Российская Академия естественных наук

Российская Академия естественных наук
Правительство Российской Федерации
Государственный университет
Высшая школа экономики
Кафедра высшей математики
Е.В.Коваленко
([email protected])
Высшая математика
для экономических специальностей
Учебно-методическое пособие
Москва
2010
Содержание
Предисловие ……………………………………………………
3
Г л а в а 1. Тематические тесты ……………………………… 4
Часть I
§ 1.1. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии (специальность «Менеджмент») …………… 4
§ 1.2. Дифференциальное исчисление функций одной
и нескольких переменных (специальность
«Менеджмент») …………………………………….......... 10
Часть II
§ 1.3. Математический анализ. Функции одной
переменной (специальность «Экономика») …………… 20
§ 1.4. Интегральное исчисление. Ряды (специальность
«Менеджмент») ………………………………………….. 36
Г л а в а 2. Итоговые тесты ……………………………........... 46
Часть III
§ 2.1. Алгебра, анализ, основы обыкновенных
дифференциальных уравнений (специальность
«Менеджмент») …………………………………………. 46
§ 2.2. Математический анализ (специальность
«Мировая экономика») …………………………………. 55
Часть IV
§ 2.3. Математический анализ (специальность
«Экономика») …………………………………………… 71
§ 2.4. Линейная алгебра и элементы аналитической
геометрии. Математический анализ
(специальность «Государственное и
муниципальное управление») …………………………. 92
-2-
Предисловие
В данное учебно-методическое пособие вошли тесты, предлагаемые
автором студентам различных факультетов ГУ-ВШЭ для проверки знаний
по высшей математике в промежуточной и итоговой формах контроля.
Материал пособия составлен в соответствии с требованиями
Государственных образовательных стандартов по высшей математике и
включает в себя следующие разделы: линейную алгебру с элементами
аналитической геометрии, математический анализ и основы обыкновенных
дифференциальных уравнений. Достаточное количество вариантов дает
возможность эффективно использовать их в процессе аудиторной и
самостоятельной работы студентов, при компьютерном тестировании. Это
учебно-методическое пособие можно также рассматривать как
дополнительный
материал к основным учебникам, предлагаемым
студентам и слушателям.
-3-
Глава 1. Т е м а т и ч е с к и е т е с т ы
Часть I
§ 1.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
(специальность «Менеджмент»)
Вариант №1
1. Укажите неверное утверждение.
A) Любые две матрицы можно складывать;
B) Если сумма двух матриц равна A  B , то A  B  B  A ;
C) Любую матрицу можно умножить на число;
D) Любую матрицу можно транспонировать;
E) Если A  квадратная матрица порядка n , то det  pA  p n det  A , где p  любое
число.
2
2. Наибольшим целым решением неравенства
A) 0;
B)  2 ;
C) 2;
D) 1;
 5 1
3
x
2
1
8 0 является число
3
E)  3 .
3. Матрица X , удовлетворяющая уравнению
 7 10 
1 2 

 X  
 , равна
2 3 
1 3 
 5 7 
A) 
 ;
17  24 
  7  24 
B) 
;
17 
 5
  7 17 
C) 
 ;
  24 5 
 7 5 
D) 
 ;
  24 17 
  24  7 
E) 
.
17 
 5
0
0 
 1


