Учебное пособие. Исследование.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
___________________________________________________________________________________________
Т.В. Калашникова
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ
В ЭКОНОМИКЕ
Учебное пособие
Издательство
Томского политехнического университета
2011
ББК Ув611я73
УДК 330.43(075.8)
К17
К17
Калашникова Т.В.
Исследование операций в экономике: учебное пособие / Т.В.
Калашникова. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2007. – 92 с.
В учебном пособии излагаются основы применения математических моделей к
решению экономических задач. Большое внимание уделяется линейному программированию, транспортным и двойственным задачам, элементам теории игр и массового обслуживания, сетевому планированию и управлению. Учебный материал сопровождается достаточным числом решенных задач. Пособие содержит задания для
самостоятельной работы студентов.
ББК Ув611я73
УДК 330.43(075.8)
Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом
Томского политехнического университета
Рецензенты
Доктор техн. наук, профессор ТПУ
А.А. Дульзон
Канд. физ.-мат. наук, доцент ТГУ
Ж.А. Зенкова
Канд. физ.-мат. наук, доцент ТГУ
А.П. Рыжаков
© Томский политехнический университет, 2011
© Оформление. Издательство Томского политехнического университета, 2011
© Калашникова Т.В., 2011
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................. 4
1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ .................................................... 6
1.1. Формулировка задачи и ее геометрическое истолкование ............. 7
1.2. Экономическая интерпретация задач линейного
программирования ................................................................................... 10
1.3. Решение задачи линейного программирования методом последовательного улучшения плана (симплексным методом) ............................. 15
1.4. Метод множителей Лагранжа .......................................................... 21
1.5. Двойственные задачи ........................................................................ 27
1.6. Транспортная задача ......................................................................... 33
Контрольные вопросы ............................................................................. 40
2. ТЕОРИЯ ИГР .............................................................................................. 41
2.1. Классификация игр ............................................................................ 43
2.2. Другие термины и понятия ............................................................... 44
2.3. Геометрическая интерпретация игры 2x2 ....................................... 49
2.4. Приведение матричной игры к задаче линейного
программирования ......................................................................................... 52
Контрольные вопросы .............................................................................. 58
3. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ .................................. 58
3.1. Сетевая модель и ее основные элементы ........................................ 59
3.2. Правила построения сетевых графиков ........................................... 61
3.3. Временные параметры сетевых графиков ....................................... 62
3.4. Сетевое планирование в условиях неопределенности ................... 65
3.5. Коэффициент напряженности........................................................... 67
Контрольные вопросы .............................................................................. 72
4. СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ .................................... 72
4.1. Структура и классификация систем массового обслуживания ..... 72
4.2. Марковский процесс .......................................................................... 75
4.3. Системы массового обслуживания с отказами ............................... 76
4.4. Системы массового обслуживания
с неограниченным ожиданием................................................................. 79
4.5. Системы массового обслуживания с ожиданием
и ограниченной длинной очереди ................................................................ 81
4.6. Замкнутые системы массового обслуживания ............................... 84
Контрольные вопросы .............................................................................. 88
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ........................................................................ 89
Приложение Таблица значений функции Лапласса .............................. 90
3
ВВЕДЕНИЕ
Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их упрощенные формальные описания, называемые экономическими моделями. Строя модели, они выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое явление, и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной проблемы. Формализация основных особенностей функционирования экономических объектов позволяет оценить возможные последствия воздействия на них и использовать такие оценки в управлении.
Исследование операций – научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее эффективного
управления различными организационными системами.
Управление любой системой реализуется как процесс, подчиняющийся определенным закономерностям. Их знание помогает определить условия, необходимые и достаточные для осуществления данного процесса. Для этого все параметры, характеризующие процесс и
внешние условия, должны быть количественно определены, измерены.
Следовательно, ц е л ь и с с л е д о в а н и я о п е р а ц и й – количественное
обоснование принимаемых решений по организации управления.
При решении конкретной задачи управления применение методов
исследования операций предполагает:
• построение экономических и математических моделей для задач
принятия решения в сложных ситуациях или в условиях неопределенности;
• изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии принятие решений, и установление критериев эффективности, позволяющих оценивать преимущество того или иного варианта действия.
«Исследование операций», в частности в финансовоэкономической сфере и бизнесе, помогает лицу, принимающему решение, произвести критический анализ ситуации и в результате более
обоснованно и последовательно проводить определенную политику или
стратегию поведения при решении сложных, комплексных проблем.
Существуют различные подходы к принятию решений: психологический, на основе метода аналогий; интуитивный, на основе предшествующего опыта; на основе здравого смысла и т.п. Однако принимать
управленческие и иные решения в экономике, в сфере технологии производства, в финансовой области, в бизнесе и других отраслях хозяйства
с помощью только личного опыта, здравого смысла и интуиции мало
эффективно, а порой и ошибочно. Сложный характер рыночной экономики предъявляет более серьезные требования к обоснованию принятия
4
решений, хотя и перечисленные нельзя абсолютно сбрасывать со счета.
Одним из способов удовлетворения этих требований является постановка проблемы принятия решений на математическую основу. В этом нет
ничего необычного, поскольку современная экономическая наука существенно опирается на математическое моделирование экономических
процессов и пронизана различным математическим аппаратом, а применяющийся в ней математический язык позволяет более определенно и
однозначно формулировать экономические факты и законы.
В создание современного математического аппарата и развитие
многих направлений исследования операций большой вклад внесли российские ученые Л.В. Канторович, Н.П. Бусленко, Е.С. Вентцель, Н.Н.
Воробьев, Н.Н. Моисеев, Д.Б. Юдин и многие другие. Особо следует
отметить роль академика Л.В. Канторовича, который в 1939 г сформулировал новый класс условно-экстремальных задач и предложил универсальный метод их решения, положив начало новому направлению
прикладной математики – линейному программированию.
Значительный вклад в формирование и развитие исследования
операций внесли зарубежные ученые Р. Акоф, Р. Беллман, Г. Данциг,
Г. Кун, Дж. Нейман, Т. Саати, Р. Черчмен, А. Кофман и др.
Методы исследования операций, как и любые математические методы, всегда в той или иной мере упрощают, огрубляют задачу, отражая
порой нелинейные процессы линейными моделями, стохастические системы – детерминированными, динамические процессы – статическими
моделями и т.д. Жизнь богаче любой схемы. Поэтому не следует ни
преувеличивать значение количественных методов исследования операций, ни преуменьшать его, ссылаясь на примеры неудачных решений.
Уместно привести в связи с этим шутливо-парадоксальное определение
исследования операций, сделанное одним из его создателей Т. Саати,
как «искусства давать плохие ответы на те практические вопросы, на
которые даются еще худшие ответы другими методами».
«Исследование операций», в частности в финансовоэкономической сфере и бизнесе, помогает лицу, принимающему решение, произвести критический анализ ситуации и в результате более
обоснованно и последовательно проводить определенную политику или
стратегию поведения при решении сложных, комплексных проблем.
5
1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
В данном учебном пособие приводятся в очень упрощенной форме идеи нескольких методов математического программирования,
наиболее часто применяемых для поиска оптимальных экономических
решений. Предполагается, что постановка задачи поиска оптимального
решения и решение самой задачи осуществляется совместно экономистом и математиком-исследователем. Экономист знает идеи основных
математических методов и формулирует задачу в экономических категориях. Математик-исследователь осуществляет перевод экономических категорий на язык формул, выбирает математический метод решения задачи и осуществляет его программную реализацию. Довольно часто задачи поиска оптимальных экономических решений имеют
несколько критериев оптимальности. Критерии оптимальности и ограничения задаются линейными или нелинейными функциями.
На практике постоянно встречаются такие ситуации, когда достичь какого-то результата можно не одним, а многими различными
способами. В подобной ситуации может оказаться и одно предприятие и
целая отрасль, если необходимо определить, как использовать имеющиеся в их распоряжении ресурсы, чтобы добиться максимального выхода
продукции. Естественно, при большом количестве решений выбирается
наилучшее. Математически это обычно сводится к нахождению
наибольшего и наименьшего значения некоторой функции, то есть к задаче: найти max (min) f(x), при условии, что переменная x пробегает
данное множество X.
Записывают так: f(x)  max (min), x  X.
Определенная таким образом задача называется задачей оптимизации. Множество Х называется допустимым множеством, а f(x) – целевой функцией.
Очень многое зависит от того, в каком виде задается множество Х.
 g1 ( x1 , x2 ,....., xn )  0
 g ( x , x ,....., x )  0
 2 1 2
n
Чаще всего это система неравенств:
,

..........
..........
.......

 g n ( x1 , x2 ,....., xn )  0
где (x1,x2,….,xn) – координаты точки х в Rn (n-мерном пространстве), а gi
– некоторые функции. Таким образом, надо найти экстремум функции
f(x) при заданной системе ограничений. Но понятно, что следует найти
не только само значение max (min), но и точку (или точки, если их несколько), в которых это значение достигается. Такие точки называются
6
оптимальными решениями. Задачи подобного рода называются задачами математического программирования.
В большинстве случаев в число ограничений входят условия неотрицательности переменных: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,…., xn ≥ 0, которые вытекают из
реального экономического смысла этих чисел и называются тривиальными ограничениями.
В зависимости от характера функций f,g1, g2,….gn различают разные виды математического программирования. Наиболее простой и часто встречающийся случай, который мы и будем изучать, – когда эти
функции являются линейными, то есть каждая из них имеет вид
a1 x1  a2 x2  .......  an xn  b . Тогда говорят о задаче линейного программирования. Линейное программирование оформилось как отдельный
раздел прикладной математики в 40–50 гг. ХХ века, когда выяснилось,
что целый ряд задач из сферы планирования и управления может быть
сформулирован в виде задачи линейного программирования. Подсчитано, что в настоящее время ≈ 80–85 % всех решаемых на практике задач
оптимизации относится к задачам линейного программирования.
1.1. Формулировка задачи и ее геометрическое истолкование
Чтобы показать, как решить задачу графическим способом, необходимо ввести некоторые понятия. Любое x  X называется допустимым
решением (планом). Допустимое решение, дающее max (min) f(x), называется оптимальным решением (планом). Неравенства называются ограничениями. Решение системы всех неравенств называется областью допустимых решений. Задачи на max и min идентичны, так как они сводятся друг к другу путем умножения целевой функции на (–1), то есть max
f(x)= – min (–f(x)).
Таким образом, необходимо найти оптимальное значение функции (минимум или максимум) в области допустимых решений.
Наиболее часто встречаются две разновидности задач линейного
программирования:
1. Каноническая (основная). Система ограничений, помимо тривиальных ограничений, включает в себя только уравнения.
2. Стандартная (симметричная). Система ограничений состоит
только из неравенств.
В зависимости от способа решения задачи, необходимо, чтобы она
была представлена в той или другой форме.
Эти две разновидности легко сводятся одна к другой.
7
Пример решения задачи:
1. Стандартный вид
f ( x)  2 x1  x 2  1  min
Канонический вид
 x1  2 x 2  1  0

 x1  x 2  0
 x  0, x  0
2
 1
2. Канонический вид
f ( x)   x1  x2  x3  2 x4  min
 x1  2 x2  x 3 1  0

 x1  x2  x4  0
 x ,x ,x ,x 0
 1 2 3 4
  2 x1  3 x2  x3  x4  1

  x1  3x2  2 x3  x4  2
 x  0, x  0, x  0, x  0
2
3
4
 1
 x  x1  2 x2  1
Решая систему линейных уравнений, получим:  3
.
x

x

x
 4
1
2
Подставляя найденные значения в целевую функцию и исключая
найденные переменные из системы ограничений, получим стандартный
вид задачи линейного программирования:
F  x   1  2 x1  5 x2  min
 x1  2 x2  1  0
x  x  0
2
 1

 x1  0, x2  0
Множество решений (планов) основной задачи линейного программирования образует выпуклый многогранник. Каждая вершина этого многогранника определяет опорный план. В одной из вершин (то есть
для одного из опорных планов) значение целевой функции является оптимальным, то есть max (min). Если значение max (min) функция принимает более чем в одной вершине, то это же значение она принимает в
любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией данных
вершин. Иными словами, если оптимальное значений функции достигается в двух вершинах многоугольника, то оно будет одинаковым не
только в этих вершинах, но и в любой точке отрезка, соединяющего эти
вершины.
Вершину многогранника решений найти сравнительно просто, если задача, записанная в стандартной форме, содержит не более двух переменных, так как в этом случае многогранник можно изобразить на
плоскости, вершина находится как точка пересечения двух прямых, которые задают ограничения в системе.
8
Пример решения задачи.
f ( x)  c1 x1  c2 x2  max
x2
x2
fmax

c
fmax = + 
x1
x1
0
Рис. 1.1. Задача имеет
единственное решение
Рис. 1.2. Целевая функция
не ограничена
x2
A
x2
B

c

c
x1
0
x1
0
Рис. 1.3. Система ограничений
несовместна
Рис. 1.4. Максимальное значение
функция принимает на отрезке АВ
Пример решения задачи.
Найти max и min функции f ( x)  x1  x2 при заданной системе
ограничений:
 2 x1  4 x2  16
 4 x  2 x  8

1
2

 x1  3 x2  9
 x1  0, x2  0
9
Построим многоугольник решений:
1

x

4

x1 1
2

2
 x  4  2 x 2
2
1
f 6,1  6  1  7

1
 x2  3  x1 3
3

 x1  0, x2  0
(2)
x2
4
max (6,1) => f = 7
3

c
-2
0
x1
4
8
9
(1)
min (0,3) => f = 3
(3)
Рис. 1.5. Решение задачи графическим методом
Задание для самостоятельной работы. Решить задачу линейного программирования графическим способом.
f ( x)  2 x1  3x2  max
 2 x1  x2  10
 2 x  3 x  6

1
2

 2 x1  4 x2  8
 x1  0, x2  0
1.2. Экономическая интерпретация
задач линейного программирования
1. Задача об использовании ресурсов (планировании производства).
Необходимо составить такой план производства продукции, при
котором прибыль от ее реализации будет максимальной.
Введем следующие обозначения:
хj – число единиц продукции Pj , запланированной к производству,
bi – запас ресурса Si ,
10
aij – число единиц ресурса Si , затрачиваемое на единицу продукции Pj
(эти числа называют технологическими коэффициентами),
cj – прибыль от реализации продукции Pj .
Тогда модель задачи будет иметь вид:
f ( x)  c1 x1  c2 x2  ....... cn xn  max
a11x1  a12 x2  ...........  a1n xn  b1

.......................................


 am1 x1  am 2 x2  .......  am n xn  bm

xi  0, i  1, n
Рассмотрим задачу с конкретными данными.
Прибыль от реализации единицы продукции Р1 составляет 2 рубля, а от единицы продукции Р2 – 3 рубля. Данные о запасах ресурсов и
количестве ресурсов, необходимых для изготовления единицы продукции, сведены в следующую таблицу.
Таблица 1.1
Данные задачи об использовании ресурсов
Вид ресурса
Запас ресурса
S1
S2
S3
S4
18
16
5
21
Число единиц ресурса, затрачиваемых на изготовление единицы
продукции
Р1
Р2
1
3
2
1
--1
3
---
Экономико-математическая модель данной задачи будет иметь вид:
 x1  3x2  18
 2 x  x  16
2
 1
f ( x)  2 x1  3x2  max
x

5

2
 3x  21
1

x

0
, x2  0
 1
2. Задача составления рациона (о диете, о смесях), или технологическая задача.
Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную
стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ
было бы не менее установленного предела.
11
Введем обозначения:
xj – число единиц корма j-го вида;
bi – необходимый минимум содержания в рационе питательного вещества Si ;
aij – число единиц питательного вещества Si в единице корма j-го вида;
cj – стоимость единицы корма j-го вида.
Тогда экономико-математическая модель задачи запишется следующим образом:
f ( x)  c1 x1  c2 x2  ....... cn xn  min
a11x1  a12 x2  ...........  a1n xn  b1

.......................................


 am1 x1  am 2 x2  .......  am n xn  bn

xi  0, i  1, n
Рассмотрим задачу с конкретными данными.
Стоимость 1 кг корма вида I – 4 рубля, а вида II – 6 рублей. Используя данные таблицы, необходимо составить такой рацион питания,
чтобы стоимость его была минимальной и содержание каждого вида питательных веществ было не менее установленного предела.
Таблица 1.2
Данные задачи о рационе питания
Число единиц питательного веНеобходимый
щества
Питательное
мин. пит. вев 1 кг корма
вещество
ществ
I
II
S1
9
3
1
S2
8
1
2
S3
12
1
6
Модель задачи будет иметь вид:
 3 x1  x 2  9
 x  2x  8
2
 1
f ( x)  4 x1  6 x2  min
x

6
x
 1
2  12
 x  0, x  0
2
 1

3. Задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования).
Предприятию задан план производства продукции по времени и
номенклатуре: требуется за время Т выпустить n1, n2,……nk единиц
12
продукции P1, P2,……Pк. Продукция производится на станках S1, S2,
…….Sm. Для каждого станка известны производительность aij (то есть
число единиц продукции Pj , которое можно произвести на станке Si в
единицу времени) и затраты bij на изготовление продукции Pj на станке
Si в единицу времени.
Необходимо составить такой план работы станков (то есть так
распределить выпуск между станками), чтобы затраты на производство
всей продукции были минимальными.
Экономико-математическая модель задачи.
Обозначим xij – время, в течение которого станок Si будет занят
изготовлением продукции Pj . Так как время работы каждого станка
ограничено и не превышает Т, то справедливы следующие неравенства:
 x11  x12  .......x1k  T
 x  x  .......x  T
 21 22
2k

