Справочник по математическим формулам и графикам функций

Справочник по математическим формулам и графикам функций для студентов
С. Старков
978591180830
Содержание
Некоторые обозначения .......................................................... 13
Часть 1. Формулы .........................................................15
1. Формулы сокращенного
умножения и другие тождества ...............................................17
2. Формулы разложения многочленов на множители .......... 18
Разложения на множители некоторых многочленов 2-й, 3-й и 4-й степени _ Схема Горнера деления многочлена на двучлен _ Теорема о подборе корней многочлена с целочисленными коэффициентами _ Разложение многочлена n-й степени на простейшие множители
3. Действия с дробями .............................................................. 20
4. Средние величины. Пропорции. Проценты ........................ 21
5. Модуль (абсолютная величина) .......................................... 22
6. Степени и корни. Логарифмы .............................................. 27
Степени с натуральным, целым и рациональным показателем. Арифметический корень _ Свойства арифметических корней _ Свойства степени
с действительным показателем _ Свойства логарифмов
7. Прогрессии ............................................................................ 25
Арифметическая прогрессия _ Геометрическая прогрессия
8. Решение уравнений .............................................................. 36
Рациональные уравнения _ Уравнения, содержащие знак модуля _ Иррациональные уравнения _ Показательные уравнения _ Логарифмические уравнения _ Тригонометрические уравнения
9. Решение неравенств ............................................................. 28
Рациональные неравенства _ Неравенства, содержащие знак модуля
_ Иррациональные неравенства _ Показательные неравенства _ Логарифмические неравенства _ Тригонометрические неравенства
6 Содержание
10. Тригонометрические формулы ......................................... 31
Основные тождества _ Свойства четности и нечетности _ Формулы сложения _ Формулы кратных углов _ Формулы половинных углов _ Формулы преобразования суммы в произведение _ Формулы преобразования
произведения в сумму _ Выражение функций через тангенс половинного
угла _ Формулы приведения _ Обратные тригонометрические функции
_ Дополнительные тождества _ Связь радианной и градусной меры угла
_ Таблица значений тригонометрических функций
11. Типовые способы замены переменной ............................. 36
12. Формулы геометрии ........................................................... 37
Треугольники _ Вычисление площади треугольника _ Теорема Пифагора
_ Теорема синусов _ Теорема косинусов _ Четырехугольники _ Вычисление площади четырехугольника _ Окружность и круг _ Вычисление объемов и площадей поверхности
13. Векторы............................................................................... 39
Прямоугольные и полярные координаты точки на плоскости _ Прямоугольные и цилиндрические координаты точки в пространстве
_ Прямоугольные и сферические координаты точки в пространстве
_ Проекция вектора на ось _ Проекции вектора на оси прямоугольной
системы координат OXYZ _ Задание вектора в координатной форме
_ Расстояние между двумя точками _ Модуль (длина) вектора _ Направляющие косинусы вектора _ Единичный вектор _ Нулевой вектор
_ Вектор, противоположный вектору _ Равенство векторов _ Сложение
и вычитание векторов _ Умножение вектора на число _ Орт ненулевого
вектора _ Признак коллинеарности двух ненулевых векторов _ Линейная комбинация векторов _ Линейная независимость системы ненулевых
векторов _ Линейная зависимость системы векторов _ Связь коллинеарности и линейной зависимости двух векторов _ Связь компланарности
и линейной зависимости трех векторов _ Разложение вектора по базису
в пространстве _ Разложение вектора по трем некомпланарным векторам _ Разложение вектора по базису прямоугольной системы координат
OXYZ _ Преобразование координат в пространстве _ Преобразование ко-
ординат на плоскости при параллельном переносе и повороте осей _ Вычисление скалярного произведения в координатной форме _ Угол между векторами _ Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов
_ Вычисление векторного произведения в координатной форме _ Условие коллинеарности двух векторов _ Вычисление смешанного произведения в координатной форме _ Условие компланарности трех векторов
Содержание 7
14. Прямая на плоскости .......................................................... 46
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору _ Общее уравнение прямой _ Неполные
уравнения прямой _ Нормальное уравнение прямой _ Уравнение прямой в полярных кординатах _ Уравнение прямой с угловым коэффициентом _ Уравнение прямой «в отрезках» _ Параметрическое уравнение
прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору _ Каноническое уравнение прямой, проходящей через заданную
точку параллельно заданному вектору _ Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки _ Угол между двумя прямыми _ Расстояние от точки до прямой _ Расстояние от начала координат до прямой
_ Условие пересечения двух прямых и координаты точки пересечения
_ Условие совпадения двух прямых _ Условие принадлежности трех
заданных точек одной прямой
15. Плоскость и прямая в пространстве.................................. 50
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору _ Общее уравнение плоскости _ Неполные уравнения плоскости _ Нормальное уравнение плоскости _ Уравнение плоскости «в отрезках» _ Уравнение плоскости, проходящей через три различные
точки, не лежащие на одной прямой _ Расстояние от точки до плоскости
