треугольника. Сумма внешних углов выпуклого
многоугольника.
Признаки параллелограмма, его свойства.
Окружность, описанная около треугольника.
Окружность, вписанная в треугольник.
Касательная к окружности и ее свойства.
Измерение угла, вписанного в окружность.
Признаки подобия треугольника.
Теорема Пифагора.
Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.
Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение
окружности.
Признак параллельности прямой и плоскости.
Признак параллельности плоскостей.
Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости.
Перпендикулярность двух плоскостей.
Теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Теорема о трех перпендикулярах.
3. ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ
АБИТУРИЕНТОВ, ПОСТУПАЮЩИХ НА ВТОРОЙ И
ПОСЛЕДУЮЩИЕ КУРСЫ
Основные математические понятия и факты
Арифметика, алгебра и начала анализа
Действительные числа.
Действия с числами разных знаков;
наименьший общий делитель; наибольшее общее кратное; десятичные
дроби, действия с десятичными дробями; обыкновенные дроби; действия с
обыкновенными дробями; нахождение процента от числа и числа по его
проценту; формулы сокращенного умножения.
Корень степени n. Понятие корня степени n; свойства корня степени n.
Степень с рациональным показателем. Понятие степени с рациональным
показателем; свойства степени с рациональным показателем; различные
комбинации свойств степеней; тождественные преобразования степенных
выражений.
Логарифм. Понятие логарифма; свойства логарифма, основное
логарифмическое тождество; комбинации свойств логарифмов; десятичные и
натуральные логарифмы; тождественные преобразования логарифмических
выражений.
Основные тригонометрические функции. Градусная и радианная меры
угла. Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента;
соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента;
основное тригонометрическое тождество. Формулы сложения; формулы
кратных аргументов; формулы приведения; формулы понижения степени;
формулы перевода произведения функций в сумму и разность и разности или
суммы в произведение; выражение основных тригонометрических функций
через тангенс половинного аргумента. Обратные тригонометрические
функции,
свойства,
действия.
Тождественные
преобразования
тригонометрических выражений.
Прогрессии. Арифметическая прогрессия; формулы общего члена и
суммы n первых членов арифметической прогрессии; геометрическая
прогрессия; формулы
общего члена и суммы n первых членов
геометрической прогрессии; бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия
Уравнения и неравенства.
Уравнения с одной переменной
(рациональные, дробно-рациональные, иррациональные, показательные,
логарифмические, тригонометрические); равносильность уравнений.
Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.
Системы уравнений с двумя переменными.
Неравенства с одной переменной.
Рациональные неравенства;
показательные неравенства; логарифмические неравенства; использование
графиков при решении неравенств; неравенства, содержащие переменную
под знаком модуля. Системы неравенств.
Числовые функции и их свойства. Область определения функции и
множество значений функции; непрерывность функции; периодичность;
четность (нечетность) функции; возрастание (убывание) функции;
экстремумы функции;
наибольшее (наименьшее) значение функции;
ограниченность функции; сохранение знака функции.
Производная функции.
Геометрический
смысл
производной
(нахождение
углового
коэффициента касательной, тангенса угла наклона касательной; физический
смысл производной;
таблица производных; производная суммы двух
функций; производная произведения двух функций; производная частного
двух функций.
Исследование функций с помощью производной. Построение графиков
функций.
Решение текстовых задач на нахождение наибольшего и наименьшего
значений функции.
Первообразная. Первообразная суммы функций; первообразная
произведения функции на число; задача о площади криволинейной трапеции.
Решение текстовых задач. Задачи на движение; задачи на работу; задачи
на сложные проценты; задачи на концентрацию смеси и сплавы.
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
РЕКОМЕНДОВАННАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учеб. Пособие. В.К.
Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; Под ред. М.И. Сканави. – М.:
Издательский Дом ОНИКС: Альянс-В, 2000. – 608 с.
Г.М. Гусак, Д.А. Капуцкая. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие. Под ред. А.А. Гусака. – Мн.: Выш. Шл., 1989. – 495 с.
В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и
начала анализа. М.: Просвещение, 1990.
В.В. Ткачук. Математика — абитуриенту: В 2 т. М.: МЦНМО, 1996
Дополнительная литература
Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике.- М.: Айрис-пресс,
2003. -320 с.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика, справочник для поступающих в
вузы. М.: АСТ-ПРЕСС, 2001, 576 стр.
Пособие по математике для поступающих в вузы. Под ред. Г.Н. Яковлева.
М.: Наука, 1988.
Шарыгин И.Ф. Математика для поступающих в вузы. М.: Дрофа, 1999, 420 с.
Геометрия
Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических
величин.
Признаки равенства и подобия треугольников; сумма углов
треугольника; неравенство треугольника.
Теорема Пифагора; теорема синусов и теорема косинусов. Площадь
треугольника.
Многоугольники: параллелограмм, его виды, площадь параллелограмма;
трапеция, средняя линия трапеции, площадь трапеции;
правильные
многоугольники.
Окружность: касательная к окружности и ее свойства, центральный и
вписанный углы, длина окружности, площадь круга; окружность, описанная
около треугольника; окружность, вписанная в треугольник.
Равные векторы; координаты вектора; сложение
векторов;
умножение вектора на число; угол между векторами; скалярное
произведение векторов.
Многогранники: призма, сечение призмы плоскостью, площадь
боковой и полной поверхностей призмы, объем призмы; пирамида, сечение
пирамиды плоскостью, усеченная пирамида, площадь боковой и полной
поверхностей пирамиды, объем пирамиды.
Правильные многогранники, сечение многогранников плоскостью,
площадь боковой и полной поверхностей.
Угол между прямой и плоскостью; угол между плоскостями; угол
между скрещивающимися прямыми; расстояние между скрещивающимися
прямыми; расстояние от точки до прямой.
Тела вращения: прямой круговой цилиндр, сечение цилиндра
плоскостью, площадь боковой и полной поверхностей цилиндра, объем
цилиндра; прямой круговой конус, сечение плоскостью, усеченный конус,
площадь боковой и полной поверхностей конуса, объем конуса; шар и
сфера, площадь поверхности, объем шара.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
РЕКОМЕНДОВАННАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
Г.М. Гусак, Д.А. Капуцкая. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие. Под ред. А.А. Гусака. – Мн.: Выш. Шл., 1989. – 495 с.
В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. М.:
Просвещение, 1990.
В.В. Ткачук. Математика — абитуриенту: В 2 т. М.: МЦНМО, 1996
Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений /
Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение,
2008. – 336 с.
Геометрия, 10-11: Учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С.
Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2008. – 206
с.
Дополнительная литература
Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике.- М.: Айрис-пресс,
2003. -320 с.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика, справочник для поступающих в
вузы. М.: АСТ-ПРЕСС, 2001, 576 стр.
3. Пособие по математике для поступающих в вузы. Под ред. Г.Н. Яковлева.
М.: Наука, 1988.
4. 3600 задач для школьников и поступающих в вузы. Звавич Л.И. и др. – М.:
Дрофа, 1999.