Дополнительные главы алгебры - Учебно

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И
КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
ИВАНОВ Д. И.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ АЛГЕБРЫ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения
направление 050100.62 «Педагогическое образование»,
профиль подготовки «Математическое образование».
Тюменский государственный университет
2013
Иванов Д.И. Дополнительные главы лгебры. Учебно-методический
комплекс. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов
очной формы обучения, направление
050100.62
"Педагогическое
образование", профиль подготовки «Математическое образование». Тюмень,
2013, 15 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
«ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ
ГЛАВЫ
АЛГЕБРЫ»
[электронный
ресурс]
http://www.umk3.utmn.ru / Режим доступа: свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: В.Н. Кутрунов, д. ф.-м. н., профессор.
© Тюменский государственный университет, 2013.
© Д.И. Иванов, 2013.
2
1. Пояснительная записка:
1.1. Цели и задачи дисциплины.
Целью преподавания учебной дисциплины «Дополнительные главы алгебры»
является обучение студентов фундаментальным методам высшей алгебры.
При преподавании учебной дисциплины «Дополнительные главы алгебры»
ставятся следующие задачи:
- ознакомить студентов с фундаментальными понятиями и методами высшей
алгебры: теорией групп, колец, полей и алгебр;
- развить у студентов аналитическое мышление и общую математическую
культуру;
- привить студентам умение самостоятельно изучать учебную и научную
литературу в области математики.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП специалитета.
«Дополнительные главы алгебры» относится к вариативной части
профессионального цикла дисциплин по выбору. Для ее успешного изучения
достаточно знаний и умений, приобретенных в ходе изучения курсов алгебры,
математической логики и дискретной математики.
Освоение предмета является основанием для успешного освоения других
дисциплин вариативной части профессионального цикла, для подготовки к итоговой
государственной аттестации; приобретенные знания также могут помочь в научноисследовательской работе.
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
ОК-1
код
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих
компетенций в соответствии с ФГОС ВПО по данному направлению:
Формулировк
а
компетенции
Владеет
культурой
мышления,
способностью
к обобщению,
анализу,
восприятию
информации,
Результа
т
обучени
яв
целом
Результаты обучения по уровням освоения
материала
минимальный
базовый
повышенный
основы
культуры
мышления
Знает
Виды
занят
ий
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Оцен
очны
е
средс
тва
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
3
постановке
цели и
выбору путей
её
достижения.
воспринимать
информацию,
обобщать и
анализироват
ь
ставить цели и
выбирать пути
её достижения
Умеет
основными
мыслительны
ми
операциями.
операциями
анализа и
синтеза,
сравнения,
обобщения
основы
грамматики
основы
грамматики,
фразеологии,
синтаксиса
русского языка
ОК-6
Владеет
Способен
осуществлять
логически
Знает
верно устную
и письменную
речь
проблематизиро
вать
мыслительную
ситуацию,
репрезентироват
ь ее на уровне
проблемы;
определять пути,
способы,
стратегии
решения
проблемных
ситуаций;
логично
формулировать,
излагать и
аргументирован
но отстаивать
собственное
видение проблем
и способов их
разрешения.
мыслительными
операциями
анализа и
синтеза,
сравнения,
абстрагирования
, конкретизации,
обобщения,
классификации.
основы
грамматики,
фразеологии,
синтаксиса
русского языка,
правила
использования
этих знаний при
оформлении
необходимых
документов,
текстов
выступлений,
рефератов,
докладов
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
4
грамотно
строить речь
аргументирова
нно строить
устную и
письменную
речь
культурой
общения в
устной речи
культурой
общения в
устной речи,
приемами,
используемым
и при
подготовке
деловой
документации,
рефератов,
курсовых и
дипломных
работ
основы
ораторского
искусства
Умеет
Владеет
логически верно,
аргументирован
но строить
устную и
письменную
речь, правильно
оформлять
результаты
мышления.