4. Обратной по отношению к матрице   2 6
 2  является матрица
 1  10 4 


0
0
 1


A)  0,5 1 1,5  ;
 3,5 2,5 1,5 


0
0 
0
0 
0 0
 1
 1
 1






B)  0,5 1 1,5  ; C)  1,5 1 0,5  ; D)  1,5 1 0,5  ;
 2,5 3,5 1,5 
 3,5 2,5 1,5 
 2,5 3,5 1,5 






0
0 
 1


E)  1,5 1 0,5  .
 3,5 2,5 0,5 


-4-
 1 1 1 1 1 


  2 2  2 2  2
5. Ранг матрицы A   3  3 3  3 3  равен


  4 4  4 4  4
 5 5 5 5 5 


A) 1;
B) 2; C) 3; D) 4; E) 5.
6. Укажите неверное утверждение.
A) Неоднородная система линейных уравнений совместна, если ранг ее матрицы равен
рангу расширенной матрицы;
B) Неоднородная система линейных уравнений с квадратной вырожденной матрицей
имеет бесконечно много решений;
C) Если система линейных уравнений несовместна, то она не имеет решений;
D) Однородная система линейных уравнений с квадратной вырожденной матрицей
имеет ненулевые решения;
E) Однородная система линейных уравнений всегда имеет решения.
7. Угол между векторами a  1;2;2 и b   3;0; 3 равен
A)  / 4 ;
B)  / 2 ;
C) 3 / 4 ;
D) 2 / 3 ;
E)  / 3 .
8. Даны векторы a  1;2;1 , b  3;2; 1 , c   1;2;3 . Длина вектора p  2a  3b  c
равна
А) 14 ;
B) 2 14 ;
C) 3 14 ;
D) 4 14 ;
E) 5 14 .
9. Уравнение прямой, проходящей через точку M  2;1 , перпендикулярно прямой
 3 y  2 x  13  0 имеет вид
A) 3x  2 y  8  0 ; B) 2 x  3 y  8  0 ; C) 2 x  3 y  8  0 ; D) 3x  2 y  8  0 ;
E) 2 x  3 y  8  0 .
10. Расстояние между плоскостями 16 x  12 y  15z  29  0 и 16 x  12 y  15z  4  0
равно
A) 1; B) 2; C) 3;
D) 4;
E) 5.
11. Уравнение 4 x 2  25 y 2  16 x  50 y  109  0 определяет:
A) эллипс;
B) гиперболу;
C) параболу;
D) пару прямых;
-5-
E) мнимую кривую.
12. Уравнение прямой, проходящей через точку M (1;1;1) перпендикулярно плоскости
16 x  12 y  15z  12  0 имеет вид
x 1 y 1 z 1
x 1 y 1 z 1
x 1 y 1 z 1






; B)
; C)
;
16
12
15
16
12
15
15
 12
16
x 1 y 1 z 1
x 1 y 1 z 1




D)
; E)
.
16
 12
15
16
 12
15
A)
13. Если у произведения комплексных чисел x  3i и 1 2i действительная часть равна
 4 , то это произведение равно
A)  4  7i ; B)  4  5i ;
C)  4  5i ; D)  4  3i ; E)  4  7i .
14. Корень уравнения z 3  8  0 , имеющий наименьшую вещественную часть, равен
A)  2 ; B) 1  i 3 ; C) 1  i 3 ; D)
3  i ; E)  3  i .
15. Число элементов фундаментальной системы решений однородной системы
 x1  2 x 2  3x3  0,

линейных уравнений 3x1  2 x 2  x3  0, равно
 x  2 x  5x  0
2
3
 1
A) 0; B) 1; C) 2; D) 3; E)  .
16. Решите систему линейных уравнений методом Крамера
 9,
3x1  x2

 x1  2 x2  x3  5,
3x  4 x  2 x  13.
2
3
 1
17. Найдите общее решение неоднородной системы линейных уравнений
 2 x1  x 2  x3  x 4  1,

x 2  x3  2 x 4  2,

 2x  2x
 3x 4  3.
2
 1
18. Даны векторы a  3;1;3, b  1; 2;4 , c  0; 1; 2 и d  9;5;13 в некотором
базисе. Покажите, что векторы a, b, d образуют базис. Найдите координаты вектора d
в этом базисе.
19. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного преобразования,
 7 0 0


заданного матрицей A   0 3 2  .
 0 2 3


-6-
 x  x 2  x 3  a,
20. Найдите общее решение системы линейных уравнений  1
при тех
 x1  x 2  ax3  1
значениях параметра a , при которых она совместна.
Вариант №2
1. Укажите неверное утверждение. Если A  квадратная матрица и det  A  0, то:
A) det  A  det AT ;
B) существует обратная матрица A 1 ;
C) AA1  A1 A  E ;
D) det A1   det  A ;
E) det A1 det  A  1 .
2
3 2
2. Решением уравнения  5 x
1 8
A) 0;
B)  2 ;
C) 2;
D) 1;
1 0 является число
3
E)  3 .
3. Матрица X , удовлетворяющая уравнению
 3 10   2 3
X 
 
