2.Теорема о приведении произвольной системы сил к

1.Аксиомы статики. Теорема о трех силах.
Аксиома о равновесии: Если на абсолютно твёрдое тело действуют только
2 силы, то это тело может находиться в состоянии покоя относительно
системы отсчёта тогда и только тогда, когда эти две силы лежат на одной
прямой, численно равны по модулю и противоположны по направлению.
Аксиома об упрощении системы сил: Состояние абсолютно твёрдого тела
не изменится, если к действующей системе сил добавить (отбросить) нуль.
Следствие: Силу, действующую на абсолютно твёрдое тело можно не
изменяя состояния этого тела, переносить вдоль её линии действия.
Аксиома о векторном характере действия сил: Если на абсолютно
твёрдое тело действует какая-либо система сил, среди которых найдутся 2
силы, линии действия которых пересекаются, то исходное состояние тела
не изменится, если эти две силы заменить их равнодействующей. (По
правилу параллелограмма). Справедливо и обратное рассуждение, что силу
можно разложить на 2 составляющие.
Аксиома «Третий закон Ньютона»: Два тела действуют друг на друга с
одинаковыми по модулю силами, лежащими на одной прямой, но
противоположно направленными.
Аксиома «О связи»: Состояние абсолютно твёрдого тела или системы
таких тел не изменится, если действие связи будет заменено
соответствующими реакциями связи.
Аксиома отвердевания: Состояние системы а. т. т. не изменится, если к
действующим связям дополнительно добавить ещё какую – либо связь,
однако обратное утверждение неверно.
Теорема о трех силах: Если 3 силы удерживают тело в равновесии и линии
действия 2-х сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и их
линии действия пересекаются в одной точке.
2.Теорема о приведении произвольной системы сил к двум силам.
Доказательство: Любая система сил с помощью элементарных операций
может быть приведена к 2-м силам. Таким образом, имеем две силы и
некоторую точку , если окажется что эта  находится на линии действия
одной из сил, то доказывать нечего т. к. силу можно переносить вдоль
линии её действия, поэтому рассмотрим случай, когда силы P, Q являются
скрещивающимися и  не лежит на линии действия этих
сил.
Строим две плоскости по  О: П1={, P} П2={, Q}.
F ,..., F  P, Q P,P; Q, Q R, G

1
 

n
 

R  P  Q _ G  P  Q
Что и требовалось доказать
Теорема «О приведении произвольной системы сил к двум силам».
Любая система сил с помощью элементарных операций может быть
приведена к 2-м силам.
Доказательство основано на доказательстве леммы о трех силах.
Лемма о трёх силах: Любая система из трёх сил с помощью элементарных
операций может быть приведена к двум силам.
Доказательство:
Строим две плоскости: по точке и линиям действия сил.
П1={А, F2} П2={А, F3}.
     
F2  F2  F2_ F3  F3  F3
  
    
 
F1 , F2 , F3  F1 , F2, F2, F3, F3  P, Q 
   
 P  F1  F2  F3

  
 
Лемма доказана. На её основании можно утверждать что теорема доказана
т. к. Любые три силы можно сводить к двум до тех пор пока останется две.
3.Момент относительно точки и оси.
Определение: Моментом силы относительно 
называется векторное произведение двух векторов, один из которых
является радиус – вектором, проведённый из , относительно которой
 

вычисляется момент к точке приложения второй силы. M F   r; F 
0
1-e следствие: Численное значение вектора момента силы
относительно  не изменится, если силу переместить туда,
либо вдоль её линии действия.
Доказательство:

 



 
 
 
 
M O  rA ; F  rB ; F  M O  rA  F  sin   rB  F  sin  



 h  rA  sin   rB  sin 180     rB  sin 
2-е следствие: Момент равнодействующей равен сумме моментов сил её
составляющих.
Доказательство:
  
R  F1  F2
 
 
 
 
  
 
 
M R  r ; R  r ; F1  F2  r ; F1  r ; F2  M F1  M F2
 
 
 
 

 
 
что и требовалось доказать.
Моментом силы относительно оси называется проекция на эту ось
вектора момента силы относительно любой точки этой оси.
4.Момент силы относительно оси.
Определение: Моментом силы относительно оси
- равен проекции вектора момента, вычисленного относительно любой
точки на оси проекции вектора момента на эту ось.
Примечание. 1) когда Мz =0, если сила и ось лежат в одной плоскости.
2) момент сил не изменится при переносе силы по линии действия.
6.Теорема Пуансо о приведении системы сил к силе и паре сил.
Лемма Пуансо: Состояние А. Т. Т. не изменится, если какую – либо из сил,
действующих на это тело, перенести (параллельным переносом) в какую либо
другую точку этого тела, при этом необходимо добавить момент пары сил,
который равен моменту силы, вычисленному относительно новой точки.
Доказательство:
основано на использовании нуль – системы.



F  G1  G2
  
F   F1 , G1 , G2



M  MB F

 

11.Возможные случаи приведения системы сил.
№
1
2
3
4
Теорема Пуансо: Любая система сил может быть приведена к такой силе,
равной главному вектору этой системы и приложенной к заранее указанной

точке, и к паре сил, момент которой равен
П   O, Q
 

главному моменту этой системы,
Q  G1  G2
n
вычисленный относительно той же точки.
  
 
R  P  G1   Fi  P  Q
Доказательство: Воспользуемся результатом
i 1
n



 
теоремы о приведении произвольной
LO   M O Fi   M O P   M O Q 
i 1
системы сил к двум силам, одна из которых

 
M  M O Q 
приложена в указанной точке.
5
6
I2
R
I2>
0
I2<
0
I2=
0
I2=
0
I2=
0
I2=
0

0

0

0

0
=
0
=
0

*
P
К чему приводится
0
Правый
RL0
0
Левый
RL0
0
Изотропны
й
Вырожденн
ый
RL0равнодейству
ющая
Rравнодействующа
я
=0
0
-//-
Lк паре сил
=0
Нулевой
Равновесновесие
Закон трения. Сила трения по модулю не превосходит своего максимального
значения
F ,..., F  P, Q

 

1
n
Далее строим плоскость по  и линии
действия второй силы. (Такая плоскость
будет единственна). Введём нуль – систему,
такую что бы G1 совпадало с Q.
Сила трен. не зависит от площади соприкасающейся поверхности.
7.Условия равновесия абсолютно твёрдого тела.
А. Т. Т. находится в равновесии, если главный вектор, действующий на
систему сил, равен 0, и главный момент этой системы, вычисленный
относительно любой точки, равен 0.
Теорема: Для того чтобы А. Т. Т. находилось в равновесии под действием
какой – либо системы сил, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор
и главный момент, вычисленные относительно любой точки, равнялись 0.
Доказательство:
Необходимость: Предположим, что А. Т. Т. находится под действием
некоторой системы сил {F1,…,Fn} в равновесии, т. е. {F1,…,Fn}=0. Докажем
что главный вектор и главный момент этой системы сил, вычисленный
относительно любого полюса равен 0. Для доказательства воспользуемся
теоремой о приведении произвольной системы сил к 2-м силам, одна из
которых приложена в указанной точке. В таком случае рассмотрим систему
сил:


