ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ КАК КЛАСС ЗАДАЧ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ

реклама
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ КАК КЛАСС ЗАДАЧ
ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
Д.В. Жарков*, Т.И. Кузнецова**
*Московский государственный областной университет, Россия
e-mail: [email protected]
**Центр международного образования МГУ имени М.В. Ломоносова, Россия
e-mail: [email protected]
Главное — научить мыслить, рассуждать, доказывать
В.А. Садовничий. О математике и о её преподавании в школе
Ещё в 1910 году в книге К.Ф. Лебединцева «Курс алгебры» [1]
рассматривались две характерные задачи.
1.
Из двух станций железной дороги, расстояние между которыми 600 вёрст, вышли
одновременно навстречу друг другу два поезда; первый проходит в каждый час 48 вёрст, а второй
— 32 версты; через сколько часов они встретятся?
2.
Из двух станций железной дороги, расстояние между которыми 648 вёрст, вышли
одновременно навстречу друг другу два поезда; первый движется равномерно со скоростью 30
вёрст в час, а второй со скоростью 42 версты в час. Через сколько часов они встретятся?
Проводя сравнительный анализ решений данных задач, автор указывает на то,
что «у них данные числа различны и ответы различны, но способы решения
одинаковы» (с. 1–2).
Далее
учащиеся подводятся к выведению общей формулы: «… этого мы
достигнем, если условимся каждую входящую букву обозначать не словами
русского языка, а латинской азбуки». После этого вводятся обозначения: расстояния
между станциями — буква d, скорости первого поезда в час — а, второго — b. В
заключение автор добавляет: «Тогда наша общая формула, выражающая способ
решения всех подобных задач, примет следующий вид: х =
d
» (с. 3).
ab
По мнению К.Ф. Лебединцева, для составления «общих формул» «нужно
только помнить, что каждая такая буква в условии есть просто сокращённое
обозначение вместо таких, например, выражений: некоторое число аршин сукна,
полученная при продаже прибыль и т. д.» (с. 4). Приведём пример класса задач, для
«решения которых полезно ставить общие формулы»:
Найти площадь прямоугольника, длина которого а единиц (аршин, вёрст, метров), а
ширина b таких же единиц. Ответ: х = а · b.
Автор пишет, что «эта общая формула даёт возможность находить площадь
листа бумаги, куска обоев, каменной плиты, стола, стены и т. д. и может
применяться в огромном числе случаев». В этой же книге обращает на себя
внимание следующая задача (с. 153):
Один лавочник выручает ежемесячно т руб. чистой прибыли, а другой
n рублей. В
настоящее время капитал первого составляет b рублей, второго а рублей. Через сколько месяцев у
них будет поровну денег?
Там же приводится решение этой задачи в виде общей формулы. Затем К.Ф.
Лебединцев замечает, что «если теперь придавать количествам а, b, т, n различные
числовые величины, то значение и смысл ответов будут меняться, и мы поставим
себе целью исследовать, какие при этом могут быть различные случаи, и каков их
смысл». В качестве иллюстрации этих слов автор решает задачу в целочисленном
виде и затем проводит ее исследование в общем виде (табл. 1).
Таблица 1.
Условия относительно
Значение
известных величин
неизвестного
а  b

m  n
а  b

m  n
а  b

m  n
а  b

m  n
а  b

m  n
а  b

m  n
Смысл ответа
Искомый момент наступит
X>0
после настоящего времени.
Искомый момент уже имел
X<0
место до настоящего времени
Искомый
X=0
имеет
место в настоящее время
Искомый момент не имеет
X=∞
места в новое время
Искомый
а  b