культурой
общения в
устной речи,
приемами,
используемыми
при подготовке
деловой
документации,
рефератов,
курсовых,
дипломных
работ, научных
статей
ОК -16
Знает
Способен
использовать
навыки
публичной
речи, ведения
дискуссии и
полемики
Умеет
на практике
использовать
различные
формы, виды
устной и
письменной
речи
навыками
аргументации
и ведения
дискуссии
Владеет
использовать
различные
формы, виды
устной и
письменной
коммуникации
на родном
языке в
учебной и
профессиональ
ной
деятельности
навыками
аргументации,
ведения
дискуссии
полемики и
различного
рода
рассуждений
использовать
различные
формы, виды
устной и
письменной
коммуникации
на родном и
иностранных
языках в
учебной и
профессиональн
ой деятельности
навыками
аргументации,
ведения
дискуссии
полемики и
различного рода
рассуждений на
родном и
иностранных
языках
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
5
общие
закономерност
и научного
познания
общие
закономерности
научного
познания;
основные
закономерности
взаимодействия
человека и
общества
использовать
общие
закономерност
и научного
познания для
осмысления
педагогическог
о опыта и
создания
педагогических
концепций
использовать
общие
закономерности
научного
познания для
осмысления
педагогического
опыта и
создания
педагогических
концепций,
выявлять
основные
тенденции
развития тех или
иных групп или
слоев населения
ОПК - 2
Знает
Способен
использовать
систематизиро
ванные
теоретические
и практические
знания
гуманитарных,
социальных и
экономических
наук при
решении
социальных и
профессиональ
ных задач
Умеет
общие
закономерности
научного
познания;
основные
закономерности
взаимодействия
человека
и
общества,
специфику
действия
экономических
законов в сфере
образования
использовать
общие
закономерности
научного
познания для
осмысления
педагогического
опыта и создания
педагогических
концепций,
выявлять
основные
тенденции
развития тех или
иных групп или
слоев населения,
закономерности
социализации и
воспитания
личности в
различных
социальных
институтах
Лекци
и,
практ
ическ
ие
заняти
я
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работа
Лекци
и,
практ
ическ
ие
заняти
я
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работа
6
приемами
ведения
дискуссии,
полемики,
диалога
ПК – 1
Владеет
Способен
реализовыват
ь учебные
программы
базовых и
элективных
Знает
курсов в
различных
образовательн
ых
учреждениях
основные
особенности
разработки
учебных
программ
базовых и
элективных
курсов
приемами
ведения
дискуссии,
полемики,
диалога,
способами
выявления
онтологического
и
гносеологическо
го аспектов
решаемых
проблем,
навыками
работы с
философскими
текстами,
навыками
публичной речи
приемами ведения
дискуссии,
полемики,
диалога,
способами
выявления
онтологического и
гносеологическог
о аспектов
решаемых
проблем,
навыками работы
с философскими
текстами,
навыками
публичной речи и
письменного
аргументированно
го изложения
собственной
точки зрения по
основным
философским и
методологическим
проблемам науки
Лекци
и,
практ
ическ
ие
заняти
я
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работа
основные
особенности
разработки
учебных
программ
базовых и
элективных
курсов;
основные
подходы к
определению
понятий
школьного
курса
математики;
основные
этапы и пути
поиска
решения задач
школьного
курса
математики
основные
особенности
разработки
учебных
программ
базовых и
элективных
курсов;
основные
подходы к
определению
понятий
школьного курса
математики;
основные этапы
и пути поиска
решения задач
школьного курса
математики;
сущность
основных
методов
решения задач и
доказательства
теорем
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
7
адаптировать
учебные
программы
базовых и
элективных
курсов на
реальные
условия
образовательн
ого процесса
адаптировать
учебные
программы
базовых и
элективных
курсов на
реальные
условия
образовательно
го процесса;
анализировать
школьные
учебники
алгебры и
геометрии с
точки зрения
реализации
программы
способами
организации
деятельности
обучаемых в
процессе
освоения
учебных
программ
способами
организации
деятельности
обучаемых в
процессе
освоения
учебных
программ;
методами
решения
математически
х задач
Умеет
Владеет
адаптировать
учебные
программы
базовых и
элективных
курсов на
реальные
условия
образовательног
о процесса;
анализировать
школьные
учебники
алгебры и
геометрии с
точки зрения
реализации
программы;
решать задачи на
вычисление,
построение и
доказательство
способами
организации
деятельности
обучаемых в
процессе
освоения
учебных
программ;
методами
решения
математических
задач на
конкретной
образовательной
ступени
конкретного
образовательног
о учреждения
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
Лекц
ии,
практ
ическ
ие
занят
ия
Тести
рован
ие,
контр
ольна
я
работ
а
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 4. Формы промежуточной аттестации: зачет. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов.