 , равна
 2 7   1 1
 8  11
A) 
 ;
5  7 
  11 8 
B) 
 ;
  7 5
  8 11
C) 
 ;
5 7 
5  7 
D) 
 ;
 8  11
  7  11
E) 
.
8 
 5
 2 0 0


4. Обратной по отношению к матрице  3 2 1  является матрица
 7 5 3


  1 3  1


0 ;
A)  0,5 0
 0,5  5 2 


0
 0,5 0
 0,5  1 0,5 
 0,5 0,5  1






3  5  ; D)   5 0
3 ;
B)   1 3  1 ; C)  0
 0,5  5 2 
 0,5  1 2 
 2
0  1





 0,5  5 2 


0 .
E)  0,5 0
  1 3  1


-7-
 1 2 3 4 5 


  1 2  3 4  5
5. Ранг матрицы A   1  2 3  4 5  равен


  1 2  3 4  5
 1 2 3 4 5 


A) 0;
B) 1; C) 2; D) 3; E) 4.
6. Укажите неверное утверждение.
A) Однородная система линейных уравнений всегда совместна;
B) Неоднородная система линейных уравнений совместна, если ранг ее матрицы равен
рангу расширенной матрицы;
C) Неоднородная система линейных уравнений с квадратной невырожденной матрицей
имеет единственное решение;
D) Если система линейных уравнений несовместна, то она имеет бесконечно много
решений;
E) Однородная система линейных уравнений с квадратной вырожденной матрицей
имеет ненулевые решения.
7. Угол между векторами a  1;2;2 и b  3;0;3 равен
A)  / 6 ;
B)  / 3 ;
C)  / 2 ;
D) 2 / 3 ;
E)  / 4 .
8. Даны векторы a  3;2;1 , b   1;2;3 , c  1;2;1 . Длина вектора q  3a  b  2c
равна
А) 5 14 ;
B) 4 14 ;
C) 3 14 ;
D) 2 14 ;
E) 14 .
9. Уравнение прямой, проходящей через точку M 1;2 , перпендикулярно прямой
2 y  3x  11  0 имеет вид
A)  3x  2 y  8  0 ; B) 2 x  3 y  8  0 ; C) 2 x  3 y  8  0 ; D) 3x  2 y  8  0 ;
E) 2 x  3 y  8  0 .
10. Расстояние между плоскостями 16 x  12 y  15z  29  0 и 16 x  12 y  15z  21  0
равно
A) 5; B) 4; C) 3;
D) 2;
E) 1.
11. Уравнение 4 x 2  25 y 2  16 x  50 y  109  0 определяет:
A) эллипс;
B) гиперболу;
C) параболу;
D) пару прямых;
-8-
E) мнимую кривую.
12. Уравнение прямой, проходящей через точку M (1;1;1) перпендикулярно плоскости
15 x  12 y  16 z  16  0 имеет вид
x 1 y 1 z 1
x 1 y 1 z 1
x 1 y 1 z 1






; B)
; C)
;
16
12
15
15
12
16
15
12
16
x 1 y 1 z 1
x 1 y 1 z 1




D)
; E)
.
15
12
 16
 16
12
15
A)
13. Если у произведения комплексных чисел 2  3i и 1  xi мнимая часть равна 7, то
это произведение равно
A) 4  7i ;
B) 3  7i ;
C)  4  7i ; D)  3 7i ; E)  7  7i .
14. Корень уравнения z 3  8  0 , имеющий наименьшую мнимую часть, равен
A) 2 ; B)  1  i 3 ; C) 1  i 3 ; D)  1 2i ; E) 1 2i
15. Число элементов фундаментальной системы решений однородной системы линей-
2 x1  x 2  x3  x 4  0,