m  n
момент
X=
0
0
момент
имеет
место во всякое время
Таковы первые попытки выстроить методику обучения текстовым задачам с
параметрами (правда, тогда они ещё так не назывались). В соответствии с
описанными результатами К.Ф. Лебединцева задачи из данного класса можно
разделить на две группы.
Первая группа состоит из задач, для решения которых используются общие
формулы. В этом случае исследование заключается, как правило, только в
выяснении ответа на единственный вопрос: при каких значениях параметров данное
выражение имеет смысл, и сводится к составлению ограничений, связанных с
выражением, стоящим в знаменателе дроби.
Вторая группа имеет в себе признаки первой, а именно, в процессе решения
получается ответ в виде общей формулы. Однако здесь необходимо не только найти
те значения параметра или параметров, при которых задача не имеет решения, но и
провести полное исследование (рассмотреть все возможные случаи).
Очевидно, что такое деление (возможно, условное) является целесообразным
с точки зрения дифференциации задач данного класса по уровню сложности.
Ярким представителем второй группы является «задача о курьерах»,
появившаяся в книге П. Никульцева, выдержавшей множество изданий (см.,
например, [2, с. 102]):
Два курьера едут по направлению АВ. Один из них проехал через место А на h часов
раньше, чем другой – через место В. Определить место и время встречи, зная, что первый курьер
проезжает в час v1, а второй v2 вёрст, и что расстояние АВ равно d вёрст.
Получив формулы для расстояния до места встречи (пункта С) и для времени
встречи, автор рассматривает 9 (!) случаев возможных решений задачи.
Приведенные примеры свидетельствуют о том, что ещё на рубеже XIX–XX
веков в связи с бурным развитием практических приложений математики возникла
потребность в составлении текстовых задач с параметрами и в разработке методики
их решения. Совершенно очевидно, что включение таких задач в школьный
учебный процесс способствовало развитию у учащихся математического мышления
и вырабатывало у них навык абстрагирования.
В дальнейшем выходило в свет множество книг, в том или ином виде
содержащих задачи с параметрами. Среди них первой отметим книгу «Упражнения
по элементарной алгебре» П. Обера и Г. Папелье [3], вышедшую в нашей стране в
1941 году в переводе с французского Е.С. Березанской и А.О. Зинголь. В этой книге
задачи с параметрами подаются неявно и как отдельные элементы, не образуя при
этом систему.
В 1960 году в издательстве «ФИЗМАТГИЗ» вышла книга Д.К. Фаддеева и
И.С. Соминского «Алгебра для самообразования» [4], где в двух параграфах
(«Уравнения с буквенными коэффициентами» и «Решение систем уравнений первой
степени с двумя неизвестными с буквенными коэффициентами»), опять неявно,
рассматриваются задачи с параметрами. В первом случае это текстовая задача на
движение с исследованием (с. 43), во втором — это решение систем
5ax  7 y  a
 ax  y  1
ax  y  a

(с. 191); 
(с. 192); 
(с. 498).

2 x  y  2
2 x  y  2
(9a  2) x  14 y  a  2
Не можем обойти и нестандартную формулировку такого задания (с. 497):
Подобрать а так, чтобы уравнения x2 + ax – 2a = 0, x2 – 2ax + a = 0 имели общий корень.
Далее решается обыкновенная текстовая задача, которая затем преобразуется
в следующую текстовую задачу с параметрами (с. 271):
Сторона квадрата АВСD равна l см. От его вершин в направлении обхода по часовой
стрелке отложены равные отрезки Аа, Вb, Cc, Dd, и точки a, b, c, d соединены прямыми. Площадь
квадрата abcd равна s cм2. Определить длину отрезка Аа.
Обозначив искомую длину через x, составив соответствующее уравнение
2x2 – 2lx + l2 – s = 0
и найдя общую формулу его решения, авторы выполняют исследование, фактически
отвечая на вопрос о существовании решения задачи: при s ≥ l2/2 и при s < l2.
Среди отечественных пособий такого плана следует вспомнить серию пособий
для углубленного изучения школьной математики И.Х. Сивашинского, вышедших в
1965–68 гг., где тоже, не используя термина «задачи с параметрами», автор
предлагает множество соответствующих задач. Приведем примеры:
1. Исследовать уравнение
3cos x cos(α – x) = 2 sin2 x (0 ≤ α ≤ π)
(см. № 282 в [5, c. 96, 218]).
2. При каких действительных значениях а неравенство
(а2 – 1) х2 + 2(а – 1) + 1 > 0
имеет место при всех действительных х? (см. № 337 в [6, c. 35, 186]).
3. Решить уравнение 3 a  x  3 a  x  3 b (см. № 137 в [7, c. 18, 112]).
Далее, закономерно, что задачи с параметрами подробно обсуждались в
пособии по математике для поступающих в вузы Г.В. Дорофеева, М.К. Потапова,
Н.Х. Розова [8], вышедшем в 1968 году в издательстве «Наука». А именно, в одном
из его заключительных разделов (IV. «Нестандартные» задачи) этим задачам
посвящен целый параграф (3), имеющий характерное название:
«Задачи, где
наиболее существенные трудности — логические» (с. 543–566). Примечательно, что
там даётся подробное решение восьми задач с параметрами, семь из которых
предлагались на вступительных экзаменах на механико-математический и одна —
на физический факультеты МГУ имени М.В. Ломоносова в 1964–1966 гг. Приведём
две из них:
1. При каких а уравнение 1 + sin2ax = cos x имеет единственное решение?
2. Найти все значения а и b, при которых система
 xyz  z  a