8
Тематический план.
3.
Таблица 1.
1
1.1.
2
Модуль 1
Группы и гомоморфизмы.
3
1–5
1.2.
Конечные абелевы группы.
6–7
Всего
4
Самостоятельна
я работа*
Лекции*
Тема
недели семестра
№
Семинарские
(практические)
занятия*
Тематический план.
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Ито
го
час
ов
по
тем
е
Из них
в
интера
ктивно
й
форме
Итого
количест
во
баллов
5
7
8
9
10
1
8
6
15
5
0 – 20
4
4
4
12
5
12
10
27
0 – 15
5
0 – 35
2.1.
Модуль 2
Кольца и идеалы.
8–9
2
4
12
18
2.2.
Кольца многочленов.
10-11
4
4
10
88
2
0 – 20
6
8
22
36
2
0 – 30
Всего
0 – 10
3.1.
Модуль 3
Поля и их расширения.
12 – 15
4
8
13
25
2
0 – 15
3.2.
Конечные и совершенные поля.
16 – 17
2
6
12
20
5
0 – 20
6
17
4
14
34
10
25
57
45
108
7
14
0 – 35
0 – 100
Всего
Итого (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной
форме
9
Таблица 2.
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля.
реферат
контрольная
работа
ответ на
семинаре
собеседование
Модуль 1
1.1.
1.2.
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
Всего
Итого
Письменные работы
Устный опрос
Итого
количество
баллов
№ темы
0-5
0-5
0-10
0-10
0-20
-
0-10
0-10
0 – 15
0 – 20
0 – 35
0-5
0-5
0-10
0-10
0-10
0-20
-
-
0 – 15
0 – 15
0 – 30
0-2
0-2
0-17
0-10
0-10
0-20
0-60
-
0-13
0-13
0-23
0 – 23
0 – 12
0 – 35
0 – 100
Таблица3.
Планирование самостоятельной работы студентов.
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1
Группы и гомоморфизмы.
1.2
Конечные абелевы группы.
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Проработка
лекций, работа с
литературой,
решение
типовых задач
Подготовка
рефератов,
составление задач
Неделя
семестра
Объем
часов
1–5
6
6–7
4
10
0-10
12
10
0-2
0-4
22
0-6
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1
Кольца и идеалы.
2.2
Кольца многочленов.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Поля и их расширения.
3.2
Конечные и совершенные
поля.
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
8–9
10-11
Проработка
лекций, работа с
литературой,
решение
типовых задач
Проработка
лекций, работа с
литературой,
решение
типовых задач
Подготовка
рефератов
Кол-во
баллов
0-10
12 – 15
13
16 – 18
12
0-9
25
57
0-9
0-25
10
4. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами.
№
Наименование
Темы
дисциплины
необходимые
для
п/п
обеспечиваемых
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
(последующих)
1.1
1.2
2.1
2.2
3.1
дисциплин
1. Геометрия.
+
+
+
+
2. Математический
+
+
+
анализ.
3. Теория чисел.
+
+
4. Математическая
+
+
+
логика.
5.
изучения
3.2
+
+
Содержание дисциплины.
Модуль 1.
Тема 1.1. Группы и гомоморфизмы.
Абелевы группы. Циклические группы. Предложение о порождающих. Гомоморфизм
групп. Предложение о циклических группах. Теорема Кели. Смежные классы группы по
подгруппе. Критерий равенства смежных классов. Теорема Лагранжа. Нормальные
группы. Гомоморфный образ и ядро гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах.