 
F1 ,..., Fn  P, Q 0
Достаточность: Если главный вектор,

главный момент некоторой системы сил,
P  Q
n 
вычисленные относительно любой точки,

 
R   Fi  P  Q
равны 0, то система сил {F1,…,Fn}
i 1
n

 
 
 
находится в равновесии. ({F1,…,Fn}~0).
R   M O Fi   M O P   M O Q   0
Доказательство: Рассмотрим систему сил
i 1
{F1,…,Fn} на основании теоремы Пуансо
можно привести её к главному вектору и
главному моменту: {F1,…,Fn}~{R, L*}~0.
Теорема доказана.
8.Уравнения равновесия абсолютно твёрдого тела под действием
произвольной системы сил в пространстве.
Из условий равновесия следует, что главный вектор и главный момент
равны 0. Тогда:
 x  0


2
2
2
R  0  RX  RY  RZ   y  0

 z  0
 Mx  0



2
2
2
Lo  0  M X  M Y  M Z   My  0

 Mz  0

Сходящаяся система сил – система, у которой линии действия
пересекаются в одной точке. Если рассматривать именно такую систему
сил, то начало координат рекомендуется поместить именно в эту точку.
Тогда относительно этой точки главный момент превращается в точку.
Таким образом, для сходящийся системы сил
 x  0

независимых уравнений будет 3:

 y  0
Система параллельных сил – для этой


 z  0
системы рекомендуется выбирать координаты
таким образом, чтобы одна из осей была
параллельна линиям действия сил.
 z  0


 My  0

 Mz  0


 X  f t 

Y  f t 
Z  f t 

2.Координатно:
3.Естественно: Для этого задаётся траектория, начало отсчёта, положительное
направление движения и закон изменения угловой координаты во времени.
Скорость – Это быстрота изменения положения точки в зависимости от
времени. Другими словами: скорость – это первая производная пути по
времени V=dr/dt=rt. Этому определению нельзя возразить т. к. в математике
через скорость вводится понятие первой производной.
Ускорение – Это быстрота изменения скорости в зависимости от времени.
Другими словами: ускорение – это первая производная скорости по времени
или вторая производная пути по времени W=dv/dt=d2v/dt2=vt=rt.
Проекции скорости и ускорения на неподвижные оси координат.

r t   i  x t   j  y t   k  z t 

dr
dx
dy
dz
i
 j
k
dt
dt
dt
dt



VM  V X i  VY j  VZ k
dx

V X  dt  x

dy

 y _ 1
VY 
dt

dz

VZ  dt  z

Соотношение 1 и есть проекции скорости на
оси координат.
Соотношение 2 есть проекции ускорения на
оси координат.
dVx

Wx  dt  x




dV
dVx
dVy
dVz 

i
j
k
 i x  jy  kz 
dVy
W 

Wy

 y _ 2 
dt
dt
dt
dt


dt
W  iWx  j Wy  kWz


dVz

Wz  dt  z

13.Теорема о распределении скоростей точек свободного тела. Формула
Эйлера.
Скорость произвольной точки твёрдого тела может быть подсчитана как сумма
скоростей: Скорости полюса и скорости произвольной точки этого тела в
движении вокруг полюса. Пусть точка В произвольная точка твёрдого тела,
выберем в этом твёрдом теле точку А (полюс).
Введем две системы координат: неподвижную x,y,z, и подвижную x,y,z, жестко
связанную с твердым телом.
rB  rA  AB

  
AB  r  i x  j y  k z
9.Уравнения равновесия абсолютно твёрдого тела под действием
плоской системы сил.
 x  0
Плоская система сил – для этой системы


 y  0
систему координат надо выбирать так,

Mz

0
чтобы силы лежали в одной плоскости с


любыми двумя осями координат.
 x  0
Различные виды уравнений равновесия


плоской системы сил.


M

0


AB
,
OX

90

A

1.
M 0


12.Способы задания движения точки. Скорость и ускорение точки.
Определение скорости и ускорения при различных способах задания её
движения.
Материальная точка в кинематике – это твёрдое тело, размерами которого
можно пренебречь.
Траектория – непрерывная кривая, по которой перемещается рассматриваемая
точка.
Способы задания движения точки:
1.Векторно: r  f t
Спроектируем dr/dt на подвижные оси координат





d rB d rA d AB
dr
dr
di
dj
dk


; _ VB  V A 
;_
x
y z
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
     
i, i  j , j  k , k  1






 dk  
  dk   d j  
 di     di 
 dj  


 
 , i    i ,   0; _ 



 dt , k   0; _ 2 dt , j   0; _  j , dt    dt , k   0;
 dt   dt 






 






 dk  
 d i     dj 
 dj  
  di 
  di 
   k ,   Y
 , j    i ,   0; _  , k    j ,    X ; _ 
,
i




 dt   dt 
 dt 
 dt 
 dt 
 dt 


 di  
  dj 
 dt , j    i , dt    Z




B
2.где точки: А, В, С не лежат на одной прямой.
 M A  0


 M B  0

 M C  0

(x, y, z) – координаты характеризующие
положение твёрдого тела, они не
изменяются.
Геометрическая интерпретация формулу Эйлера: VA/B=[,AB]
5.Пара сил, её главный вектор и главный момент.
Пара сил – это система двух сил, приложенных к одному и тому же А. Т. Т.
которые равны и противоположно направлены, но не лежат на одной
прямой.
Момент пары сил – это вектор, перпендикулярный к плоскости действия
пары сил и направленный в ту сторону, откуда действие пары сил видно
против часовой стрелки. Вектор пары сил – это свободный вектор.
Следствие: Главный вектор пары сил всегда равен 0, а главный момент не
зависит от выбора полюса и равен моменту пары.
10.Силовой винт. Классификация винтов. Ось винта и её уравнение.
Статические инварианты.
Винт – объект, элементами приведения которого являются: главный вектор
и главный момент, вычисленные относительно какого – либо полюса.
Винтовая ось – Это прямая представляющая собой место точек,
относительно которых вычисляемый главный момент системы сил,
оказывается коллинеарным главному вектору. Такое численное значение
главного момента будет минимальным.
Уравнение винтовой оси:

OB  x, y, z; R  Rx , Ry , Rz ; LO  Mx, My , Mz
i


LB  LO  BO , R
  r , R   x


Rx
LB  LO  BO , R



k
z
Rz


LB x  LB  y
Ry

LB z
Rz
Тогда Уравнение винтовой оси будет иметь вид:
 
 
 