ных уравнений 2 x1
 x3  2 x 4  0,
x  2x
 3x 4  0
2
 1
равно
A)  ; B) 3; C) 2; D) 1; E) 0.
16. Решите систему линейных уравнений методом Крамера
2 x1  2 x 2  x3  6,

3x 2  4 x3  6,

x
 x3  1.
 1
17. Найдите общее решение неоднородной системы линейных уравнений
 x1  x 2  x 3  x 4  0,
 x  2 x  2 x  x  5,
 1
2
3
4

 2 x1  x 2  3x 3  2 x 4  1,
 x1  2 x 2  3x 3  6 x 4  10.
18. Даны векторы a  2;0;1, b  2;3;0 , c   1;4;1 и d  6;6;1 в некотором базисе.
Покажите, что векторы a, b, d образуют базис. Найдите координаты вектора d в этом
базисе.
-9-
19. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного преобразования,
 4 0  1


заданного матрицей A   0 5 0  .
1 0 4 


 x  x 2  x 3  a,
20. Найдите общее решение системы линейных уравнений  1
при тех
 x1  ax 2  x 3  1
значениях параметра a , при которых она совместна.
§ 1.2. Дифференциальное исчисление функций одной и
нескольких переменных
(специальность «Менеджмент»)
Вариант №1
1. Укажите верное утверждение. Функция f (x ) задана в окрестности точки a . Число
b не является пределом f (x ) при x  a , если:
A)    0 :   0  x : 0  x  a   и f ( x)  b   ;
B)    0,    0 x : 0  x  a    f ( x)  b   ;
C)    0   0,  x : 0  x  a   и f ( x)  b   ;
D)    0,   0  x : 0  x  a   и f ( x)  b   ;
E)    0 :
  0  x : 0  x  a   и f ( x)  b   .
2. Предел lim
6 x  9  18
равен
arctg x
A) 0;
C) 2;
x 0
B) 1;
D) 3;
  
3. Предел lim cos 2 x
x 0
1/ x
E) 4.
равен
A) 0; B) e 1 / 2 ; C) e 1 ; D) e 2 ; E) e 4 .
4. Предел lim x  a  x равен нулю тогда и только тогда, когда
x 
A) a  0 ; B) a  0 и   1 ; C) a  0 и   0 ;
E) a  1 и   1  a  1 и   0 .
- 10 -
D) a  1   a  1и   0 ;
5. Все утверждения данного задания относятся к одной точке x 0 . Укажите верное
утверждение.
A) Если f (x ) имеет производную, а g ( x ) не имеет производной, то f ( x ) g ( x ) не имеет
производной;
B) Если f (x ) и g ( x ) не имеют производной, то f ( x ) g ( x ) не имеет производной;
C) Если f (x ) имеет производную, а g ( x ) не имеет производной, то f ( x )  g ( x ) не
имеет производной;
D) Если f (x ) и g ( x ) не имеют производной, то f ( x )  g ( x ) не имеет производной;
E) Если f (x ) имеет производную, а g ( x ) не имеет производной, то f ( x ) / g ( x ) не
имеет производной.
6. Производная функции f ( x )  arcsin
A)  2 ;
B)  1 ;
C) 0;
x
1 x2
при x  0 равна
D) 1; E) 2.
7. Производная функции f ( x )  x x при x  e равна
А) 2e e ;
B) e ;
C) e e ;
D) 2 e 2 e ;
E) e 2 e .
8. Укажите функцию, эластичность которой постоянна.
А) Ax  B ;
C) A ln 1  Bx  ;
B) Ae Bx ;
9. Функция f ( x ) 
D) 1/  Ax  B ;
E) Ax B .
xe1 / x
, x  0, f (0)  0 имеет:
x2 1
A) три точки разрыва первого рода;
B) три точки разрыва второго рода;
C) одну точку разрыва первого рода и две точки разрыва второго рода;
D) две точки разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода;
E) две точки разрыва второго рода.
10. Укажите функцию, для которой точка x0  0 не является точкой перегиба.
A) x 3 ;
B) sin x ;
C) arctg x ;
D) tg x ;
E) cos x .
11. Функция f ( x)  e  x имеет:
2
A) одну точку экстремума и одну точку перегиба;
B) одну точку экстремума и две точки перегиба;
C) одну точку экстремума и три точки перегиба;
D) две точки экстремума и две точки перегиба;
E) две точки экстремума и три точки перегиба.
12. Минимальное значение функции f ( x )  x x в области 0  x   равно
A) 1 / e  ;
e
B) e e ; C) e 1 / e ; D) e 1 / e ;
E) 1.
- 11 -
13. Частная производная
A) 0; B) 1;
u
0,0 функции u( x, y )  3 x 3  y 3 равна
x
C) 2; D) 1/3; E) не существует.
14. Укажите функцию, имеющую в точке O0,0 строгий локальный минимум.
A) u( x, y )  x 2  y 2 ; B) ux, y   x 2  y 2 ; C) u  x, y    x  y  ; D) ux, y    x 2  y 2 ;
2
E) u  x, y    x  y  .
2
15. Наибольшее значение функции u  x 2  xy в области  1  x  1, 0  y  3 равно
A) 0; B) 1; C) 2; D) 3; E) 4.
16. Вычислите производную y x функции, заданной параметрически
x  ln 1  t 2 , y  t  arctg t . Найдите ее значение при t  2 .
17. Вычислите градиент функции u( x, y, z )   2 / 3z 3  2 zy  y 2  4 y  5x 2  10 x  3 в
точках M x; y; z , M 1 1;1;1 .
18. Найдите все точки локального экстремума функции ux, y   x 2  2 xy  4 y 3 и
определите их тип.
19. Найдите производную первого порядка y x неявной функции y  y (x ), заданной
уравнением y  0,5 cos y  x  0 .
20. Исследуйте на условный экстремум: u  2 x  16 y, xy  y 2  7  0 .
Вариант №2
1. Укажите верное значение предела lim
x 
A)  1 ;
B) 1; C) 2;
D)  2 ;
x
2

