Развитие пространственного воображения на уроках геометрии

Статья «Развитие пространственного воображения на уроках геометрии»
Составила учитель математики МОУ «СОШ №55» Ишменева Н.М.
Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В отличии от
планиметрии, изучающей свойства геометрических фигур на плоскости, стереометрия изучает
свойства фигур в пространстве. Тем самым среди важнейших целей обучения стереометрии
можно выделить следующие: развитие основных психологических компонентов,
пространственных представлений, пространственного воображения, логического мышления, без
которых невозможно развитие творческих способностей учащихся, формирование их личности.
Переход от планиметрии к изучению стереометрии вызывает у учащихся большие трудности и
связаны они с тем, что в этом курсе отсутствуют алгоритмы (практически каждая задача и каждая
теорема решаются и доказываются как новые) и с тем, что у школьников неразвиты
пространственные представления.
Развитие пространственных представлений у учащихся в курсе стереометрии должно идти
прежде всего за счет существенного пополнения запасов пространственных представлений,
полученных школьниками в пропедевтическом курсе математики и в систематическом курсе
планиметрии. Задачи, которые следует использовать для формирования у школьников
пространственных представлений, должны быть двух типов:
а) задания на создание пространственных образов;
б) задания на оперирование пространственными образами.
Важно подчеркнуть, что при изучении стереометрии учащиеся познают пространство, в котором
живут, знакомятся с пространственными образами и формами окружающего мира. Кроме того, в
процессе изучения стереометрии учащиеся приобретают необходимые практические умения:
изображать, моделировать, измерять. Говоря другими словами, геометрия в своей сущности и
есть такое соединение живого воображения и логики, в котором они взаимно организуют и
направляют друг друга. Воображение даёт непосредственное видение геометрического факта и
подсказывает логике его выражение и доказательство, а логика, в свою очередь, придаёт точность
воображению и направляет его к созданию картин, обнаруживающих нужные логике связи.
Именно в стереометрии указанная особенность геометрии выступает наиболее ярко. Во-первых,
потому, что в ней требуется пространственное воображение. Факты планиметрии изображаются
на доске и на бумаге с точностью до подобия (не считая того, что нельзя нарисовать бесконечную
прямую без всякой толщины и т.п.). Но факты стереометрии изображаются условно и потому не
могут быть верно восприняты без дополнительного пространственного представления. А оно
составляет известную трудность, нередко значительную. Во-вторых, стереометрия изучается в
последних классах школы, когда учащиеся должны быть достаточно развиты для того, чтобы
воспринять логику дедуктивного изложения. Поэтому курс стереометрии можно и следует
строить с большей логической последовательностью и доказательностью, чем курс планиметрии.
Приступая с учащимися к изучению стереометрии, необходимо помнить, что учащиеся
обладают слабыми пространственными представлениями, не умеют в должном виде изображать
трехмерный образ на двухмерной плоскости листа или доске, не умеют рассмотреть и тем самым
представить себе изображаемый в плоскости чертежа трехмерный геометрический образ. Чтобы
преодолеть эти трудности, необходимо на первых уроках широко использовать наглядные
материалы.
При изучении стереометрии большое внимание должно быть обращено на формирование у
учащихся умения видеть геометрические формы в окружающих телах. Это должны быть как тела
привычных форм и соотношений, так и непривычных. Так, например, примерами последних
могут служить следующие: ученическая линейка – прямоугольный параллелепипед, монета –
цилиндр, цистерна – цилиндр, воронка – два усеченных конуса и т.д.Учителю необходимо
акцентировать внимание учащихся на аналогии изучения планиметрии и стереометрии. При
подготовке и проведении уроков стереометрии делается упор на знания, умения учащихся,
полученных их курса планиметрии. В этом учителю могут помочь современные средства
обучения – компьютер, мультимедиа проектор, интерактивная доска, а также учебно-
методическая литература. Сейчас существует большое количество учебных комплексов,
помогающих учителю при подготовке и проведении уроков стереометрии. Например, программа
«Poly», комплекс «Живая геометрия», ИИП «КМ – Школа», обучающая программа
«Стереометрия. Открытая математика» (Физикон), программа «Репетитор по математике» и
другие.