  
I
Mx   yRz  zRy  My   zRx  xRz  Mz   xRy  yRx 


P 2
Rx
Ry
Rz
I1


LO  M O F1  M O F2
 


 
M  M A F2  M B F1  AB, F2  BA, F1


M  AB  F2  sin    BA  F1  sin   F  h
 

Момент пары сил по модулю равен модулю одной из сил пары на плечо
пары, где плечо пары – это кратчайшее расстояние между линиями
действия рассматриваемой пары сил.
Доказательство:
 

R  F1  F2  0
 
 
 
 


LO  M O F1  M O F2  rA , F1  rB , F2  rA  rB  BA 




 
 
 
 rB  BA, F1  rB , F2  rB , F1  BA, F1  rB , F1  BA, F1  M

j
y
Ry
Условие коллинеарности двух векторов:
Rx


F1   F2










  di 
  dj    dk   dr 
  di 
  dj    dk 
 dr 





 
   x i ,   y i ,   z  i ,
; _    x j , dt   y j , dt   z  j , dt 
 dt  X
 dt 
 dt   dt   dt Y



 







  di 
  dj    dk   dr 
dr 
 dr 

; _     y Z  zY ; _    x Z  z X
   x k ,   y k ,   z  k ,

 dt  Z
 dt Y
 dt 
 dt   dt   dt  X



i
j
k

 
 dr 
   y X  xY ; ___  , r    X Y  Z
 dt  Z
x
y
z

dr
 
 
 
пр.x , r   i  zY  y Z ; _ пр. y , r   j  x Z  z X ; _
  , r  _ ч.т.д.
dt

 
VB  AB   , AB  VA   , r 
 
  
   
 
 
 
 
 


Главным вектором системы сил называется, геометрическая сумма всей
сил данной системы, действующих на данную систему.
Главным моментом системы сил – это сумма моментов всех сил данной
системы, вычисленной относительно того же полюса, относительно
которого вычисляется момент.
Статические инварианты:
Первый: первым статическим инвариантом является главный вектор
системы сил
 
 
2
2
2
I1  R, R  R X  RY  RZ
Второй: второй статический инвариант это скалярное произведение
главного вектора на главный момент, вычисляемый, относительно какого

угодно полюса.
I 2  R, L B
Зависимость главного момента системы сил от
центра приведения.


LB  LO  M B R 





R  G1  G2  G1 , LO  M B R  R, M B R  LO , M B R

R, r, R 

  
Rx Ry Rz
X
Y
  
Z  0  I 2  R, LB   R, LO 
Rx Ry Rz
 

14.Теорема о независимости угловой скорости от выбранного полюса.
Вектор угловой скорости не зависит от выбора полюса.
Доказательство от противного: Пусть вектор угловой скорости зависит от
выбора полюса, и в твёрдом теле существуют две точки, относительно которых
вектор угловой скорости имеет различные значения. Выберем полюс А и полюс
С.








VB  V A   A , AB __ VB  VC   C , CB __ VC  V A   A , AC
AB  AC  CB






V A   A , AB  VC   C , CB
V A   A , AB  V A   A , AC   A , AC 
  A   C   0; A   C

15.Теорема Грасгофа о проекциях скоростей двух точек твёрдого тела.
Проекции скоростей двух точек твёрдого тела на прямую, их соединяющую
равны:
Проекция АВ:
VB  пр. АВ V A  пр. АВ VB / A  пр. АВ V A ;
пр. АВ VB / A  0, т.к.  AB
 V A  cos  VB  cos 
16.Распределение ускорений в свободном теле. Формула Ривальса.
Ускорение произвольной точки твёрдого тела складывается из ускорения
полюса, ускорения вращения и центростремительного ускорения.
Доказательство по формуле Эйлера.


VB  V A   , AB



d VB d V A  d
d 
   d AB 


, AB   ,

; __
dt
dt  dt
dt 
dt
 

 
 B   A   , AB   ,  , AB

 

 B   A   ВР   Ц .С . _(формула _ Ривальса)
17.Поступательное движение твёрдого тела.
Определение: Поступательное движение твёрдого тела это движение при
котором любая прямая проведённая в этом теле остаётся параллельной
своему первоначальному положению.
Из определения следует, что для того чтобы задать движение тела,
совершающего поступательное движение достаточно задать движение
какой либо одной точки этого тела. При поступательном движении
твёрдого тела траектории всех точек одинаковы, скорость и ускорение
имеют одно направление и одну величину.
Пусть точка А есть полюс выберем произвольной точку В:
x A  x A t  

y A  y A t 
rA  rA t  

rB  rA  AB
d rB d rA d AB


dt
dt
dt
d AB
 0; __ VB  VA ; __ WB  WA
dt
Кинетические уравнения поступательного движения:
18.Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси.
Это движение твёрдого тела при котором в твёрдом теле всегда найдутся
хотя бы две точки, которые остаются неподвижными в процессе движения
твёрдого тела. Прямая проведённая через эти точки называется осью
вращения.
Угловая скорость как вектор всегда находится на оси
вращения, и определяется по правилу буравчика (штопора).
Вектор углового ускорения находится на оси вращения и
может совпадать с вектором угловой скорости. В случае если
вектора  и  совпадают, то движение твёрдого тела
именуется ускоренным, в противном случае движение называется
замедленное.
19.Плоское движение твёрдого тела. Теорема о мгновенном центре
скоростей (МЦС). Примеры определения мгновенных центров
скоростей.
Плоско - параллельное движение – это такое движение, при котором все
точки твердого тела двигаются в некоторой неподвижной плоскости.
(пример – качение по рельсу колеса).
Любая отличная точка в твёрдом теле именуется полюс.
 X A  f t 

YA  f t 
  f t 

Кинематические уравнения плоско – параллельного
движения.
Мгновенный центр скоростей – точка, относящаяся к твёрдому телу
скорость которой в данный момент времени равна 0.
Теорема о мгновенном центре скоростей.
Если угловая скорость не равна 0, то всегда существует
мгновенный центр скоростей. Дано: 0.
Если VA=0 то доказывать нечего. Рассмотрим случай
VA0 Построим положение линии центра скоростей.
Построим перпендикуляр к скорости VA и на полученной прямой отложим
отрезок, длина которого h=|VA|/. Отрезок АР откладываем в ту сторону
куда укажет вектор VA. Если его повернуть на /2 в сторону вращения.
Доказательство единственности центра Р. (Доказательство от противного)
Пусть есть Р1 и Р2 МЦС,
VP  V P  V P / A
Р1Р2.
VA