 x  1  x 2  x  11 .
E) 1/2.
1  cos 4 x
.
x  x sin 2 x
2. Укажите верное значение предела lim
A) 
2

;
B) 2 ;
3. Для функции y 
A)

6

C)
4

;
D)
8

;
E) 
8

.
arcsin 1  x
 3
значение производной y   равно
1 x
4
1 
1 
1 
1



; B) 4 
 ; C) 2 
 ; E) 0.
 ; D) 4 
3
2
3
3
6
6
3
- 12 -
 x 
4. Для функции z  arctg  2  значение производной z y в точке M 1;1 равно
y 
A) 1;
B)  1 ;
C) 2;
D) 0;
E)  2 .
5. Значение функции z   x  1   y  1  4 в точке экстремума равно
2
A) 1;
B)  1 ;
C) 0;
2
D)  4 ; E) 4.
6. Укажите правильную расшифорвку записи lim f ( x )  8 . Для   0     
x  5
такое, что
A) f (x )  8   , как только x  5   ;
B) f (x)  8   , как только 0  x  5   ;
C) 8    f ( x )  8   , как только 0  x  5   ;
D) f (x)  8   , как только x  5   ;
E) 0  f ( x)  8   , как только 0  x  5   .
7. При значении x  0 функция y  xe1 / x
А) непрерывна;
имеет разрывы:
B) устранимый;
C) первого рода;
D) второго рода;
E) не верно ни одно из этих утверждений.
8. Для функции y  1 4 x 2 
arccos 2 x
А)  1 ;
B) 0;
C) 1;
D)   / 4 ;
значение y  0 равно
E)  / 4 .
9. Для функции y ( x ) , заданной уравнением y  1 2 xe y , значение y x в точке
M  1/ 2;0 равно
A) 0;
B)  1 ;
C) 1;
D) 2;
E)  1 / 2 .
10. Для функции, заданной параметрически
 x (t )  arctg t ,


t2
y
(
t
)