_ Угол между двумя плоскостями _ Параметрическое уравнение прямой
в пространстве, проходящей через заданную точку параллельно заданному
вектору _ Каноническое уравнение прямой в пространстве _ Уравнение
прямой в пространстве, проходящей через две различные точки _ Угол
между прямой и плоскостью _ Задание прямой в пространстве как линии
пересечения двух непараллельных плоскостей
16. Уравнения некоторых кривых на плоскости .................... 53
Эллипс _ Окружность _ Гипербола _ Парабола _ Архимедова спираль
_ Астроида _ Декартов лист _ Улитка Паскаля _ Кардиоида _ Конхоида
Никомеда _ Лемниската Бернулли _ Локон Аньези _ Циклоида _ Эпициклоиды _ Эпитрохоиды _ Розы _ Гипоциклоиды _ Гипотрохоиды
17. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка ...... 57
Эллипсоид _ Однополостной гиперболоид _ Двухполостной гиперболоид _ Конус второго порядка _ Эллиптический параболоид _ Гиперболический параболоид _ Эллиптический цилиндр _ Гиперболический
цилиндр _ Параболический цилиндр _ Пара пересекающихся плоскостей _ Пара параллельных плоскостей
8 Содержание
18. Определители ..................................................................... 58
Определитель первого порядка _ Определитель второго порядка _ Определитель третьего порядка _ Определитель n-го порядка _ Алгебраическое дополнение _ Свойства определителей _ Решение системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными по формулам Крамера
19. Матрицы .............................................................................. 61
Прямоугольные матрицы размера m×n _ Равенство матриц _ Нулевая
матрица _ Противоположная матрица _ Сложение матриц одинакового
размера _ Умножение матрицы на число _ Умножение матриц согласованного размера _ Свойства единичной матрицы _ Обратная матрица
_ Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы
_ Решение системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными методом обратной матрицы _ Ранг матрицы _ Теорема Кронекера–Капелли о совместности систем m линейных уравнений c n неизвестными
20. Пределы и непрерывность ................................................. 65
Свойства сходящихся последовательностей _ Сходимость монотонной
и ограниченной последовательности _ Критерий Коши сходимости последовательности _ Свойства функций, имеющих предел (правила вычисления пределов) _ Односторонние пределы функции _ Условие существования предела функции _ Пределы функции «на бесконечности»
_ Бесконечные пределы _ Замечательные пределы _ Бесконечно малые
и бесконечно большие функции _ Таблица эквивалентных бесконечно
малых _ Точки разрыва _ Свойства функций, непрерывных на отрезке
21. Производная и дифференциал.......................................... 70
Конечные и бесконечные производные _ Односторонние производные
_ Условие существования производной функции _ Существование производной и непрерывность _ Производные основных элементарных функций
(таблица производных) _ Производные гиперболических функций _ Правила дифференцирования _ Производная сложной функции _ Производная обратной функции _ Производная функции, заданной параметрически
_ Производная функции, заданной неявно _ Производная показательностепенной функции _ Производные высших порядков _ Формулы Тейлора и Маклорена _ Теорема Ферма. Необходимое условие экстремума
функции _ Теорема Ролля _ Теорема Лагранжа _ Теорема Коши _ Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей _ Уравнение касательной
к графику функции _ Уравнение нормали к графику функции _ ПриблиСодержание 9
женные вычисления с помощью дифференциала _ Дифференциалы высших порядков _ Выражение производных через дифференциалы
22. Неопределенный интеграл ................................................ 77
Первообразная _ Неопределенный интеграл _ Свойства неопределенного интеграла _ Таблица интегралов _ Метод интегрирования с помощью
замены переменной _ Метод интегрирования по частям _ Интегрирование рациональных дробей _ Интегрирование простейших рациональных
дробей _ Интегралы от некоторых рациональных дробей _ Интегралы от
некоторых иррациональных функций _ Интегралы от некоторых показательных и логарифмических функций _ Интегралы от некоторых тригонометрических функций
23. Определенный интеграл .................................................... 85
Связь определенного и неопределенного интеграла _ Формула Ньютона–Лейбница _ Свойства определенного интеграла _ Оценки значения
определенного интеграла _ Метод интегрирования с помощью замены
переменной _ Метод интегрирования по частям _ Вычисление площадей,
длин дуг и объемов с помощью определенного интеграла
24. Несобственные интегралы ................................................. 88
Несобственные интегралы 1-го рода _ Несобственные интегралы 2-го рода
_ Гамма-функция _ Значения некоторых несобственных интегралов
25. Частные производные
и дифференциалы функций нескольких переменных .... 91
Частная производная функции _ Производная функции по направлению _ Частные производные высшего порядка _ Полная производная
сложной функции _ Частные производные сложной функции _ Частные дифференциалы _ Полный дифференциал _ Дифференциалы n-го
порядка _ Формула Тейлора _ Необходимые условия экстремума функции _ Достаточные условия экстремума функции _ Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
26. Кратные интегралы ............................................................ 94
Вычисление двойного интеграла через повторные _ Свойства двойного интеграла _ Вычисление двойного интеграла в полярных кординатах _ Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла _ Вычисление тройного интеграла через повторные _ Свойства
тройного интеграла _ Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических кординатах _ Вычисление объемов с помощью