Что и требовалось доказать.
VP / A   , AP  VP / A    AP  sin 90   

V  V  , P P   , P P   0  P P  0  P  P

VP  0

P2
P1
1 2
1 2
1 2
1
2
Методы нахождения
мгновенного центра скоростей:
1.
В случае не параллельности
V
 V
скоростей.
 A  B
AP BP
2.
В случае VAVB, |VA|>|VB|
3.
В случае VAVB, |VA|>|VB|
4.
В случае VAVB, |VA|=|VB| - МЦС уходит на 
20.Углы Эйлера. Кинематические уравнения Эйлера.
Три степени свободы, которые имеет тело при вращении вокруг
неподвижной точки, требуют для задания положения тела относительно
какой – либо системы координат 3-х независимых величин. В
теоретической механике чаще всего эти три величины задаются так
называемыми углами Эйлера.
21.Сложное движение точки. Теорема сложения скоростей. Теорема
Кориолиса.
Относительное движение – это движение относительно подвижной
системы координат предполагая, что система неподвижна.
Переносное движение – это движение подвижной системы отсчёта
относительно неподвижной.
Относительная скорость точки – это скорость точки относительно
подвижной системы отсчёта, считая систему условно неподвижной
Абсолютная скорость точки –


  
dr 
Скорость точки относительно
 VАБС  r  i x  j y  k z
dt
неподвижной системы координат.

  
dr 
 VОТН  i , j , k  неподвижны
Теорема сложения скоростей: При
dt


  
сложном движении точки, абсолютная
ds dr 

 VПЕР  i , j , k  const
скорость равна сумме переносной и
dt dt
относительной скоростей.
Доказательство: Дифференцируем по времени
 
r   r






dr d di
dj
dk
dx
dy
dz 
VАБС 


x y
z i  j k
 VПЕР  VОТН ; где :
dt dt dt
dt
dt
dt
dt
dt




 
d r d d i
dj
dk


x y
z  VПЕР 

dt dt dt
dt
dt
из _ определения

dx
dy
dz

i  j  k  VОТН

dt
dt
dt
Относительное ускорение точки – ускорение точки относительно
подвижной системы отсчёта, с предположением, что эта система является
условно неподвижной.
Переносное ускорение точки – ускорение той точки подвижной среды,
которая в данный момент совпадает с рассматриваемой точкой.
Теорема Кориолиса (о ускорении точки при сложном движении):
Ускорение точки в сложном движении равняется сумме трёх ускорений:
Относительного, Переносного, Добавочного (ускорение Кориолиса).



d  d i
d2 j
d 2k


x
y
z
2
2
2
2
dt
dt
dt
dt



d 2x  d 2 y  d 2z 

i 
j
k  x  i  y  j  z  k
dt 2
dt 2
dt 2
2
W ПЕР
W ОТН

2
Доказательство: дифференцируя по времени соотношение Получим:





d 2r
d 2  d 2i
d2 j
d 2k
W АБС 
 W ПЕР  W ОТН  W ДОБ 
 2 x 2 y 2 z
2
dt
dt
dt
dt
dt


W ПЕР




 di dx dj dy dk dz 
d 2x  d 2 y  d 2z 

i  2 j  2 k  2


2
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt 
 
 

W ОТН
W

 
di
 , i
dt
Принимая

 
dj
во
 , j
внимание
dt

определен


dk
ие
 , k
dt
относитель
ной и переносной скорости,
убеждаемся, что справа
стоят 3- ускорения. Исходя
из теоремы Эйлера, имеем:
 


Y
WZ   cos   
модуль равнодейству ющей:
 
 
.
x  f1 t 
y  f 2 t 
z  f 3 t 
Предполож им что удалось решить систему обыкновенных дифференциальных
уравнений
в результате чего мы получаем семейство интегральных кривых,
которые можно записать в следующем виде:
Для того чтобы получить однозначное решение
 x  f1 t , C1...C6 
системы, необходимо иметь начальные условия, т. е.

 y  f 2 t , C1...C6 
должны быть заданы начальные положения точки и
 z  f t , C ...C 
скорости точки в начальный момент времени.
3
1
6

Подставим в значения параметра t=0, получим:
Продифференцируем по времени и в
 x0  f4 t   0
 x0  f1 t   0
полученное выражение подставим t=0,


получим:
y  f t   0  y  f t   0
 0
2
 z  f t   0
3
 0
 0
5


 z0  f 6 t   0
Из этих систем находит константы дифференцирования. Всё задача решена.
 x  f1 0, C1...C6 

 y  f 2 0, C1...C6 
 z  f 0, C ...C 
3
1
6

 x 


 y 


 z 
f4 0, C1...C6 
f 0, C ...C 
5
1
6
f6 0, C1...C6 
23.Кинетическая энергия системы материальных точек. Теорема Кёнига.
Кинетическая энергия твёрдого тела (3-и вида движения).
Кинетическая энергия системы материальных точек. Теорема Кёнига:
Кинетическая энергия механической системы может быть подсчитана в виде
суммы кинетической энергии центра масс этой системы и кинетической
энергии этой системы относительно центра масс.
Доказательство: Введём оси Кёнига – это система координат начало которой
совпадает с центром масс механической системы, а оси которой движутся
поступательно.

n

V2
dr
dr
d
rK  rK   ; __ T   m K ; __ K  K 
dt
dt
dt
K 2
K 1
 
 
   dx   dy   dz 
W ДОБ  2  , i
 , j
 , k

dt
dt
dt 

    dx     dy     dz  
 2  , i     , j     , k    
dt  
dt  
dt  

 
R  Fx 2  Fy 2  Fz 2
1.Дано m, F надо найти
ДОБ
VОТН

n
VK  VOTH  VC ; __ T   mK VOTH  VC
K 1


    dx  dy  dz 
 
 2 ,  i   j   k    W КОР  W ДОБ  2  ,VОТН
 dt
dtdt




VОТН


n
VC


2
m V
 K OTH 
K 1


2

TOTH
 
2
n
n
m V
  K C   mK VK ( OTH )  VC
2
K 1



 K 1

TЦ . М .
n
m
K 1
n
K
VK ( OTH )  VC  VC 
K 1
n
d rK
d mK rK 
d n
VC 
VC  mK rK  VC
dt
dt
dt 
K 1
K 1


MrK
Подставляем в добавочное ускорение:
Правило Жуковского для определения направления добавочного
ускорения.
Для того чтобы определить добавочное ускорение, необходимо: вектор
относительной скорости спроектировать на плоскость перпендикулярную к
оси вращения и полученную проекцию повернуть на угол 90 в сторону
вращения Это и есть направление Кориолиса.