Остановимся немного на вопросе развития образного (пространственного) мышления. Ведь не
секрет, что очень многие «беды» начинающих изучать стереометрию происходят от неумения
сделать правильный и удобный («конструктивный» для решения задачи) рисунок, или чертеж (мы
не различаем эти понятия). Часто учащиеся не понимают, как пространственные фигуры
изобразить на плоскости, правильно оперировать ими, так как чертеж несет в себе смысловую
нагрузку, не понятную школьникам. Наглядные и правильно выполненные чертежи обладают
определенной спецификой изображения на них пространственных фигур, и очень важно овладеть
этой спецификой изображать верно и наглядно пространственные фигуры. Поэтому изучение
проблемы изображения геометрических фигур актуально и необходимо для развития образного
мышления школьников.
Образное мышление в математике реализуется через создание (построение) образов
геометрических объектов, оперирование ими при усвоении знаний, решении задач. В этом
процессе особое значение имеет ориентация в пространстве. Работа с геометрическими образами
при усвоении математики предполагает значительную нагрузку на интеллект, поэтому
«насыщение» урока учебным материалом, требующим работы с образом, должно опираться на
четкое осознание учителем того, какой тип заданий он предлагает ученику. Таких заданий в
геометрии используется много. Эти задания широко используются в школьной геометрии. Они
предполагают выполнение чертежа в соответствии с условием задачи, заданным в словесной или
символьной форме. Есть такие задачи, которые задаются словами и не содержат ни букв, ни
символов в тексте («Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая.
Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится в этой точке
пополам»).
Пример1: Сделайте чертежи по условиям задач, используя данные в них обозначения:
1.Прямая АВ пересекает плоскость α в точке М .
2.Плоскости α и β пересекаются по прямой МР, а плоскости α и γ пересекаются по другой
прямой МТ .
Ученик по словесному описанию задачи должен выделить (подчеркнуть) те слова, в которых
заключены существенные признаки понятий, опознать их; уметь дифференцировать словесно те
условия (их совокупность), которые определяют, что «дано», а что «требуется найти» (доказать,
вычислить и т.п.). Это необходимо, чтобы ученик мог сознательно отчленять известное от
искомого. Вычленение существенных признаков понятий можно организовать и по чертежу.
Очень часто чертеж представляет собой не одну (однородную) фигуру, а их совокупность. Для
решения задачи не все фигуры одинаково значимы. Необходимо зрительно выделить эту фигуру
из состава других, мысленно ее «подчеркнуть»; удержать в образе, чтобы работать с ней. Для
этого необходимо фиксировать внимание не на всех, а лишь на отдельных фигурах; причем на
разных этапах решения задачи может происходить как бы смена «фигуры и фона»: те фигуры,
которые рассматривались как значимые для решения задачи, должны сменяться другими. Для
этого ученику нужно от них отвлечься, чтобы перейти к другим. Необходимы специальные
упражнения, обеспечивающие возможность не только продуктивного выделения фигуры из фона,
но и динамической смены их (то, что было «фоном» становится «фигурой», и наоборот). Такие
задания полезны как в целях дифференциации учащихся, так и для развития у них умения
последовательно, логично, обоснованно переходить в образах от одной фигуры к другой, подобно
тому, как они учатся строго, логично, последовательно словесно излагать свои мысли. Переход от
одной фигуры к другой в образах должен быть аргументирован опознаванием существенных
признаков, детерминирован требованиями задачи.
Такие задания можно составить на любом материале, используя
различные геометрические фигуры как двух-, так и трехмерные. Они
предполагают смену анализа фигур: переход от одних к другим,
отвлечение от остальных.