,

2
значение y x в точке O0,0 равно
A)  1 ;
B)  / 4 ;
C) 2;
D) 0;
E) 1.
- 13 -
11. Найдите экстремумы функции y  2 x  3  3 x 2 . В ответе укажите значение функции
в точке экстремума, а если таких значений несколько, то произведение значений
функции в точках экстремума.
A)  1 ;
B) 0;
C) 1;
D) 2;
E)  2 .
12. Укажите верное утверждение.
A) Градиент функции направлен по касательной к линии уровня функции двух
переменных;
B) Градиент – вектор, всегда задающий направление к началу координат;
C) Если градиент и вектор, задающий направление, совпадают, то производная по
направлению равна нулю;
D) Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции;
E) Градиент указывает то направление, в котором функция не меняется.
13. Значение градиента в точке M 2;1;1 для функции u  x 2 yz  5 arctg  y  z  равно
A) 4;3;2 ; B) 4;3;3 ;
C) 4;3;3 ; D) 3;3;2 ; E) 4;3;1 .



14. Для функции пункта 13 производная по направлению l  3 j  4k в точке M 2;1;1
равна
A) 1; B)  0,6 ; C) 0; D)  1 ; E) 0,6.
15. Скорость наибольшего возрастания функции пункта 13 в точке M 2;1;1 равна
A)
5 ; B)
30 ; C)
34 ; D) 6; E) 1.
16. Найдите локальные экстремумы функции z  x 4  y 4  x 2  2 xy  y 2 .
17. Найдите условные экстремумы функции z  2 x  y при x 2  y 2  1 .
18. Найдите наибольшее M и наименьшее m значения функции u на заданном
множестве: u  x 2  xy  y 2 , x  y  1.
19. Функция спроса q и предложения s от цены выражаются соответственно
уравнениями: q  7  p и s  p  1. Найдите: а) равновесную цену; б) эластичность
спроса и предложения для этой цены (выпишите соответствующие формулы, сделайте
выводы).
20. Для данных пункта 19 найдите изменение дохода (в процентах) при увеличении
цены на 5% от равновесной (выпишите формулу, сделайте выводы).
- 14 -
Вариант №3
1. Укажите верное утверждение. Функция f (x ) задана в окрестности точки a . Число
b является пределом f (x ) при x  a , если:
A)    0 :   0  x : 0  x  a   и f ( x)  b   ;
B)    0    0, x : 0  x  a    f ( x)  b   ;
C)    0,   0  x : 0  x  a    f ( x)  b   ;
D)    0,   0  x : 0  x  a   и f ( x)  b   ;
E)    0 :
  0  x : 0  x  a   и f ( x)  b   .
4 5  x  8
равен
x 1
sin x 
2. Предел lim
A) 0;
B) 1;
C) 2;
D) 3;
  