 
WКОР  2  ,VОТН

W ДОБ   от _ нас 

VПЕР    r

WПЕР   2 r

 
WКОР  2   VОТН sin 90   

cos
22.Аксиомы динамики. Дифференциальные уравнения движения. Две
основные задачи динамики.
Материальна точка – тело, размерами которого можно пренебречь, но
масса принимается конечной.
Свободная материальна точка – Это точка, движение которой ничем не
ограниченно.
Несвободная материальная точка – это такая точка, движение которой в
каком – либо направлении ограниченно.
Связь – Это некое ограничение препятствующее перемещению в том или
ином направлении.
Аксиомы динамики:
1.Первый закон Ньютона – Свободная материальная точка может находится
в состоянии покоя или равномерном прямолинейном движении, пока на эту
точку не подействует некоторая сила.
2.Второй закон Ньютона – Если на свободную материальную точку
действует только одна сила, то эта точка двигается с ускорением,
пропорциональным этой силе, коэффициентом которого является масса.
MW=F.
3.Третий закон Ньютона – Две материальные точки взаимодействуют друг
с другом, результатом которого являются их силы, которые равны по
модулю, противоположно направлены и лежат на одной прямой.
4.Принцип независимости действия сил – Если на свободную
материальную точку действует несколько сил, то эта материальная точка
будет двигаться с ускорением равным сумме ускорений, которые имела бы
точка, если каждая сила действовала на эту точку в отдельности.
R=FiW=Fi/m.
5.Любая несвободная материальная точка будет двигаться как свободная,
если действующая на неё связь (связи) заменить соответствующими
реакциями связей.
Дифференциальные уравнения движения материальной точки:
Через неподвижную точку О твёрдого тела проведём
неподвижную систему координат Ox1y1z1. Другую
систему координат Oxyz скрепим с телом. Для задания
положения движущегося тела относительно системы
координат Ox1y1z1 необходимо задать положение
движущейся системы координат. Для этой цели Эйлер
предложил три независимых параметра – углы Эйлера.
Первый из этих углов – угол прецессии , определяет
положение линии ОК, которая есть линия пересечения
плоскостей Ox1y1 и Oxy. Для изменения этого угла тело
должно вращаться относительно оси Oz1 (ось прецессии). Угол  считается




 
положительным, когда он отсчитывается против часовой стрелки. Вторым углом
mW  F ; _; rk  i x  j y  k z
Эйлера является угол между плоскостями Ox1y1 и Oxy. Этот угол  - угол
 
 d 2 rk 

нутации, а ось ОК вокруг которой происходит движение тела при изменении угла
W 
 i x  jy  kz
dt 2
 - осью нутации ( - угол между перпендикулярами к плоскостям Ox1y1 и Oxy,


которыми являются оси Oz1 и Oz, угол будет положительным, если поворот оси
mx  Fx
  Характерн _ Д .У .Мат.точ.

Oz происходит против часовой стрелки). Третий угол Эйлера – угол

my  Fy

собственного вращения  Это угол от линии ОК до оси Ох. При изменении угла 
mz  Fz



тело вращается вокруг оси собственного вращения Oz, перпендикулярной к
плоскости заданной прямыми ОК и Ох. Таким образом, угол  определяет
положение координатной оси Ох относительно линии ОК. Углы Эйлера широко В некоторых случая удобнее использовать следующее представление:


применяются в теории гироскопов. Итак, для определения положения тела в
mW  F
любой момент времени необходимо задать углы Эйлера как функции времени:


=1(t); =2(t); =3(t) – эти уравнения являются кинематическими уравнениями
mWn  Fn
вращения твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Из этих уравнений можно
0  Fв
получить следующую интерпретацию:
WX   sin  sin    cos 
W   sin  cos    sin 
1.Прямая задача – По заданным уравнениям материальных точек требуется
определить силы, действующие на эти точки.
2.По известной массе и заданным силам на неё действующим, необходимо
определить уравнения движения этой точки.
Решение задач.
1.Так как
Дано: m,
Достаточно пр одифференцировать дважды
x  f1 t 
известные уравнения движения и подставить по
mx  Fx
y  f 2 t 

лученные результаты в в результате чего
my  Fy
z  f 3 t 
получаем проекции силы, действующей на
mz  Fz

материальную точку. После чего легко находится
Две основные задачи динамики:
Т.к. начало
осей Кёнига расположено в центре
масс, rC=0 ;
T=TOTH+TЦ.М.
При плоско –
параллельном движении твердого тела
кинетическая
энергия твёрдого тела на основании
теоремы
Кёнига может быть подсчитана как
кинетическая
энергия масс этого тела +
кинетическая
энергия движения этого тела
относительно центра масс. При это выражение приобретает вид:
. IZ – момент инерции тела относительно оси проходящей через
2
2
mVC

T
2
 Iz
2
центр масс этого тела.
Кинетическая энергия твёрдого тела.
Поступательное движение. Известно что при поступательном движении
твёрдого тела, скорости всех точек этого тела равны. Поэтому кинетическая
энергия этого тела может быть представлена в виде:
n
T 
K 1
2
2
n
mV
m K VK
V2
 C 
2
2
2
K C
n
m
K 1
K
M
VC
2
2
С – центр механической системы
М – масса всей системы.
Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси.
n
T   mK
K 1
n
VK
m
2 n
2
2
2
  K  2 hK   mK hK  I Z
2 K 1 2
2 K 1
2
2
Кинетическая энергия при сложном движении
равна сумме поступательной энергии центра масс и
энергии вращения вокруг оси, проходящей через
центр масс. (Теорема Кёнига).
24.Элементарная работа силы. Мощность силы. Мощность пары сил.
Элементарная работа сил. А=(F,dr) В общем случае слева стоит вариация
полной работы.
Силы:
Активные – которые способны создать движение материальной точки.
Пассивные – которые могут лишь изменить направление движения точки, но
не могут его создать.
Мощность силы – скалярное произведение двух векторов (F x V – в точке
приложения силы).








 
 
 
 
 
N  F ,V ; __ a) F ,V  F  V  cos  F ,V ; __ б ) F ,V  FX VX  FYVY  FZVZ
Мощность пары сил – это скалярное произведение вектора момента пары и
угловой скорости тела, к которому приложена пара сил.


F1   F2



VB  V A   ; AB
 
 
 
 

N  F1 ,V A  F2 ,VB  F1 ,V A  F2 ;V A   ; AB 
 
 
 
  F2 ,V A  F2 ,V A  F2 ;  ; AB
Из математики известно, что смешанное произведение может быть
представлено в виде определителя.


  
 
N   , AB, F2   , M A F2   , M


 

 
 

 
 
 

  
  



Момент инерции диска массы М и радиуса R.
30.Уравнения Лагранжа второго рода.
Используя общее уравнение динамики
выразим вектор rk через обобщённые координаты:
N

I C    r 2 d

25.Классификация связей. Возможные и действительные перемещения.
Идеальные связи.
Классификация связей.
Геометрические
Кинематические
Удерживающие и неудерживающие
R
I C    44 d  4
0
k
k
Фk  mk ak


 


Fk  Rk  mk ak  rk  0
N
k 1
 F

N
k
k 1
N

k 1


 

  m r  F r    m a  F r   F


 m x  F x   m y  F y  

0
N
k k
k 1
k
k
N
k
k 1
k
k
k
ky
k
k
k 1
  m z
k 1

k
k
k
k
k
k
 Fkz z k
k
N
 A


 Фk rk  0



27.Геометрия масс. Центр масс механической системы. Момент
инерции твёрдого тела относительно оси.

