Приложение 1. Понятие функции Определение. Величина

Приложение
1. Понятие функции
Определение. Величина называется переменной, если она в условиях
данного эксперимента может принимать различные значения.
В практических задачах часто имеют дело с переменными величинами,
которые связаны между собой так, что значения одной величины определяют
значения другой. Эта зависимость между двумя переменными величинами
носит взаимный характер, и ни одна из этих величин не играет сама по себе
первенствующей роли. Однако в условиях конкретной задачи часто случается
так, что заданы значения некоторой величины x (независимой переменной) и по
ним определяют соответствующие значения величины y (зависимой
переменной).
Независимую переменную величину x, т.е. величину, для которой мы
можем задать произвольные, интересующие нас значения, называются
аргументом.
Определение. Переменная величина y называется функцией переменной
величины x, если каждому значению x, взятому из области ее изменения,
соответствует по определенному правилу единственное значение y.
Чтобы показать, что y есть функция переменной x, пользуются
символическими записями: y  f ( x), y   ( x), y  F ( x) и т.д.
Область определения функции f обозначается через D(f). Под областью
определения (существования) функции f(x) понимается совокупность всех
действительных значений аргумента x, при которых функция определена и
выражается действительным числом. В простейших случаях область
определения представляет собой интервал, полуинтервал, бесконечный
интервал, совокупность нескольких интервалов и т.д.
Область значений функции есть множество всех действительных значений,
которые принимает функция. Обозначается область значения через E(f).
Определение. Значение функции f(x) при x  a , где a  D( f ), называется
частным значением функции и обозначается f(a).
Функция считается заданной, если известна область определения функции
и указано правило, по которому для каждого значения аргумента можно найти
соответствующие значение функции. Такое правило можно указать
1
различными способами, из них наиболее распространенными являются
табличный, графический и аналитический.
В математике предпочтение отдается аналитическому способу. Зная закон
соответствия y  f (x) , всегда можно составить таблицу и построить график.
К основным элементарным функциям относятся следующие функции:
 Линейная функция y  kx  b, где k и b – действительные числа.
Области определения и значения –
множество всех действительных чисел.
Графиком
линейной
функции
является прямая.
Если b  0, то y  kx : эта функция
выражает прямую пропорциональную
зависимость между x и y. В этом случае
прямая проходит через начало координат.
Если
k  0, b  0,
то
функция
y  kx  b не является ни четной, ни
нечетной.
Угловой коэффициент k равен tg  ,
где
 - угол, образованный прямой с положительным направлением оси
абсцисс.
Функция возрастает, если k  0 (угол  - острый); функция убывает, если
k  0 (угол  - тупой).
 Степенная функция y  x n , где n – любое действительное число.
При n  2 получаем квадратичную
функцию y  x 2 .
Ее графиком является парабола.
Область определения – множество
всех действительных чисел.
Область значения: 0,  .
Функция
четная,
поскольку
x 2   x 2 .
Функция возрастает при x  0,  и убывает при x   , 0.
2
При n  3 получим функцию y  x 3 .
Ее графиком является кубическая
парабола.
Область определения и область
значения
–
множество
всех
действительных чисел.
Функция
нечетная,
так
как
 x 3   x 3 .
Функция возрастает во всей области
определения.
1
x
При n  1 получим функцию y  ,
которая
выражает
обратную
пропорциональную зависимость между x
и y.
Графиком
функции
является
гипербола.
Область определения – множество
всех действительных чисел, кроме x  0 .
Область значения – множество всех
действительных чисел, кроме у  0 .
Функция нечетная.
Функция убывает при x   , 0 и
при x  0,  .
 Показательная функция y  a x , где основание степени a – данное
положительное
число, не равное
единице, а показатель степени x –
переменная величина, которая может
принимать
любые
действительные
значения.
График находится в верхней
полуплоскости, проходит через точку
(0, 1).
3
Область определения – множество всех действительных чисел.
Область значения: 0,  
Свойствами четности и нечетности функция не обладает.
Функция возрастает при a  1 .
Функция убывает при a  1.
 Логарифмическая функция y  log a x a  0, a  1 .
Эта функция является обратной по отношению к показательной функции,
так как если y  log a x, то x  a y .
Отсюда
следует,
что
график
логарифмической
функции симметричен графику
показательной
функции
относительно биссектрисы I и III
координатных углов.
График проходит через точку (1, 0).
Область определения логарифмической функции – множество
положительных чисел, т.е. x  0, .
Область значения – множество всех действительных чисел.
Свойствами четности и нечетности функция не обладает.
Функция возрастает при a  1 .
Функция убывает при 0  a  1.
 Тригонометрические функции.
Функции y  sin x, y  cos x.
Область определения – множество всех действительных чисел.
Область значения:  1, 1 .
Функции являются периодическими с периодом 2 .
Функция y  sin x - нечетная, функция y  cos x - четная.
Графики этих функций:
4
всех
Область определения функции y  tg x - множество всех действительных