 .................................
 xm1  xm12  .......xmk  T
 a x  a x  .......a x  n
m1 m1 1
 11 11 21 21
 a x  a x  .......a x
m2 m2  n2
 12 12 22 22


a1k x1k  a2k x2k  .......amk xmk  nk
f ( x)  b11x11  b12 x12  ..............bm k xm k  min
4. Технологическая задача (о раскрое материала).
Найти план раскроя, обеспечивающий максимальное число комплектов.
Для изготовления брусьев длиной 1,2 м, 3 м и 5 м в соотношении
2:1:3 на распил поступает 195 бревен длиной 6 м. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов.
Составим модель задачи.
Определим сначала все возможные способы распила бревен, указав соответствующее число получающихся при этом брусьев и остаток.
Таблица 1.3
Способы распила бревен
Число получающихся брусьев
Способ
Остаток
распила
1,2 м
3м
5м
1
5
--0
2
2
1
-0,6
3
-2
-0
4
--1
1
Через хi обозначим число бревен распиливаемых i-м способом,
i  1,4 , а через х – число комплектов брусьев.
Тогда экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:
13
 x1  x2  x3  x4  195
 5x  2 x
 2x
 1
2
F  x  max

x

2
x

x
2
3


x4  3 x
Задания для самостоятельной работы.
1. Имеем 195 бревен длиной 6 метров. Составить модель распила
бревен, если необходимо получить 50 брусьев длиной 2 м, 75 брусьев
длиной 3 м и 60 брусьев длиной 5 м и требуется минимизировать остатки.
2. Составить экономико-математическую модель задачи и решить
ее графическим способом. Для производства двух видов изделий А и В
предприятие использует два вида сырья. Данные о количестве расхода
сырья и его запасы приведены в таблице. Требуется составить такой
план выпуска изделий А и В, чтобы прибыль от их реализации была
максимальной.
Таблица 1.4
Данные о расходе и запасах сырья
Норма расхода сырья (кг) на одно
Общее кол-во
изделие
Вид сырья
сырья
А
В
I
12
4
300
II
4
4
120
III
3
12
252
Прибыль от
реализации
30
40
одного изделия
3. По данным таблицы составить такой план загрузки станков,
чтобы затраты были минимальными. Решить задачу графическим способом.
Таблица 1.5
Данные о производительности работы станков
Тип аппарата
А
В
С
Затраты ден. ед.
за шт.
Производительность работы линии (шт.)
I
5
2
2
II
2
1
7
1
5
14
План
16
7
13
1.3. Решение задачи линейного программирования
методом последовательного улучшения плана
(симплексным методом)
Симплексным методом можно решить любую задачу линейного
программирования с произвольным числом переменных и ограничений.
Для того чтобы решить задачу симплексным методом, ее надо привести
к каноническому виду. Напомним, что любую задачу линейного программирования можно привести к каноническому виду:
n
f ( x)   ci xi  max
i 1
 n
  aij x j  bi , i  1, m
 j 1

 xi  0, i  1, n
Пример решения задачи. Прибыль от реализации 1 т кефира составляет 2 млн руб., а от 1 т молока – 1 млн руб. Затраты рабочего времени на молоко 4 ч / т, а на кефир – 2 ч/т. Рабочий день – 8 часов. Расход сырья: 5 ед. на 1 т кефира и 1 ед. на 1 т молока. Всего имеется в запасе 5 ед. сырья. Составить такой план производства продукции, чтобы
прибыль от ее реализации была максимальной.
Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:
2 x1  4 x2  8

f ( x)  2 x1  x2  max
 5 x1  x2  5
 x ,x 0
 1 2
2 x1  4 x2  x3  8

Приведем ее к каноническому виду:
 5 x1  x2  x4  5
 x ,x ,x ,x 0
 1 2 3 4
Значения дополнительных переменных показывают разницу между запасами ресурсов каждого вида и их потреблением, то есть остатки
ресурсов.
Выразим переменные:
x3  8  2 x1  4 x2
x4  5  5 x1  x2
Если x1  0, x2  0  x3  8, x4  5. Этот план можно взять в качестве начального решения задачи
X ( 0)  0;0;8;5, т.е. x1( 0)  0, x2( 0)  0, x3( 0)  8, x4( 0)  5.
15
Этот план обладает тем свойством, что число его переменных, не
равных нулю, равно числу неравенств в системе ограничений задачи.
Такой план называется опорным. Его можно получить в том случае, если часть переменных удается выразить через остальные, причем если
приравнять нулю переменные, стоящие в этих выражениях справа, то
переменные, стоящие слева, окажутся положительными.
Положительные переменные, стоящие слева, принято называть базисными, а переменные, стоящие справа и приравниваемые нулю, – свободными.
Для каждого опорного плана целевая функция преобразуется так,
чтобы она зависела только от свободных переменных.
Для нашего опорного плана в f(x) базисные переменные не входят
и для него f(x)=0.
На каждой итерации (на каждом шаге) может увеличиваться лишь
одна свободная переменная. Это приводит к увеличению f(x), если перед
этой переменной стоит знак «+».
Так как в нашей целевой функции перед обеими свободными переменными стоит «+», то можно увеличивать любую из них и это приведет к увеличению f(x). Выберем x1, т.к. при ней больше коэффициент,
следовательно скорость возрастания целевой функции выше.
 x3  8  2 x1
При x2  0
, следовательно, при 0  x1  1 значе
x

5

5
x
 4
1
ния x3  0, x4  0 , а при х1 > 1 х4 станет < 0, что противоречит условию.
Т.е. увеличивать х1 (и при этом уменьшать х3 и х4) можно не более чем
на 1.
Получили новый план X (1)  1; 0; 6; 0, т.е.
x1(1)  1, x2(1)  0, x3(1)  6, x4(1)  0.
Базисные переменные х1 и х3, а свободные х2 и х4.
Перепишем систему равенств, выразив базисные переменные и
целевую функцию через свободные:
1
1

 x1  1  5 x2  5 x4
3
2
f ( x )  2  x2  x4

5
5
 x3  6  18 x2  2 x4

5
5
Для нового опорного плана f(x)=2. По f(x) видно, что при увеличении х4 целевая функция будет убывать, а при увеличении х2 – возрастать. Следовательно, х2 вводим в базис.
16
1

x

1

x2
1

5
5
При x4  0 
. Следовательно, при 0  x2  значе18
3
 x3  6  x 2
5

ния x1  0, x3  0 , а при х2>5/3 х3 станет <0, что противоречит условию.
Т.е. увеличивать х2 (и при этом уменьшать х1 и х3) можно не более чем
на 5/3.
2 5

Получили новый план X ( 2)   ; ;0;0 ,
3 3

2
5
т.е.
x1( 2)  , x2( 2)  , x3( 2)  0, x4( 2)  0.
3
3
Базисные переменные х1 и х2, а свободные х3 и х4.
Выразим базисные переменные и линейную форму через свободные переменные
2 2
1
x1   x4  x3
1
1
3 9
18
f ( x)  3  x3  x4
5 1
5
6
3
x2   x4  x3
3 9
18
Принимая свободные переменные равными 0 ( x 3  x 4  0 ), получим f(x)=3. Все коэффициенты в целевой функции отрицательные, следовательно решение найдено (любое увеличение свободных переменных приведет к уменьшению целевой функции, уменьшать их нельзя,
так как они равны 0, а отрицательными быть не могут). Базисные же переменные нельзя изменить, не меняя значения свободных. Таким образом, опорный план (2) является оптимальным и максимальное значение
целевой функции равно 3.
 Важно помнить. Графически можно решать только задачи, которые содержат две переменные, и их необходимо привести к стандартной
форме. Симплексным методом можно решать задачи с любым числом
переменных, задачу необходимо привести к каноническому виду.
Практические расчеты при решении реальных задач симплексным
методом выполняются в настоящее время с помощью компьютеров. В
частности, в офисной программе Excel есть встроенная функция «Поиск
решения» (закладка Сервис). Однако если расчеты осуществляются без
компьютера, то удобно использовать так называемые симплексные таблицы, то есть преобразовывать не сами уравнения, а коэффициенты при
переменных. Рассмотрим алгоритм их составления. Для определенности
считаем, что решается задача на отыскание максимума.
17
Таблица 1.6
Исходная таблица решения задачи линейного программирования
симплексным методом

Х1
Х2
Х3
Х4
Q
Х3
Х4
f(x)
8
5
0
2
5
–2
4
1
–1
1
0
0
0
1
0
8/2
5/5
–

Значения в столбце соответствуют коэффициентам при переменных,  – столбец свободных членов.
Строки соответствуют уравнениям задачи, последняя строка – линейная форма, она записывается в виде: f(x)=0 – (–2)x1 – (–1)x2. Задача
решается до тех пор, пока все коэффициенты в последней строке не станут больше или равны 0.
1 итерация.
В последней строке таблицы находим максимальное по абсолютной величине отрицательное число (= –2). Столбец, в котором стоит это
число, называется ведущим. Соответствующая ведущему столбцу свободная переменная (х1) станет базисной. Делим элементы столбца 
на ведущий столбец – записываем значения в столбец Q. Экономический смысл элементов столбца Q: они показывают, на сколько можно
увеличить переменную, вводимую в базис, чтобы остальные переменные не стали отрицательными. Из элементов столбца Q выбираем минимальное значение 8/2=4, 5/5=1  min=1, оно соответствует х4 
строка, соответствующая этой переменной называется ведущей, ведущая строка показывает, какая переменная (в данном примере переменная х4) станет свободной. Переменная х1 вместо х4 становится базисной.
На каждом шаге решения количество базисных переменных остается
неизменным. Элемент, стоящий на пересечении ведущего столбца с ведущей строкой, называется ведущим элементом.
 Важно помнить. При заполнении столбца Q надо делить только
на положительные коэффициенты ведущего столбца. Так как если бы
один из коэффициентов был отрицателен или равен нулю, соответствующая базисная переменная не стала бы отрицательной ни при каком положительном значении переменной, вводимой в базис.
Заметим, что в данном примере коэффициенты ведущего столбца
все положительные (стоящие в строках базисных переменных)  обе
базисные переменные убывают с увеличением х1, Пересчитываем таблицу.
18
Таблица 1.7

базис
Х3
Х1
f(х)
Х1
Первая итерация
Х2
Х3
Х4
Q
1
–2/5
5\3
18/5
1/5
0
1/5
5
–3/5
0
2/5
–

1) Вся ведущая строка делится на ведущий элемент.
2) Преобразованная ведущая строка умножается на элемент, стоящий в ведущем столбце строки, которую хотим преобразовать, и вычитается из бывшей строки.
То же самое с линейной формой [(–2) умножить на преобразованную ведущую строку (х1) и вычесть из бывшей f(х)].
2 итерация.
В последней строке одно число отрицательное (–3/5), следовательно это столбец ведущий. В нем оба коэффициента положительные,
заполняем столбец Q.
5
6
5
1
Q:
и

 5 .  5 , отсюда следует, что ведущая строка
18
1
3
3
5
5
первая; ведущий элемент 18/5, переменная x2 становится базисной, а x3 –
свободной.
Пересчитываем таблицу.
Таблица 1.8
Вторая итерация

X1
X2
X3
X4
базис
X2
5/3
0
1
5/8
–1/9
X1
2/3
1
0
–1/18
2/9
f(x)
3
0
0
1/6
1/3
Все элементы последней строки не отрицательные, следовательно
задача решена.
f(x)= 3 – 1/6x3 – 1/3x4 , x2=5/3, x1=2/3, fmax=3.
6
1
2
0
1
0
Алгоритм:
1) Проверка оптимальности. Если все элементы последней строки
таблицы неотрицательны, то план оптимален.
Если в последней строке есть отрицательные элементы, перейти к
пункту 2.
19
2) Выбор ведущего столбца. В последней строке таблицы найти максимальный по абсолютному значению отрицательный элемент. Столбец,
в котором находится этот элемент, будет ведущим.
3) Нахождение ведущей строки. Разделить элементы столбца  на
соответствующие положительные элементы ведущего столбца и найти
минимальное из этих отношений. Строка, соответствующая этому минимальному отношению, будет ведущей. Элемент, расположенный на
пересечении ведущего столбца и ведущей строки, – ведущий.
4) Преобразование таблицы. Разделить ведущую строку на ведущий
элемент. Остальные строки таблицы преобразовываются по следующим
правилам: пусть надо преобразовать i-ю строку, для этого необходимо
умножить преобразованную ведущую строку на элемент i-й строки и
ведущего столбца и результат вычесть из i-й строки. В преобразованной
таким образом таблице изменить номера базисных переменных: ведущей строке будет соответствовать теперь номер ведущего столбца.
 Важно помнить. В качестве основных переменных на первом
шаге удобно выбирать (если возможно) такие m переменных, каждая из
которых входит только в одно из уравнений системы ограничений.
Положительное значение остаточной переменной указывает на
неполное использование соответствующего ресурса, т. е. данный ресурс
является недефицитным. Если же остаточная переменная равна нулю,
это свидетельствует о полном потреблении соответствующего ресурса.
В случае недефицитности любое увеличение ресурсов сверх установленного максимального значения привело бы лишь к тому, что они стали бы еще более недефицитными. Оптимальное решение задачи при
этом осталось бы неизменным.
Задания для самостоятельной работы.
1. Решить задачу симплексным методом.
Найти максимум функции: f(x)=2x1+3x2
При заданной системе ограничений:
 x1  3 x2  300

 x1  x2  150 .
 x ,x 0
 1 2
При решении задачи использовать изложенный метод неравенств и
табличный способ.
2. Решить задачу об использовании ресурсов (планировании производства), сформулированную в пункте 1.2. графическим и симплексным методом.
Экономико-математическая модель задачи имеет вид:
20
f  x   2 x1  3x2  max
 x1  3 x2  18 (1)
 2 x  x  16 (2)
 1
2

x2  5 (3)


3 x1  21 (4)
1.4.
Метод множителей Лагранжа
Пусть задача математического программирования задана в виде
z  f  x   min
 i  x   0; i  1,....m
,
(1.1)



x

x
,....,
x

1
n

xi  0

то есть все функциональные ограничения – неравенства и присутствует
ограничение на неотрицательность для переменных задачи.
Если исходная задача оптимизации имеет другой вид, то она может быть к нему приведена (тип неравенств и экстремума целевой
функции меняют умножением на (–1), а добавление в левую часть равенства дополнительной переменной q  0 избавит задачу от наличия в
ней равенства).
Следующую функцию переменных x, 1,...,n называют функцией
Лагранжа задачи (1.1):
L x, 0 ,..., m   f  x     i  x   i
m
i 1
(1.2)
Функция Лагранжа представляет собой линейную комбинацию
целевой функции и функций, определяющих ограничения задачи. Коэффициенты 1,..., m линейной комбинации называются множителями
Лагранжа.
Седловой точкой функции Лагранжа задачи (1.1) называется такая
точка (x*, *) (m + n)-мерного пространства переменных x1,..., xn;
1,...,m, x  0,   0, в которой для функции Лагранжа выполнены условия:
L(x, *)  L(x*, *)  L(x*, ) для всех x  0,   0.
Иными словами, в седловой точке достигается максимальное значение функции Лагранжа по переменным группы x (исходным переменным задачи (1.1)) и минимальное значение по переменным группы .
Необходимые условия экстремума для функции Лагранжа в случае
дифференцируемости целевой функции и функций, определяющих огра21
ничения задачи, состоят в равенстве нулю всех ее частных производных.
Дифференцируя L(x, ) по всем переменным, получим следующие соотношения:
L x,   * *

x ,    0, если xi* >0
xi
L x,   * *

x ,    0, если xi* =0
xi
Lx,   * *

x ,    0, если *j >0
 j
Lx,   * *

x ,    0, если *j =0
 j
Для дальнейших целей данные соотношения удобнее представить
в виде условий дополняющей нежесткости:
 f

m
 x*, *     i   0,
xi*
 xi 
 j 1 j xi 


i  1,..., n
Если функция Лагранжа задачи (1.1) имеет седловую точку (x*, *)
при неотрицательных значениях x  0,   0, то вектор x является решением поставленной задачи оптимизации. Использование данного факта
для поиска оптимальных решений исходной задачи состоит в поиске
седловых точек функции Лагранжа и носит название метода множителей Лагранжа.
Пример решения задачи. Гражданин Петров собирается разместить денежные средства (в пределах 100 ден. ед.) в банк. Банк предлагает два вида срочных вкладов. Согласно первому варианту деньги могут быть размещены на год, и доход составит 20 % годовых. Второй вариант предполагает, что деньги могут быть получены через два года и доход по данному виду вкладов составляет 25 % годовых. Предпочтения гр.
Петрова описывает функция полезности
n
 3
u  x     ln x .
5
Требуется определить, как гр. Петров разместит деньги.
Р е ш е н и е. Первый шаг состоит в формальном представлении
задачи – формализации, основные шаги которой состоят в определении
переменных, ограничений, показателей эффективности и соответствующих им целевых функций.
Переменные. Альтернатива выбора гр. Петрова состоит в том,
сколько денег разместить и в какой вид услуги. Пусть x1, x2 – объемы де22
нежных средств, которые гр. Петров разместит в 1-й и 2-й виды предлагаемых вкладов.
Ограничения. Гр. Петров собирается потратить не более
100 ден. ед., следовательно x1 + x2  100. Кроме того, не имеют смысла
отрицательные значения переменных, то есть x1, x2  0.
Показатели эффективности. Принимая решение о размещении
денежных средств, гр. Петров стремится максимизировать полезность
от получаемых денежных средств. Таким образом, определен показатель эффективности – полезность денег. Гр. Петров получит деньги
трижды. Первый раз – это величина средств, оставшихся после размещения денег во вклады. Она составляет 100 – x1 – x2, а ее полезность
u  x   ln 100  x1  x2  . Далее, в конце первого года завершит свое дей6
5
ствие 1-й вид услуги, и гр. Петров получит 1,2 x1  x ден. ед., полез1
3 6
ln x1 . И
5 5
наконец, по истечении срока действия второго договора (в конце второго
года)
бюджет
гр.
Петрова
пополнит
сумма
в
размере
2
1  0.25 x2  2516 x2 , полезность которой составляет в настоящий мо9 25
мент величину
ln
x2 . Таким образом, принимаемое решение при25 16
носит гр. Петрову суммарную полезность, составляющую
3 6
9 25
ux   ln 100  x1  x2   ln x1  ln x2 . Требуется найти такие
5 5
25 16
значения переменных x1, x2, чтобы величина u(x) была максимальной.
Формализованное представление задачи выглядит как
3 6
9 25
u  x   ln 100  x1  x2   ln x1  ln
x2  max
5 5
25 16
 x1  x2  100

 x1  0, x2  0
Для нахождения седловой точки составим функцию Лагранжа
этой задачи:
3 6
9 25
Lx1 , x2 ,    ln 100  x1  x2   ln x1  ln x2   x1  x2  100 
5 5
25 16
Условия дополняющей нежесткости для данной задачи представляют собой систему из трех уравнений с тремя неизвестными x1, x2, ,
имеющую вид (в скобках каждого уравнения находятся частные производные функции Лагранжа по соответствующим переменным):
ность которых с позиции текущего дня для него составляет
23
 

1
3 1

    0
 x1  

  100  x1  x2 5 x1
 

1
9 1

    0
 x2  

  100  x1  x2 25 x2
  100  x1  x2   0


Заметим, что значения x1 = 0, x2 = 0 и 100 = x1 + x2 являются недопустимыми, так как в этих случаях не определена целевая функция. Условие 100  x1 + x2 влечет за собой  =  – третье условие системы дополняющей нежесткости. Следовательно, для нахождения
решения достаточно решить систему:
1
31