2
 xyz  z  b
x 2  y 2  z 2  4

имеет только одно решение (a, b, x, y, z — действительные числа).
Перед решением задач авторы характеризуют их как задачи, вообще говоря,
повышенной трудности: «Очень серьёзные трудности вызывают обычно уравнения,
неравенства и системы уравнений или неравенств с параметрами, в которых
требуется найти такие значения этих параметров, при которых выполняются
некоторые требования ... Эти задачи являются, пожалуй, наиболее трудными из
предлагаемых на экзаменах задач, и именно потому, что они требуют логической
культуры — того, чего не хватает большинству поступающих». Из этой цитаты
видно, что авторы, в отличие от предыдущих авторов, действительно, уже явно
используют термин «параметр». Это относится и к текстам решений задач.
Например, решение второй из приведенных выше задач начинается со слов: «Пусть
(a, b) — подходящая пара значений параметров…».
К сожалению, следует констатировать, что как все 8 решенных задач, так и 11
задач, предложенных для самостоятельного решения, — чисто математические,
поэтому вряд ли их можно считать полноценными текстовыми задачами с
параметрами.
Через два года, в 1970 году, в издательстве «Просвещение» выходит книга
В.К. Маркова «Метод координат и задачи с параметрами» [9], в которой отмечается,
что «решение таких задач требует от абитуриентов высокой логической культуры и
высокой техники исследования».
В 1972 году в том же издательстве вышла уже упоминавшаяся книга Г.А.
Ястребинецкого «Уравнения и неравенства, содержащие параметры» [10]. В гл. 3
«Задачи с параметрами» автор обращает внимание читателя на то, что «необходимо
чётко формулировать условия, указывающие область определения уравнения
(неравенства) и множество допустимых значений параметров» (с. 81). Далее автор
приводит 6 текстовых задач с параметрами, из них одна — на сплавы, другая —
планиметрическая
(связанная
с
вычислением
углов
треугольника
через
тригонометрические функции), ещё две — задачи на движение (в том числе и по
окружности) и, наконец, одна задача — на работу (про путешествие туристов).
Далее даётся 25 задач разного типа для самостоятельного решения.
Затем отметим книгу «Пятьсот четырнадцать задач с параметрами»,
вышедшую в 1991 году в Волгограде под редакцией С.А. Тынянкина [11], где
подчёркивается, что «задачи с параметрами являются наиболее сложным в
логическом и техническом плане разделом элементарной математики. В очень
сильном смысле эти задачи есть индикатор общего владения абитуриентом
техникой и логикой математики».
В 1993 году в издательстве МЦНМО вышел двухтомник В.В. Ткачука
«Математика — абитуриенту» [12]. В аннотации автор откровенно называет его
наиболее полным репетиторским курсом для подготовки к вступительным
экзаменам любого уровня сложности. В первом томе имеются целые разделы
«Текстовые задачи» (с. 164–207) и «Задачи с параметрами» (с. 353–395),
претендующие на систематическое изложение. Однако совмещения этих понятий в
настоящем пособии нет.
В связи с этим нельзя не отметить справочное пособие белорусских авторов
В.В. Амелькина и В.Л. Рабцевича «Задачи с параметрами» [13], вышедшее в Минске
в 2002 году. Вы писали про первое издание! Оно включает в себя 727 задач с
параметрами и предназначено для углубленного изучения математики в средней
школе и для подготовки к конкурсным экзаменам в вузы. Подробно разбираемые в
пособии и предлагаемые для самостоятельного решения задачи с ответами
подобраны, к сожалению, без прямых ссылок на первоисточники, но в соответствии
с действующими программами вступительных экзаменов по математике и
представляют практически все типы задач с параметрами. В основном, это задачи,
которые предлагались абитуриентам МГУ, МФТИ, МИФИ, МВТУ, ЛГУ, НГУ, БГУ,
КГУ и других вузов, включались в программы школьных олимпиад, обсуждались на
страницах журнала «Квант». Пособие отличается систематичностью изложения.
Особенно тщательно разобраны задачи, к которым в ранее изданных книгах
давались неправильные решения или ответы.
При всей фундаментальности данного труда отметим ещё одно его
непререкаемое достоинство, заключающееся в том, что в нём содержится раздел
«настоящих» текстовых задач с параметрами (с. 355–364), хотя этих задач там
немного — всего 15: 7 — с решениями и 8 — для самостоятельного решения. Среди