Коммутаторы и коммутанты. Теорема о коммутанте.
Тема 1.2. Конечные абелевы группы.
Прямые суммы групп. Разложение циклических групп по подгруппам. Теорема
Прюффера. Теорема о конечных абелевых группах.
Модуль 2.
Тема 2.1. Кольца и идеалы.
Гомоморфизм и изоморфизм колец. Фактор-кольцо. Делители нуля. Целостные
кольца. Простой элемент кольца. Максимальные кольца. Идеалы. Главные идеалы. Кольца
главных идеалов. Предложение о простых идеалах. Предложение о кольцах главных
идеалов.
Евклидовы
кольца.
Наибольший
общий
делитель.
Алгоритм
Евклида.Факториальные кольца. Критерий факториальности. Теорема о евклидовых
кольцах.
Тема 2.2. Кольца многочленов.
Многочлен над полем. Сумма многочленов. Произведение многочленов. Кольцо
многочленов. Деление многочленов. Теорема о делении многочлена на многочлен с
остатком. Теорема о наибольшем общем делителе многочленов. Корни многочлена.
Теорема Безу. Многочлены над полем комплексных чисел. Основная теорема алгебры.
Каноническое разложение многочлена над полем комплексных чисел. Теорема о равенстве
многочленов. Формулы Виета. Многочлены над полем вещественных чисел. Каноническое
11
разложение многочлена над полем вещественных чисел. Возведение матрицы в
натуральную степень. Многочлен от матрицы.
Модуль 3.
Тема 3.1. Поля и их расширения.
Расширение полей. Теорема
трансциндентные расширения. Простые
Теорема о простых расширениях.
расширения. Нормальные расширения.
корни. Теорема о кратных корнях.
о простых расширениях. Алгебраические и
поля. Характеристика поля. Теорема о степенях.
Алгебраические расширения. Эквивалентные
Теорема о нормальных расширениях. Кратные
Тема 3.2. Конечные и совершенные поля.
Сепарабельные элементы и многочлены. Совершенные поля. Теорема о
совершенных полях. Теорема о конечных полях. Теорема о мультипликативных группах.
Примитивный элемент. Теорема о примитивном элементе.
6.
Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
Тема 1.1. Группы и гомоморфизмы.
Абелевы группы. Циклические группы. Гомоморфизм групп. Предложение о
циклических группах. Смежные классы группы по подгруппе. Критерий равенства
смежных классов. Теорема Лагранжа. Нормальные группы. Гомоморфный образ и ядро
гомоморфизма. Теорема о гомоморфизмах. Коммутаторы и коммутанты. Теорема о
коммутанте.
Тема 1.2. Конечные абелевы группы.
Прямые суммы групп. Разложение циклических групп по подгруппам.
Модуль 2.
Тема 2.1. Кольца и идеалы.
Гомоморфизм и изоморфизм колец. Фактор-кольцо. Делители нуля. Целостные
кольца. Простой элемент кольца. Максимальные кольца. Идеалы. Главные идеалы. Кольца
главных идеалов. Предложение о простых идеалах. Предложение о кольцах главных
идеалов. Евклидовы кольца. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида.
Факториальные кольца. Критерий факториальности.
Тема 2.2. Кольца многочленов.
Многочлен над полем. Сумма многочленов. Произведение многочленов. Кольцо
многочленов. Деление многочленов. Теорема о делении многочлена на многочлен с
остатком. Теорема о наибольшем общем делителе многочленов. Корни многочлена.
Теорема Безу. Многочлены над полем комплексных чисел. Основная теорема алгебры.
12
Каноническое разложение многочлена над полем комплексных чисел. Теорема о равенстве
многочленов. Формулы Виета. Многочлены над полем вещественных чисел. Каноническое
разложение многочлена над полем вещественных чисел. Возведение матрицы в
натуральную степень. Многочлен от матрицы.
Модуль 3.
Тема 3.1. Поля и их расширения.
Расширение полей. Алгебраические и трансциндентные расширения. Простые
поля. Характеристика поля. Теорема о степенях. Теорема о простых расширениях.