Пример 3: Назовите по рисунку (рис. 4):
1.Плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DВ, АВ, АС;
2.Точки пересечения прямой DК с плоскостью АВС, прямой СЕ с
плоскостью АDВ.
Решение:
1.
2.
В геометрии очень много заданий, требующих дополнительных построений. Они основаны на
тщательном анализе исходных элементов чертежа, определении их существенных (по условию
задачи) признаков, причем этот анализ идет в мысленном плане (элементы чертежа сравниваются
зрительно). На этой основе возникает догадка о необходимости введения нового элемента и
только после этого осуществляется его построение. Такие задания развивают у ученика
«образную» логику. Ведь решение о дополнительном построении возникает не сразу, а после
тщательного анализа элементов исходного чертежа, сопоставления их со словесными условиями
задачи, выработки некоторой стратегии решения и как результат — выполнение построения на
основе вычленения и обоснования недостающего данного (или их совокупности), что открывает
путь к решению задачи, позволяет переосмыслить исходный чертеж.
Итак, наличие развитого пространственного мышления априори считается характерной
особенностью математических способностей человека. Традиционно в методике обучения
математике задача развития пространственного мышления связывается более всего с изучением
геометрического материала как в начальной, так и в средней школе. традиционно считается, что
формирование и развитие пространственного мышления школьника приходится на старшие
классы, поскольку лишь в них учащийся впервые сталкивается с предметами, требующими от
него оперирования пространственными образами, — черчением, геометрией, физикой; при этом
не учитывается, что в VII, VIII и IX классах дети изучают геометрию на плоскости, т. е.
практически не применяют пространственных преобразований при изучении этого предмета, и
реально учитель математики обращается к вопросу развития пространственного мышления
ученика только в процессе изучения начал стереометрии (приходящегося на X–XI
классы).Психологами давно доказано, что образы, в которых фиксируется форма, величина,
пространственные соотношения фигур в целом или их частей, выстраиваются в сознании ребенка
уже с самого раннего детства в результате манипулирования объектами и так называемыми
сенсорными эталонами, полученными в результате обобщения чувственных данных в процессе
специально организованного общения ребенка с природой, окружающими людьми, объектами
культуры и т. п. Учитывая то, что психологические характеристики познавательной сферы
ребенка (восприятие, внимание, память, воображение, мышление) тесно связаны с
определенными возрастными периодами Можно считать, что сам процесс развития ребенка
обусловливает необходимость активизации формирующей работы педагога над тем или иным
видом мышления в сензитивные периоды жизни учащегося. Между тем необходимость
формирования и развития пространственного мышления в сензитивный для этого типа мышления
период является естественной необходимостью с точки зрения возрастной периодизации развития
ребенка: сензитивный период минует, и попытки решения этой проблемы в более старшем
возрасте (когда ею начинает заниматься учитель математики в старших классах) уже не будут
происходить в столь благоприятных для самого ребенка условиях, а значит, уже не дадут
максимально возможных результатов. Если же принять за отправную точку положение о том, что
возраст 6–12 лет (I–VI классы) является наиболее благоприятным для формирования
пространственного мышления и операционной его стороны, то возникает необходимость нового
подхода к методической проблеме развития пространственного мышления: решать ее не в X–XI
классах (когда это сделать практически невозможно, поскольку благоприятный для решения
данной задачи период преобладания наглядно-образного мышления у ребенка уже миновал), а в
начальных и в V–VI классах средствами предмета «математика» (поскольку других предметов,
могущих взять на себя часть решения этой проблемы, в учебных планах этих классов нет).
Многие учащиеся не обладают достаточно развитым пространственным воображением.
Проблема старая, но актуальная. Если учитель не решает ее еще тогда, когда ведет младшие и
средние классы, то через несколько лет его уроки стереометрии с теми же учениками будут терять
большую часть своей эффективности.