Центром масс механической системы называют точку,
mk rk

положение которой может быть определено по формуле: ,
rC  k N1
где mk – масса точки, rk – радиус вектор, определяющий
mk
положение этой точки.
k 1
Если ввести декартовую систему координат, координаты
центра масс будут характеризоваться следующими
формулами:


n
XC 
m X
k 1
n
k
m
k 1
n
k
;YC 
k
m Y
k 1
n
k k
m
k 1
n
; ZC 
k
m Z
k 1
n
k
m
k 1
k
k
Момент инерции материальной точки
относительно оси – это произведение массы рассматриваемой точки на
квадрат расстояния до оси.
Момент инерции механической системы относительно оси – сумма всех
моментов инерции, всех точек рассматриваемой системы, относительно той
же оси.
n
I Z   mk hk   r 2 dm    r 2 dV
2
k 1
m
V
I Z    r 2 dl
Для однородной материальной линии:
Момент инерции относительно начала
координат:

I 0   mk rk  mk xk  yk  zk
2
2
2
2
l

Отсюда осевые моменты инерции выражаются:





I X   mk yk  zk ; _ IY   mk xk  zk ; _ I Z   mk xk  yk
2
2
2
2
2
Сложив осевые моменты инерции, получим: IX+IY+IZ=2I0.
Момент
l
l3
1
инерции
I A    r 2 dl    x 2 dx  
   M  Ml 2
l
стержня:
3
2
l
0

Аналогично : I C
1

Ml 2
12

i 1
 k 1
qi 
 r тогда равенство
Qi   Fk k
qi
k 1
N
примет
вид
N
k
xk
y
z
i k j k k
qi
qi
qi
 
k 1
k 1
сложится следующая ситуация:
N
qi

Обозначим внутреннюю сумму
0
k
делаем подстановку изменяем порядок
суммирования:


n  N
N

  r 
 rk 
    Fk k qi  0
   mk rk

qi  k 1 
qi 
i 1  k 1 
Нам известны тождества Лагранжа


rK VK
Применим следующее тождество и подставим в него

q j q j
правые части уравнений





d  rK  VK
r rk  d  r rk   r d rk
k
k
k

qi dt  qi 
dt qi
dt  q j  q j



r rk  d  r rk   r rk
k
k
k
qi dt  q i 
qi
,



N
d N

 dr 
 dr N
 dr 
  mk rk k     mk rk k  mk rk k 


dqi 
dt
d
q
dq
k 1 
k

1
k

1
i
i 

Рассмотрим выражение кинетической энергии системы
T


 
2 1 N

1 N
mk rk
 mkVk  2 
2 k 1
k 1
2
Cоставим частные производные от Т по переменным qi и qi, применяя
правило дифференцирования сложных функций и дифференцируя сначала
скалярное произведение  2
 , тогда
 и
N
 dr
 rk
 r
T
  mk rk k
 2rk k
qi k 1
dqi
dq i
dq i
 эти 2 соотношения подставляем в правую часть
N
 dr
T
  mk rk k
qi k 1
dqi
 
N

 drk 

 d T
   m r dq    dt q
k 1
k k

i


i

T 

qi 
Вторая внутренняя сумма в правой части
 представляет собой обобщённую силу Qi.
N
  rk 
 Fk


qi 
k 1 
Таким образом получим:
n 

 d T T 
Это уравнение является общим
  Qi qi  0

 

уравнением динамики в
i qi 
i 1   dt q

обобщённых координатах.
Применяя это уравнение, справедливое для любой совокупности независимы
величин (q1, q2, …,qn), поочерёдно к таким их значениям когда одна только
координата получает приращение, не равное 0, а приращение остальных
координат берутся равными 0, т. е. другие координаты не изменяются, можно
получить n таких уравнений
 d T T 
  Qi  0 _ i  1,2,..., n 
 

 dt qi qi 
Или окончательно
d T T

 Qi _ i  1,2,..., n 
dt q i qi
Это и есть уравнение Лагранжа второго рода.
31.Силовое поле. Потенциальные поля. Потенциальная энергия.
Силовым полем называю часть пространства, в каждой точке которого на
материальную точку действует определённая сила, зависящая от координат
точки. Силовое поле считают стационарным, если действующие силы не
изменяются с изменением времени. Если силы зависят от времени, то силовое

N
N
n
N
 
  n rk
 

 поле не стационарно. Стационарное силовое поле называют потенциальным
rk
Ak   Fk rk  rk  
qi     Fk  
qi rk ,если существует такая функция U, зависящая от координат точки, через


q

q
k 1
k 1
i 1
i
i

 k 1
 i 1
которую проекции силы на координатные оси, в каждой точки поля,

Меняем порядок суммирования: N
n
выражаются формулами:
 N  r 
Ak   Fk k qi
Функцию U(x, y, z) – называют силовой
В этом случае

k


rk
qi
qi
Обобщённые силы. Для формулировки этого понятия составим выражение
сумм элементарных работ всех активных сил, приложенных к точкам
системы.
Последнее представление есть общее уравнение динамики в аналитическом
виде.
Допустим, что связи, наложенные на систему, идеальны. Это значит, что
сумма элементарных работ сил реакцией связей, тождественна, равна 0 на
любом возможном перемещении системы из того или иного её положения,
N
n
qi
 mk xk  Fkx  Rkx xk   mk yk  Fky  Rky yk  
0
k k  Fkz  Rkz z k


 R r
2
 понимают вектор 
вектором r
rk
k


 
 Rk  mk r  rk  0
  m z
занимаемого в процессе движения.
1
r
r
dr
r
r



drk   k dqi  k dt  vk  k  rk   k qi  k
t
dt
t
i 1 qi
i 1 qi








rk  xk i  yk j  z k k  rk  xk i  yk j  z k k
 






Fk  Fkx i  Fky j  Fkz k ; Rk  Rkx i  Rky j  Rkz k
k 1
5
MR 2
рассматривать как полный дифференциал от , тогда полный дифференциал




