математика (демонстрационный вариант)

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Череповецкий государственный университет»
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ ИСПЫТАНИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЕМОНСТРАЦИОННЫЙ ВАРИАНТ
Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 21 задание.
Часть 1 содержит 9 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2
содержит 5 заданий повышенного уровня сложности с кратким ответом и 7 заданий
высокого уровня сложности с развёрнутым ответом.
На каждое из заданий 1–14 требуется дать краткий ответ в виде целого числа или
конечной десятичной дроби. Запишите его напротив номера задания в таблицу в конце
бланка.
Задания 15–21 с развёрнутым ответом. При выполнении заданий 15–21 нужно
привести полное решение. Запишите его на листе-вкладыше Вашей работы. Обязательно
укажите номер задания, которое Вы решаете.
Часть 1.
1.
Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку
3%. Книга стоит 300 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту
книгу?
Ответ:__________________
2.
На диаграмме показана средняя температура воздуха (в градусах Цельсия) в СанктПетербурге за каждый месяц 2014 года.
Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура была
от -10 до +10 градусов.
Ответ:__________________
3.
Семья из трех человек едет из Москвы в Чебоксары. Можно ехать поездом, а
можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 930 рублей. Автомобиль расходует 11 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно
700 км, а цена бензина равна 18,5 рублей за литр. Сколько рублей придется заплатить за
наиболее дешевую поездку на троих?
Ответ:__________________
4.
Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Ответ:__________________
5.
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно
нажатая цифра будет больше 2, но меньше 7?
Ответ:__________________
6.
Найдите корень уравнения 3
Ответ:__________________
7.
x4
 27.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC  20 , tgA  0,75 . Найдите BC.
Ответ:__________________
8.
На рисунке изображен график функции f(x), определенной на интервале (−5; 5).
Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Ответ:__________________
9.
От треугольной призмы, объем которой равен 15, отсечена треугольная пирамида
плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину
другого основания. Найдите объем оставшейся части.
Часть 2

.
10.
Найдите значение выражения  4 3 sin  780
11.
Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку

пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч2, вычисляется по формуле v  2la .
Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,7 километра, приобрести скорость не менее 105 км/ч. Ответ выразите в км/ч2.
12.
Диагональ куба равна
243 . Найдите объем куба.
13.
Моторная лодка прошла против течения реки 99 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной
воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
14.
Найдите наибольшее значение функции у   х  2 х  2 .
15.
Решите уравнение: 2 cos x  cos x

2

 11tgx  0 .
16.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено
сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если
боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.
 x 54
3  3 x  29
17. Решить систему: 
log x3  x  1   0

 4 
18. Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные
касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите
радиусы окружностей.
19. В конце года вкладчику на его сбережения банк начислил проценты, что составило 15
евро.
Добавив
ещё
85
евро,
вкладчик
оставил
деньги ещё на год. По истечении года вновь были начислены проценты, и вклад вместе с
процентами составил 420 евро. Какая сумма первоначально была положена в банк?
20. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
на промежутке 0;    имеет более двух корней.
6
 5  ax  1
x
21. Найдите все такие пары натуральных чисел a и b, что если к десятичной записи числа
a приписать справа десятичную запись числа b, то получится число, большее произведения чисел a и b на 32.
Ответы на задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
x

3
291
8
1424,5
21
0,4
-1
15
4
10
6
7875
729
10
-1
 2k ,
x  k , k  
38
 1; log3 2  3
20 или 23
300
5 3
a  ; 
6 2
(12; 8) и (23; 9)