Кружок по математике, 218 школа, 9 класс
advertisement
Кружок по математике, 218 школа, 9 класс 20 ноября 2003 г. Принцип крайнего. Кружок по математике, 218 школа, 9 класс 20 ноября 2003 г. Принцип крайнего. 1. На шахматной доске расставили положительные числа так, что каждое равно среднему арифметичеcкому двух каких-то своих соседей (соседними считаются клетки, имеющие общую боковую сторону). Докажите, что все числа равны. 1. На шахматной доске расставили положительные числа так, что каждое равно среднему арифметичеcкому двух каких-то своих соседей (соседними считаются клетки, имеющие общую боковую сторону). Докажите, что все числа равны. 2. Докажите, что в любой компании из пяти человек найдется двое, имеющих одинаковое число знакомых в этой компании. 2. Докажите, что в любой компании из пяти человек найдется двое, имеющих одинаковое число знакомых в этой компании. 3. На плоскости отметили несколько точек так, что расстояния между ними попарно различны. Каждую точку соединили с ближайшей. Могла ли при этом получиться замкнутая ломаная? 3. На плоскости отметили несколько точек так, что расстояния между ними попарно различны. Каждую точку соединили с ближайшей. Могла ли при этом получиться замкнутая ломаная? 4. На круглом торте лежит прямоугольная долька шоколадки “Аленка”. Предложите способ разрезать торт одним прямолинейным разрезом так, чтобы каждому из двух едоков досталось поровну и торта и шоколадки. 4. На круглом торте лежит прямоугольная долька шоколадки “Аленка”. Предложите способ разрезать торт одним прямолинейным разрезом так, чтобы каждому из двух едоков досталось поровну и торта и шоколадки. 5. Из точки, лежащей внутри выпуклого многоугольника опустили перпендикуляры на стороны или на продолжения сторон. Докажите, что хотя бы одно из оснований перпендикуляров попало на сторону. 5. Из точки, лежащей внутри выпуклого многоугольника опустили перпендикуляры на стороны или на продолжения сторон. Докажите, что хотя бы одно из оснований перпендикуляров попало на сторону. 6. На плоскости нарисовали n красных точек и отметили синим середины всех возможных отрезков с концами в красных точках. Докажите, что синих точек не меньше, чем 2n-3. 6. На плоскости нарисовали n красных точек и отметили синим середины всех возможных отрезков с концами в красных точках. Докажите, что синих точек не меньше, чем 2n-3.
