РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
реклама
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
ИВАНОВ Д. И.
Математическая логика и теория алгоритмов
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения
направление 050100.62 «Педагогическое образование»,
профиль подготовки «Математическое образование».
Тюменский государственный университет
2013
Иванов Д.И. Математическая логика и теория алгоритмов. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов очной формы
обучения, направление 050100.62 "Педагогическое образование", профиль
подготовки «Математическое образование». Тюмень, 2013, 18 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
«Математическая логика и теория алгоритмов» [электронный ресурс]
http://www.umk3.utmn.ru / Режим доступа: свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: В.Н. Кутрунов, д. ф.-м. н., профессор.
© Тюменский государственный университет, 2013.
© Д.И. Иванов, 2013.
2
1. Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Целью преподавания учебной дисциплины «Математическая логика и теория
алгоритмов»
является
обучение
студентов
фундаментальным
методам
математической логики и теории алгоритмов..
При преподавании учебной дисциплины «Математическая логика и теория
алгоритмов » ставятся следующие задачи:
- ознакомить студентов с фундаментальными понятиями, методами и законами
математической логики: логикой и исчислением высказываний и предикатов;
- дать введение в задачи и методы теории алгоритмов;
- развить у студентов аналитическое мышление и общую математическую
культуру;
- привить студентам умение самостоятельно изучать учебную и научную
литературу в области математики.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП специалитета.
Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» входит в цикл
естественнонаучных дисциплин вариативной части Федерального государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО)
по
направлению
«Педагогическое
образование»
профилю
подготовки
«Математическое образование».
Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» базируется на знаниях,
полученных в рамках школьного курса математика или соответствующих дисциплин
среднего профессионального образования. Для ее успешного изучения необходимы
также знания и умения, приобретенные в результате освоения фундаментальной и
компьютерной алгебры.
В ходе изучения дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов»
студенты должны усвоить основные понятия и методы математической логики,
получить основные сведения о структурах, используемых в персональных
компьютерах.
Освоение дисциплины предусматривает приобретение навыков работы с
соответствующими учебниками, учебными пособиями, монографиями, научными
статьями.
На основе приобретенных знаний формируются умения применять математические
методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, владеть
методами построения математической модели профессиональных задач и
содержательной интерпретации полученных результатов.
Знание математической логики и теории алгоритмов может существенно помочь в
научно-исследовательской работе.
3
код
1.3. Компетенции выпускника ООП специалитета, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих
компетенций в соответствии с ФГОС ВПО по данному направлению:
Формулировк
а
компетенции
Результа
т
обучени
яв
целом
Результаты обучения по уровням освоения
материала
минимальный
базовый
повышенный
основы
культуры
мышления
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Знает
ОК-1
воспринимать
информацию,
обобщать и
анализироват
ь
Владеет
культурой
мышления,
способностью
к обобщению,
анализу,
восприятию
информации,
постановке
цели и
выбору путей
её
достижения.
ставить цели и
выбирать пути
её достижения
Умеет
основными
мыслительны
ми
операциями.
Владеет
операциями
анализа и
синтеза,
сравнения,
обобщения
Виды
занят
ий
проблематизиро
вать
мыслительную
ситуацию,
репрезентироват
ь ее на уровне
проблемы;
определять пути,
способы,
стратегии
решения
проблемных
ситуаций;
логично
формулировать,
излагать и
аргументирован
но отстаивать
собственное
видение проблем
и способов их
разрешения.
мыслительными
операциями
анализа и
синтеза,
сравнения,
абстрагирования
, конкретизации,
обобщения,
классификации.