Все психические процессы, в том числе и пространственное воображение, совершенствуются в
результате деятельности. Эта деятельность должна чем-то стимулироваться и направляться, т. е.
необходима система упражнений.
В этой статье предлагаются нестандартные и занимательные задачи для развития
пространственного воображения. В квадратных скобках даны ответы, краткие решения, указания.
Для решения многих из этих задач не надо специальных знаний, т. е. их можно предлагать уже в
V классе, а некоторые — и в начальной школе. Решение наиболее сложных задач можно
поощрять отметкой.
Первую серию задач можно назвать «выход в пространство».
Это устные задачи, в которых, казалось бы, ничего не сказано о пространстве. Даже наоборот,
упоминание о треугольниках в задаче 2 и о расположении монет в задаче 3 (учащиеся сразу
думают, что монеты должны лежать на плоскости) навязывает «плоскостные» образы. Нужно
преодолеть это, «вывести» мысль «в пространство», чтобы правильно выполнить предложенные
задания.
1. Разделите круглый сыр тремя разрезами на 8 частей. [Ответ на рис.1].
2. Из шести спичек сложите четыре правильных треугольника так, чтобы стороной каждого была
целая спичка. [Треугольная пирамида с ребром, равным спичке].
3. Расположите 5 одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась четырех остальных. [Ответ
на рис. 2].
4. Можно ли расположить 6 одинаковых карандашей так, чтобы каждый касался пяти остальных?
[Можно, ответ на рис. 3].
5. Вырезать из целого листа бумаги такую же фигуру, как на рис. 4а. [Прямоугольный лист
разрезать по отрезкам а, b, с (рис. 4б), заштрихованную часть повернуть около прямой l на 180°].
Часто советуют сопровождать изучение аксиом стереометрии и их следствий изображениями
многогранников, решением за¬дач на построение сечений и т. д. Но ученики должны «видеть»
этот многогранник. Поэтому еще до изучения стереометрии надо предлагать учащимся задачи с
кубом, параллелепипедом и некоторыми другими фигурами. Эта серия заданий связана с
иллюзиями и невозможными объектами.
На рис. 5 любой математик видит куб, а не только два квадрата, вершины которых попарно
соединены. А нарисованы все-таки квадраты...
Видеть куб нам позволяет хорошо развитое пространственное воображение. Но удивительно:
один раз мы видим этот куб как бы сверху и справа (рис. 6а), а другой — снизу и слева (рис. 6б).
Это уже казусы иллюзии, которыми надо уметь управлять, подчиняя свое воображение той
реальности, о которой говорится в конкретной задаче. Но многие учащиеся долго не могут этому
научиться. Помочь им овладеть этим умением надо еще в средних классах школы, предлагая
упражнения 6 – 10.
6. Закройте листом цветной бумаги переднюю грань куба, и опишите свои впечатления. [Более
четко просматривается такой куб, как на рис. 6а.]
7. Закройте листом цветной бумаги заднюю грань куба и постарайтесь передать свои впечатления
рисунком. На что похож рисунок: на шкафчик? полочку?
8. Что вы видите на рис. 7? [Брусок с углублением (задняя стенка углубления – плоскость АВ),
или брусок с выступающим шипом, где АВ – его передняя грань, или открытую часть пустого
ящика с прилегающим к стенкам изнутри кирпичом].
9. На рис. 8а фигура не дорисована (верхняя часть изображения закрыта листом бумаги.)
Дорисуйте ее.
[Ребята обычно дорисовывают фигуру так, как на рис. 8б и не видят никакой ловушки. Она
становится ясна только при взгляде на рис. 8в. Учащиеся понимают, что таких фигур, как на рис.
8в в реальности не существует].
10. Поясните, может ли существовать не на бумаге, а в жизни фигура, показанная на рис. 9.
Третья серия заданий использует развертки куба, цилиндра.
11. Сколько граней у шестигранного карандаша? [Восемь, если карандаш не отточен. Часто
отвечают «шесть»].