  100  x  x  5 x    0
1
2
1

1
9 1


  0

100

x

x
25
x
1
2
2

  0

Ее решение: x1*  1500 / 49; x*2  900 / 49; *  0.
О т в е т. Гр. Петров поместит 30,612 ден. ед. в первый вклад и
18,367 ден. ед. во второй вклад.
 Важно помнить. Соотношения дополняющей нежесткости являются лишь необходимыми (но не достаточными) условиями седловой
точки, то есть соотношения могут быть выполнены в некоторой точке, а
экстремума в ней может и не быть.
Экономический смысл множителей Лагранжа
Пусть исходная задача (1.1) является формализованным представлением некоторой экономической ситуации. К задаче математического
программирования приводят задачи, в которых требуется принять решение о выборе одной из допустимых альтернатив (планов), наилучшей
в смысле некоторого критерия эффективности. Искомой альтернативе в
задаче соответствуют переменные x. Функциональные зависимости
между переменными описывают взаимодействия и взаимозависимости
различных компонентов альтернативы выбора, а также представляют
собой оценки затрат, необходимых для реализации той или иной альтернативы. Наличие каких-либо лимитов на ресурсы влечет за собой
ограничения на выбор альтернативы. Для простоты будем считать, что
все ограничения задачи (1.1) соответствуют лимитам на ресурсы, требующиеся для реализации выбираемой альтернативы.
24
Условия дополняющей нежесткости представляют собой систему
уравнений, каждое из которых является произведением двух сомножителей. Рассмотрим одно уравнение второй группы, например
1*1 x*   0 . Понятно, что его решение можно представить как решение
системы:
 1*  0

*
1 x   0
 1*  0

*
1 x   0
Множитель Лагранжа 1*  0 соответствует границе допустимого
множества, определяемой функцией 1(x*) = 0. Иными словами, если
1* не равен нулю, то решение принадлежит границе, определяемой
уравнением 1(x*) = 0. Это, в свою очередь, означает, что для оптимальной альтернативы x* первый ресурс (его затраты описывает функция
1(x)) является "узким местом" – будет израсходован полностью. Изменение имеющегося лимита для этого ресурса повлечет за собой достижение более высокого значения показателя эффективности. Если множитель Лагранжа, соответствующий первому ограничению, равен нулю,
то в соответствии с (1.2) 1(x*)  0. Это означает, что x* не находится на
границе, задаваемой функцией 1(x*) = 0, и первоначальные лимиты на
первый ресурс завышены (занижены). В частности, в решенном примере
 = 0 соответствует ограничению на расход денег гр. Петровым и означает,
что в оптимальном для себя случае этот гражданин не истратит всех своих
средств, приобретая банковские услуги. Остаток средств составит 100 –
(30,612+18,367) = 51,02, и именно такое распределение денег принесет
Петрову максимальную полезность. Если ограничению соответствует
ненулевой множитель Лагранжа  = 1, что означает, что в оптимальном
плане данный ресурс будет израсходован полностью.
Пусть i > 0. Экономический смысл абсолютной величины множителя Лагранжа не очень прост и привязан к контексту задачи. Наиболее
наглядно можно продемонстрировать его на примере задач об оптимизации производства. Пусть целевая функция F(x) некоторой задачи описывает выпуск x = (x1,..., xn)Т n видов готовой продукции, а ограничения соответствуют затратам производственных факторов, используемых в некоторой производственной системе. Лимиты для m невоспроизводимых
производственных ресурсов заданы как b = (b1,..., bm). Модель такой
задачи имеет вид:
25
z  f  x   max
 i  x   bi ; i  1,....m

x   x1 ,...., xn 


xi  0

Каждому лимитированному производственному фактору соответствует множитель Лагранжа i  0. Кроме того, ненулевые множители
Лагранжа показывают, какие из производственных факторов в оптимальном плане будут израсходованы целиком, что в некотором роде
ограничивает возможность дальнейшего увеличения выпуска. Посмотрим, как изменяется оптимальное решение (план) при малых изменениях
лимитирующих величин bi. Иными словами, мы предположили, что оптимальный выпуск есть функция от запаса ресурса: x(b) = (x1(b),..., xn(b)).
Показатель эффективности F(b) = F(x(b)) при этом является сложной
функцией лимитов ресурсов. Все ограничения представляют собой
функциональные соотношения компонентов выпуска x и, следовательно, также являются сложными функциями i(x(b)) лимитов b.
Множитель Лагранжа i определяет прирост оптимальной величины выпускаемой продукции при изменении запаса i-го ресурса на "маF x * 
лую величину":
 *i . Одновременно i представляет собой верхbi
ний предел цены ресурса, которую предприятие согласно заплатить,
если оно имеет в виду безубыточное его использование. Действительно, пусть прирост выпуска обеспечивается за счет прироста запаса iго ресурса на dbi (запасы остальных ресурсов неизменны). СоответF x * 
*
ствующий прирост выпуска составит dF x  
dbi  *i dbi . Если
bi
цена единицы данного ресурса qi, то прирост затрат составит qi dbi.
Отсюда видно, что при i > qi прирост выпуска превышает прирост затрат и i = qi означает, что прирост выпуска совпадает с приростом затрат, что и объясняет смысл верхнего предела цены единицы ресурса.
Задания для самостоятельной работы.
1. Гражданин Иванов собирается разместить 200 ед. денежных
средств в различные инвестиционные проекты. Известно, что абсолютная величина дохода от размера х вложенных средств по рассматриваемым трем проектам описывается зависимостями:
26
j1  x  
1
x
10
j2 x   3x 2 / 3
j3  x   5 x 1 / 2
Определите, как гр. Иванову следует разместить средства, чтобы
получить максимальный абсолютный доход.
2. Покупатель Петров на приобретение товаров выделил средства в
размере 12 ден. ед. Ассортимент товаров насчитывает два вида, а их цены
составляют 1 и 2 ден. ед. Предпочтения гр. Петрова описываются функциxx
ей полезности ux1 , x2   x1  1 2 , где x1 и x 2 означают количества пер2
вого и второго товаров, соответственно. Гр. Петров, предъявляя спрос
на товары, стремится максимизировать получаемую при этом полезность. Определите величину спроса на товары, который будет предъявлен гр. Петровым.
3. Гражданин Иванов инвестирует средства в три проекта. Известно, что если доли вложенных в каждый из проектов средств составляют x1 , x 2 и x3 , то средняя доходность инвестиций составит величину
0.25 x12  0.45 x22  0.9 x32  0.1x1 x2  0.4 x1 x3  0.9 x2 x3
Определите, в каких долях гр. Иванов разместит средства в проекты,
если известно, что он руководствуется соображениями получения средней
доходности на уровне 0,08 с минимальным риском.
4. Некоторое производство выпускает три вида готовой продукции, расходуя при этом два вида ресурсов. Цены на готовую продукцию
составляют 3, 4 и 1 ден. ед., нормы затрат ресурсов заданы матрицей
2 3 1
2 0 1
Ресурсы приобретены по ценам 0,2 и 0,1, и их первоначальный запас составил 20 и 30 ед. Определите план выпуска готовой продукции,
максимизирующий коэффициент рентабельности.
1.5. Двойственные задачи
Оптимальное решение задачи линейного программирования определяется теми значениями параметров модели, которые они имели в
момент ее формирования и построения. В реальной экономике значения
параметров, формирующих модель, с течением времени или под воздействием каких-либо обстоятельств могут меняться. В связи с этим осо27
бый интерес представляют методы, позволяющие определить изменения
в оптимальном решении, обусловленные изменениями значений параметров модели. Одним из источников таких методов является теория
двойственности, результаты которой позволяют также производить экономический анализ оптимальных решений экономико-математи-ческих
моделей.
Каждой задаче линейного программирования соответствует задача, называемая двойственной или сопряженной по отношению к исходной задаче. Теория двойственности оказалась полезной для проведения
качественных исследований задач линейного программирования.
Экономическая интерпретация двойственной задачи.
Рассмотрим задачу об использовании ресурсов.
f x   C1 x1  C2 x2  max
 a11 x1  a12 x2  b1
a x  a x  b
 21 1
22 2
2

 a31 x1  a32 x2  b3

x1 , x2  0
В этой модели: bi – запас ресурса Si, aij – число единиц ресурса Si,
потребляемого при производстве единицы продукции Pj, Cj – прибыль
(выручка от реализации).
Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы S1, S2 и S3 предприятия и необходимо установить оптимальные цены
на эти ресурсы: y1,y2 и y3.
Очевидно, что покупающая организация заинтересована в том,
чтобы затраты на все ресурсы в количествах b1, b2, b3 по ценам y1,y2,y3
были минимальными, то есть
Z(y)= b1y1 + b2y2 + b3y3 → min.
С другой стороны, предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выручка была не менее той суммы, которую предприятие могло получить при переработке ресурсов в готовую
продукцию. На изготовление продукции P1 расходуется a11 ресурса S1,
a21 ресурса S2, а31 ресурса S3  a11y1 + a21y2 + a31y3 ≥ C1. Аналогично для
продукции P2: a12y1 + a22y2 + a32y3 ≥ C2. Также необходимо учесть, что
цены на ресурсы (объективно обусловленные оценки) не могут быть отрицательными.
Объединяя все вышесказанное, получаем следующую экономикоматематическая модель двойственной задачи:
28
Z(y)=b1y1 + b2y2 + b3y3 → min
 a 11y1  a 21y 2  a 31y 3  C1

a 12 y1  a 22 y 2  a 32 y 3  C 2

у1 , y 2 , y3  0

Цены ресурсов y1, y2, y3 называются учетными, неявными, теневыми. Смысл этих названий состоит в том, что это условные, “ненастоящие” цены. В отличие от “внешних” цен C1, C2 на продукцию, известных, как правило, до начала производства, цены ресурсов y1, y2, y3 являются внутренними, так как они задаются не извне, а определяются
непосредственно в результате решения задачи, поэтому их часто называют оценками ресурсов.
Формулировка двойственной задачи
Найти такой набор оценок ресурсов, при которых общие затраты
на ресурсы будут минимальными при условии, что затраты на ресурсы
при производстве каждого вида продукции будут не менее выручки от
реализации этой продукции.
Свойства взаимно двойственных задач
1. В одной задаче ищут максимум целевой функции, а в другой минимум.
2. Коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи
являются свободными членами системы ограничений в другой.
3. Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче на
максимум все неравенства вида ”≤”, а в задаче на минимум – все неравенства вида “≥”.
4. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений являются транспонированными друг к другу.
5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает
с числом переменных в другой задаче.
6. Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.
Пример решения задачи.
Составить двойственную задачу для заданной.
Дана целевая функция
f(x)= –х1 + 2х2 → max
 2 x1  x2  1
 x  4 x  24
2
 1
И система ограничений:  x1  x2  3
 x x 5
 1 2
 x1 , x2  0
29
Приведем систему неравенств к правильному виду, чтобы все знаки неравенств соответствовали задаче на максимум:
 2 x1  x2  1
 x  4 x  24
 1
2

 x1  x2  3
  x1  x2  5
Тогда взаимно двойственная задача для исходной примет вид:
 2 y1  y2  y3  y4  1

z(y)= – y1+24y2+3y3-5y4→min
 y1  4 y2  y3  y4  2

y1 , у2 , у3 , y4  0

Запись решения двойственной задачи:
1) min z(y)=max f(x).
Если одна из задач имеет решение, то имеет решение и другая.
2) Установим соответствие между переменными: переменной xi из
исходной задачи ставится в соответствие дополнительная переменная из
двойственной задачи, введенная в i-е ограничение (x1 ~ y5, x2 ~ y6). Аналогично, первоначальным переменным двойственной задачи соответствуют дополнительные переменные исходной задачи.
3) Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны по абсолютной величине коэффициентам при соответствующих переменных в последней записи целевой функции исходной задачи.
4) Если в одной из двойственных задач нарушается единственность оптимального решения, то оптимальное решение двойственной
задачи вырожденное.
 Важно помнить. Положительным (ненулевым) компонентам оптимального решения одной из взаимно двойственных задач соответствуют нулевые компоненты оптимального решения другой задачи. Таким образом, объективно обусловленные оценки ресурсов определяют
степень дефицитности ресурсов: по оптимальному плану производства
дефицитные (т.е. полностью использованные) ресурсы получают ненулевые оценки, а недефицитные – нулевые оценки.
Метод, при котором вначале симплексным методом решается
двойственная задача, а затем оптимум и оптимальное решение исходной
задачи находится с помощью теорем двойственности, называется двойственным симплексным методом. Его используют, когда решение двойственной задачи менее трудоемко (меньше число ограничений). Также с
помощью решения двойственной задачи можно дать развернутую характеристику имеющимся на предприятии ресурсам и их использованию. Подробно об этом будет сказано позднее.
30
Пример решения задачи.. Последняя запись целевой функции
исходной задачи с двумя переменными имела вид:
2
3
f x   10  x3  x 4 .
7
7

Ее решение X 4; 7; 0; 0; 6; 6 .
Поставим в соответствие переменные:
x1 x2 x3 x4 x5 x6
y5 y6 y1 y2 y3 y4
Под таблицей записываем по модулю коэффициенты из последней
записи целевой функции исходной задачи.
x1 x2 x3 x4 x5 x6
y5 y 6 y1 y 2 y3 y 4
0 0 2 3 0 0
7 7
Следовательно, решение взаимно двойственной задачи будет
2 3

иметь следующий вид: min z  y   10, Y   , ,0,0,0,0  .
7 7

Чтобы лучше понять, почему дополнительные переменные одной
задачи ставятся в соответствие первоначальным переменным другой задачи, представим их в виде таблицы, из которой видно, что они относятся к одинаковым экономическим понятиям.
Таблица 1.9
Компоненты оптимального решения исходной задачи
Число единиц
Остатки ресурсов (число единиц)
продукции
Р1
Р2
S1
S2
S3
S4
x1
x2
x3
x4
x5
x6
y5
y6
y1
y2
y3
y4
Превышение затрат на Объективно обусловленные оценки ресурсов
ресурсы над ценой их
(условные цены)
реализации
Компоненты оптимального решения двойственной задачи
 Важно помнить. Если линейная функция одной из взаимно двойственных не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.
Объективно обусловленные оценки ресурсов имеют и другой экономический смысл:
31
1) Они равны значениям частных производных линейной функции
Fmax b1 , b2, ....,bn  по соответствующим аргументам, т. е.
Fmax
 yi* (i  1,2,......,n) .
bi
Таким образом, оценки ресурсов показывают, на сколько денежных
единиц изменится максимальная прибыль (выручка) от реализации продукции при изменении запаса соответствующего ресурса на одну единицу.
2) Двойственные оценки могут служить инструментом анализа и
принятия правильных решений в условиях постоянно меняющегося
производства. Так, например, с помощью объективно обусловленных
оценок ресурсов возможно сопоставление оптимальных условных затрат и результатов производства.
 Важно помнить. Оценки ресурсов позволяют судить об эффекте не любых, а лишь сравнительно небольших изменений ресурсов.
При резких изменениях сами оценки могут стать другими, что приведет
к невозможности их использования для анализа эффективности производства.
3) По соотношениям объективно обусловленных оценок могут
быть определены расчетные нормы заменяемости ресурсов, при соблюдении которых проводимые замены в пределах устойчивости двойственных оценок не влияют на эффективность оптимального плана.
Задания для самостоятельной работы.
1. Записать для задачи использования ресурсов взаимно двойственную и ее решение.
2. Дана задача линейного программирования, ее решение и последняя запись целевой функции. Записать для нее двойственную задачу и ее
решение.
Экономико-математическая модель задачи:
f  x   3x1  5 x2  7 x3  max
 5 x1  3x2  3x3  18
 2 x  x  4 x  11
 1 2
3

 3x1  4 x2  x3  3
 x1  5 x2  2 x3  12
5
2
5
Последняя запись целевой функции: f x   28  x4  x7  x6 .
6
3
3
*
Ответ: X  3; 1; 2; 0; 2; 0; 0 .
32
3. Для производства изделий А и В предприятие использует три
вида сырья. Все необходимые для решения задачи данные приведены в
таблице.
Таблица 1.10
Затраты ресурсов на производство изделий и их запасы
Вид сырья
А
В
Общее количество сырья
на предприятии
I
12
4
300
II
4
4
120
III
3
12
252
Прибыль от реализа30
40
ции одного изделия
Решить задачу симплексным методом, составить к ней двойственную задачу и записать ее решение. Объяснить экономический
смысл переменных, ограничений и целевой функции обеих задач.
4. Используя геометрическое решение двойственной задачи и теоремы двойственности, решить задачу линейного программирования.
F x   4 x1 18 x2  30 x3  5x4  max
3x1  x2  4 x3  x4  3

 2 x1  4 x2  x3  x4  3
 x  0, i  1, 2, 3, 4.
 i
1.6. Транспортная задача
Важным частным случаем задачи линейного программирования
является транспортная задача.
Пример решения задачи.
Построить экономико-математическую модель следующей задачи.
Имеются 3 поставщика и 4 потребителя. Мощность поставщиков и
спросы потребителей, а также затраты на перевозку единицы груза для
каждой пары «поставщик – потребитель» сведены в таблицу поставок.
В каждой клетке стоит коэффициент затрат – затраты на перевозку единицы груза от соответствующего поставщика к соответствующему потребителю.
Задача. Найти объем перевозок для каждой пары «поставщик –
потребитель» так, чтобы:
1)
мощность всех поставщиков были реализованы;
2)
спросы всех потребителей удовлетворены;
3)
суммарные затраты на перевозку были минимальными.
33
Таблица 1.11
Транспортная задача
Потребители и их спрос
Мощность
Поставщипоставщи1
2
3
4
ки
ков
20
110
40
110
1
2
5
3
1
60
х11
х12
х13
х14
1
6
5
2
2
120
х21
х22
х23
х24
6
3
7
4
3
100
х31
х32
х33
х34
Составим экономико-математическую модель задачи.
Искомый объем перевозки от i-го поставщика к j-му потребителю
обозначим хij и назовем его поставкой. Тогда целевая функция, значение которой необходимо минимизировать, запишется в виде:
f(х) = 1x11+2x12+5x13+…+7x33+4x34 → min
Система ограничений будет иметь следующий вид:

 x11  x21  х31  20
x

x

x

x

60
 11 12 13 14


 x21  x22  x23  x24  120
 х12  x22  х32  110
 x  x  x  x  100
 х13  x23  х33  40
33
34
 31 32