Оцен
очны
е
средс
тва
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
4
основы
грамматики
основы
грамматики,
фразеологии,
синтаксиса
русского языка
ОК-6
Знает
Способен
осуществлять
логически
верно устную
Умеет
и письменную
речь
ОК -16
Владеет
Способен
использовать
навыки
публичной
речи, ведения
дискуссии и
полемики
Знает
грамотно
строить речь
аргументирова
нно строить
устную и
письменную
речь
культурой
общения в
устной речи
культурой
общения в
устной речи,
приемами,
используемым
и при
подготовке
деловой
документации,
рефератов,
курсовых и
дипломных
работ
основы
ораторского
искусства
основы
грамматики,
фразеологии,
синтаксиса
русского языка,
правила
использования
этих знаний при
оформлении
необходимых
документов,
текстов
выступлений,
рефератов,
докладов
логически верно,
аргументирован
но строить
устную и
письменную
речь, правильно
оформлять
результаты
мышления.
культурой
общения в
устной речи,
приемами,
используемыми
при подготовке
деловой
документации,
рефератов,
курсовых,
дипломных
работ, научных
статей
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
5
Умеет
на практике
использовать
различные
формы, виды
устной и
письменной
речи
навыками
аргументации
и ведения
дискуссии
ОПК - 2
Владеет
Способен
использовать
систематизиро
ванные
теоретические
и практические
знания
гуманитарных,
социальных и
экономических
наук при
решении
социальных и
профессиональ
ных задач
общие
закономерност
и научного
познания
Знает
использовать
различные
формы, виды
устной и
письменной
коммуникации
на родном
языке в
учебной и
профессиональ
ной
деятельности
навыками
аргументации,
ведения
дискуссии
полемики и
различного
рода
рассуждений
использовать
различные
формы, виды
устной и
письменной
коммуникации
на родном и
иностранных
языках в
учебной и
профессиональн
ой деятельности
навыками
аргументации,
ведения
дискуссии
полемики и
различного рода
рассуждений на
родном и
иностранных
языках
общие
закономерности
научного
познания;
основные
закономерности
взаимодействия
человека и
общества
общие
закономерности
научного
познания;
основные
закономерности
взаимодействия
человека
и
общества,
специфику
действия
экономических
законов в сфере
образования
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
Лекци
и,
практ
ическ
ие
заняти
я
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работа
6
использовать
общие
закономерност
и научного
познания для
осмысления
педагогическог
о опыта и
создания
педагогических
концепций
использовать
общие
закономерности
научного
познания для
осмысления
педагогического
опыта и
создания
педагогических
концепций,
выявлять
основные
тенденции
развития тех или
иных групп или
слоев населения
приемами
ведения
дискуссии,
полемики,
диалога
приемами
ведения
дискуссии,
полемики,
диалога,
способами
выявления
онтологического
и
гносеологическо
го аспектов
решаемых
проблем,
навыками
работы с
философскими
текстами,
навыками
публичной речи
Умеет
Владеет
использовать
общие
закономерности
научного
познания для
осмысления
педагогического
опыта и создания
педагогических
концепций,
выявлять
основные
тенденции
развития тех или
иных групп или
слоев населения,
закономерности
социализации и
воспитания
личности в
различных
социальных
институтах
приемами ведения
дискуссии,
полемики,
диалога,
способами
выявления
онтологического и
гносеологическог
о аспектов
решаемых
проблем,
навыками работы
с философскими
текстами,
навыками
публичной речи и
письменного
аргументированно
го изложения
собственной
точки зрения по
основным
философским и
методологическим
проблемам науки
Лекци
и,
практ
ическ
ие
заняти
я
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работа
Лекци
и,
практ
ическ
ие
заняти
я
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работа
7
основные
особенности
разработки
учебных
программ
базовых и
элективных
курсов
ПК – 1
Знает
Способен
реализовыват
ь учебные
программы
базовых и
элективных
курсов в
различных
образовательн
ых
учреждениях
адаптировать
учебные
программы
базовых и
элективных
курсов на
реальные
условия
образовательн
ого процесса
Умеет
основные
особенности
разработки
учебных
программ
базовых и
элективных
курсов;
основные
подходы к
определению
понятий
школьного
курса
математики;
основные
этапы и пути
поиска
решения задач
школьного
курса
математики
адаптировать
учебные
программы
базовых и
элективных
курсов на
реальные
условия
образовательно
го процесса;
анализировать
школьные
учебники
алгебры и
геометрии с
точки зрения
реализации
программы
основные
особенности
разработки
учебных
программ
базовых и
элективных
курсов;
основные
подходы к
определению
понятий
школьного курса
математики;
основные этапы
и пути поиска
решения задач
школьного курса
математики;
сущность
основных
методов
решения задач и
доказательства
теорем
адаптировать
учебные
программы
базовых и
элективных
курсов на
реальные
условия
образовательног
о процесса;
анализировать
школьные
учебники
алгебры и
геометрии с
точки зрения
реализации
программы;
решать задачи на
вычисление,
построение и
доказательство
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
8
способами
организации
деятельности
обучаемых в
процессе
освоения
учебных
программ
способами
организации
деятельности
обучаемых в
процессе
освоения
учебных
программ;
методами
решения
математически
х задач
Владеет
способами
организации
деятельности
обучаемых в
процессе
освоения
учебных
программ;
методами
решения
математических
задач на
конкретной
образовательной
ступени
конкретного
образовательног
о учреждения
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 5 . Формы промежуточной аттестации: экзамен. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 180 часов.