3. Предел lim cos x
x 0
3 / x
E) 4.
равен
A) e 3 / 2 ; B) e 2 / 3 ; C) e D) e 2 / 3 ; E) e 3 / 2 .
4. Предел lim x   log a x равен нулю тогда и только тогда, когда
x
A)   0 и a  0 , и a  1 ;
B)   1 и a  0 , и a  1;
C)   1 и a  0 , и a  1 ;
D)   0 и 0  a  1 ;
E)   0 и
a  1.
5. Укажите неверное утверждение. Если функция f x  дифференцируема в точке x 0 ,
то:
A) f (x ) непрерывна в точке x 0 ;
B)  f x0  ;
C)  f x0  ;
D) график f x  имеет касательную в точке x 0 ;
E) f x   f x0  – бесконечно малая функция в точке x 0 .
6. Производная функции f ( x )  2 arctg
A)  2 ;
B)  1 ;
C) 0;
x
1  1 x2
D) 1; E) 2.
- 15 -
при x  0 равна
7. Производная функции f ( x )  x  x при x  e равна
A) 2e  e ;
B) e  e ;
C)  e  e ;
D)  2e  e ;
E) e 2 e .
8. Укажите функцию, эластичность которой не является постоянной.
А) Ax  B ;
B) Ax ;
C) A/ x ;
D) Ax 2 ;
E) A x .
xe1 / x
9. Функция f ( x ) 
, x  0, f (0)  0 имеет:
1 x2
A) две точки разрыва второго рода;
B) две точки разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода;
C) три точки разрыва второго рода;
D) одну точку разрыва первого рода и две точки разрыва второго рода;
E) три точки разрыва первого рода.
10. Укажите функцию, для которой точка x0  0 является точкой перегиба.
A) x 2 ;
B) x tg x ;
C) x sin x ; D) x arctg x ;
E) x cos x .
11. Функция f x   xe x имеет:
A) одну точку экстремума и одну точку перегиба;
B) одну точку экстремума и две точки перегиба;
C) одну точку экстремума и три точки перегиба;
D) две точки экстремума и две точки перегиба;
E) две точки экстремума и три точки перегиба.
12. Значение функции f ( x )  x  x x  0 в точке локального экстремума равно
A) 1 / e  ;
e
B) e 1 / e ; C) e  e ; D) e 1 / e ;
13. Частная производная
A) 0; B) 1;
E) 1.
u
0,0 функции u( x, y )  5 x 5  y 5 равна
y
C) 2; D) 1/5; E) не существует.
14. Укажите функцию, имеющую в точке O0,0 строгий локальный максимум.
A) u( x, y )  x 2  y 2 ; B) ux, y   x 2  y 2 ; C) ux, y    x 2  y 2 ; D) u  x, y    x  y  ;
2
E) u  x, y    x  y  .
2
15. Наименьшее значение функции u  x 2  xy в области  1  x  1, 0  y  3 равно
A) 0; B)  1,25 ; C)  2,25 ; D)  3,25 ; E)  4,25 .
- 16 -
16. Вычислите производную y x функции, заданной параметрически
x  t ln t, y  ln t  / t . Найдите ее значение при t  1 .
17. Вычислите градиент функции u( x, y, z )   2 / 3 z 3  2 zy  y 2  4 y  5x 2  10 x  3 в
точках M x; y; z , M 1 1;4;2 .
18. Найдите все точки локального экстремума функции ux, y   x 2  2 xy  2 y 2  2 x и
определите их тип.
19. Найдите производную первого порядка y x неявной функции y  y (x ), заданной
уравнением y  0,5 sin y  x  0 .
20. Исследуйте на условный экстремум: u  3x  6 y, y 2  xy  1  0 .
Вариант №4
2x
 x2 1 
 .
1. Укажите верное значение предела lim  2
x   x  2 


A)  2 ;
B)  1 ;
C) 1/2;
D) 2; E) 1.
1  cos 3 x
.
x 0 x tg 2 x
2. Укажите верное значение предела lim
A) 1/2;
B) 3/4;
C)  3 / 2 ;
3. Для функции y 
D)  1 ;
E)  3 / 4 .
1
 ln 2  x  значение производной y 1 равно
x
A)  3 / 4 ; B) 1/2; C) 0,75; D)  1 ; E) 0.
 y

4. Для функции z  exp   3  5 y  4  значение производной z x в точке M 1;1 равно
 x

A)  1 ;
B) 2;
C) 0;
D) 3;
E)  3 .
5. Значение функции z  3   x  2    y  1 в точке экстремума равно
2
A)  2 ;
B) 3;
C) 1;
2
D)  3 ; E) 0.
- 17 -
6. Укажите правильную расшифорвку записи lim f ( x )  3 . Для   0     
x 2
такое, что
A) f x   3   , как только x  2   ;
B)  3    f x   3   , как только 2    x  2   ;
C) f (x )  3   , как только x  2   ;
D) f (x)  3   , как только 0  x  2   ;
E) 0  f ( x)  3   , как только x  2   .
7. При значении x  0 функция y  arccos1 / x 
А) непрерывна;
имеет разрывы:
B) устранимый;
C) первого рода;
D) второго рода;
E) не верно ни одно из этих утверждений.
x