Алгебраические расширения. Эквивалентные расширения. Нормальные расширения.
Теорема о нормальных расширениях. Кратные корни. Теорема о кратных корнях.
Тема 3.2. Конечные и совершенные поля.
Сепарабельные элементы и многочлены. Совершенные поля. Теорема о
совершенных полях. Теорема о конечных полях. Теорема о мультипликативных группах.
Примитивный элемент.
7.
Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не планируются.
8.
Примерная тематика курсовых.
Не планируются.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
a) Текущая аттестация:
 контрольная работа; В течении семестра проводится контрольная работа
(на семинаре).
b) Промежуточная аттестация:
 зачёт (письменно-устная форма). Зачёт выставляется после решения всех
задач контрольных работ и выполнения самостоятельной работы.
9.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
13
Вариант контрольной работы:
1. Разложить дробь в сумму простейших:
4𝑥 3 + 𝑥 2 + 2𝑥 + 1
,
(𝑥 2 + 1)(2𝑥 2 + 𝑥 + 1)2
2. Выразить через элементарные симметрические многочлены:
𝑥14 𝑥23 + 𝑥14 𝑥33 + 𝑥13 𝑥24 + 𝑥24 𝑥33 + 𝑥13 𝑥34 + 𝑥23 𝑥34
Вопросы к зачёту:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Группы и гомоморфизмы.
Критерий равенства смежных классов.
Конечные абелевы группы.
Кольца и идеалы.
Кольца многочленов.
Теорема о полях частных.
Теорема о рациональных дробях.
Теорема о симметрических многочленах.
Теорема о простых расширениях.
Теоремы о степенях и конечных расширениях.
Теорема о нормальных расширениях.
Конечные и совершенные поля.
10. Образовательные технологии.
a) аудиторные занятия:
 лекционные и практические занятия (семинары, специализированные
практикумы); на практических занятиях контроль осуществляется при ответе у
доски и при проверке домашних заданий. В течение семестра студенты решают
задачи, указанные преподавателем к каждому семинару.
 активные и интерактивные формы (семинары в диалоговом режиме по темам
1.1, 2.1, 2.2 компьютерное моделирование и практический анализ результатов,
научные дискуссии по темам 3.1, 3.2, работа студенческих исследовательских
групп)
b) внеаудиторные занятия:
 самостоятельная работа (выполнение самостоятельных заданий разного типа и
уровня сложности на практических занятиях, подготовка к аудиторным
занятиям, изучение отдельных тем и вопросов учебной дисциплины в
соответствии с учебно-тематическим планом, составлении конспектов,
подготовка индивидуальных заданий: докладов, сообщений, рефератов,
решение задач, выполнение самостоятельных и контрольных работ, подготовка
ко всем видам контрольных испытаний: текущему контролю успеваемости и
промежуточной аттестации);
 индивидуальные консультации.
14
11. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
11.1. Основная литература:
1. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. – СПб.: Лань, 2004.
2. Дегтев А.Н. Алгебра и логика: Учебное пособие. Тюмень:3-е издание
Издательство Тюменского государственного университета, . 2008. - 88 с.
3. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. – М.:
Физматлит, 2007.
4. Кострикин А. И. Введение в алгебру: Учебник для вузов: в 3-х ч. – М.:
Физматлит, 2004.
5. Курош А. Г. Курс высшей алгебры: Учебник для вузов. – СПб.: Лань, 2008.
11.2. Дополнительная литература:
Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре: Учебное пособие
для вузов. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2003.
2. Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре: Учебное
пособие для вузов. – СПб.: Лань, 2001.
1.
11.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1. http://bugtraq.ru/library/books/crypto/toc/
2. http://www.vuithelp.ru/files/1880.html
3. http://bybin.narod.ru/shneier_self/source.html
4. http://www.ssl.stu.neva.ru/psw/crypto.html
5. http://algolist.manual.ru/defence/intro.php
Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
12.
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в том
числе, оснащённые мультимедийным оборудованием, доступ студентов к компьютеру с
Microsoft Office.
15
16