 х14  x24  х34  110
Особенности экономико-математической модели транспортной
задачи:
1) Система ограничений есть система уравнений, то есть транспортная задача задана в канонической форме.
2) Коэффициенты при переменных системы ограничений равны 1
или 0.
3) Каждая переменная входит в систему ограничений 2 раза.
Решение задачи.
Существует два метода нахождения первоначального распределения поставок (опорного плана).
1) Метод северо-западного угла.
Задаем северо-западной клетке (а именно х11) максимально возможную поставку (20), после этого спрос 1-го потребителя будет полностью удовлетворен, в результате чего первый столбец поставок полно34
стью выпадает из следующего рассмотрения. В оставшейся таблице
опять выбираем северо-западную клетку.
Таблица 1.12
Первый план перевозок,
построенный методом северо-западного угла
1
2
5
3
60
20
40
1
6
5
2
120
70
40
10
6
3
7
4
100
100
20
110
40
110
Недостаток этого метода: план строится без учета стоимости (затраты на
перевозку).
2) Метод минимальной стоимости (или метод наименьших затрат).
Находим клетку с наименьшим коэффициентом затрат (у нас их две,
равные 1) и даем ей максимальную поставку (так как любая из них может поставить 20, выбираем любую). Таким образом, спрос 1-го потребителя удовлетворен и его (1-й столбец) вычеркиваем. В оставшейся
таблице опять ищем клетку с минимальной стоимостью.
Таблица 1.13
Первый план перевозок,
построенный методом минимальной стоимости
1
2
5
3
60
60
1
6
5
2
120
20
100
6
3
7
4
100
50
40
10
20
110
40
110
 Важно помнить. Обязательно вычеркивается только один: или
поставщик, или потребитель. Если на очередном шаге решения задачи
совпали потребность покупателя и мощность поставщика, то одного
(любого) вычеркиваем, а у второго пишем в остатке 0. На следующем
шаге решения перевозим 0, тогда эта клетка участвует в плане перевозок. Если этого не сделать, то в плане будет недостаточно клеток, чтобы
заполнить таблицу потенциалов.
35
Вычислим для обоих опорных планов суммарные затраты на перевозку.
S1 = 20*1 + 40*2 + 70*6 + 40*5 + 10*2 + 100*4 = 1140
S2 = 60*2 + 20*1 + 100*2 + 50*3 + 40*7 + 10*4 = 810
Во втором случае по числу шагов мы находимся ближе к оптимуму.
Решение методом потенциалов.
Выпишем отдельно полученный план перевозок X[1]
Таблица 1.14
Первый план перевозок
60 –
+
20
100
50 + 40
– 10
Вычисляем его стоимость: S(X[1])=60*2 + 100*1 + 20*2 + 50*3 +
+ 40*7 + 10*4 = 810.
Таблица 1.15
Потенциалы и косвенные стоимости
β
0
0
4
1
α
2’
6’
3’
2
2
-1
-1
0
’
’
1
5
1
1
2
5
0
3’
3
3
7
4
3
а) Вписываем в таблицу стоимости перевозок, соответствующих
опорному плану.
б) Задаем произвольно один из потенциалов и вычисляем остальные, учитывая, что сумма потенциалов равна стоимости перевозки (в
данной задаче задали  2  0 ).
в) Вычисляем косвенные стоимости (суммируем соответствующие
потенциалы и заполняем свободные клетки таблицы), помечаем косвенные стоимости штрихом.
г) Находим разницу между стоимостью, заданной в задаче, и косвенной стоимостью (цифры справа в клетке).
д) Выберем максимальную отрицательную разность и введем ее в
опорный план, то есть увеличивая ее значение на какую-то величину,
тогда значение другой переменной должно уменьшиться на эту же величину и так далее, замыкаем цикл. (Этот процесс называется цикл пересчета).
36
е) Если отрицательных значений нет, значит найденный опорный
план является оптимальным.
ж) Определяем максимальную величину, на которую может быть
увеличена клетка, вводимая в опорный план, так чтобы количество перевозки не стало отрицательным (в нашем случае она может быть равной 40).
Получаем новый опорный план: X[2].
Таблица 1.16
Второй, улучшенный план перевозок
+
20
–
40
20
–
100
+
90
+
10
–
Его стоимость S(X[2])= 810 – 40*1 = 770 меньше предыдущего
значения, значит полученный план ближе к оптимальному. Вычислим
потенциалы для найденного опорного плана, положив  3  0 , косвенные стоимости и разницу между заданными и косвенными стоимостями.
Таблица 1.17
Потенциалы и косвенные стоимости для второго плана перевозок
β
-3
-3
0
-2
α
5
2’
4
6
2
-1
1
1
5
’
4
3
3
0
’
5
3’
3’
2
1
6’
1
4
Единственная клетка с отрицательной разностью, это клетка (1, 1).
Следовательно, эту клетку можно ввести в опорный план. Максимальная величина, на которую может увеличиться клетка, чтобы опорный
план не стал отрицательным 10 (эту величину выбираем из клеток, помеченных знаком «–»). Перевозка (3, 5) выйдет из опорного плана.
Остальные перевозки изменятся соответственно знакам: прибавляем 10
к перевозкам, помеченным знаком «+», и вычитаем из перевозок, помеченных знаком «–».
 Важно помнить. На каждом шаге решения задачи одна перевозка
входит в опорный план и одна выходит из него. Количество клеток,
участвующих в плане перевозок, в ходе решения задачи не меняется.
37
Если получается две клетки с одинаковыми минимальными значениями,
помеченными знаком «–», то одна выходит из опорного плана, а во второй (в любой) остается 0, то есть клетка участвует в плане перевозок.
Получили план X[3].
Таблица 1.18
Третий план перевозок
10
10
40
10
110
100
Его стоимость S(X[3]) = 770 – 10*1 = 760, то есть стала еще меньше.
Чтобы выяснить, является ли полученный план оптимальным, вычислим потенциалы и косвенные стоимости для полученного плана.
Таблица 1.19
Потенциалы и косвенные стоимости для третьего плана перевозок
β
-4
-3
0
-2
α
3’
5
1
2
5
0
’
’
2
5
5
1
2
4
0
2’
6’
4’
6
3
4
1
0
Все разности между заданными и косвенными стоимостями положительны, следовательно оптимальный план перевозок X 3 найден и
стоимость его равна 760 денежным единицам.
 Важно помнить. Описанный метод потенциалов позволяет решать только сбалансированные задачи, то есть задачи, в которых суммарная мощность поставщиков равна суммарному спросу потребителей.
На практике такая ситуация встречается редко, поэтому любую
транспортную задачу можно привести к сбалансированной.
Если в транспортной задаче суммарная мощность поставщиков
меньше суммарного спроса потребителей, то такая задача называется
задачей на недостаток. Для ее решения необходимо ввести фиктивного
поставщика, стоимости перевозок которого будут равны нулю, а мощность равна разности суммарного спроса потребителей и суммарной
мощности действительных поставщиков, то есть размеру недостатка.
Если в транспортной задаче суммарный спрос потребителей
меньше суммарной мощности поставщиков, то такая задача называется
38
задачей на избыток. Для ее решения необходимо ввести фиктивного потребителя, стоимости перевозок которого будут равны нулю, а мощность равна разности суммарной мощности поставщиков и суммарного
спроса действительных потребителей, то есть размеру избытка.
Когда задача решена, цифры в строке фиктивного поставщика показывают, какое количество продукции, кто из потребителей не получит, так как задача была на недостаток.
Когда задача решена, цифры в строке фиктивного потребителя показывают, какое количество продукции, у кого из поставщиков останется, так как задача была на избыток.
Задания для самостоятельной работы.
1. Решить транспортную задачу.
Таблица 1.20
6
6
8
450
Данные о стоимости перевозок,
мощностях поставщиков и спросе потребителей
4
4
5
200
9
5
8
300
2
10
6
100
250
100
100
2. Составить экономико-математическую модель задачи, найти
оптимальное распределение поставок и минимальные затраты на перевозку.
Таблица 1.21
Данные о стоимости перевозок,
мощностях поставщиков и спросе потребителей
Поставщики Мощность
Потребители и их спрос
поставщиков
1
2
3
4
50
50
40
60
1
30
5
4
6
3
2
70
4
5
5
8
3
70
7
3
4
7
Что означают следующие термины и понятия?
Целевая функция
Ведущий элемент
Допустимое множество
Двойственная задача
Оптимальное решение
Оценки ресурсов
Система ограничений
Функция Лагранжа
Тривиальные ограничения
Множители Лагранжа
39
Задача линейного программирования
Допустимое решение
Каноническая форма задачи
Стандартная форма задачи
Опорный план
Базисные переменные
Свободные переменные
Ведущая строка
Ведущий столбец
Условия дополняющей нежесткости
Транспортная задача
Метод потенциалов
Цикл пересчета
Косвенные стоимости
Задача на избыток
Задача на недостаток
Поставка
Метод минимальной стоимости
Теперь вы должны уметь:
o составлять экономико-математические модели экономических задач;
o решать задачи линейного программирования графическим методом;
o решать задачи линейного программирования симплексным методом;
o решать задачи математического программирования методом Лагранжа;
o решать транспортные задачи;
o приводить любые транспортные задачи к сбалансированным;
o объяснять экономический смысл функции и ограничений в экономико-математических моделях задач;
o провести анализ использования ресурсов предприятия, используя
теорию двойственности;
o приводить задачи к каноническому виду из стандартного и наоборот;
o анализировать результаты решения задач математического и линейного программирования;
o находить решение задачи, используя решение взаимно двойственной задачи.
Контрольные вопросы:
1. Какие задачи называются задачами линейного программирования?
2. Почему все переменные неотрицательные, как называются эти
ограничения?
3. Какое допустимое решение называется оптимальным?
4. Чем отличаются каноническая и стандартная задачи линейного
программирования?
40
5. Геометрическое истолкование и свойства канонической задачи
линейного программирования.
6. Типы экономических задач, сводящихся к задачам линейного
программирования.
7. При решении задачи симплексным методом какой столбец
называется ведущим, какая строка ведущей и какой элемент ведущим?
8. Какой экономический смысл коэффициентов столбца Q? Почему при заполнении столбца Q делим только на положительные коэффициенты ведущего столбца?
9. Почему решение считается найденным, если коэффициенты
последней строки таблицы положительные?
10. Какой экономический смысл имеют коэффициенты столбца
свободных членов последней таблицы?
11. Экономическая интерпретация двойственной задачи.
12. Свойства взаимно двойственных задач.
13. Экономический смысл транспортной задачи?
14. Когда транспортная задача является задачей на избыток, а когда задачей на недостаток, как это исправить?
15. В чем суть метода северо-западного угла?
16. В чем суть метода минимальной стоимости?
17. Когда опорный план считается оптимальным, то есть решение найдено?
18. Какие типы экономических задач сводятся к транспортной
задаче?
19. Что показывают цифры в строке фиктивного поставщика и в
столбце фиктивного потребителя, когда транспортная задача решена?
2. ТЕОРИЯ ИГР
Одним из важных разделов «Исследования операций» является
теория игр, представляющая собой теоретические основы математических моделей принятия оптимальных решений в конфликтных ситуациях рыночных отношений, носящих характер конкурентной борьбы, в которых одна противоборствующая сторона выигрывает за счет проигрыша другой. Наряду с такой ситуацией в теории принятия решений также
рассматривают так называемые ситуацию риска и ситуацию неопределенности, которые имеют различные модели и требуют разных критериев выбора оптимальных решений. В ситуации риска предполагаются известными не только возможные условия, в которых нужно принимать
решение, но и вероятности их появления. В ситуации неопределенности
вероятности условий неизвестны и нет никакой возможности получить о
41
них дополнительную статистическую информацию. Окружающая решение задачи среда, которая проявляется в тех или иных условиях, называется природой, а соответствующие математические модели называются
играми с природой или теорией статистических решений.
Теория игр была систематически изложена ДЖ. Фон Нейманом и
О. Монгерштерном в 1944 году. Они написали книгу, которая содержала
главным образом экономические примеры, поскольку экономическому
конфликту легче придать численную форму. Теория игр используется в
области экономики и производства, бизнеса и финансов, сельского хозяйства и военного дела, биологии и социологии, психологии и политологии. К настоящему времени теория игр развилась в самостоятельную
область математики и может рассматриваться независимо от ее приложений к реальным игровым ситуациям. По мнению лауреата Нобелевской премии по экономике за 1994 г. Нэша, теория игр вообще сыграла
важную роль в интеллектуальной жизни ХХ века.
На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых
необходимо принимать решения в условиях неопределенности, то есть
возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют
различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации, возникающие при игре в
шахматы, шашки, домино, ситуации на рынке, когда выходит несколько
производителей с одинаковым товаром (олигополия), покупатель и продавец, поставщик и потребитель, банк и клиент. То есть примером теории игр являются такие ситуации, в которых важную роль играют конфликты и совместные действия. Конфликт может возникнуть также из
различия целей, которые отражают не только несовпадающие интересы
различных сторон, но и многосторонние интересы одного и того же лица, например разработчик экономической политики обычно преследует
разнообразные цели (рост объема производства, повышение доходов,
снижение экологической нагрузки).
Таким образом, теория игр изучает и рассматривает методы определения оптимального поведения при управлении системами, в которых
характерно наличие конфликтной ситуации (столкновение интересов).
Для конфликтов характерно то, что ни один из его участников заранее
не знает решений, принимаемых остальными участниками. Другими
словами, участники конфликтов вынуждены действовать в условиях
риска и неопределенности. Неопределенность исходов может проявляться не только в результате сознательных действий других участников, но и как результат действий тех или иных стихийных сил.
В свете «теории игр» можно рассмотреть экономику, общественные науки, бизнес и повседневную жизнь. К примеру, в экономике с
42
точки зрения «теории игр» можно объяснить торговые и ценовые войны.
Кроме того, некоторые обозреватели полагают, что, используя эту теорию, можно показать причины такого феномена, как «малоподвижные»
цены. В соответствии с этой теорией фирмы заключают нечто вроде
тайного соглашения о преобладающем значении цены (скажем, если
речь идет об автомобильной или сталелитейной промышленности). После того как они пришли к соглашению, фирмы отказываются понижать
или повышать цены, так как в противном случае участники рынка будут
рассматривать такие изменения как сигнал объявления экономической
войны. С помощью теории игр можно также объяснить, почему иностранная конкуренция может привести к более ожесточенной ценовой
войне. Что случится, если японская фирма войдет на американский рынок, на котором уже существующие компании тайно договорились
назначить высокую цену? Зарубежные фирмы могут «отказаться играть
в эту игру». Они просто будут снижать цены в целях овладения большей
долей рынка. Сговор может разрушиться.
Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разработаны математической теорией конфликтных ситуаций, которые носят название
«теория игр».
Всякая претендующая на адекватность математическая модель социально-экономического явления должна отражать присущие ему черты
конфликта, то есть описывать:
а) множество заинтересованных сторон, которые называются игроками;
б) возможные действия каждой из сторон, именуемые стратегиями
или ходами;
в) интересы сторон, представленные функциями выигрыша (платежа) для каждого из игроков.
Сама модель конфликтной ситуации называется игрой.
2.1.
Классификация игр
Различные виды игр можно классифицировать, основываясь на
том или ином принципе: по числу игроков, по числу стратегий, по свойствам функции выигрыша, по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.
1) Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и
множественной, если число игроков более двух.
43
2) Игра называется с нулевой суммой или антагонистической, если
выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого. Игры с постоянной разностью – игроки выигрывают и проигрывают одновременно.
3) Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной – в противном случае.
4) Бескоалиционными называются игры, в которых игроки не
имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции. В коалиционной игре, наоборот, игроки могут вступать в соглашения и образовывать коалиции. В кооперативной игре коалиции определены заранее,
то есть до начала игры игроки могут принимать соглашения о своих
стратегиях (возможность предварительных переговоров). В некооперативной игре игроки не могут координировать свои стратегии подобным
образом и принимают решения независимо друг от друга.
5) Комбинаторные игры: число исходов, стратегий, факторов конечное, не очень большое. Можно построить модель игры, выработать
правила. Однако численное решение невозможно из-за большой размерности задачи. В случайных играх количество исходов не зависит от поведения игрока. В стратегических играх один участник находится в состоянии неопределенности относительно поведения других участников
игры.
6) Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой
суммой, в которой задаются выигрыши первого игрока в виде матрицы.
Любая матричная игра имеет решение и может быть реализована методами линейного программирования. Матричные игры еще называют играми в нормальной форме. Биматричная игра – это конечная игра двух
игроков с ненулевой суммой, в которой есть матрицы выигрышей (проигрышей) отдельно для каждого участника. Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей является непрерывной в зависимости
от стратегий.
2.2. Другие термины и понятия
Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами
действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из
возможных действий. Случайный ход – это случайно выбранное действие (выбор карты из перетасованной колоды).
Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор действия при каждом ходе в зависимости от сложившейся
ситуации. Чтобы решить игру или найти решение игры, следует для
каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оп44
тимальности, то есть один из игроков получает максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными.
Оптимальные стратегии должны удовлетворять условию устойчивости, то есть любому из игроков должно быть невыгодно отказываться
от своей стратегии в этой игре. Если игра повторяется много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.
Целью теории игр является определение оптимальной стратегии
для каждого игрока.
Выигрыш – это мера эффекта для игрока. В теории игр выигрыш
должен измеряться обязательно количественно.
В случае конечной игры двух лиц функции выигрыша каждого из
игроков удобно представлять в виде матрицы выигрышей, где строки
представляют собой стратегии одного игрока, а столбцы – стратегии
другого. В клетках матрицы указываются выигрыши каждого из игроков
в каждой из образующихся ситуаций. Данная форма представления конечных игр называется «матричные игры».
Пример решения задачи. Игра в «орлянку».
Если оба выбирают одинаковые стратегии (оба говорят “орел”), то
1-й выигрывает 1 рубль (а второй проигрывает); если выбирают разные,
то 2-й выигрывает.
Таблица 2.1
Матрица выигрыша первого игрока (Н1)
Орел
Решка
Орел
1
–1
Решка
–1
1
Матрица выигрыша второго игрока (Н2)
Орел
Решка
Орел
–1
1
Решка
1
–1
Для антагонистических игр всегда Н1= – Н2.
Матрица, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям игроков, называется платежной матрицей или матрицей игры.
Нижняя цена игры (α) (максиминный выигрыш – максимин) – это
гарантированный выигрыш первого игрока при любой стратегии второго игрока (то есть из каждой строки выбираем минимальное число, а за-
45
тем из всех этих минимумов берем наибольший). Стратегия, соответствующая максимину называется максиминной.
Верхняя цена игры (β) (минимаксный выигрыш – минимакс) – это
гарантированный проигрыш второго игрока. (То есть из каждого столбца выбираем максимальное число, а затем из всех максимумов берем
наименьший). Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной.
Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных»
минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый
игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника. Если
верхняя и нижняя цены игры совпадают α=β=  , то эта цена называется
чистой ценой игры или ценой игры.
  1  1
Для А= 
   1,   1