n
r
r
r
r

rk  k q1  k q2  ...  k qn   k qi
q1
q2
qn
i 1 qi
но




 Под
n
n

подставляя в полученное уравнение,
получим или И наконец уравнение
динамики можно представить в
аналитической форме, выражая все
скалярные произведения векторов
через их проекции на декартовы оси.
3
IC 
28.Обобщённые координаты, обобщённые силы. Условия равновесия
механической системы в обобщённых координатах.
Есть некоторая система N точек, на которые наложены голономные связи,
выражающиеся несколькими ι уравнениями вида: v(xk, yk, zk,t)=0, (v=1,
2,…,ι). Таким образом, все 3N координат точек системы связаны между
собой этими уравнениями. Эти ι уравнений, можно решить относительно
каких то переменных, число которых равно ι, таким образом число
независимых координат равно n=3N-ι.
x1  x1 q1 , q2 ,..., qn , t 
Перейдём от n независимых декартовых
координат к каким то n зависимым
x2  x2 q1 , q2 ,..., qn , t 
обобщённым координатам, т. е. выразим
x3 N  x3 N q1 , q2 ,..., qn , t 
независимые декартовые координаты через n
независимых обобщённых координат qi.
Числом степеней свободы системы с голономными связями называют
число обобщённых независимых координат, через которые можно выразить
декартовы координаты всех точек системы.
Если, как мы уже выяснили, через обобщённые координаты можно
выразить декартовы координаты любой точки системы, следовательно,
через обобщённые координаты можно выразить и радиус вектор этой
точки: r  f q , q ,..., q , t  . Для вычисления вектора rk его можно
F , R Ф   0

k
n
rk  


R5 
M
M 
M R5 3
  

 4
 MR 2
4 3
4
5 
V
R 
R 3 5 5
3
3


2 I C  3I X  I X 
можно применить и условие равновесия, выражающееся принципом
возможных перемещений Лагранжа: Сумма элементарных работ всех
непосредственно приложенных к точкам системы активных сил, сил
реакций связей и сил инерции равна 0 на любых возможных перемещениях
системы из положений, занимаемых системой в текущий момент времени.
Это можно выразить в виде уравнения:
Это уравнение представляет собой первую
N
 


форму общего уравнения динамики. Заменяя
Fk  Rk  Фk  rk  0

 и
силы инерции их выражениями 
k 1

k k
k 1
Подставляя правую часть этого уравнения под знак внутренней суммы в
представим эту сумму в виде двух сумм. Тогда:
Принимая центр шара за начало координат. Очевидно, что Ix=Iy=Iz, теперь
воспользуемся формулой и найдём
2
2
26.Общее уравнение динамики. Принцип возможных перемещений
(скоростей)
Общее уравнение динамики (принцип Даламбера – Лагранжа)
Дана система из N материальных точек, имеющие произвольные,
двусторонние неудерживающие связи. Согласно принципу Даламбера
  
. Но к системе сил, удовлетворяющей условиям равновесия,
  m r  F r  0
i 1
За dV примем объём между поверхностями радиусов  и +d, тогда
dV=42d. Тогда
X 2  Y 2  l 2 ; l  const
Нестационарная связь – связь, уравнение которой зависит от времени.
X 2  Y 2  l 2 t 
Голономные связи – связи, уравнения которых можно
проинтегрировать
Неголономные связи – связи, уравнения которых невозможно
проинтегрировать.
VBX=0 VAY=0
Возможные и действительные перемещения.
Возможные перемещения – это такое бесконечно
малое перемещение, которое имеет материальная
точка в соответствии с наложенными на неё связями.
Возможная скорость – это такая скорость материальной точки, которую
допускает наложенная на неё связь.
Действительное перемещение – это бесконечно малое
перемещение, которое имеет материальная точка в
соответствии с наложенными на неё связями, в
зависимости от действия на неё сил.

3

Стационарная связь – связь, уравнение которой явно не
зависит от времени.
k
R4 
M  1
I C    2 d  
   2   MR 2
2 
R  2
0
R
Для определения момента инерции диска относительно диаметра,
воспользуемся соотношением IX+IY+IZ=2I0. Тогда
IX=0.25MR2.
Прямой круговой цилиндр: Из определения момента
инерции системы следует, что момент инерции точек
не изменяется при перемещении их параллельно оси,
если образно диск взять и сместить все точки на
основание цилиндра, то получится диск, а момент
инерции диска нам
I C   r 2 dV
известен, тогда момент инерции цилиндра
V
IZ=0.5MR2.
Момент инерции шара.
Голономные и
неголономные
Односторонние и двусторонние
Стационарные и нестационарные
Если какая –либо связь (геометрическая) может быть представлена в виде
уравнения то связь называется удерживающей.
Если связь описывается неравенством –
связь неудерживающая.
X A  l cos 
X 2 Y 2  l2
YA  l sin 
X 2 Y 2  l2
k
За элемент площади d примем площадь между окружностями радиусов  и
+d, тогда d=2d. Поэтому получим:
2

k
n
  Qiqi
i 1
Выражение Qi в координатной форме:
N

x
y
z 
Qi    Fkx k  Fky k  Fkz k 
qi
qi
qi 
k 1 
Величину Qi называют обобщённой силой, соответствующей обобщённой
координате qi.
Условие равновесия механической системы в обобщенных
координатах.
Для равновесия голономной системы, обладающей n степенями свободы, в
каком то её положении, определяемом значениями обобщённых координат,
необходимо и достаточно, чтобы значения всех обобщённых сил,
соответствующие этим обобщённым координатам равнялись 0.
29.Тождества Лагранжа.


r
V
1. K  K
q j q j
Доказательство :

dr
r dq
r dq
r dq
VK  K  K 1 q1  K 2 q2  ...  K S q S
dt
q1 dt
q2 dt
qS dt



S
r
V
r  q 
rK  rK q1...qS ; ___ N   K q j ; ___ K  K  j 
q j q j  q j 
j 1 q j

1


d  rK  V K
2.

dt  q j  q j
Доказательство :



d  rK 
  rK 
  rK 

q1  ... 
q S
dt  q j  q1  q j 
q S  q j 






 V
r
d  rK 
 rK
 rK
  rK


q1  ... 
q S 
q1  ...  K q S   K


dt  q j  q j q1
q j q S
qi  q1
q S
 q j
U
U
U
, _ Fy 
, _ Fz 
x
y
z
функцией.
Потенциальной энергией П материальной точки в рассматриваемой точке
силового поля М называют работу, которую совершают силы поля
действующие на материальную точку при перемещении её из точки М в
начальную точку М0. П= - U.
Потенциальные силы – силы,

возникающие в результате
qq 
F   1 22 r
действия на тела
R
 
потенциальных силовых полей.
A  F , dr  Fx dx  Fy dy  Fz dz
Свойства потенциальных
Fx 


силовых полей
U 
Fx 
x 

U 
Fy 

y 
U 
Fz 

z 
dA  A 
B
 dA  U B   U  A
A
1.Работа независима от пути и
времени.
2.Работа по замкнутому
контуру равна 0.
U
U
U
dx 
dy 
dz  dU
x
y
z
32.Уравнения Лагранжа второго рода для консервативных систем.
Силы, действующие на механическую систему, в этом случае могут быть
выражены через силовую функцию U. Обобщённые силы выражаются по
формулам:
отсюда уравнения Лагранжа принимают вид:
U
Qi 
qi
В этих уравнениях перенесём
налево с
d T T U
U


_ i  1,2,..., n 
qi
dt qi qi qi
обратным знаком. Кроме того, что U зависит только от обобщённых координат,
но не зависит от обобщённых скоростей, тогда:
. Вследствие
T  T  U 

qi
qi
этого уравнения Лагранжа примут вид:
.
d  T  U  T  U 

 0 _ i  1,2,..., n 
dt qi
qi
Введём функцию L=T+U, называемую функцией Лагранжа, причём
. Тогда уравнения Лагранжа примут вид: . Следует заметить, что
L  f qi , qi , t 
функция L не является механической энергией
d L L
системы Е, которая равна:

 0 _ i  1,2,..., n 

dt qi qi
Е=Т-U=Т+П.