решённых — 2 задачи на движение, 3 задачи на растворы и 2 задачи на сплавы.
В 2000 году в книге Лупашевской В.Ю. и Пукаса Ю.О. «Олимпиадные задачи
для ЕГЭ по математике» продолжается линия задач на растворы — дается задача с
вступительного экзамена на механико-математический факультет МГУ 1981 г. [14,
c. 34, № 4.6]:
В две бочки были налиты растворы соли, причём в первую бочку налито 16 кг, а во вторую
– 25 кг. Оба раствора разбавили водой так, что процентное содержание соли уменьшилось в т раз
в первой бочке, и в п раз во второй. О числах т и п известно только, что тп=т+п+3. Найти
наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе.
В 2007 году в издательстве МЦНМО вышла книга А.И. Козко и В.Г. Чирского
«Задачи с параметром и другие сложные задачи» [15]. Помимо стандартных
сведений, в ней приведены оригинальные методы и приемы решения различных
сложных задач с использованием внутрипредметных связей отдельных тем курсов
алгебры и геометрии. Большинство разбираемых авторами задач взято, опять же, из
вариантов вступительных экзаменов в МГУ, что говорит о том, что они являются
яркими представителями класса задач повышенной трудности и вряд ли могут быть
использованы при обучении математике в обычных средних школах.
Приведём ещё одну текстовую задачу — из книги Тынянкина С.А. и
Тырымова А.А. «Подготовка к ГИА и ЕГЭ» [16, c. 91], в которой буквенное задание
исходных данных подразумевает исследование, что позволяет нам рассматривать её
как задачу с параметром:
Бригада специалистов по посадке деревьев должна посадить а деревьев. После того как
бригада посадила b деревьев 0<b<а, часть специалистов ушла ловить раков в ближайшем озере, и
оставшаяся часть бригады стала каждый час сажать на с деревьев меньше, чем сажала каждый час
вся бригада. В результате все деревья были посажены за n часов. Определить d – количество
деревьев, которое сажала каждый час бригада, работая в полном составе.
Можно отметить ещё несколько пособий последних лет, в которых задачам с
параметрами уделялось определенное внимание — это пособия Шахмейстера А.Х.
«Уравнения и неравенства с параметрами» [17], Cеменова А.Л. и др. «ЕГЭ. 3000
задач с ответами по математике» [18] (под ред. А.Л. Cеменова и И.В. Ященко),
Сергеева И.Н. и Панферова В.С. «ЕГЭ. 1000 задач с ответами и решениями по
математике» [19].
К сожалению, как в этих пособиях, так и в ранее более подробно
рассмотренных, текстовые задачи с параметрами выступают всего лишь как
отдельные элементы разделов с нестандартными задачами, иными словами, как
отдельные задачи повышенной трудности. Однако, поскольку уравнения и системы
уравнений (с параметрами), «активно участвующие» в классе задач, именуемом
«Задачи
с
параметрами»,
являются
техническим
аппаратом
для
решения
соответствующих текстовых задач, резонно заявить о том, что множество текстовых
задач
с
параметрами
целесообразно
рассматривать
и,
следовательно,
организовывать как подкласс класса «Задачи с параметрами».
Педагогическое сообщество определяет ценность этих задач именно тем, что
на них учащиеся учатся выстраивать логику решения задач: «Никакие, пусть даже
блестящие, чисто технические навыки не принесут успеха, если не понимать логики
решения, не думать о законности применения тех или иных преобразований. Это и
является самым сложным для поступающих — гораздо труднее увидеть существо
дела, чем запомнить и автоматически выполнять некоторые рецепты» [8, с. 7].
Можно с уверенностью утверждать, что именно с помощью этих задач можно
приблизиться к решению главной задачи нашего образования, а именно, как сказал
ректор МГУ имени М.В. Ломоносова академик В.А. Садовничий, — «не только
решать примеры и доказывать теоремы, но и, в более широком смысле, правильно
ставить задачи и принимать верные решения, просчитывая их близкие и отдалённые
последствия» [20].
Итак, ещё более века назад передовые учёные и учителя-методисты
фактически ввели текстовые задачи с параметрами в школьный курс элементарной
математики и делали попытки создать методику обучения решению этого класса
задач. В современных условиях, когда такие задачи не только включаются в
экзаменационные работы, которые предлагаются абитуриентам, стремящимся
поступить в престижные вузы, но и могут стать атрибутом наиболее сложной части
