Тема урока: Форма урока: Цели: материала темы формулы сокращенного умножения; обучение

Тема урока: «Формулы сокращенного умножения»
Форма урока: урок-исследование «Творческая лаборатория»
Цели:
 Обучающие: обеспечить углубление, обобщение и систематизацию
материала темы формулы сокращенного умножения; обучение
доказательным рассуждениям.
 Развивающие: Развивать логическое мышление, способствовать
формированию умения использовать приемы: обобщения, сравнения,
выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитие
математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти,
умение распознать формулы.
 Воспитательные: Воспитание чувства ответственности,
самостоятельности. Содействовать воспитанию интереса к математике,
активности, организованности, умению общаться.
Ход урока
Цитата урока: Если путь твой к познанию мира ведет.
Как бы ни был он долог и труден - вперед.
Фирдоуси
I. Лаборатория формул.
Заполните пропуски:
(2x + …)² = … + … + y²
(3y - …)² = … - 24y + …
(… + 2m) (… - 2m) = 4n² - …
(… - …)(… + 1) (… + 1) = a4 - …
Сформулируйте правило возведения в квадрат суммы и разности двучлена.
II. Лаборатория исследований.
Выступление первого учащегося.
Мы изучили формулу возведения в квадрат суммы и разности двух
выражений. А почему только двух? Можно ли вывести формулу возведения в
квадрат суммы трех выражений, четырех и т.д.
Сначала возьмём трехчлен и возведем его в квадрат:
(a +b + c)2 = ((a + b) +c)² = (a + b)² + 2( a + b) · c + c2 = a² + 2 ab +b² + 2ac +2bc
+c² =a² + b² +c² + 2( ab + ac +bc )
Например:
(a +2b + 3)2 = a² +4b² +9 + 2 (2ab + 3а +6b) = a² +4b² +9 + 4ab +6а +12b.
Итак, делаем вывод:
Квадрат суммы трех чисел равен сумме их квадратов плюс все возможные
удвоенные произведения этих чисел взятых по два.
Аналогично
(a -b - c)2 = a² + b² +c² - 2( ab + ac +bc )
Итак верны формулы:
(a -b - c)2 = a² + b² +c² - 2ab – 2ac – 2bc
a +b + c)2 = a² + b² +c² + 2ab + 2ac +2bc
Общая формула:
Квадрат суммы n слагаемых равен сумме их квадратов плюс удвоенная
сумма всевозможных попарных произведений этих слагаемых вида
ai aj , где i < j.
(a1 + a2 + …+ an )² = a1² + a2² +…+ 2(a1 a2 + a1 a3 +…+ ai aj +…+ an-1ап)
Учитель:
Примеры для самостоятельного решения:
1. (a -2b - 3)2 = a² +4b² +9 - 2 (2ab +3а +6b) = a² +4b² +9 -4ab – 6а - 12b.
2. (2x³ + 2x² - 3x – 3)² = 4x6 + 4x4 + 9x² + 9 + 8x5 – 12x4 – 12x³ –
- 12x² + 18x = 4x6 + 8x5 –8x4 – 24x³ - 3x² + 18x + 9.
Работа в парах. Учащиеся выполняют примеры и проверяют ответ (слайд 5)
Выступление второго учащегося.
Мы изучили формулу возведения в квадрат суммы и разности двух
выражений. А почему только в квадрат? Может быть можно найти прием
возведения в третью, четвертую и более высокие степени?
А сейчас рассмотрим, как возвести двучлен в n –ую степень, где n  N; т. e
(а + b)n
Известно, что (а + b) 1 = а + b
(1)
2
(а + b) = a² + 2ab +b²
(2)
2
(a + b) ³ =(а + b) · (a + b) =( a² + 2ab +b²)· (a + b)= a³ + 2a²b +ab² +a²b +2ab²+
b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (3)
Аналогично (a + b) 4 = (a + b) ³ · (a + b) = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) · (a + b) =
= a4+ 3a³b+ 3a²b² + ab³ + a³b +3a²b²+ 3ab³+b 4 = a4+ 4a³b+6a²b²+ 4ab³+b 4
(4)
Рассмотрев формулы (1) - (4), можно заметить, что при разложении (a + b)ⁿ
многочлена получается сумма членов aⁿ , aⁿ‫־‬¹b , aⁿ‫־‬²b², …, abⁿ‫־‬¹ + bⁿ с
некоторыми коэффициентами. Для их определения часто применяют
треугольник Паскаля.
Номер
Строки
0
1
1
11
2
121
3
1331
4
14641
5
1 5 10 10 5 1
6
1 6 15 20 15 6 1
…
……
Свойства треугольника Паскаля:
1) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно
сумме двух соседних в предыдущей строке.
2) Сумма чисел n-ой строки равна 2n, где n принадлежит целым числам.
3) Сумма чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в предыдущей
строке.
Используя треугольник Паскаля, получим, что
( a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b² + 10a² b³ + 5ab4 + b5 .
(5)
6
6
5
4
4
5
6
( a + b) = a + 6a b + 15a b² + 20a³ b³ + 15a²b +6ab + b .
(6)
Конечно, используя треугольник Паскаля можно найти разложение (a + b)ⁿ в
многочлен для любого натурального n. Но этот процесс для больших n
достаточно трудоемок.
Учитель:
Примеры для самостоятельного решения:
1. (3 + а )3 = 27 + 27а + 9а2 + а3
2. (х – 2с)3 = х3  6х2с +12хс2  с3
3. (1 + а)4 = 1 + 4а + 6а2 +4а3 + а4
4. ( 2 + b)5 = 25 + 5· 24 b + 10·23 b² + 10·2² b³ + 5·2b4 + b5=
= 32 + 80 b + 80 b² + 40 b³ + 10b4 + b5 .
Работа в парах. Учащиеся выполняют примеры и проверяют ответ (слайд 7)
Учитель:
Есть общая формула для вычисления выражения (а + b)n, которая называется
бином Ньютона, но у вас еще недостаточно знаний, чтобы с ней знакомиться.
III. Вычислительная лаборатория.
Физкультминутка.
Правило:
если ответ верный, то сделайте два хлопка в ладоши,
если ответ ошибочный, то тянитесь руками как можно выше вверх.
IV. Лаборатория эрудитов.
Упростить:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)
Когда учащиеся получат результат 264  1 можно заметить, что вычислять это
выражение не нужно, т.к. это очень большое число.
V. Лаборатория раскрытия тайн.
«Письмо из прошлого»
Задача Пифагора:
Всякое нечётное число, кроме единицы, есть разность двух квадратов.
А у нас фокус!
Учитель просит учащихся назвать любое нечетное число и записывает на
доске это число в виде разности двух квадратов.
Как объяснить этот фокус?
Решение:
(n+1)2 - n2 = n2+2n+1-n2=2n+1 - нечётное число
VI. Подведение итогов урока: анализ деятельности
 Какие были трудности?
 Что было интересно?