РАЗРАБОТКА Упражнения для организации

РАЗРАБОТКА
Упражнения для организации
итогового повторения по теме
«Степени и корни»
ГБОУ НПО
Профессиональный лицей метростроя
преподаватель математики
Реготова Наталия Викторовна
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение
2. Основные определения и теоремы
3. Система упражнений для организации итогового повторения
по теме « Степени и корни»
1
1. Введение
В данной разработке сделана попытка обобщить и систематизировать материал, касающийся степеней и
корней. Даны основные определения, сформулированы свойства.
Приведены примеры заданий различной сложности: арифметические задания на вычисление значений
выражений с
корнями и степенями, алгебраические задания на преобразование выражений, решение
уравнений и неравенств.
Рассматриваемые вопросы широко применяются в алгебре и часто используются в заданиях ЕГЭ.
Данная тема не является самой сложной в курсе алгебры 10 – 11 классов. Однако при выполнении заданий
встречается много ошибок.
Использование данных упражнений поможет закрепить умения и углубить знания по данной теме.
2
2. Основные определения и теоремы.
Пусть дано положительное число а и произвольное действительное число п. Число ап называется степенью,
число а – основанием степени, число п – показателем степени.
По определению полагают:
а1 = а,
а0 = 1,
а-п =
𝟏
ап
, п∈ R
𝒎
𝒏
Если а – положительное число, т – целое число, а п – натуральное число и п ≥ 2, то а 𝒏 = √𝒂𝒎 .
Свойства степени. Если а и в – положительные числа, х и у – любые действительные числа, то справедливы
следующие свойства:
ах ау = а х + у,
ах : ау = а х - у,
(а х) у = а х у,
ах в х = (а в) х,
ах
вх
а
= ( )х.
в
Пусть п – натуральное число, отличное от единицы, а – неотрицательное число. Арифметическим корнем п –й
степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, п – я степень которого равна а.
п
Для арифметического корня п- й степени из неотрицательного числа а используется обозначение √а. Если п=2,
3
п
пишут √а. По определению ( √а )п = а.
𝟐п
Для любых, в том числе отрицательных, значений а справедлива формула √а𝟐п = /а/, в частности,
и
√а𝟐 = /а/
√(а − в )2 = /а – в/.
Свойства арифметического корня. Если а и в – неотрицательные числа, п и к – натуральные числа, отличные
от единицы, т –целое число, то имеют место следующие соотношения:
√𝒂𝒎 = ( √𝒂𝒎 ),
𝒏
𝒌 𝒏
𝒏
п
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
√𝒂 𝒃 = √𝒂 √𝒃,
√ √𝒂 = 𝒌𝒏√𝒂,
𝒂
√𝒃 =
𝒏𝒌
𝒌
√𝒂 √𝒂 = √𝒂𝒌+𝒏 ,
𝒏
𝒏
√𝒂
√𝒃
𝒏
, b неравно 0,
𝒏𝒌
𝒌
√𝒂 : √𝒂 = √𝒂𝒌−𝒏 .
Степень с дробным показателем. Если а – положительное число, т – целое число, а п – натуральное число и
п ≥ 2, то
𝒎
𝒏
𝒏
𝒂 𝒏 = √𝒂𝒎 = ( √𝒂)m.
4
3.Система упражнений:
1) Вычислите:
𝟔− 𝟒
𝟔− 𝟒
𝟔
𝟐
∙ 𝟔− 𝟗 ,
− 𝟏𝟐
,
−𝟒
√𝟖√𝟔
√𝟏𝟓
,
√𝟐𝟒
√𝟔√𝟏𝟎
(𝟑√𝟓)𝟐
,
𝟏𝟓
𝟔
,
2√𝟓 - √𝟒𝟓 + √𝟑 ,
√𝟐𝟕 ∙ √𝟔 ∙ √𝟐 − 𝟖,
1,70+ 32:3-1 – 251/2 ,
163/4 – 71,7:7-0,3 + 430,
𝟓
𝟏
𝟕
𝟑
(𝟐√𝟑)𝟐
,
( )2 ∙1,4 + 1251/3 – ( )-1,
- 0,43∙0,4-2∙52 +160,5,
811/4∙9-1/2 + 13,40 –(52)-1 ,
641/3:90,5 – 35,2∙ 3- 6,2 +5,20,
(641/3 ∙ 272/3 ∙ 2432/5 ∙ 128 3/7 )1/2,
(62,5 ∙ 36 -1)4 - ( 51/4∙253/8) sin П/ 2.