 k k  Z  .
2
Область определения функции y  ctg x - множество всех действительных
чисел, кроме точек, где cos x  0, т.е. в точках x 
чисел, кроме точек, где sin x  0, т.е. в точках x  k (k  Z ).
Область значения функций – множество всех действительных чисел.
Обе функции являются периодическими с периодом  .
Функции y  tg x , y  ctg x нечетные.
Графики функций y  tg x , y  ctg x :
2. Определение предела
Пусть даны две переменные величины x и y, связанные функциональной
зависимостью y=f(x). Рассмотрим вопрос о пределе функции при условии, что
задан предел ее аргумента.
5
Определение. Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если
для всех значений x, достаточно близких к a и отличных от a, значения
функции f(x) сколь угодно мало отличаются от числа b.
То, что функция f(x) в точке a имеет предел, равный b, обозначают
следующим образом:
( )
Отметим, что во всем дальнейшем изложении, где говорится о пределе
функции в точке a, будем предполагать, что функция определена в некоторой
окрестности точки a. В самой же точке a функция может быть не определена.
Замечание: За окрестность точки a принимается любой интервал,
содержащий точку a.
Определение. Число A называется пределом функции y  f (x) на
бесконечности (или при x, стремящемся к бесконечности), если для всех
достаточно больших по модулю значений аргумента x соответствующие
значения функции f (x) сколь угодно мало отличаются от числа A.
То, что функция f(x) на бесконечности
обозначают следующим образом:
имеет предел, равный A,
( )
3. Свойства предела функции
1. Предел суммы (разности) двух функций, имеющих предел, равен сумме
(разности) пределов этих функций:
( ( )
( ))
( )
( )
2. Предел произведения двух функций, имеющих предел, равен произведению
пределов этих функций:
( ( )
( ))
( )
( )
3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
(
( ))
( )
Например, lim (5x  3)  lim 5x  lim 3  5 lim x  3  5  2  3  13.
x 2
x 2
x 2
4. Предел константы равен константе:
6
x 2
5. Предел отношения двух функций, имеющих предел, равен отношению
пределов этих функций:
( )
( )
( )
( )
( )
4. Определение и свойства бесконечно малых и бесконечно больших
величин
Особое место при изучении пределов функции и их свойств отводится
такому важному понятию как бесконечно малые и бесконечно большие
величины.
Определение. Бесконечно малой величиной называется функция, предел
которой равен нулю.
Свойства бесконечно малых величин:
1) Сумма (разность) бесконечно малых величин есть величина бесконечно
малая.
2) Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.
3) Произведение бесконечно малой величины на постоянную величину есть
бесконечно малая величина.
Определение. Бесконечно большой величиной называется переменная
величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает.
1)
2)
3)
Свойства бесконечно больших величин:
Сумма бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая.
Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно
большая.
Произведение бесконечно большой величины на постоянную величину
есть величина бесконечно большая.
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами:
1)
Если ( ) - бесконечно малая величина, то
2)
Если ( ) – бесконечно большая величина, то
7
( )
бесконечно большая.
( )
бесконечно малая.
5. Способы нахождения пределов
Пример. Найти lim (3x 2  2 x).
x 2
Решение.
Функция
непрерывна,
следовательно
вместо
аргумента
подставим его предельное значение:
(
)
Ответ: 8.
x 2  2x
Пример. Найти lim
.
x 4 x  3
Решение. Функция
непрерывна,
следовательно
вместо
аргумента
подставим его предельное значение:
Ответ: 8.
x2  9
.
x 3 3  x
Решение. Здесь непосредственный переход к пределу невозможен,
поскольку предел делителя равен нулю:
Пример. Найти lim
lim (3  x)  3  3  0.
x 3
Предел делимого также равен нулю:
lim ( x 2  9)  9  9  0.
x 3
0
. Однако отсюда не следует, что данная
0
функция не имеет предела; для его нахождения нужно предварительно
преобразовать функцию, разделив числитель и знаменатель на выражение x  3 :
Значит, имеем неопределенность вида
( x  3)( x  3)
x 2  9 ( x  3)( x  3)


 ( x  3).
3 x
3 x
x3
Для выражения  ( x  3) предел при x  3 находится легко:
lim (( x  3))   lim ( x  3)  6.
x 3
x 3
Ответ: -6.
8
Замечание. Сокращая дробь на x  3, мы полагаем, что x  3, но x  3.
3
.
x  x  5
Решение. При x   знаменатель x  5 также стремится к бесконечности,
Пример. Найти lim
а
обратная
ему
величина
1
 0.
x5
Следовательно,
произведение
1
3
3
стремится к нулю, если x  . Итак, lim
3
 0.
x  x  5
x5
x5
Ответ: 0.
Тождественные преобразования под знаком предела применимы не только
в том случае, когда аргумент стремится к конечному пределу, но и при x  .
Пример. Найти lim
2x 3  x
.
x3  1
Решение. Здесь числитель и знаменатель не имеют предела, так как оба
неограниченно возрастают. В этом случае говорят, что имеет место
x 

. Разделим числитель и знаменатель почленно на x 3

(наивысшую степень x в данной дроби):
неопределенность вида
1 

lim  2  2 
2x  x
x 
x 2  x 
lim 3
 lim
 2,
1
x  x  1
x 
1 

1 3
lim 1  3 
x  
x
x 
2
3
1
1
1
при x   стремятся к нулю.
x2
x3
Ответ: 2.
Замечание. Прием деления числителя и знаменателя дроби на наивысшую
так как
и

,

нельзя использовать для нахождения пределов функций, не приводящих к
неопределенности указанного вида.
степень переменной x, применяемый при раскрытии неопределенности вида
Пример. Найти lim
x 
x2  4
.
x
9
Решение.
При
стремлении
аргумента
x
к
бесконечности
имеет

. Чтобы раскрыть ее, разделим числитель и

знаменатель дроби на x. Тогда получим
неопределенность вида
x2  4
lim
x 
x2  4
 lim
x 
x
x2
1
4
 0 при x  .
x2
Ответ: 1.
так как
10
 lim 1 
x 
4
x2
 1,