Тематический план.
3.
Таблица 1.
Тематический план.
1
1.1.
1.2.
2.1.
2.2.
2.3.
3.1.
2
Модуль 1
Булевы функции и логика
высказываний.
Исчисление высказываний.
Всего
Модуль 2
Логика предикатов.
Фильтры, теорема компактности.
Исчисление предикатов.
Всего
Модуль 3
Частично рекурсивные функции.
3
4
Самостоятельн
ая работа*
Лекции*
недели семестра
Тема
Семинарские
(практические)
занятия*
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
№
Ито
го
час
ов
по
тем
е
Из
них в
интер
актив
ной
форм
е
Итого
количе
ство
баллов
5
7
8
9
10
1–5
8
6
6
20
5
0 – 25
6–8
6
14
8
14
10
16
24
44
5
0 – 25
0 – 50
9 – 10
11
12 – 13
4
2
4
10
4
8
12
8
2
2
12
16
4
14
34
2
2
4
0–2
0–4
0 – 14
0 – 20
14 – 15
6
4
8
18
2
0 – 10
9
3.2.
Машина Тьюринга.
Всего
Итого (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной
форме
16 – 17
4
10
34
10
4
8
34
6
4
12
40
12
30
108
5
7
16
0 – 20
0 – 30
0 – 100
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля.
Модуль 1
1.1.
1.2.
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
2.3.
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
Всего
Итого
-
Итого
количество
баллов
реферат
тест
Компьютерное
моделирование
ответ на
семинаре
дискуссии
Письменные работы
контрольная
работа
Устный опрос
собеседование
№ темы
0-5
0-5
0-10
0-15
0-15
0-30
0-5
0-5
0-5
0-5
0 – 25
0 – 25
0 – 50
-
-
0–2
0–4
0 – 14
0 – 20
0-5
0-4
0-4
0-9
0 – 10
0 – 20
0 – 30
0 – 100
-
0-2
0-2
0-4
0-2
0-2
0-2
0-6
0-10
0-10
0-2
0-2
0-2
0-4
0-4
0-5
0-9
0-25
0-40
0-15
0-15
0-15
Таблица 3.
Планирование самостоятельной работы студентов.
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1
Булевы функции и логика
высказываний.
1.2
Исчисление высказываний.
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Проработка
лекций, работа с
литературой,
решение
типовых задач
Подготовка
рефератов,
составление задач
Неделя
семестра
Объем
часов
1–5
20
6–8
24
44
0-10
9 – 10
11
16
4
0-2
0-2
12 – 13
14
34
0-2
0-6
14 – 15
18
16 – 17
12
0-9
30
108
0-9
0-25
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1
Логика предикатов.
2.2
Фильтры, теорема
компактности.
2.3
Исчисление предикатов.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Частично рекурсивные
функции.
3.2
Машина Тьюринга.