тройного интеграла
10 Содержание
27. Криволинейныеи поверхностные интегралы ................. 96
Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода _ Вычисление криволинейных интегралов 2-го рода _ Формула Грина _ Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода _ Вычисление поверхностных интегралов
2-го рода _ Формула Стокса _ Формула Гаусса–Остроградского
28. Дифференциальные операции векторного анализа ......... 98
Оператор Гамильтона _ Градиент функции _ Производная функции по
направлению _ Дивергенция вектор-функции _ Ротор вектор-функции
_ Оператор Лапласа. Дифференциальные операции 2-го порядка
29. Числовые и степенные ряды ............................................. 99
Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды _ Свойства сходящихся число-
вых рядов _ Необходимое условие сходимости числового ряда _ Достаточное условие расходимости числового ряда _ Знакопостоянные числовые
ряды. Достаточные признаки сходимости и расходимости _ Знакопеременные и знакочередующиеся числовые ряды. Абсолютная и условная
сходимость _ Сложение и умножение степенных рядов _ Дифференцирование и интегрирование степенных рядов _ Разложения функций в степенные ряды _ Значения сумм некоторых числовых рядов
30. Тригонометрические ряды Фурье ................................... 105
31. Элементы теории
обыкновенных дифференциальных уравнений ............ 106
Дифференциальное уравнение с разделенными переменными _ Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными _ Дифференциальное уравнение, однородное относительно аргумента и функции
_ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка _ Уравнение
Бернулли _ Уравнение в полных дифференциалах _ Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами _ Линейное однородное дифференциальное уравнение
n-го порядка с постоянными коэффициентами
32. Комплексные числа .......................................................... 111
Степени числа i _ Алгебраическая форма комплексного числа _ Равенство комплексных чисел _ Комплексно сопряженное число _ Модуль комплексного числа _ Аргумент комплексного числа _ Множество значений
аргумента _ Действия над комплексными числами в алгебраической форме _ Свойства действий над комплексными числами _ Тригонометрическая форма комплексного числа _ Действия над комплексными числами
в тригонометрической форме _ Показательная форма комплексного числа
Содержание 11
_ Действия над комплексными числами в показательной форме _ Расстояние между точками _ Уравнение прямой _ Уравнение окружности
_ Разложение многочлена на линейные множители _ Основная теорема
алгебры
33. Элементы теории
функций комплексной переменной ................................ 116
Основные функции комплексной переменной _ Гиперболические функции _ Производная функции комплексной переменной _ Вычисление
интегралов _ Формула Ньютона–Лейбница _ Теорема Коши _ Интегральная формула Коши _ Ряды Тейлора _ Ряды Лорана _ Особые точки _ Классификация изолированных особых точек _ Вычеты. Основная
теорема о вычетах
34. Элементы теории вероятностей ...................................... 120
Число сочетаний без повторений из n элементов по k _ Число размещений без повторений из n элементов по k _ Число перестановок без повторений из n элементов по n _ Число размещений с повторениями из
n элементов по k _ Формула Стирлинга _ Свойства операций сложения
и умножения событий _ Правило сложения вероятностей _ Условная
вероятность. Независимые события _ Правило умножения вероятностей _ Формула полной вероятности _ Формула Байеса. Пересчет вероятностей гипотез _ Повторение испытаний с двумя исходами. Формула Бернулли _ Функция распределения случайной величины _ Ряд
распределения дискретной случайной величины _ Плотность распределения непрерывной случайной величины _ Математическое ожидание
и дисперсия дискретной случайной величины с n значениями _ Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины _ Среднее квадратическое отклонение _ Биномиальное распределение _ Распределение Пуассона _ Равномерное распределение _ Нормальное распределение _ Неравенство Чебышева
Часть 2. Графики функций .........................................127
35. Графики основных элементарных функций .................. 128
36. Основные типы преобразований графиков ................... 130
37. Преобразования графиков линейных функций ............. 132
38. Преобразование графиков квадратичных функций ..... 142
39. Преобразования графиков
многочленов3-й и 4-й степени ....................................... 152
12 Содержание
40. Преобразования графиков
дробно-рациональных функций ..................................... 162
41. Преобразования
графиков функций,
содержащих рациональные степени и корни ................ 182
42. Преобразования графиков
показательных и логарифмических функций ............... 192
43. Преобразования графиков
тригонометрических функций ......................................... 202
44. Графики различных комбинаций
элементарных функций ................................................... 214
45. Изображения неявно заданных зависимостей,
содержащих знак модуля ................................................ 217
46. Изображения зависимостей,
заданных параметрически ............................................... 222
47. Изображения зависимостей,
заданных в полярных координатах ................................ 226
48. Изображения некоторых кривых на плоскости ............. 227
49. Изображения поверхностей 2-го порядка ...................... 228
Литература .............................................................................. 229
Алфавитный указатель основных формул ........................... 231
__