𝟔
𝟔
𝟔
𝟑
2) Найдите значение выражения: √𝟑𝟕 ∙ √𝟒𝟓 ∙ √𝟒 ∙ 𝟑𝟓 ,
𝟑
√𝟓𝟒
𝟑
√𝟐𝟓𝟎
∙ √𝟏𝟔,
− 𝟔√
𝟗
𝟏
𝟒
+
√𝟑𝟐𝟒
𝟐
𝟑
,
√𝟏𝟖𝟗
𝟑
𝟑 √𝟕
𝟑
√𝟔𝟐𝟓 + √𝟏𝟔 - √𝟒𝟎 - √𝟐𝟓,
𝟐
,
𝟑
𝟓
:√
𝟏
𝟎,𝟎𝟗
∙
𝟏
√𝟐𝟓
,
𝟖√𝟓
𝟎,𝟒√𝟎,𝟐
0,3∙ √𝟏𝟎 ∙ √𝟔 ∙ √𝟏𝟓 -0,1,
𝟖
𝟐𝟕
𝟑 ∙𝟑√
,
𝟐,𝟓
.
𝟑
𝟑) Найдите значение выражения:
х𝟑/𝟒 − 𝟐𝟓х𝟏/𝟒
х𝟏/𝟐 +𝟓х𝟏/𝟒
х−у
х𝟏/𝟐 −у𝟏/𝟐
𝟏
+
а𝟏/𝟒 − в𝟏/𝟒
−𝟕
𝒏𝟓
у𝟏/𝟐 − у
у𝟏/𝟐
р𝟎,𝟓 + 𝟓
+
𝟓р𝟎,𝟓
р−𝟐𝟓
𝟏
𝟒
𝟐
, при р = 49,
𝒙√𝒙+ 𝟐𝟕
,
𝒙−𝟑√𝒙+𝟗
𝟏/𝟐
р𝟏/𝟐 − 𝒒
𝟐𝒑𝟏/𝟐
𝒑−𝒒
- √𝒙 , при х = 7,
, при р =16, q = 9,
𝟏
х−у
, при х = 16, у = 25,
𝟏
+
46Р∙4 -4Р , при р =
, при п = 8,
𝒑𝟎,𝟓
, при х =16,
𝟏
а𝟐 − в𝟐
𝒏𝟓
𝟏
𝟑 а𝟐 − а𝟒
а𝟏/𝟒
х𝟏/𝟐 + у𝟏/𝟐
а−в
, при а = 625, в = 16,
4) Решите уравнения: 75х+6 = 49,
𝟏
2-х = ( )1-х,
𝟐
3х2 -5х+1 = 81,
𝟏
𝟖
𝟏
3 х = ( )1 + х ,
𝟑
𝟔𝟒
𝟐х+𝟑
= 0,125 х-7 ,
6
𝟏
, при х = 9, у = 49,
х𝟐
в−𝟏/𝟐
-2
𝟏/𝟐
а𝟏/𝟐 − в
( )0,5х – 1 = 4,
-
х𝟐 + х
в−𝟏
(
𝟏
𝟐𝟕
, при а = 9, в =16.
)1 – 3х = 9,
10-х =
𝟏
𝟏𝟎𝟏−х
,
53х-1∙23х-1 = ∛0,1 ,
2 х+2 – 2 х = 96,
5∙7 х-1 + 4∙3 х + 3 х+1 - 2∙7 х = 0,
9 х – 3 х-1 = 6,
4 х + 3 ∙ 6 х – 4 ∙ 9 х = 0,
5) Решите неравенства:
16 ≤ 2 х+3,
4 х - 10∙2 х-1 = 24,
2 х-1 + 2 –х-1 = 1.
𝟏
2 5х+7 ≥ 8 х,
2х >- ,
5х ≤ ,
2∙4 х+1 > 2 –х -1 ,
3∙9 х+1 < 3 – х – 1 ,
9 х - 9∙3 –х ≥ 0,
7 х - 7∙7 – х -2 < 0,
( ) х - 8∙2 – х > 0,
𝟏
𝟓
𝟐𝟓𝟑х−𝟏
(𝟎,𝟐)х−𝟑
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟖
> √𝟏𝟐𝟓х+1, ( ) х+2+4/ х ≤ ,
9 х – 3 х+1 > 4,
2 х – 2 1-х ≥ 1,
7
𝟏
𝟒
2 х+1 + 3∙2 х < 10,
9 х - 5∙ 6х - 6∙ 4 х ≤ 0.