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
Проработка
Написание
лекций, работа с
литературой,
решение
типовых задач
программы
Проработка
лекций, работа с
литературой,
решение
типовых задач
Подготовка
рефератов
Кол-во
баллов
0-10
10
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами.
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
5.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
Основы
информационной
безопасности
Программноаппаратные
технологии защиты и
передачи информации
Дополнительные
разделы теории
алгоритмов
Теоретика-числовые
методы криптографии
Электроника и
схемотехника
Темы
дисциплины
необходимые
для
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1
1.2
2.1
2.2
2.3
3.1
+
+
+
+
+
+
+
изучения
3.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Содержание дисциплины.
Модуль 1.
Тема 1.1. Булевы функции и логика высказываний.
Функции алгебры логики. Существенные и несущественные переменные. Формулы.
Представление функций формулами. Операция суперпозиции. Операция введения
несущественной переменной. Замыкание множества функций. Замкнутые классы. Равенство
функций. Эквивалентность формул. Элементарные функции и их свойства. Совершенная
дизъюнктивная нормальная форма. Совершенная конъюнктивная нормальная форма. Полные
системы функций. Достаточное условие полноты. Примеры полных систем. Полиномы
Жегалкина. Представление булевых функций полиномами. Линейные функции и их свойства.
Функции, сохраняющие константы. Самодвойственные функции и их свойства. Монотонные
функции и их свойства. Теорема Поста о полноте системы булевых функций. Возможность
выделить из каждой полной системы полную подсистему, состоящую не более чем из 4-х
функций. Базисы замкнутых классов. Примеры базисов в P2. Предполные классы. Свойства
предполных классов в P2. Теорема Поста о конечной порожденности замкнутых классов булевых
функций.
Тема 1.2. Исчисление высказываний.
Высказывания и операции над ними. Аксиомы классического исчисления высказываний.
Схемы аксиом. Правила вывода. Вывод. Выводимые формулы. Вывод из системы гипотез.
Простые свойства выводимости. Примеры вывода. Вывод формулы A → A. Теорема о дедукции.
Тождественная истинность выводимых формул. Непротиворечивость классического исчисления
высказываний. Теорема о полноте. Независимость схем аксиом исчисления высказываний.
Теорема о независимости схем аксиом исчисления высказываний.
Модуль 2.
Тема 2.1. Логика предикатов.
11
Понятие предиката. Примеры. Логические операции над предикатами; кванторы.
Теоретико-множественный смысл операций над предикатами. Условия полноты системы
предикатов на конечном множестве. Формулы; свободные и связанные переменные. Модель,
сигнатура модели. Значение формулы в модели. Формула, истинная в модели. Формула, истинная
на множестве. Тождественно истинная формула. Правила эквивалентных преобразований формул
логики предикатов. Нормальная форма. Приведение формул к нормальной форме.
Тема 2.2. Фильтры, теорема компактности.
Фильтры, максимальные фильтры. Теорема о вложении фильтров. Теорема об
ультрафильтрах. Фильтрованные произведения, ультрапроизведения. Теорема об
ультрапроизведениях. Теорема компактности. Предложение о бесконечных моделях.
Нестандартные арифметики. Теорема о нестандартных арифметиках.
Тема 2.3. Исчисление предикатов.
Аксиомы классического исчисления предикатов. Правила вывода. Выводимые формулы.
Примеры вывода. Специальный вывод из системы гипотез, теорема о дедукции. Тождественная
истинность выводимых формул. Непротиворечивость классического исчисления предикатов.
Теорема Гёделя о полноте.
Модуль 3.
Тема 3.1. Частично рекурсивные функции.
Частичные числовые функции. Простейшие функции. Операции суперпозиции и
примитивной рекурсии. Примитивно рекурсивные функции. Операция минимизации. Частично
рекурсивные функции, общерекурсивные функции. Тезис Чёрча. Теорема о совпадении класса
частично рекурсивных функций и класса частичных числовых функций, вычислимых по
Тьюрингу. Рекурсивные множества, разрешимые предикаты, рекурсивно перечислимые
множества, частично разрешимые предикаты. Теорема Райса. Нормальные алгоритмы Маркова.