  1  1
 2 0 4
Для В= 
   1,   1
     1
3
1
6


Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются
оптимальными стратегиями или решением игры. То есть в этом случае
первый игрок получает максимальный, не зависящий от поведения второго игрока выигрыш q, а второй игрок добивается минимального гарантированного, не зависящего от поведения первого игрока проигрыша
q. Такое решение обладает устойчивостью, то есть если один из игроков
придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может
быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.
Пара стратегий дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий элемент матрицы (размер выигрышапроигрыша) является одновременно наибольшим в своем столбце и
наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует,
называется седловой точкой. То есть игра разрешима в чистых стратегиях, каждый из игроков будет на каждом шаге выбирать одну и ту же
стратегию и ему не выгодно от нее отклониться: если первый игрок выберет другую стратегию, у него будет выигрыш меньше, а если второй
игрок выберет другую стратегию, у него проигрыш будет больше.
Пример решения задачи.
Определить верхнюю и нижнюю цену игры, заданной платежной
матрицей. Имеет ли игра седловую точку?
46
 0,5 0,6 0,8 


Р=  0,9 0,7 0,8 
 0,7 0,6 0,6 


Таблица 2.2
Платежная матрица игры
B1
B2
B3
α
A1
0,5
0,6
0,8
0,5
A2
0,9
0,8
0,7
0,7
A3
0,7
0,6
0,6
0,6
β
0,9
0,7
0,8
0,7
      0.7 – цена игры. Седловая точка (А2, В2).
Пример решения задачи. Рассмотрим две конкурирующие финансовые компании А и В. Компания В ведёт переговоры с организаторами каждого из трёх проектов В1 , В2 , В3 на предмет инвестирования.
Задача компании В: положительный результат переговоров. Компания А
ставит своей задачей свести переговоры компании В к отрицательному
результату, с тем чтобы занять место компании В в инвестировании.
Компания А для достижения своей цели – срыва переговоров компании В – может применить одно из двух средств: А1 – предложить организаторам проектов более выгодные для них условия инвестирования
по сравнению с компанией В и А2 – предоставить в распоряжение организаторов проектов материалы, компрометирующие компанию В.
Действие А1 компании А приводит к отрицательному результату
переговоров компании В с организаторами проектов В1 , В2 , В3, соответственно, с вероятностями 0,7; 0,5; 0,3, а действие А2 – с вероятностями 0,6; 0,9; 0,4.
Решение. Смоделируем данную ситуацию. Поскольку компании А
и В преследуют противоположные цели, то рассматриваемая конфликтная ситуация является антагонистической. Игроками являются финансовые компании А и В. Игрок А имеет две чистые стратегии А1 и А2:
S AC  A1 , A2 ; множество стратегий игрока В состоит из трёх стратегий:
S BC  B1 , B2 , B3  . Игрок В должен выбрать один из трех проектов, игрок
А выбирает одно из двух своих действий.
В качестве выигрыша игрока А (или проигрыша игрока В) рассмотрим вероятность отрицательного результата переговоров компании
В. В соответствии со своими задачами игрок А стремится максимизировать выигрыш, а игрок В – минимизировать проигрыш.
Выясним, имеет ли игра седловую точку, то есть, разрешима ли
игра в чистых стратегиях.
47
Матрица игры с показателями эффективности стратегий А1 , А2 и
показателями неэффективности стратегий В1 , В2 , В3 имеет следующий
вид:
Таблица 2.3
Платежная матрица игры
Bj
B1
B2
B3
α
Ai
A1
0,7
0,5
0,3
0,3
A2
0,6
0,9
0,4
β
0,7
0,9
0,4
0,4
0,4
0,4
В данном случае максиминной стратегией игрока А является стратегия А2 , а минимаксной стратегией игрока В – стратегия В3.
Если игрок А придерживается своей максиминной стратегии А2 ,
то игрок В должен выбрать свою минимаксную В3, с тем чтобы выигрыш игрока А (или что то же – проигрыш игрока В) был минимальным
а23 = 0,4 (во 2-й строке матрицы (6.1)). На это игрок А должен ответить
выбором опять же стратегии А2 , чтобы получить максимальный (в 3-м
столбце) выигрыш: а23 = 0,4. Ответным ходом игрок В опять выбирает
стратегию В3 и т. д.
Таким образом, если игроки А и В придерживаются своих максиминной и минимаксной стратегий, то ни один из них не может увеличить свой выигрыш, отступая от своей стратегии. Ситуация (А2 , В3) является в данной игре устойчивой.
Нижняя и верхняя цены игры совпадают:
a = b = 0,4
Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.
Смешанной стратегией SA игрока А называется применение чистых стратегий А1, А2,…..Аi, …., Аm с вероятностями p1, p2,…., pi,….,pm,
m
причем сумма вероятностей равна 1:  pi  1 . Цена игры будет удовлеi 1
творять неравенству      .
Основная теорема теории игр – теорема Неймана. Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение, возможно,
среди смешанных стратегий.
48
В качестве примеров применения теории можно назвать решения
по поводу проведения принципиальной ценовой политики, выхода на
новые рынки, кооперации и создания совместных предприятий, определения лидеров и исполнителей в области инноваций, вертикальной интеграции и т.д. Положения данной теории в принципе можно использовать для всех видов решений, если на их принятие влияют другие действующие лица. Этими лицами, или игроками, необязательно должны
быть рыночные конкуренты; в их роли могут выступать субпоставщики,
ведущие клиенты, сотрудники организаций, а также коллеги по работе.
2.3. Геометрическая интерпретация игры 22
Пусть имеется два игрока А и В. У каждого из игроков по две
стратегии (А1 и А2 у игрока А, В1 и В2 у игрока В). Игра с нулевой суммой.
По оси абсцисс отложим отрезок А1А2, то есть точка А1 изображает стратегию А1 (х=0), А2 – стратегию А2, все промежуточные точки –
смешанные стратегии. На оси ординат откладываем выигрыш первого
игрока, если второй применил стратегию В1. Аналогично строим второй
график, если второй график выбрал стратегию В2.
B1
y
y
M1
B2
M2
B1
q1
a12
a11
p2
A1
B2
a21
p2
x
p1
q2
A1
A2
a22
x
p1
A2
Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация стратегий первого игрока
q1=a11p1+a21p2
q2=a12p1+a22p2 (ордината точки М1 и М2, соответственно)
А1 А2  1
В соответствии с принципом минимакса оптимальная стратегия
SА такова, что минимальный выигрыш игрока А (при наихудшем поведении игрока В) обращается в максимум.
*
49
y
B1
B2
N
B2
B1
SA*
p2
A1
x
p1
A2
(p1*, p2* )
Рис. 2.2. Решение игры графическим способом
Отрезок В1N – минимальный выигрыш игрока А при использовании любой смешанной стратегии, если игрок В выбрал стратегию В1.
Аналогично, отрезок В2N – выигрыш игрока А, если игрок В выбрал
стратегию В2. Следовательно, оптимальную стратегию определяет точка
N, то есть минимальный выигрыш достигает максимума.
Пример решения задачи.
Решить графически игру, заданную платежной матрицей:
1,5 3 
Р= 

2
1


Определим верхнюю и нижнюю цены игры:   1,5,   2 . Следовательно, седловая точка отсутствует, будем искать решение в смешанных стратегиях. Отметим на графике величину выигрыша для каждой
пары стратегий.
3
y
B1
B2
2
N
B2
1,5
B1
1
p2
A1
x
p1
A2
Рис. 2.3. Графическое решение игры
Запишем уравнение прямых, соответствующих величине выигрыша игрока А, если игрок В выбирает, соответственно, первую (B1) y=
= 0,5 x + 1,5 и вторую (B2) y= –2x + 3 стратегии. Точка их пересечения
N(0,6; 1,8). Следовательно, р2 = x = 0,6 – вероятность выбора игроком А
второй стратегии; р1 = 1 – 0,6 = 0,4 – вероятность выбора игроком А
первой стратегии. Цена игры  = y = 1,8 – максимально возможный из
50
минимально гарантированных выигрышей игрока А (либо минимально
возможный из максимально гарантированных проигрышей игрока В).
 Важно помнить. Графически можно решить игру, если в игре
участвуют только два игрока и у одного из игроков имеется только две
стратегии (у второго игрока – любое количество стратегий).
Задания для самостоятельной работы.
1. Для этой же задачи начертить график, записать уравнения прямых, найти вероятности и седловую точку для игрока В.
2. Применив методы теории игр, найти пропорцию использования
посевной площади для производства трех сортов пшеницы, урожайность
которых зависит от погодных условий. Критерий оптимальности – максимум валового урожая. Решить задачу графически.
Таблица 2.4
Размер урожайности каждого сорта в зависимости погодных условий
Засушливый год Нормальный год Дождливый год
Сорт 1
5
7
3
Сорт 2
9
4
11
Сорт 3
8
3
4
3. Игрок А записывает одно из двух чисел: 2 или 3. Игрок В записывает одно из трех чисел: 3, 4 или 5. Если числа одинаковой четности,
то А выигрывает сумму чисел; и если четности чисел не совпадают, то
сумму чисел выигрывает В. Построить платежную матрицу игры, определить верхнюю и нижнюю цену игры. Проверить наличие седловой
точки.
Рассмотрим ситуацию, когда игра разрешается в чистых стратегиях, т. е. есть седловая точка. Графическое решение задачи может иметь
следующие виды.
B2
B1
y
B2
B2
y
B2
 = a22
B1
B1
 = a21
B1
x
A1
(A2; B2)
x
A2
A1
(A2; B1)
Рис. 2.4. Графики игр, разрешимых в чистых стратегиях
51
A2
2.4. Приведение матричной игры
к задаче линейного программирования
Игра m×n в общем случае не имеет наглядной геометрической
интерпретации. Решение достаточно трудоемко при больших m и n, но
может быть сведено к задаче линейного программирования.
Пример решения задачи. Предприятие может выпускать 3 вида
продукции А1, А2 и А3, получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из 4-х состояний (В1, В2, В3, В4). Элементы платежной матрицы характеризуют прибыль, которую получат
при выпуске i-й продукции при j-м состоянии спроса. Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие максимизацию средней величины прибыли при любом состоянии спроса, считая его определенным. Задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против спроса В задана платежной матрицей.
Таблица 2.5
Платежная матрица игры
В1
В2
В3
В4
α
А1
3
3
6
8
3
А2
9
10
4
2
2
А3
7
7
5
4
4
4
β
9
6
8
6
Прежде чем решить задачу, попытаемся упростить игру, проведя
анализ платежной матрицы и отбросив заведомо невыгодные и дублирующие стратегии.
Для игрока В невыгодна вторая стратегия (столбец В2), так как все
элементы этого столбца больше или равны элементам столбца В1, то
есть при любой стратегии, выбранной игроком А, игрок В проигрывает
больше в случае выбора второй стратегии вместо первой.
Поскольку   , следовательно седловая точка отсутствует, решение будем искать в смешанных стратегиях.
Чтобы привести игру к задаче линейного программирования, обозначим:
p
q
xi  i ; yi  i .


Получим две взаимно двойственные задачи линейного программирования:
52
Для первого игрока:
3 p1  9 p2  7 p3  
3x1  9 x2  7 x3  1
6 p  4 p  5 p  

 6 x1  4 x2  5 x3  1
2
3
 1


8 p1  2 p2  4 p3  
8 x1  2 x2  4 x3  1
(так как   max , то
3
 xi
 z  x1  x2  x3  min
 min .
i 1
Поскольку x1  x2  x3 
p1 p2 p3 1


 .


 
И для второго игрока:
3 y1  6 y 2  8 y3  1

9 y1  4 y 2  2 y3  1  z  y1  y 2  y3  max
7 y  5 y  4 y  1
2
3
 1
Вторую задачу на максимум решать легче. Решаем ее симплексным методом. Получаем следующий результат:
2 
5
 1 4
.
Y  , ,0,0, ,0 , z max 
27 
27
 27 27
Последняя запись целевой функции имеет вид:
5
1
2
1
z y  

y3 
y 4  y6 .
27 27
27
9
Следовательно, можем записать решение взаимно двойственной
задачи, то есть задачи для первого игрока, используя теорию двойственности. Это решение будет иметь вид:
1
2
1
x6  , x1  , x3  .
27
27
9
1
27
Цена игры