содержания ГИА и ЕГЭ, эта проблема приобретает особую актуальность и остроту
[20]–[23].
ЛИТЕРАТУРА
1. Лебединцев К.Ф. Курс алгебры для средних учебных заведений. Ч.1. – 2-е испр. изд. –
Петербург–Киев: Книгоиздательство «Сотрудник», 1910.
2. Никульцев П. Алгебра и собрание алгебраических задач. Курс средних учебных заведений. Ч.1.
Теоретический отдел, с приложением курса дополнительного класса реальных училищ. – 10-е изд.
– Москва–Петроград: Изд. Т-ва «В.В. Думнов, Наследники Бр. Салаевых», 1917.
3. Обер П. и Папелье Г. Упражнения по элементарной алгебре / Перевод с французского
Е.С. Березанской и А.О. Зинголь. – М.: Учпедгиз, 1941.
4. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Алгебра для самообразования. – М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960.
5. Сивашинский И.Х. Элементарные функции и графики (теория и задачи с решениями). – М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965.
6. Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967.
7. Сивашинский И.Х. Задачи по математике для внеклассных занятий (9–10 классы) / Под ред.
В.Г. Болтянского. – М.: Просвещение, 1968.
8. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы. –
М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968.
9. Марков В.К. Метод координат и задачи с параметрами. – М.: Просвещение, 1970.
10. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. – М.: Просвещение,
1972.
11. Пятьсот четырнадцать задач с параметрами / Под ред. С.А. Тынянкина. – Волгоград:
Волгоградская правда, 1991.
12. Ткачук В.В. Математика — абитуриенту. В 2-х томах. – М.: МЦНМО, 1993.
13. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике. –
Мн.: «Асар», 1996.
4. Лупашевская В.Ю., Пукас Ю.О. Олимпиадные задачи для ЕГЭ по математике. – М.: Азбука2000, 2011.
15. Козко А.И., Чирский В.Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. – М.: МЦНМО, 2007.
16. Повторение и контроль знаний. Математика. 4300 конкурсных задач (ответы, указания,
решения). 9-11 классы. Подготовка к ГИА и ЕГЭ: Сборник практических задач. Кн. 5 / Авт.-сост.
С.А. Тынянкин, А.А. Тырымов. – М.: Планета, 2011. – (Серия «Качество обучения»).
17. Шахмейстер А.Х. Уравнения и неравенства с параметрами. – М.: МЦНМО, 2010.
18. Семенов А.Л. и др. ЕГЭ. 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / Под ред.
А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. –
(Серия «Банк заданий ЕГЭ»).
19. Сергеев И.Н., Панферов В.С. ЕГЭ. 1000 задач с ответами и решениями по математике. Все
задания группы С – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – (Серия «Банк заданий ЕГЭ»).
20. Садовничий В.А. О математике и её преподавании в школе // Доклад на Всероссийском съезде
учителей математики в МГУ имени М.В. Ломоносова. – Москва, 28 октября 2010 г.
21. Денищева Л., Краснянская К. Результаты исследования TIMSS/ Журнал Математика, янв.
2012 г., с. 9–21.
22. Треть московских школьников на пробном ЕГЭ по математике не смогли решить простейшую
задачу. [Электронный ресурс]. – Доступ: www.gazeta.ru/social/news/2012/04/06/n_2279077.shtml
23. Садовничий В.А. Размышления математика о русском языке и литературе // Доклад на
Всероссийском съезде учителей русского языка и литературы в МГУ имени М.В. Ломоносова. –
Москва, 4 июля 2012 г.
Жарков Д.В., Кузнецова Т.И. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ КАК
КЛАСС ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
Аннотация. Дается обзор учебной математической литературы по текстовым
задачам с параметрами — с начала прошлого века и по настоящее время.
Определены место и роль данного класса задач в школьном курсе элементарной
математики.
Ключевые слова: общая формула, параметр, задача с параметром, текстовая
задача с параметром, «задача о курьерах».
Zharkov D.V., Kuznetsova T.I. PROBLEM SOLVING EXERCISES WITH
PARAMETRES AS A CLASS OF INCREASED DIFFICULTY EXERCISES IN THE
SCHOOL COURSE OF ELEMENTARY MATHS
Abstract: There is an overview of the mathematical studying literature, which are relevant
to problem solving exercises with parameters: from the beginning of twentieth century to
present time. We have defined the point, the role of this class of exercises in the school
course of elementary maths.
Key words: general formula, parameter, problem solving exercise with parameter, “the
task of the messengers”.
Скачать