Принцип нормализации.
Тема 3.2. Машина Тьюринга.
Машина Тьюринга и универсальные функции. Машина Поста. Сводимости и
степени. Сводимость по Тьюрингу, степени неразрешимости.
Планы семинарских занятий.
Тема 1.1. Булевы функции и логика высказываний. Основные бинарные
отношения: эквивалентность и частичный порядок. Принципы трансфинитной индукции,
максимума и теорема об эквивалентностях. Задание булевых функций, контактнорелейные схемы. Предложения о КНФ и ДНФ. Теорема об описании предполных классов
Поста..
Тема 1.2. Исчисление высказываний. Формулировка ИВ: алфавит, формулы,
секвенции доказуемые и правила вывода, доказательство секвенций. Вспомогательные
леммы и теоремы о полноте ИВ а узком и широком смыслах.
Тема 2.1. Логика предикатов. Язык логики предикатов. Истинность формул в
системах данной сигнатуры. Эквивалентные и конгруэнтные и формулы. Основные
эквивалентности. Приведение формул к предваренному виду.
Тема 2.2. Фильтры и фильтрованные произведения. Фильтры и ультрафильтры.
Теорема о вложении фильтров в ультрафильтры и описание ультрафильтров. Понятие
фильтрованного произведения систем. Теоремы об ультрапроизведениях и компактности.
Предложения о нестандартных арифметиках и бесконечных моделях.
6.
12
Тема 2.3. Исчисление предикатов. Формулировка исчисления, предварительные
результаты. Две леммы и теорема о существовании модели непротиворечивого множества
формул. Теоремы о полноте ИП и независимости аксиом.
Тема 3.1. Вычислимые функции. Тезис Чёрча. Частично рекурсивные функции.
Общерекурсивные функции. Рекурсивно перечислимые множества и их классы.
Тема 3.2. Машина Тьюринга. Машина Поста. Сводимости.
7.
Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не планируются.
8.
Примерная тематика курсовых.
Не планируются.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
a) Текущая аттестация:
контрольные работы; В каждом семестре проводятся контрольные
работы (на семинарах).
тестирование (письменное или компьютерное) по разделам дисциплины;
b) Промежуточная аттестация:
тестирование по дисциплине;
экзамен
(письменно-устная
форма).
Экзаменационная
оценка
выставляется после решения всех задач контрольных работ и
выполнения самостоятельной работы.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
˅осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
9.
Тест по теме: «Основы математической логики»:
1. Наука, изучающая законы и формы мышления, называется:
а) алгебра;
б) геометрия;
в) философия;
г) логика.
2. Повествовательное предложение, в котором что-то утверждается или отрицается
называется:
а) выражение;
б) высказывание;
в) вопрос;
г) Умозаключение.
3. Константа, которая обозначается «1» в алгебре логики называется:
а) ложь;
б) правда;
13
в) истина;
г) неправда.
4. Какое из следующих высказываний являются истинными?
а) город Париж — столица Англии;
б) 3+5=2+4;
в) II + VI = VIII;
г) томатный сок вреден.
5. Объединение двух высказываний в одно с помощью союза «и» называется:
а) инверсия;
б) конъюнкция;
в) дизъюнкция;
г) импликация.
6. Чему равно значение логического выражения (1v1)&(1v0)?
а)1;
б) 0;
в) 10;
г) 2.
7. Двойное отрицание логической переменной равно:
а) 0;
б) 1;
в) исходной переменной;
г) обратной переменной.
Варианты контрольных работ:
Контрольная работа №1.
1. Составьте таблицу истинности булевой функции, реализованную данной
формулой. Составьте по таблице истинности СДНФ и СКНФ:
((𝑥|𝑦̅) → (𝑧 + 𝑥𝑦
̅̅̅)) ↔ (𝑥̅ ↓ 𝑦).