 .
z max
5
Найдем вероятности выбора стратегий:
2 27 2
1 27 3
p1  x1    
 , p2  0,
p3  x3    
 .
9 5 5
27 5 5
 2 3
То есть S A   ,0,  .
 5 5
Данный результат означает, что предприятие должно выпустить
40 % продукции А1 и 60 % продукции А3, а продукцию А2 выпускать не
надо. Тогда максимально гарантированное из минимально возможных
значений средней величины прибыли составит 5,4 ден. ед., независимо
от спроса покупателей.
53
Задание для самостоятельной работы.
По данному решению записать вероятности выбора стратегий игроком В, какой экономический смысл имеет найденное решение.
При решении произвольной конечной игры размера m×n рекомендуется придерживаться следующей схемы:
1) Исключить из платежной матрицы заведомо невыгодные стратегии по сравнению с другими стратегиями. Такими стратегиями для
игрока А (игрока В) являются те, которым соответствуют строки
(столбцы) с элементами заведомо меньшими (большими) по сравнению
с элементами других строк (столбцов).
2) Определить верхнюю и нижнюю цены игры и проверить, имеет
ли игра седловую точку. Если седловая точка есть, то соответствующие
ей стратегии игроков будут оптимальными, а цена совпадает с верхней
(нижней) ценой.
3) Если седловая точка отсутствует, то решение следует искать в
смешанных стратегиях. Для игр размера m×n рекомендуется симплексный метод, для игр размера 2×2, 2×n, n×2 возможно геометрическое решение.
На практике реализация решения в смешанных стратегиях может
происходить несколькими путями. Первый состоит в физическом смешении чистых стратегий в пропорциях, заданных вероятностями pi.
Другой путь – при многократном повторении игры предполагает применение в каждой партии чистых стратегий в виде случайной последовательности, причем каждая из них – с частотой, равной ее вероятности в
оптимальном решении.
Однако существуют определенные границы применения аналитического инструментария теории игр. В следующих случаях он может
быть использован лишь при условии получения дополнительной информации.
Во-первых, это тот случай, когда у предприятий сложились разные
представления об игре, в которой они участвуют, или когда они недостаточно информированы о возможностях друг друга. Например, может
иметь место неясная информация о платежах конкурента (структуре издержек). Если неполнотой характеризуется не слишком сложная информация, то можно оперировать сопоставлением подобных случаев с учетом определенных различий.
Во-вторых, теорию игр трудно применять при множестве ситуаций равновесия. Эта проблема может возникнуть даже в ходе простых
игр с одновременным выбором стратегических решений.
В-третьих, если ситуация принятия стратегических решений
54
очень сложна, то игроки часто не могут выбрать лучшие для себя варианты. Например, на рынок в разные сроки могут вступить несколько
предприятий или реакция уже действующих там предприятий может
оказаться более сложной, нежели быть агрессивной или дружественной.
Экспериментально доказано, что при расширении игры до десяти
и более этапов игроки уже не в состоянии пользоваться соответствующими алгоритмами и продолжать игру с равновесными стратегиями.
 Важно помнить. Теория игр является очень сложной областью
знания. При обращении к ней надо соблюдать известную осторожность
и четко знать границы применения. Слишком простые толкования, принимаемые фирмой самостоятельно или с помощью консультантов, таят
в себе скрытую опасность. Анализ и консультации на основе теории игр
из-за их сложности рекомендуются лишь для особо важных проблемных
областей. Опыт фирм показывает, что использование соответствующего
инструментария предпочтительно при принятии однократных, принципиально важных плановых стратегических решений, в том числе при
подготовке крупных кооперационных договоров.
Пример решения задачи.
Швейная фабрика выпускает брюки и шорты, сбыт которых зависит от состояния погоды. Затраты фабрики на единицу продукции составили: брюки – 15 ден. ед., шорты – 10 ден. ед. Цена реализации:
брюки – 21 ден. ед., шорты – 14 ден. ед. Фабрика может реализовать
при теплой погоде 120 брюк и 300 шорт, а при прохладной погоде: 370
брюк и 100 шорт.
Составим платежную матрицу игры.
Таблица 2.6
Матрица выигрыша фабрики
Погода
Теплая
Холодная
Фабрика
a11
a12
Теплая
a 21
a 22
Холодная
Вычислим значения элементов матрицы:
a11 = 120*(21 – 15) + 300*(14 – 10) = 1920 – прибыль фабрики, если продукция выпущена по плану теплой погоды и погода оказалась
теплой;
a 22 = 370*(21 – 15) + 100*(14 – 10) = 2620 – прибыль фабрики, если продукция выпущена по плану холодной погоды и погода оказалась
холодной;
a12 = 120*(21 – 15) + 100*(14 – 10) – 200*10 = –880 – прибыль
фабрики, если продукция выпущена по плану теплой погоды, а погода
55
оказалась холодной;
a 21 = 120*(21 – 15) + 100*(14 – 10) – 250*15 = –2630 – прибыль
фабрики, если продукция выпущена по плану холодной погоды, а погода оказалась теплой.
Таким образом, платежная матрица данной игры имеет вид:
Таблица 2.7
Платежная матрица игры
Погода
Теплая
Холодная
Фабрика
Теплая
1920
-880
Холодная
-2630
2620
Обозначим: р1 – вероятность выбора фабрикой первой стратегии
(то есть производства продукции по плану теплой погоды), р2 – вероятность выбора фабрикой второй стратегии (то есть производства продукции по плану холодной погоды). Тогда:
(1920* р1 – 2630* р2) – прибыль фабрики, если погода будет теплой;
(–880* р1 + 2620* р2) – прибыль фабрики, если погода будет холодной.
Чтобы прибыль фабрики не зависела от погоды, надо найти такие
р1 и р2, что (1920* р1 – 2630* р2) = (–880* р1 + 2620* р2). Учитывая свойство вероятностей: р1 + р2 = 1, решаем уравнение.
1920* р1 – 2630*(1 – р1) = –880* р1 + 2620* (1 – р1)
Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем:
р1*(1920 + 2630 + 880 + 2620) = (2620 + 2630)
5250
p1 
 0,652 . Тогда р2 = 1–0,652 = 0,348.
8050
Тогда план выпуска продукции для фабрики должен составить:
количество брюк = 120*0,652 + 370*0,348 = 207 шт.;
количество шорт = 300*0,652 + 100*0,348 = 230 шт.
При таком плане производства фабрика гарантирует себе прибыль в
размере 1920*0,652 – 2630*0,348 = 337 ден.ед.
Задание для самостоятельной работы.
Применив методы теории игр, решить следующие экономические
задачи.
1. Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую можно сразу отправить к потребителю (А1), отправить на склад для
хранения (А2) или подвергнуть дополнительной обработке для длительного хранения (А3). Потребитель может приобрести продукцию немедленно (В1), в течение небольшого времени (В2) или после длительного
периода времени (В3).
56
В случае стратегии А2 и А3 предприятие несет дополнительные затраты на хранение и обработку продукции, которая не требуется для А1,
однако при А2 следует учесть возможные убытки из-за порчи продукции, если потребители выберут стратегии В2 и В3. Определить оптимальные пропорции выпуска продукции, руководствуясь минимаксным
критерием, при следующей матрице затрат.
Таблица 2.8
Платежная матрица игры
В1
В2
В3
α
А1
2
5
8
А2
7
6
10
А3
12
10
8
β
2. Швейная фабрика выпускает платья и костюмы, сбыт которых
зависит от состояния погоды. Затраты фабрики на единицу продукции
составили: платья – 8 ден. ед., костюмы – 27 ден. ед. Цена реализации:
платья – 17 ден. ед., костюмы – 48 ден. ед. Фабрика может реализовать
при теплой погоде 1975 платьев и 600 костюмов, а при прохладной погоде: 625 платьев и 1000 костюмов.
Максимизировать среднюю величину дохода от реализации продукции, учитывая капризы природы, т. е. составить такой план выпуска
продукции, при котором гарантированная минимально возможная величина средней прибыли была бы максимальной, независимо от погоды.
Что означают следующие термины и понятия?
Игра
Комбинаторная игра
Игроки
Стратегическая игра
Стратегия
Непрерывная игра
Ход
Матричная игра
Личный ход
Платежная матрица
Случайный ход
Решение игры
Функция выигрыша
Оптимальные стратегии
Парная игра
Максиминная стратегия
Множественная игра
Минимаксная стратегия
Игра с нулевой суммой
Устойчивость решения
Игра с постоянной разностью
Цена игры
Конечная игра
Верхняя цена игры
Бесконечная игра
Нижняя цена игры
Кооперативная игра
Чистая стратегия
Коалиционная игра
Смешанная стратегия
Бескоалиционная игра
Седловая точка
57
Теперь вы должны уметь:
o составлять экономико-математические модели задач, применяя
методы теории игр;
o решать матричные игры графическим методом;
o приводить задачи теории игр к задачам линейного программирования;
o определять, разрешима ли игра в чистых стратегиях;
o определять оптимальные смешанные стратегии для игроков, то
есть находить вероятности применения чистых стратегий;
o классифицировать игру;
o анализировать результаты решения игры;
o решать игру аналитическим способом, если в игре участвуют
только два игрока и у одного из них имеется только две стратегии.
Контрольные вопросы:
1. Понятие игры.
2. Какие проблемы решает теория игр (теория конфликтных ситуаций)?
3. Классификация игр.
4. Что значит решить игру?
5. Что такое платежная матрица?
6. Что называется чистой ценой игры?
7. Когда в игре существует седловая точка?
8. Геометрическая интерпретация игры.
9. Схема решения игры.
10. Понятие смешанных стратегий, когда они необходимы, как
применить их на практике.
11. Какие типы экономических задач сводятся к игровой модели?
3. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ
Теория графов тесно связана со многими направлениями математического моделирования. Особенно важная взаимосвязь существует
между теорией графов и исследованием операций, теорией игр, сетевым
планированием и управлением.
Граф – это конструкция из вершин и ребер. Вершины – это точки,
а ребра – соединяющие их линии. Ребра могут быть ориентированными
дугами. Граф называется Эйлеровым, если существует путь, позволяющий прийти в ту же вершину, из которой вышли, пройдя по каждому
ребру, только один раз. Граф называется Гамильтоновым, если существует путь, позволяющий обойти все вершины, заходя в каждую только
58
один раз. Деревом называется граф, любые две вершины которого соединены только одним ребром.
С помощью теории графов в детстве многие из вас решали задачу:
нарисовать домик, не отрывая ручки от бумаги, то есть рисовали Эйлеровый граф. Гамильтонов граф применяется курьерами, которым необходимо обойти несколько организаций, естественно, заходя в каждую
один раз, и они стремятся минимизировать свой общий путь – так называемая задача коммивояжера.
Пример решения задачи.
Сетевая задача, которая решается как транспортная.
Компания имеет восемь крупных оптовых складов. Отдел сбыта
принял решение значительно снизить цену одного дорогостоящего изделия с целью ликвидации образовавшегося запаса этих изделий. Руководство намерено разместить имеющиеся в наличии запасы на указанных восьми складах в соответствии с прогнозами сбыта в этих районах.
Таким образом, надо перераспределить некоторую часть запасов. Числа
у складов – это избыток или недостаток товара. Склады 2, 4, 5, 6, 7 –
промежуточные. Все другие склады – источники, если избыток товаров
и стоки – если требуется дополнительный запас. Сij – затраты на перевозку одного изделия со склада i на склад j.
–3
C23
2
C12
3
C43
0
+2
C25
1
4
C54
+10
5
0
C47
0
7
C45
C78
C67
8
–8
C56
6
–1
Рис. 3.1. Схема перевозок товаров между складами
Задание для самостоятельной работы. Составить экономикоматематическую модель транспортной задачи.
3.1. Сетевая модель и ее основные элементы
Аппарат сетевого планирования и управления – это совокупность
моделей и методов планирования и управления выполнением комплекса
работ, в основе которых лежит понятие сетевого графика или сетевой
59
модели. Под комплексом работ понимается любая задача или проблема,
для решения которой необходимо выполнить достаточно большое количество разнообразных работ.
Сетевая модель представляет собой план выполнения некоторого
комплекса взаимосвязанных работ (операций), заданного в форме сети,
изображение которой называется сетевым графиком.
Модели и методы СПУ предназначены для решения двух основных проблем:

формирование календарного плана реализации комплекса работ;

принятие эффективных решений в процессе выполнения этого
плана.
Главными элементами сетевой модели являются события и работы. События обозначаются вершинами графа, а работы ориентированными дугами.
Событие – это момент завершения какого-либо процесса, отражающий отдельный этап выполнения проекта. Предполагается, что событие не имеет продолжительности и свершается как бы мгновенно. Среди
событий сетевой модели выделяют исходное (начальное) – не имеет
предшествующих работ и событий, завершающее (конечное) – не имеет
последующих работ и событий.
Работа может быть трех видов: действительная работа – протяженный во времени процесс, требующий затрат ресурсов; ожидание –
протяженный во времени процесс, не требующий затрат труда; фиктивная работа (зависимость) – логическая связь между двумя или несколькими работами, не требующими затрат труда, материальных ресурсов и
времени.
Путь – любая последовательность работ, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за
ней работы. Полный путь (L) – любой путь, начало которого совпадает с
исходным событием сети, а конец – с завершающим. Наиболее продолжительный полный путь в сетевом графике называется критическим.
Критическими называются также работы и события, расположенные на
этом пути. Длина критического пути называется критическим временем
(сроком) сетевого графика (Ткр). Критическое время – это наименьшее
время выполнения всего комплекса работ. Сетевой график может иметь
несколько различных критических путей, но все они имеют одну и ту же
длину.
60
3.2. Правила построения сетевых графиков
При построении сетевого графика необходимо соблюдать ряд правил.
1. В сетевой модели не должно быть «тупиковых» событий, то
есть событий, из которых не выходит ни одна работа, за исключением
завершающего события.
2. В сетевом графике не должно быть «хвостовых» событий, то
есть событий, которым не предшествует хотя бы одна работа, за исключением исходного.
3. В сети не должно быть замкнутых контуров и петель, то есть
путей, соединяющих некоторые события с ними же самими.
4. Любые два события должны быть непосредственно связаны не
более чем одной работой.
5. В сети рекомендуется иметь одно исходное и одно завершающее событие.
6. Сетевой график должен быть упорядочен. То есть события и работы должны располагаться так, чтобы для любой работы предшествующее ей событие было расположено левее и имело меньший номер по
сравнению с завершающим эту работу событием.
Построение сетевого графика начинается с изображения начального события, которое обозначается цифрой 1 и обводится кружком. Из
начального события выпускают стрелки, соответствующие работам, которым не предшествуют какие-либо другие работы. По определению,
момент завершения работы является событием. Поэтому каждая стрелка
завершается кружком – событием, в котором проставляется номер этого
события. Нумерация событий произвольная. На следующем этапе построения изображаем работы, которым предшествуют уже нарисованные работы (то есть которые опираются на уже построенные работы) и
т. д. На следующем этапе отражаем логические взаимосвязи между работами и определяем конечное событие сетевого графика, на которое не
опираются никакие работы. Построение закончено, далее необходимо
провести упорядочение сетевого графика.
Простой метод упорядочения сетевого графика основан на понятии ранга события:

все события сетевого графика подразделяются на ранги,

к одному рангу может относиться несколько событий,

нумерация событий производится в соответствии с принадлежностью к тому или иному рангу,

чем выше ранг, тем больший номер имеет событие,
61

внутри одного ранга нумерация событий произвольная.
Начальное событие относим к нулевому рангу и перечеркиваем одной чертой все работы, выходящие из этого события. К первому рангу
относим те события, которые не имеют входящих неперечеркнутых
стрелок. Далее перечеркиваем двумя чертами работы, выходящие из событий первого ранга. Ко второму рангу относим те события, которые не
имеют входящих неперечеркнутых стрелок и т.д.
3.3. Временные параметры сетевых графиков
Параметры событий:
• ранний (ожидаемый) срок tp(i) свершения i-го события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:
t p  j   max t p i   t  j, i  ;
i, j


• поздний (предельный) срок tп(i) свершения i-го события равен:
t п i   min t п  j   t i, j ;
i, j
• резерв времени R(i) i-го события определяется как разность между
поздним и ранним сроками его свершения:
Ri   tп i   t p i  .
Резерв времени показывает, на какой допустимый период времени
можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ. Ранний срок наступления
завершающего события сети равен длине критического пути. Критические события резервов времени не имеют. События с нулевыми резервами времени определяют топологию критического пути.
Параметры работ:
• ранний срок tрн(i,j) начала работы (i,j) совпадает с ранним сроком
наступления начального (предшествующего) события i :
t pн i, j  t р i  ;
• ранний срок tро(i,j) окончания работы (i,j) определяется по формуле:
t pо i, j  t р i   t i, j  ;
• поздний срок tпо(i,j) окончания работы (i,j) совпадает с поздним
сроком конечного события:
tпо i, j  t п  j  ;
• поздний срок tпн(i,j) начала работы (i,j) определяется по формуле:
tпн i, j  t п i   t i, j  .
62
Резерв времени пути R(L) определяется как разность между длиной критического и рассматриваемого пути: R(L)=tкр – t(L).
Полный резерв времени Rп (i,j) работы (i,j) показывает, на сколько
можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что
срок выполнения комплекса работ не изменится:
Rп(i,j) = tп(j) – tp(i) – t(i,j).
 Важно помнить. Работы, лежащие на критическом пути, резервов не имеют.
Пример решения задачи. Для заданного сетевого графика рассчитать все параметры событий и работ, определить критический путь и
его длину.
3
7
2
8
9
0
4
6
8
1
5
4
3
4 10
3
8
9
7
11
6
6
13
13
10
5
13
9
8
10
17
6
4
9
6
5
Рис. 3.2. Сетевой график
Расчет временных параметров событий удобно представить в таблице.
Таблица 3.1
Номер события
0
Параметры событий сетевого графика
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ранний
срок tр(i)
0
8
17
13
23
20
29
33
37
42
48
61
Поздний
срок tп(i)
0
9
40
13
26
20
29
43
38
42
48
61
Резерв
времени
R(i)
0
1
23
0
3
0
0
10
1
0
0
0
63
10
11
Критический путь образуют следующие события:
0  3  5  6  9  10  11. Топологию критического пути определяют события, резерв времени которых равен нулю. Его продолжительность составляет 61 день (ранний срок свершения последнего события).
Для определения временных параметров работ также используем
таблицу, в которую сведем результаты вычислений. Расчеты проводим
с помощью приведенных выше формул.
Таблица 3.2
Параметры работ сетевого графика
№
Работа
(i,j)
Продолжительность работы (i,j)
1
(0, 1)
2
Сроки начала и окончания работы
Резерв
времени
Rп(i,j)
tрн(i,j)
tро(i,j)
tпн(i,j)
tпо(i,j)
8
0
8
1
9
1
(0, 3)
13
0
13
0
13
0
3
(0, 5)
9
0
9
11
20
11
4
(1, 2)
9
8
17
31
40
23
5
(1, 4)
6
8
14
20
26
12
6
(1, 3)
4
8
12
9
13
1
7
(2, 7)
3
17
20
40
43
23
8
(3, 4)
10
13
23
16
26
3
9
(3, 5)
7
13
20
13
20
0
10
(3, 6)
6
13
19
23
29
10
11
(4, 7)
8
23
31
35
43
12
12
(4, 6)
3
23
26
26
29
3
13
(5, 6)
9
20
29
20
29
0
14
(5, 8)
10
20
30
28
38
8
15
(5, 9)
6
20
26
36
42
16
16
(6, 7)
4
29
33
39
43
10
64
Продолжение таблицы 3.2
17
(6, 10)
5
29
34
43
48
14
18
(6, 9)
13
29
42
29
42
0
19
(6, 8)
8
29
37
30
38
1
20
(7, 10)
5
33
38
43
48
10
21
(8, 9)
4
37
41
38
42
1
22
(9, 10)
6
42
48
42
48
0
23
(9, 11)
17
42
59
44
61
2
24
(10, 11)
13
48
61
48
61
0
3.4. Сетевое планирование в условиях неопределенности
При определении временных параметров сетевой модели до сих
пор предполагалось, что время выполнения каждой работы точно известно. На практике, чаще всего, продолжительность работы по сетевому графику заранее неизвестна и может принимать лишь одно из ряда
возможных значений. То есть продолжительность работы t(i,j) является
случайной величиной, характеризующейся своими числовыми характеристиками – средним значением (математическим ожиданием) t (i, j ) и
дисперсией  2 (i, j ) . Для определения этих числовых характеристик на
основании опроса ответственных исполнителей проекта и экспертов
определяют три временные оценки:
a) оптимистическую оценку to (i, j ) , то есть продолжительность
работы (i,j) при самых благоприятных условиях;
b) пессимистическую оценку t п (i, j ) , то есть продолжительность
работы (i,j) при самых неблагоприятных условиях;
c) наиболее вероятную оценку t нв (i, j ) , то есть продолжительность
работы (i,j) при нормальных условиях.
На основании этих временных оценок вычисляем числовые характеристики:
2
to (i, j )  4  tнв (i, j )  tп (i, j )
 t п (i, j )  t o (i, j ) 
2
,
t (i, j ) 
 (i, j )  
 ,
6
6


или упрощенная (и менее точная) формула
65
2  to (i, j )  3  tп (i, j )
.
5
Зная t (i, j ) и  2 (i, j ) , можно определить все временные параметры
сетевого графика, так же как и в случае с фиксированными продолжительностями работ, но теперь эти параметры будут являться средними
значениями соответствующих случайных величин. Поэтому предварительный анализ сетей со случайными продолжительностями работ, как
правило, не ограничивается расчетами временных параметров. Очень
важным моментом анализа становится оценка вероятности того, что
срок выполнения проекта tкр не превзойдет заданного директивного срока Т.
 T  t кр 
1
,
Ptкр  T    Ф

2

 кр 
где Ф(х) – функция Лапласа, ее значения табулированы, эта функция
нечетная, то есть Ф(–х) = – Ф(х);  кр   кр2 – среднее квадратическое
t (i, j ) 
отклонение длины критического пути.
В некоторых случаях представляет интерес решение обратной задачи: определение максимального срока выполнения проекта Т, который
возможен с заданной надежностью (вероятностью) β. В этом случае
необходимо применить формулу
T  t кр  z   кр ,
где
Фz   
.
2
Пример решения задачи. Для заданного ранее сетевого графика
определить вероятность того, что проект будет выполнен в срок Т = 63
суткам, если  кр  4,1 . Оценить максимально возможный срок Т выполнения проекта с надежностью β=0,95.
1
 63  61 
Ptкр  63   Ф
  0.5  Ф0,49   0,5  0,1879  0,69 ,
2
 4.1 
то есть с вероятностью 0,69 проект будет выполнен за 63 дня.
Для обратной задачи:
0.95
Т  61
Pt кр  T  
 0.475  ФТ    Т   1,96 

2
4,1
 Т  1,96  4,1  61  69
То есть с надежностью 0,95 срок выполнения проекта не превысит 69
суток.
66
3.5. Коэффициент напряженности
Величина полного резерва времени далеко не всегда может достаточно точно характеризовать, насколько напряженным является выполнение той или иной работы некритического пути. Все зависит от того,
на какую продолжительность работ распространяется вычисленный резерв, какова продолжительность этой последовательности. Определить
степень трудности выполнения в срок каждой группы работ некритического пути можно с помощью коэффициента напряженности работ.
Коэффициентом напряженности Кн работы (i,j) называется отношение продолжительности несовпадающих (заключенных между одними и теми же событиями) отрезков пути, одним из которых является
путь максимальной продолжительности, проходящий через данную работу, а другим – критический путь:

t Lmax   t кр
К н i, j  
,

t кр  t кр
где t Lmax  – продолжительность максимального пути, проходящего через работу (i,j);
t кр – продолжительность (длина) критического пути;
 – продолжительность отрезка рассматриваемого пути, совпаt кр
дающего с критическим путем.
Данную формулу можно привести к виду:
R i, j 
,
К н i, j   1  п

t кр  t кр
где Rп i, j  – полный резерв времени работы (i,j).
 Важно помнить. Коэффициент напряженности может изменяться в пределах от 0 до 1.
Коэффициент напряженности равен 0 для работ, у которых отрезки максимального из путей, не совпадающие с критическим путем, состоят из фиктивных работ нулевой продолжительности, и равен 1 для
работ критического пути.
Пример решения задачи. Для заданного ранее сетевого графика
найти коэффициент напряженности работы (1,4) и работы (3,5).
Так как работа (3,5) лежит на критическом пути, то ее коэффициент напряженности равен 1: К н 3,5  1.
Коэффициент напряженности работы (1,4) вычислим двумя способами.
67
Ранее было установлено, что продолжительность критического
пути равна 61 суткам. А максимальный путь, проходящий через работу
(1,4), имеет следующую топологию: 0  1  4  6  9  10  11 и
продолжительность 49 суток. Этот путь совпадает с критическим на отрезке 6  9  10  11, продолжительность которого 32 суток. Подставляя эти значения в формулу, получим:

t Lmax   t кр
49  32 17
К н 1,4 


 0,59 .