. Умножаем обе части этого соотношения на
dv 
F
dt

радиус вектор:
. В правой части, стоит момент силы

dv  
r m
 F r
dt
относительно неподвижной тоски О. Преобразуем левую часть, применив
формулу производной от векторного произведения:


, но 
как векторное
 


 dr

dv d 
dr
r m
 r  mv  
 mv
 mv  v  mv  0
dt dt
dt
dt
произведение скалярных векторов. После всех преобразований получаем
окончательно уравнение:
 или
d 
r  mv   r  F
dt

 dk X

 . Таким образом «Первая производная
dk O
 dt  M X F
 MO F


dt
 dkY
 MY F

по времени от кинетического момента точки,
 dt
относительно какого – либо центра равна

 dk Z

M
F
моменту силы относительно того же центра». Это
Z

 dt
и есть теореме об изменении кинетического момента
для точки. Осталось написать проекции на координатные оси:
представить в виде:
m
33.Циклические координаты. Первые интегралы.
Циклической обобщённой координатой механической системы
называют координату qk, не входящую явно в выражение функции
Лагранжа L=T+U. Эта обобщённая координата не входит ни в выражение
силовой функции U, ни в выражение кинетической энергии Т. В
кинетическую энергию входит только обобщённая скорость
,
q k
L
 0 условия и
qk
, где Ck – постоянная величина. Раскрывая
d L
L
0
 Ck  const
левую часть уравнения , можно
dt q k
q k
представить его в другом виде:
так
T
 Ck
q k
как силовая функция U не зависит от обобщённых скоростей. Выражение
для
можно получить, дифференцируя по кинетическую энергию Т в
q k
T
соответствующая этой координате. При этих
уравнения Лагранжа примут вид:
q k
виде:
. Тогда уравнение примет вид: n
.
1 n n
aik q i  bk  C k
aij qi q j


2 i 1 j 1
i 1
Таким образом, получен первый интеграл уравнения Лагранжа,
соответствующий данной циклической координате qk; поэтому интеграл
называют циклическим. Циклический интеграл является линейным
относительно обобщённых скоростей. Для полного интегрирования
системы уравнений Лагранжа необходимо и достаточно получить 2n
первых интегралов этой системы, т. е. 2n соотношений вида:
удовлетворяющих уравнениям Лагранжа. Из
f S qi , qi , t   CS _ S  1,2,...,2n
этих уравнений найдём все величины qi и в функции времени с
q k
достаточным числом произвольных постоянных. Произвольные
постоянные находятся по начальным данным.
T
34.Теорема об изменении количества движения.
Одной из мер движения точки или системы является количество их
движения.
Количеством движения материальной точки q называют вектор, равный
произведению массы точки m на её скорость v.
Количеством движения системы называют векторную сумму количеств

движения отдельных точек систем, 
Q   mk vk
Теорема о изменении количества движения точки.
Дифференциальное уравнение движения материальной точки под
действием силы F можно представить в следующей векторной форме:

dv  . Так как масса величина постоянная её можно внести под знак
m
F
dt
производной. Тогда:
 . Эта формула выражает теорему об
d
mv   F
dt
изменении количества движения точки в дифференциальной форме:
«Первая производная по времени от количества движения точки равна
действующей на точку силе». В проекциях на координатные оси:


 . Если обе части умножить на dt,
d
mvx   Fx , _ d mvy   Fy , _ d mvz   Fz
dt
dt
dt
то получим другую формулу этой же теоремы – теорему импульсов в
дифференциальной форме: d mv   Fdt «Дифференциал от количества
движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на
точку». Проектируя на оси координат, получаем:


 . Интегрируя обе части



d mvx   Fx dt , _ d mvy   Fy dt , _ d mvz   Fz dt
 в пределах от 0 до t имеем: 
 это выражение есть


d mv   Fdt
mv  mv0  S
теорема импульсов в интегральной форме. Для материальной точки теорема
об изменении количества движения в любой из форм по существу не
отличается от дифференциальных уравнений движения точки.
Теорема об изменении количества движения для системы.
Пусть к точкам системы приложены внешняя и внутренняя силы. Тогда для
каждой точки можно применить теорему об изменении количества
движения точки: d
 Тогда:
mv   F
dt
суммируя по всем точкам обе части



d
e 
i 
mk vk  Fk  Fk , k  1,2,..., N
dt
соотношения и учитывая, что сумма производных равна производной
суммы, получаем:
. Так как по свойству



d
e 
i 
 mk vk   Fk   Fk
dt
внутренних сил и определению количества движения системы:
 , то приведённое соотношение можно представить в
 i 

 Fk  0, _  mk vk  Q

виде:
 e  . Это выражение является теоремой об изменении
dQ
  Fk
dt
количества движения для системы в дифференциальной форме:
«Производная по времени от количества движения системы равна
векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему».
Умножаем обе части на dt, получаем эту же теорему в другой форме:

 e 
dQ   Fk dt
35.Теорема о движении центра масс.
Центр масс механической системы
n

движется как материальная точка, в
mk rk
n
 


которой сосредоточенна масса всей
k 1
rC  n
 M  rC   mk rk
системы, и на которую действует
k 1
mk

главный вектор внешних сил.
k 1
Доказательство: Основано на теореме об

изменении
количества движения и на
n


dr
d n
определении центра масс механической
M  C   mk rk   mk vk
dt dt k 1
k 1
системы.

M  vc  Q

Продифференцируем это соотношение
dvc
M
 Re
по времени, получим:
dt
36.Теорема об изменении кинетического момента относительно
неподвижной точки.
Наряду с количеством движения в качестве векторной меры движения
можно использовать кинетический момент или момент количества
движения. Для материальной точки массой m, движущийся со скоростью v,
кинетическим моментом kO относительно какого – либо центра О называют
момент количества движения точки относительно этого центра О, т. е.:


 
 . Проектируя обе части этого уравнения на
kO  M O mv   r  mv
прямоугольные, декартовы оси, получаем кинетический момент точки
относительно этих осей координат, если точка О является началом осей
координат:

Теорема об изменении
k x  M x mv   myvz  zv y   m yz  zy 
кинетического момента для


k y  M y mv   mzv x  xvz   mzx  xz 
точки.


Для материальной точки
k z  M z mv   mxvy  yvx   mxy  yx 
основной закон динамики можно
 
 
 
 