2. Проверьте, будут ли эквивалентны формулы, применяя следующие способы:
a) составлением таблиц истинности;
b) приведением формул к СДНФ или СКНФ с помощью эквивалентных
преобразований.
𝑥 → (𝑦 + 𝑥) и (𝑥 → 𝑦) + (𝑥 → 𝑧).
3. С помощью эквивалентных преобразований приведите формулу к ДНФ, КНФ,
СДНФ, СКНФ. Постройте полином Жегалкина.
(𝑥 v 𝑦̅) → (𝑥̅ + 𝑧̅).
4. Найдите сокращенную, все тупиковые и минимальные ДНФ булевой функции,
следующими способами:
a) методом Квайна;
b) с помощью карт Карно.
f(0, 1, 0)= f(1, 0, 0)= f(1, 0, 1)=0.
14
Выяснить, каким классам Поста принадлежит данная функция.
Контрольная работа №2.
Доказать секвенции:
1.
˥ (X→Y) ├ X,
2.
X, Y ├ ˥ (X→˥ Y),
3.
˥ X→Y├˥ Y→X,.
4.
X→Z, Y→Z ├ (˥ X→Y)→Z,
5.
X→Y, X→˥ Y├ X→Z.
Контрольная работа №3.
1. Предикатный символ D(x,y) интерпретируется на множестве натуральных чисел N
как «x делитель y», + интерпретируется стандартно. Записать формулами языка I-го
порядка в сигнатуре {+, D} условия «x=0» и «x=2».
2. Привести к предваренному виду формулу
(x)((z)(z<x→P(z))→P(x))→(x)P(x).
Будет ли эта формула истинной на множестве натуральных чисел, когда <
интерпретируется стандартно, а P(x) означает произвольное свойство натуральных чисел?
3. Проверить, что ПВ4 сохраняет тождественную истинность секвенций.
4. Показать, что (x)A(x)v(x)B(x)≡(x)(A(x)v(x)B(x)) не является тождеством.
Контрольная работа №4.
1. Построить стандартную машину Тьюринга, вычисляющую функцию x+y.
2. Пусть A={a0, a1,…,an} внешний алфавит машины Тьюринга. Построить машину
Тьюринга, которая меняет слово, записанное на ленте, на слово, состоящее из букв
исходного, но записанных в обратном порядке.
Темы рефератов:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Нейронные сети.
Вероятностные вычисления.
Квантовые вычисления.
Биомолекулярные вычисления.
Вычисления над кольцом целых чисел.
Вычисления над кольцом действительных чисел.
Вычисления над кольцом комплексных чисел.
Структурная сложность.
Коммуникационная сложность.
Дескриптивная сложность.
Алгебраическая сложность.
15
Вопросы к экзамену:
1. Булевы функции, КНФ и ДНФ, контактно-релейные схемы.
2. Теорема Поста о предполных классах.
3. Аксиоматика ИВ, вспомогательные леммы и теорема о полноте ИВ.
4. Формулы ЛП, их истинность в системах данной сигнатуры.
5. Предложения о конгруэнтных формулах и предваренной форме.
6. Основные эквивалентности.
7. Фильтры и ультрафильтры, две теоремы о них.
8. Теорема об ультрапроизведениях и компактности.
9. Предложения о нестандартной модели арифметики и бесконечных моделях.
10. ИП. Теорема о существовании модели.
11. Теоремы о полноте ИП и независимости аксиом.
12. ЧРФ и машины Тьюринга.
13. Рекурсивно перечислимые множества. Теорема Поста. Построение простого
множества.
14. Неразрешимые проблемы. Элементарная теория арифметики. Тождественно
истинные формулы ИП.
10. Образовательные технологии.
a) аудиторные занятия:
лекционные
и
практические
занятия
(коллоквиумы,
семинары,
специализированные практикумы); на практических занятиях контроль
осуществляется при ответе у доски и при проверке домашних заданий. В
течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем к
каждому семинару.