t кр  t кр
61  32 29
По другой формуле полный резерв работы (1,4) равен Rп 1,4  12 ,
следовательно
12
12 17
К н 1,4  1 
1

 0,59 .
61  32
29 29
То есть в обоих случаях результат, естественно, получился одинаковым.
Задание для самостоятельной работы.
Для заданного сетевого графика найти:
• параметры событий (ранний срок свершения, поздний срок свершения и резерв времени);
• параметры работ (ранний срок начала работы, поздний срок начала работы, ранний срок окончания работы и полный резерв времени);
• вероятность того, что проект будет выполнен в срок, равный 27
суткам t крит  27 ;
• максимальный срок выполнения проекта с вероятностью 0,9;
• коэффициент напряженности работы (4,5) и работы (3,7).
Дано, что  крит  3,2 .
7
2
3
7
4
2
3
9
1
5
2
10
5
4
3
1
5
Рис. 3.3. Сетевой график
68
8
6
9
Оптимизация сетевого графика представляет процесс улучшения
организации выполнения комплекса работ с учетом срока его выполнения. Оптимизация проводится с целью сокращения длины критического
пути, выравнивания коэффициентов напряженности работ, рационального использования ресурсов.
В первую очередь принимаются меры по сокращению продолжительности работ, находящихся на критическом пути. Это достигается:
• перераспределением всех видов ресурсов, как временных (использование резервов времени некритических путей), так и трудовых, материальных, энергетических (например, перевод части исполнителей, оборудования с некритических путей на работы критического пути); при
этом перераспределение ресурсов должно идти, как правило, из зон, менее напряженных, в зоны, объединяющие наиболее напряженные работы;
• сокращением трудоемкости критических работ за счет передачи
части работ на другие пути, имеющие резервы времени;
• параллельным выполнением работ критического пути; пересмотром топологии сети, изменением состава работ и структуры сети.
В процессе сокращения продолжительности работ критический
путь может измениться. В дальнейшем процесс оптимизации будет
направлен на сокращение продолжительности работ нового критического пути, и так будет продолжаться до получения удовлетворительного
результата. В идеале длина любого из полных путей может стать равной
длине критического пути или, по крайней мере, пути критической зоны.
Тогда все работы будут вестись с равным напряжением, а срок завершения проекта существенно сократится.
Весьма эффективным является использование метода статистического моделирования, основанного на многократных последовательных изменениях продолжительности работ (в заданных пределах)
и "проигрывании" на компьютере различных вариантов сетевого графика с расчетами всех его временных параметров и коэффициентов напряженности работ. Процесс «проигрывания» продолжается до тех пор, пока не будет получен приемлемый вариант плана или пока не будет установлено, что все имеющиеся возможности улучшения плана исчерпаны
и поставленные перед разработчиком проекта условия невыполнимы.
На практике при попытках эффективного улучшения составленного плана неизбежно введение дополнительно к оценкам сроков фактора
стоимости работ.
Оптимизация сетевого графика в зависимости от полноты решаемых задач может быть условно разделена на частную и комплексную. Видами частной оптимизации сетевого графика являются:
69
минимизация времени выполнения комплекса работ при заданной его
стоимости; минимизация стоимости комплекса работ при заданном времени выполнения проекта. Комплексная оптимизация представляет собой нахождение оптимального соотношения величин стоимости и сроков выполнения проекта в зависимости от конкретных целей, ставящихся при его реализации.
При линейной зависимости стоимости работ от их продолжительности задача построения оптимально сетевого графика может быть
сформулирована как задача линейного программирования, в которой
необходимо минимизировать стоимость выполнения проекта при двух
группах ограничений. Первая группа ограничений показывает, что продолжительность каждой работы должна находиться в указанных пределах. Вторая группа ограничений требует, чтобы продолжительность любого полного пути сетевого графика не превышала установленного директивного срока выполнения проекта.
Задание для самостоятельной работы.
Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения,
а также стоимость строительно-монтажных работ при нормальном и
ускоренном режиме их выполнения приведены в следующей таблице.
Таблица 3.3
Условие задачи
Имя работы
A
B
C
D
E
F
G
H
K
L
Опирается
на работу
C,G E, F
A,H
A,H
C,G
L
L
Нормальный
срок (дни)
10
12
29
19
10
20
10
18
37
10
Ускоренный
срок (дни)
Нормальная
стоимость
(тыс. руб.)
Плата
за
ускорение
(тыс. руб.)
9
10
27
16
9
17
9
16
33
9
26
32
40
43
26
45
26
41
68
26
2
6
8
12
2
6
3
6
12
4
70
Требуется:
1. С учетом технологической последовательности работ построить
сетевой график выполнения этих работ.
2. Рассчитать временные характеристики сетевого графика при
нормальном режиме выполнения работ.
3. Найти все критические пути и их продолжительность, определить стоимость всего комплекса работ.
4. Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ
при сокращении сроков строительства на 4 дня. В какую итоговую
сумму обойдется фирме ускоренная стройка павильона?
Что означают следующие термины и понятия?
Граф
Полный путь
Вершины
Критический путь
Ребра
Ранний срок свершения события
Гамильтоновый граф
Поздний срок свершения события
Эйлеговый граф
Резерв времени события
Дерево
Ранний срок начала работы
Сетевая модель
Поздний срок начала работы
Событие
Ранний срок окончания работы
Исходное событие
Поздний срок окончания работы
Завершающее событие
Резерв времени работы
Действительная работа
Резерв времени пути
Ожидание
Коэффициент напряженности работы
Фиктивная работа
Частная оптимизация
Путь
Комплексная оптимизация
Теперь вы должны уметь:
o с учетом технологической последовательности работ строить сетевой график выполнения этих работ;
o рассчитывать временные характеристики сетевого графика (событий и работ);
o находить критические пути и их продолжительность;
o определять стратегию минимального удорожания комплекса работ
при сокращении сроков;
o определять коэффициенты напряженности работ;
o оценивать вероятность того, что срок выполнения проекта tкр не
превзойдет заданного директивного срока Т;
o определять максимальный срок выполнения проекта Т, который
возможен с заданной надежностью (вероятностью) β.
71
Контрольные вопросы:
1. Основные элементы сетевой модели.
2. Правила построения сетевых графиков.
3. Понятие ранга события.
4. Временные параметры событий.
5. Временные параметры работ.
6. Сетевое планирование в условиях неопределенности.
7. Коэффициент напряженности работы: что показывает и как
определяется?
8. В чем суть оптимизации сетевого графика?
4. СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
4.1. Структура и классификация систем массового обслуживания
Нередко возникает необходимость в решении вероятностных задач, связанных с системами массового обслуживания (СМО), примерами которых могут быть:
• Билетные кассы;
• Ремонтные мастерские;
• Торговые, транспортные, энергетические системы;
• Системы связи;
• и т.д.
Общность таких систем выявляется в единстве математических
методов и моделей, применяемых при исследовании их деятельности.
Рис. 4.1. Основные сферы применения ТМО
72
На вход в СМО поступает поток требований на обслуживание.
Например, клиенты или пациенты, поломки в оборудовании, телефонные вызовы. Требования поступают нерегулярно, в случайные моменты
времени. Случайный характер носит и продолжительность обслуживания. Это создает нерегулярность в работе СМО, служит причиной ее перегрузок и недогрузок.
Системы массового обслуживания обладают различной структурой, но обычно в них можно выделить четыре основных элемента:
1.
Входящий поток требований.
2.
Накопитель (очередь).
3.
Приборы (каналы обслуживания).
4.
Выходящий поток.
Рис. 4.2. Общая схема систем массового обслуживания
Рис. 4.3. Модель работы системы
(стрелками показаны моменты поступления требований в
систему, прямоугольниками – время обслуживания)
73
На рис.4.3 а представлена модель работы системы с регулярным
потоком требований. Поскольку известен промежуток между поступлениями требований, то время обслуживания выбрано так, чтобы полностью загрузить систему. Для системы со стохастическим потоком требований ситуация совершенно иная – требования приходят в различные
моменты времени и время обслуживания тоже является случайной величиной, которое может быть описано неким законом распределения
(рис.4.3 б).
В зависимости от правил образования очереди различают следующие СМО:
1) системы с отказами, в которых при занятости всех каналов
обслуживания заявка покидает систему необслуженной;
2) системы с неограниченной очередью, в которых заявка встает
в очередь, если в момент ее поступления все каналы обслуживания были
заняты;
3) системы с ожиданием и ограниченной очередью, в которых
время ожидания ограниченно какими-либо условиями или существуют
ограничения на число заявок, стоящих в очереди.
Рассмотрим характеристики входящего потока требований.
Поток требований называется стационарным, если вероятность
попадания того или иного числа событий на участок времени определенной длины зависит только от длины этого участка.
Поток событий называется потоком без последствий, если число
событий, попадающих на некоторый участок времени, не зависит от
числа событий, попадающих на другие.
Поток событий называется ординарным, если невозможно одновременное поступление двух или более событий.
Поток требований называется пуассоновским (или простейшим),
если он обладает тремя свойствами: стационарен, ординарен и не имеет
последствий. Название связано с тем, что при выполнении указанных
условий число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределен по закону Пуассона.
Интенсивностью потока заявок λ называется среднее число заявок, поступающих из потока за единицу времени.
Для стационарного потока интенсивность постоянна. Если τ –
среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками,
1
то   . В случае пуассоновского потока вероятность поступления на

обслуживание m заявок за промежуток времени t определяется по закону Пуассона:
74
(  t ) m  t
Pm (t ) 
e .
m!
Время между соседними заявками распределено по экспоненциальному закону с плотностью вероятности f (t )  e  t .
Время обслуживания tобсл является случайной величиной и подчиняется показательному закону распределения с плотностью вероятности f (t )  et , где μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. сред1
нее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, tобсл  .

Отношение интенсивности входящего потока к интенсивности по
тока обслуживания называется загрузкой системы   .

Загрузка – это среднее число заявок, приходящих за среднее время
обслуживания одной заявки.
4.2. Марковский процесс
Система массового обслуживания представляет собой систему
дискретного типа с конечным или счетным множеством состояний, а
переход системы из одного состояния в другое происходит скачком, когда осуществляется какое-нибудь событие.
Процесс называется процессом с дискретными состояниями,
если его возможные состояния S1, S2 , S3 ,... можно заранее перенумеровать, и переход системы из состояния в состояние происходит практически мгновенно.
Такие процессы бывают двух типов: с дискретным или непрерывным временем.
В случае дискретного времени переходы из состояния в состояние
могут происходить в строго определенные моменты времени. Процессы
с непрерывным временем отличаются тем, что переход системы в новое
состояние возможен в любой момент времени.
Случайным процессом называется соответствие, при котором
каждому значению аргумента (в данном случае – моменту из промежутка времени проводимого опыта) ставится в соответствие случайная величина (в данном случае – состояние СМО). Случайной величиной
называется величина, которая в результате опыта может принять одно,
но неизвестное заранее, какое именно, числовое значение из данного
числового множества.
75
Поэтому для решения задач теории массового обслуживания
необходимо этот случайный процесс изучить, т.е. построить и проанализировать его математическую модель.
Случайный процесс называется марковским, если для любого
момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем
зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.
Переходы системы из состояния в состояние происходит под действием каких-то потоков (поток заявок, поток отказов). Если все потоки
событий, приводящие систему в новое состояние, – простейшие пуассоновские, то процесс, протекающий в системе, будет марковским, так как
простейший поток не обладает последствием: в нем будущее не зависит
от прошлого.
Пример марковского процесса: система S – счетчик в такси. Состояние системы в момент t характеризуется числом километров (десятых долей километров), пройденных автомобилем до данного момента.
Пусть в момент t0 счетчик показывает S 0 . Вероятность того, что в момент t  t0 счетчик покажет то или иное число километров (точнее, со-
ответствующее число рублей) S1 , зависит от S 0 , но не зависит от того,
в какие моменты времени изменялись показания счетчика до момента
t0 .
Многие процессы можно приближенно считать марковскими.
Например, процесс игры в шахматы: система S – группа шахматных
фигур. Состояние системы характеризуется числом фигур противника,
сохранившихся на доске в момент t0 . Вероятность того, что в момент
t  t0 материальный перевес будет на стороне одного из противников,
зависит в первую очередь от того, в каком состоянии находится система
в данный момент t0 , а не от того, когда и в какой последовательности
исчезли фигуры с доски до момента t0 .
4.3.
Системы массового обслуживания с отказами
В системах с отказами заявка, поступившая в момент, когда все
каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем в процессе обслуживания не участвует.
Имеется n каналов в обслуживании, на которые поступает поток
заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживания имеет интенсивность μ
76
(величина, обратная среднему времени обслуживания tобсл ). Требуется
найти вероятности состояний СМО и характеристики ее эффективности.
Так как оба потока – заявок и освобождений – простейшие, процесс, протекающий в системе, будет марковским. Рассмотрим ее как систему с конечным множеством состояний:
S0  свободны все каналы;
S1  занят ровно один канал;
…
Sk  заняты k каналов;
…
Sn  заняты все n каналов/
Через Pk (t ) обозначим вероятность того, что в момент времени t
система будет находиться в состоянии S k .
Простейшие задачи для систем массового обслуживания с отказами были впервые решены А.К. Эрлангом. Им же были выведены формулы оценки функционирования этих систем при условии поступления
простейшего потока заявок и для показательного закона распределения
времени обслуживания.
Для установившегося процесса обслуживания при этих условиях
Эрланг получил следующие зависимости.
 Вероятность того, что обслуживанием заняты k аппаратов (линий, приборов и т.п.):
k
(4.1)
Pk  k! k , 0  k  n ,
n 

k  0 k!

где   , k – количество занятых аппаратов,

λ – интенсивность потока заявок,
μ – интенсивность потока обслуживания.
Частные случаи:
 Вероятность простоя (того, что все обслуживающие аппараты
свободны, нет заявок):
1
(4.2)
P0 
,
n k

k  0 k!
77
 Вероятность отказа (вероятность того, что все обслуживающие
приборы заняты):
n
P
(4.3)
Pотк  Pn  n! k  n 0 .
n 
n!

k  0 k!
Отсюда находим относительную пропускную способность, т.е.
среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой, – вероятность того, что заявка будет обслужена:
P
(4.4)
Pобсл  1  Pотк  1  n 0 .
n!
Абсолютную пропускную способность, т.е. среднее число заявок,
обслуживаемых в единицу времени, получим, умножив интенсивность
потока заявок на относительную пропускную способность:
A  Pобсл.
Абсолютная пропускная способность – это интенсивность потока
обслуженных системой заявок, а каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем μ заявок. Значит, среднее число занятых
каналов равно
A
(4.5)
k   Pобсл.

Доля каналов, занятых обслуживанием (коэффициент загрузки):
k
q .
(4.6)
n
Пример решения задачи.
На вход трехканальной СМО с отказами поступает поток заявок с
интенсивностью λ = 4 заявки в минуту. Время обслуживания заявки од1
ним каналом tобсл   0.5 мин.

Найти показатели эффективности работы системы.
Решение.
Находим вероятность простоя трехканальной СМО по формуле (4.2):
 4
    2 - загрузка системы (среднее число заявок, приходя 2
щих за среднее время обслуживания одной заявки).
n  3.
78
1
 0,158 .
4 19
2 2
2
1 2  2 
1 

3
3
1! 2! 3!
Вероятность отказа определяем по формуле (4.3):
P
0.158
Pотк   n 0  2 3
 0,21.
n!
3!
Относительная пропускная способность системы:
P
Pобсл  1  Pотк  1   n 0  1  0,21  0,79.
n!
Абсолютная пропускная способность системы (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):
A  Pобсл.  4  0,79  3,16.
Среднее число занятых каналов (в ед. времени) определяем по
формуле (4.5):
A
k   Pобсл.  2  0,79  1,58.
P0 
1
2
3

1


Доля каналов, занятых обслуживанием (формула (4.6)):
k 1.58
q 
 0,53.
n
3
Среднее время пребывания заявки в СМО находим как вероятность того, что заявка принимается к обслуживанию, умноженную на
среднее время обслуживания:
tСМО  0,79  0,5  0,395 мин.
4.4.
Системы массового обслуживания
с неограниченным ожиданием
Пусть имеется n-канальная СМО с очередью, на которую не наложено ограничений ни по длине очереди, ни по времени ожидания. В силу неограниченности очереди каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому
Pобсл  1,
Pотк  0.
Для СМО с неограниченной очередью накладывается ограничение

 1.
n
Если это условие нарушено, то очередь растет до бесконечности,
наступает явление «взрыва».
79
 Вероятность простоя (того, что все обслуживающие аппараты свободны, нет заявок):
1
(4.7)
P0 
,
n k
n 1
 k!  n!(n  )
k 0
 Вероятность занятости обслуживанием k каналов:
P
(4.8)
Pk  k 0 , 1  k  n.
n!
 Вероятность занятости обслуживанием всех каналов при
отсутствии очереди:
P
(4.9)
Pn  n 0 .
n!
 Вероятность наличия очереди есть вероятность того, что число требований в системе больше числа каналов:
P0
(4.10)
Pоч  n 1
.
n!(n  )
 Вероятность для заявки попасть в очередь есть вероятность
занятости всех каналов, эта вероятность равна сумме вероятностей
наличия очереди и занятости всех n каналов при отсутствии очереди:
P0
(4.11)
Pзан  Pп  Pоч  n
.
(n  1)!(n  )
 Среднее число занятых обслуживанием каналов:

(4.12)
k   .

 Доля каналов, занятых обслуживанием:
k
(4.13)
q .
n
 Среднее число заявок в очереди (длина очереди)
P0
(4.14)
L  n 1
.
(n  1)!(n  )2
 Среднее число заявок в системе
M  L  k  L  .
(4.15)
 Среднее время ожидания заявки в очереди
L
(4.16)
t .

 Среднее время пребывания заявки в системе
80
1
M
(4.17)
T t  , T  .