12. Из бумаги склеили куб. Ясно, что его можно разрезать на шесть равных квадратов. А можно
ли его разрезать на двенадцать квадратов? [Нетрудно доказать, что фигура, состоящая из
объединения треугольников А и В на рис. 10, расположенных в одной плоскости, есть квадрат].
13. На рис. 11 слева показана развертка какого-то куба. Какие кубы из тех, что даны справа на том
же рисунке, можно сложить из этой развертки? [Кубы на рис. 11, b, с, f].
14 . На рис. 12а изображен куб, на гранях которого написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6.(Мы видим
только три первых числа.) Сумма чисел, стоящих на противолежащих гранях, равна 7. На четырех
развертках куба (рис. 12б) напишите пять чисел – одно уже написано – так, чтобы это
соответствовало нашему кубу.
15. На рис. 13а изображен кусок бумаги. Можно ли оклеить в один слой, этим куском бумаги, не
разрезая его, какой-нибудь кубик? [Можно, если грань куба такая, как заштрихованная на рис.
13б].
16. Какой из восьми рисунков (см. рис. 14) маляр нанес на стену изображенным тут же валиком?
[«Накатан» шестой рисунок].
Задания на проекции фигур.
17. Какую форму имеет тень куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали, от пучка лучей
света, параллельных этой диагонали? [Правильный шестиугольник].
18. На рис. 15а жирной линией показаны фигуры, согнутые из проволоки. Изобразите три их
проекции: на переднюю грань куба, на боковую его грань и на верхнюю грань. [Ответы на рис.
15б под изображениями соответствующих фигур].
19. Согните из мягкой проволоки фигуру, при параллельном проектировании которой на разные
плоскости получаются буквы: С, Л, О, Г. [См. рис. 16. Есть и другие решения, если вписывать
проволочную фигуру в куб].
20. На рис. 17а изображена дощечка с различными отверстиями. Найдите единственную затычку,
закрывающую три отверстия. [Ответ на рис. 17б].
Многие из перечисленных здесь задач ценны тем, что предметы, о которых в них говорится,
учащиеся могут изготовить сами. Нетрудно согнуть проволоку и проверить по ней свои решения
задач 18 и 19. Не вызовет технических затруднений и изготовление бумажных разверток куба, о
которых говорится в задачах 12 – 15.
Дощечку с отверстиями к задаче 20 тоже можно рассмотреть в натуре – вырезать из картона,
фанеры или пенопласта.
Однако во всех случаях модели желательно делать после решения, а не для решения. Если
учитель начинает рассмотрение предлагаемых задач с моделей, то именно воображение учащихся
не задействуется и стимул для его развития получается слабым.
В заключение отмечу, что оригинальность задач вызывает у учащихся интерес и при работе на
уроке и во внеклассной деятельности, а это является одним из необходимых условий успешного
изучения предмета.
Литература
1. Далингер В. А. Методика формирования пространственных представлений у учащихся при
обучении геометрии. – Омск: ОГПИ, 1992.
2. Смирнова И.М. О преподавании стереометрии в гуманитарных классах // Математика в школе.
– 1994. – № 1. – С. 42-45.
3. Геометрия [Текст]: учеб. для 10 – 11 кл. сред. шк. / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б.
Кадомцев [и др.]. – 2-ое изд. – М.: Просвещение, 1993. – 207 с.: ил.
4. Фридман, Л. М. Наглядность и моделирование в обучения [Текст]: кн. для учителя / Л. М.
Фридман. – М.: Знание, 1984. – 80 с.: ил.
5. Якиманская, И.С. Психологические основы математического образования [Текст]: учебное
пособие / И.С. Якиманская. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 320 с.
6. Программа «Poly», комплекс «Живая геометрия», ИИП «КМ – Школа», обучающая программа
«Стереометрия. Открытая математика» (Физикон), программа «Репетитор по математике» .