активные и интерактивные формы (семинары в диалоговом режиме по темам
1.1, 2.1, 3.1, 3.2, компьютерное моделирование и практический анализ
результатов, научные дискуссии по темам 2.2, 2.3, работа студенческих
исследовательских групп)
b) внеаудиторные занятия:
самостоятельная работа (выполнение самостоятельных заданий разного типа и
уровня сложности на практических занятиях, подготовка к аудиторным
занятиям, подготовка к коллоквиумам, изучение отдельных тем и вопросов
учебной дисциплины в соответствии с учебно-тематическим планом,
составлении конспектов, подготовка индивидуальных заданий: рефератов,
выполнение самостоятельных и контрольных работ, подготовка ко всем видам
контрольных испытаний: текущему контролю успеваемости и промежуточной
аттестации);
индивидуальные консультации.
11. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
11.1. Основная литература:
16
1. Дегтев А.Н. Алгебра и логика: Учебное пособие. Тюмень:3-е издание Издательство
Тюменского государственного университета, . 2008. - 88 с.
2. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика, СПб.: Лань, 2005 г. -336 с.
3. Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике
и теории алгоритмов. М.: Физматлит, 2006-256 с.
4. Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов3-е издание- М.Академия,2007.-304 с.
5. Игошин В.И. Математическая логика и теории алгоритмов- 2-е изданиеМ.Академия,2008.- 448 с.
11.2. Дополнительная литература:
1. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука,
1977.
2. Архангельский А. В. Канторовская теория множеств. М.: Изд-во МГУ, 1988.
3. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. М.: Мир, 1994.
4. Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. М.: Наука, 1972.
5. Гладкий А. В. Математическая логика. М.: РГГУ, 1998.
6. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. 2-е изд., испр. и доп. М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.
7. Логический подход к искусственному интеллекту: От модальной логики к логике
баз данных / Тейз А., Грибомон П., Юлен Г. и др. М.: Мир, 1998.
8. Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968.
9. Фейс Р. Модальная логика. М.: Наука, 1974.
10. Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем.
М.: Наука, 1983.
11.Чёрч А. Введение в математическую логику. М.: ИЛ, 1960.
12. Шёнфилд Дж. Математическая логика. М.: Наука, 1975.
13. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984.
14. Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической
логики. М.: Физматлит, 2002.
15. Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. М.: УРСС, 2004.
16. Клини С. К. Математическая логика. М.: Мир, 1973.
17. Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории
алгоритмов. Часть 2. Языки и исчисления. М.: МЦНМ, 2000
18. Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории
алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. М.: МЦНМ, 1999.
19. Крупский В. Н., Плиско В. Е. Теория алгоритмов. М.: Издательский центр
«Академия», 2009.
11.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
17
1. Крупский В. Н. Лекции по теории алгоритмов для первого курса мехмата (2004).
http://lpcs.math.msu.su/~krupski/download/mm1/lect_kru.pdf,
http://lpcs.math.msu.su/~krupski/download/mm1/lect_kru.ps
2.
Крупский
В.
Н.
Подборка
задач
по
теории
алгоритмов.
http://lpcs.math.msu.su/~krupski/download/mm1/zad_alg.pdf,
http://lpcs.math.msu.su/~krupski/download/mm1/zad_alg.ps
3.
Плиско
В.
Е.
Математическая
логика:
Курс
лекций.
http://lpcs.math.msu.su/~plisko/matlog.pdf, http://lpcs.math.msu.su/~plisko/matlog.ps
4. Плиско В. Е. Теория алгоритмов: Курс лекций. http://lpcs.math.msu.su/~plisko/ta.pdf,
http://lpcs.math.msu.su/~plisko/ta.ps
5.
Bilaniuk
S.
A
Problem
Course
in
Mathematical
Logic.
(2003)
http://www.trentu.ca/mathematics/sb/pcml/
Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
12.
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в том
числе, оснащённые мультимедийным оборудованием, доступ студентов к компьютеру с
Microsoft Office.
18