Пример решения задачи.
На вход трехканальной СМО с неограниченной очередью поступает поток заявок с интенсивностью λ = 4 заявки в минуту. Среднее
1
время обслуживания заявки tобсл   0.5 ч.

Найти показатели эффективности работы системы.
Решение
Для рассматриваемой системы
1

 2
n  3,   4,  
 2,    2,
  1.
0.5

n 3
Определяем вероятность простоя по формуле (4.7):
P0 
1
n

k

n 1
 k!  n!(n  )
 2 2 2 23
24 

 1  
 

 1! 2! 3! 3!3  2  
1
1
 .
9
k 0
Среднее число заявок в очереди находим по формуле (4.14):
1
P0
8
4
9
L   n 1

2

.
(n  1)!(n  ) 2
2!(3  2) 2 9
Среднее время ожидания заявки в очереди считаем по формуле
(4.16):
8
L
2
t 9
  0,22 ч.
4

9
Среднее время пребывания заявки в системе
1 2 1 13
T  t      0,72 ч.
 9 2 18
4.5. Системы массового обслуживания
с ожиданием и ограниченной длинной очереди
Имеется n-канальная СМО с ожиданием, в которой количество заявок, стоящих в очереди, ограничено числом m, т.е. заявка, заставшая
все каналы занятыми, становится в очередь, только если в ней находится
менее m заявок.
Если число заявок в очереди равно m, то последняя прибывшая за81
явка в очередь не становится и покидает систему необслуженной.
Системы с ограниченной очередью являются обобщением двух
рассмотренных ранее СМО: при m = 0 получаем СМО с отказами, при m
=  получаем СМО с ожиданием.
 Вероятность простоя (того, что все обслуживающие аппараты свободны, нет заявок):
1
(4.18)
P0 
,
m
n k

n 1     
 k!  n!(n  ) 1   n  
k 0


 Вероятность отказа в обслуживании равна вероятности
Pn  m того, что в очереди уже стоят m заявок:
P
(4.19)
Pотк  Pnm   nm 0m .
n!n
 Относительная пропускная способность есть величина, дополняющая вероятность отказа до 1, т.е. вероятность обслуживания:
Pобсл  1  Pотк .
(4.20)
 Абсолютная пропускная способность определяется равенством:
A   1  Pотк   Pобсл .
(4.21)
 Среднее число занятых обслуживанием каналов:
A
(4.22)
k   Pобсл .


Среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди)
m 1
m2 



n 

 P0  m  1 
 m 
n

n
n

.
(4.23)
L
 2

n! n  
n

 Среднее время ожидания обслуживания в очереди
L
(4.24)
t .

 Среднее число заявок в системе
(4.25)
M  L  k.
 Среднее время пребывания заявки в системе
1
M
T t  , T  .
(4.26)


82
Пример решения задачи.
В парикмахерской работают 3 мастера, в зале ожидания расположено 3 стула. Поток клиентов имеет интенсивность λ = 12 клиентов в
1
час. Среднее время обслуживания заявки t обсл   20 мин. Определить

относительную и абсолютную пропускную способность системы, среднее число занятых кресел, среднюю длину очереди, среднее время, которое клиент проводит в парикмахерской.
Решение
Для данной задачи

 4
n  3, m  3,   12,   3,    4,
 .

n 3
Определяем вероятность простоя по формуле (4.18):
1
P0 

m
n 1
n k



 k!  n!(n   ) 1   n  
k 0
   
1

 0,012 .
2
3
4
3


 
4
4
4
1   4  
1 4 


2
3! 3!(3  4)   33  
Вероятность отказа в обслуживании определим по формуле (4.19)
P
0.012
Pотк  Pn m   n m 0m  4 33
 0,307 .
n!n
3!33
Относительная пропускная способность, т.е. вероятность обслуживания:
Pобсл  1  Pотк  1  0,307  0,693 .
Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):
A  Pобсл  12  0,693  8,32.
Среднее число занятых обслуживанием каналов (парикмахеров):
A 8.32
k 
 2,78.

3
Среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди)
83
m 1
m 2 





 P0
 m  1 
 m 
n

n
n


L


n! n   2
n

n
4
5
4
4
4




4  0.012    4     3    
3
3
 3  


 1,56.
2
 4
3!1  
 3
Среднее время ожидания обслуживания в очереди
L 1.56
t 
 0,13 ч.
 12
Среднее число заявок в системе
M  L  k  1,56  2,78  4,34 .
Среднее время пребывания заявки в системе
M 4.34
T

 0,36 ч.

12
3
4.6.
Замкнутые системы массового обслуживания
До сих пор мы рассматривали системы, в которых входящий поток
никак не связан с выходящим. Такие системы называются разомкнутыми. В некоторых же случаях обслуженные требования после задержки опять поступают на вход. Такие СМО называются замкнутыми.
Примеры:
 Поликлиника, обслуживающая данную территорию.
 Бригада рабочих, закрепленная за группой станков.
В замкнутых СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных требований. Пока потенциальное требование не реализовалось в качестве требования на обслуживание, считается, что оно находится в блоке задержки.
В момент реализации оно поступает в саму систему. Например,
рабочие обслуживают группу станков. Каждый станок является потенциальным требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке задержки, а с момента
поломки до момента окончания ремонта – в самой системе. Каждый работник является каналом обслуживания.
84
Пусть n – число каналов обслуживания, s – число потенциальных
заявок, n  s , λ –интенсивность потока заявок каждого потенциального

требования,  – интенсивность обслуживания,   . . Поток

 Вероятность простоя (того, что все обслуживающие аппараты свободны, нет заявок):
1
(4.27)
P0 
.
k
k
s
 n




s! 
 
k n 
(
s

k
)!
k
!
(
s

k
)!
n
n
!
k  n 1
 k 0


Финальные вероятности состояний системы
s!k P0
Pk 
, k  n,
( s  k )!k!
(4.28)
s!k P0
Pk 
, n  k  s.
( s  k )!n k  n n!
Через эти вероятности выражается среднее число замкнутых каналов:
k  P1  2P2  ...  n( Pn  Pn1  ...  Ps ) или
(4.29)
k  P1  2P2  ...  (n  1) Pn1  n(1  P0  P1  ...  Pn1).
Через k находим абсолютную пропускную способность системы
A  k,
(4.30)
а также среднее число заявок в системе
k
k
(4.31)
M s
s .


Пример решения задачи.
Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок отказывает с интенсивностью λ = 0,5 отказа в час. Среднее время ремонта
1
t рем   0,8 ч. Определить пропускную способность системы.

Решение
Эта задача рассматривает замкнутую СМО,
 0,5
 0,4.
  1.25,   
 1,25
Вероятность простоя рабочего определяется по формуле (4.27):
85
P0 
1

k
k
s
 n




s! 
 
k n 
(
s

k
)!
k
!
n! 
k  n 1 ( s  k )!n
 k 0
1

 0,15.
 1 0,4 0,4 2

4! 

 0,4 3  0,4 4 
2!
 4! 3!

Вероятность занятости рабочего
Pзан  1  P0  0,85 .
Если рабочий занят, он налаживает  станков в единицу времени,
пропускная способность системы
A  (1  P0 )   0,85  1,06 станков в час.
 Важно помнить. При применении экономического показателя
важно правильно оценить реальные издержки, которые могут изменяться, например, от времени года, от объема запасов угля и пр.
На практике часто встречаются; замкнутые системы обслуживания, у которых входящий поток заявок существенным образом зависит
от состояния самой СМО. В качестве примера можно привести ситуацию, когда на ремонтную базу поступают с мест эксплуатации некоторые машины: понятно, что чем больше машин находится в состоянии
ремонта, тем меньше их продолжает эксплуатироваться и тем меньше
интенсивность потока вновь поступающих на ремонт машин. Для замкнутых СМО характерным является ограниченное число источников
заявок, причем каждый источник «блокируется» на время обслуживания
его заявки (т.е. он не выдает новых заявок). В подобных системах при
конечном числе состояний СМО предельные вероятности будут существовать при любых значения интенсивностей потоков заявок и обслуживании. Они могут быть вычислены, если вновь обратиться к процессу
гибели и размножения.
Задания для самостоятельной работы.
1. Станция «Железная дорога» в мегаполисе принимает составы
для разгрузки угля на n  5 платформах. В среднем за сутки на станцию
прибывают 16 составов с углем. Поступление носит случайный характер. Плотность прихода составов показала, что поступление на разгрузку удовлетворяет пуассоновскому потоку с параметром   2 / 3 состава
в час. Время разгрузки состава является случайной величиной, удовлетворяющей экспоненциальному закону со средним временем разгрузки
t cp  6 час. Простой состава в сутки составляет qож  100 y.e; простой
86
платформы в сутки за опоздание прихода состава – qпр  1000 y.e; стоимость эксплуатации платформы в сутки – q з  1000 y.e. Издержки подсчитать за сутки. Требуется провести анализ эффективности функционирования станции.
2. Интернет-провайдер в небольшом городе имеет 5 выделенных
каналов обслуживания. В среднем на обслуживание одного клиента
уходит 25 минут. В систему в среднем поступает 6 заказов в час. Если
свободных каналов нет, следует отказ. Определить характеристики обслуживания: вероятность отказа, среднее число занятых обслуживанием
линий связи, абсолютную и относительную пропускные способности,
вероятность обслуживания. Найти число выделенных каналов, при котором относительная пропускная способность системы будет не менее
0,95. Считать, что потоки заявок и обслуживаний простейшие.
3. Порт имеет один причал для разгрузки судов. Интенсивность
потока 0,4 в сутки, среднее время разгрузки одного судна 2 суток. В
предположении неограниченности очереди определить показатели эффективности работы причала и вероятность ожидания разгрузки не более 2 судов.
4. Порт имеет один причал для разгрузки судов. Интенсивность
потока 0,4 в сутки, среднее время разгрузки одного судна 2 суток. Определить показатели работы порта при условии, что судно покидает порт
при наличии в очереди более 3 судов.
Что означают следующие термины и понятия?
СМО
Марковский процесс
Очередь
Абсолютная пропускная способность
Системы с неограниченной оче- Относительная пропускная способредью
ность
Каналы обслуживания
Среднее число занятых каналов
Системы с отказами
Вероятность простоя
Системы с ожиданием и ограни- Среднее время пребывания заявки в
ченной очередью
СМО
Поток требований
Вероятность отказа
Стационарный поток
Вероятность отказа
Поток без последействий
Среднее число заявок
Ординарный поток
Среднее время ожидания
Пуассоновский поток
Замкнутые СМО
Интенсивность потока
Разомкнутые СМО
Загрузка системы
87
Теперь вы должны уметь:
o при решении прикладных задач использовать основы марковской
теории;
o использовать методы статистического моделирования систем массового обслуживания;
o определить параметры систем массового обслуживания с отказами, с ограниченной очередью, с неограниченной очередью;
o описывать функционирование различных систем массового обслуживания;
o строить математические модели массового обслуживания;
o определять основные характеристики функционирования различных систем массового обслуживания.
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение системы массового обслуживания с неограниченной очередью.
2. Определите процесс функционирования системы массового
обслуживания с неограниченной очередью.
3. Перечислите основные характеристики системы массового обслуживания с неограниченной очередью.
4. Дайте определение системы массового обслуживания с отказами.
5. Определите процесс функционирования системы массового
обслуживания с отказами.
6. Перечислите основные характеристики системы массового обслуживания с отказами.
7. Дайте определение системы массового обслуживания с ограниченной очередью.
8. Определите процесс функционирования системы массового
обслуживания с ограниченной очередью.
9. Перечислите основные характеристики системы массового обслуживания с ограниченной очередью.
10. В чем особенности замкнутых систем массового обслуживания?
88
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Акулич И.А. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа. 1986.
2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. – М.: Финансы и статистика. 2001. – 368 с.
3. Гнеденко, Б.В. Введение в теорию массового обслуживания /Б.В.
Гнеденко, И.Н. Коваленко: 3-е изд., испр. и доп. – М.: Эдиториал УРСС,
2005. – 400 с.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: ДИС, 1997.
5. Исследование операций в экономике / под ред. Н.Ш. Кремера М.:
Банки и биржи, изд-кое объединение ЮНИТИ, 2000.
6. Количественные методы финансового анализа / под ред. Стивена
Дж. Брауна и Марка П. Крицмена. – М.: ИНФРА-М, 1996.
7. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в
экономическом образовании. – М.: ДЕЛО, 2000.
8. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: учебник для вузов / под
ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311с.
9. Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом. – М.: ДЕЛО, 2001. – 464 с.
10. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Брайлов А.В. Математика в
экономике. – М.: Финансы и статистика, 1999.
11. Шелобаев С.И. Математические методы и модели. Экономика,
финансы, бизнес: учебное пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2000. – 367 с.
12. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебное пособие для вузов // В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов
и др.; Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 391 с.
13. Экономический анализ: ситуации, тесты, примеры, задачи, выбор
оптимальных решений, финансовое прогнозирование / под ред. проф.
Баканова М.И. и проф. Шеремета А.Д. – М.: Финансы и статистика,
2000.
89
Приложение
Таблица значений функции Лапласса
 z2 
1 х
 dz
Ф х  
 exp 
2 0
 2
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.20
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
0.26
0.27
0.28
0.29
0.30
0.31
0.0000
0.0040
0.0080
0.0120
0.0160
0.0199
0.0239
0.0279
0.0319
0.0359
0.0398
0.0438
0.0478
0.0517
0.0557
0.0596
0.0636
0.0675
0.0714
0.0753
0.0793
0.0832
0.0871
0.0910
0.0948
0.0987
0.1026
0.1064
0.1103
0.1141
0.1179
0.1217
0.32
0.33
0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.40
0.41
0.42
0.43
0.44
0.45
0.46
0.47
0.48
0.49
0.50
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
0.1255
0.1293
0.1331
0.1368
0.1406
0.1443
0.1480
0.1517
0.1554
0.1591
0.1628
0.1664
0.1700
0.1736
0.1772
0.1808
0.1844
0.1879
0.1915
0.1950
0.1985
0.2019
0.2054
0.2088
0.2123
0.2157
0.2190
0.2224
0.2257
0.2291
0.2324
0.2357
0.64
0.65
0.66
0.67
0.68
0.69
0.70
0.71
0.72
0.73
0.74
0.75
0.76
0.77
0.78
0.79
0.80
0.81
0.82
0.83
0.84
0.85
0.86
0.87
0.88
0.89
0.90
0.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.2389
0.2422
0.2454
0.2486
0.2517
0.2549
0.2580
0.2611
0.2642
0.2673
0.2703
0.2734
0.2764
0.2794
0.2823
0.2852
0.2881
0.2910
0.2939
0.2967
0.2995
0.3023
0.3051
0.3078
0.3106
0.3133
0.3159
0.3186
0.3212
0.3238
0.3264
0.3289
0.96
0.97
0.98
0.99
1.00
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
1.08
1.09
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
0.3315
0.3340
0.3365
0.3389
0.3413
0.3438
0.3461
0.3485
0.3508
0.3531
0.3554
0.3577
0.3599
0.3621
0.3643
0.3665
0.3686
0.3708.
0.3729
0.3749
0.3770
0.3790
0.3810
0.3830
0.3849
0.3869
0.3883
0.3907
0.3925
0.3944
90
Продолжение приложения
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
1.26
1.27
1.28
1.29
1.30
1.31
1.32
1.33
1.34
1.35
1.36
1.37
1.38
1.39
1.40
1.41
1.42
1.43
1.44
1.45
1.46
1.47
1.48
1.49
1.50
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
1.57
1.58
0.3962
0.3980
0.3997
0.4015
0.4032
0.4049
0.4066
0.4082
0.4099
0.4115
0.4131
0.4147
0.4162
0.4177
0.4192
0.4207
0.4222
0.4236
0.4251
0.4265
0.4279
0.4292
0.4306
0.4319
0.4332
0.4345
0.4357
0.4370
0.4382
0.4394
0.4406
0.4418
0.4429
1.59
1.60
1.61
1.62
1.63
1.64
1.65
1.66
1.67
1.68
1.69
1.70
1.71
1.72
1.73
1.74
1.75
1.76
1.77
1.78
1.79
1.80
1.81
1.82
1.83
1.84
1.85
1.86
1.87
1.88
1.89
1.90
1 1.91
0.4441
0.4452
0.4463
0.4474
0.4484
0.4495
0.4505
0.4515
0.4525
0.4535
0.4545
0.4554
0.4564
0.4573
0.4582
0.4591
0.4599
0.4608
0.4616
0.4625
0.4633
0.4641
0.4649
0.4656
0.4664
0.4671
0.4678
0.4686
0.4693
0.4699
0.4706
0.4713
0.4719
1.92
1.93
1.94
1.95
1.96
1.97
1.98
1.99
2.00
2.02
2.04
2.06
2.08
2.10
2.12
2.14
2.16
2.18
2.20
2.22
2.24
2.26
2.28
2.30
2.32
2.34
2.36
2.38
2.40
2.42
2.44
2.46
2.48
0.4726
0.4732
0.4738
0.4744
0.4750
0.4756
0.4761
0.4767
0.4772
0.4783
0.4793
0.4803
0.4812
0.4821
0.4830
0.4838
0.4846
0.4854
0.4861
0.4868
0.4875
0.4881
0.4887
0.4893
0.4898
0.4904
0.4909
0.4913
0.4918
0.4922
0.4927
0.4931
0.4934
2.50
2.52
2.54
2.56
2.58
2.60
2.62
2.64
2.66
2.68
2.70
2.72
-2.74
2.76
2.78
2.80
2.82
2.84
2.86
2.88
2.90
2.92
2.94
2.96
2.98
3.00
3.20
3.40
3.60
3.80
4.00
4.50
S 5.00
0.4938
0.4941
0.4945
0.4948
0.4951
0.4953
0.4956
0.4959
0.4961
0.4963
0.4965
0.4967
0.4969
0.4971
0.4973
0.4974
0.4976
0.4977
0.4979
0.4980
0.4981
0.4982
0.4984
0.4985
0.4986
0.49865
0.49931
0.49966
0.49984
0.49992
0.49996
0.49999
0.49999
91
Татьяна Владимировна Калашникова
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ
Учебное пособие
Научный редактор
доктор техн. наук,
профессор
А.А. Дульзон
Редактор
О.Н. Свинцова
Подписано к печати 27.11.2011. Формат 60х84/16. Бумага «Классика».
Печать RISO. Усл.печ.л. 5,87. Уч.-изд.л. 5,32.
Заказ
. Тираж 80 экз.
Томский политехнический университет
Система менеджмента качества
Томского политехнического университета сертифицирована
NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2000
. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.
92