8. Для функции y   sin 
 2
А)  1 ;
B)  / 3 ;
x2
значение y   равно
C)   / 3 ;
D) 0;
E) 1.
9. Для функции y ( x ) , заданной уравнением y  ln x  y   x  1 , значение y x в точке
M 0;1 равно
A) 0;
B)  1 ;
C) 1;
D) 1/2;
E)  1 / 2 .
10. Для функции, заданной параметрически


 x(t )  ln 1  t 2 ,

 y (t )  t  arctg t ,
значение y x в точке O0,0 равно
A)  / 3 ;
B) 0;
C)  1 ;
D) 1;
E) 2.
11. Найдите экстремумы функции y  4 x  8  6  3 x  2 . В ответе укажите значение
функции в точке экстремума, а если таких значений несколько, то произведение
значений функции в точках экстремума.
2
A)  2 ;
B) 2;
C) 0;
D) 1;
E)  1 .
- 18 -
12. Укажите верное утверждение.
A) Линия уровня функции двух переменных всегда проходит через начало координат;
B) Линия уровня – это обязательно кривая либо в форме эллипса, либо в форме
окружности;
C) Градиент и линия уровня функции, вычисленные для конкретной точки на
плоскости, всегда ортогональны;
D) Градиент направлен по касательной к линии уровня;
E) Производная по напрпавлению в данной точке всегда ортогональна линии уровня,
проходящей через эту точку.
13. Значение градиента в точке M 0;1;1 для функции u  xy  y ln 1  x 2   2 arctg z
равно
A)  1;0;0 ; B)  1;0;1 ;
C) 1;1;1 ; D) 1;0;1 ; E)  1;0;1 .


 
14. Для функции пункта 13 производная по направлению l  2i  2 j  k в точке
M 0;1;1 равна
A)  1 / 3 ; B) 0; C) 1; D) 1/3; E)  0,5 .
15. Скорость наибольшего возрастания функции пункта 13 в точке M 0;1;1 равна
A)
3 ; B) 0; C) 5; D) 1; E)
2.
16. Найдите локальные экстремумы функции z  2 x 3  xy 2  5x 2  y 2 .
17. Найдите условные экстремумы функции z  5  3x  4 y при x 2  y 2  25 .
18. Найдите наибольшее M и наименьшее m значения функции u на заданном
множестве: u  x 2  y 2  xy  x  y, x  y  3, x  0, y  0.
19. Функция спроса q и предложения s от цены выражаются соответственно
уравнениями: q  6  p и s  p  2. Найдите: а) равновесную цену; б) эластичность
спроса и предложения для этой цены (выпишите соответствующие формулы, сделайте
выводы).
20. Для данных пункта 19 найдите изменение дохода (в процентах) при увеличении
цены на 4% от равновесной (выпишите формулу, сделайте выводы).
- 19 -
Часть II
§ 1.3. Математический анализ. Функции одной переменной
(специальность «Экономика»)
Вариант №1
1. Укажите верное утверждение. Функция y  f ( x ) задана в окрестности точки a .
Число A не является пределом функции f ( x ) при x  a , если:
x  a   и f ( x)  A   ;
1.   0 :   0 x :
2.   0 ,   0 x : 0  x  a    f ( x)  A   ;
3.   0 ,   0 x : 0  x  a  
и
f ( x)  A   ;
4.   0 ,   0 x : 0  x  a  
и
f ( x)  A   ;
5.   0 :   0 x : 0  x  a  
и
f ( x)  A   .
2. Укажите все сходящиеся последовательности an  .
n
sin
5n 2  2n
2
1. a n 
; 2. a n 
(n  1) ; 3. an  1  ( 1) n ;
n
lg n
1

5. a n  n ln 1  2  .

n 
4. a n 
2 n  ( 2) n
;
3n


3. Предел lim x x 2  3  x равен
x 
1.   ;
2.  3 2 ;
3. 0;
5.   .
4. 3 2 ;
3
4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f ( x )  x в точке с
абсциссой x 0  1 .
1.  6 ;
2.  3 ln 3 ;
3.  3 ;
4. 3 ;
5. 3 ln 3 .
5. Вычислите неопределенный интеграл

x (1  x)
1
arctg 2
2
1. ln arctg x  C ; 2. 2 arctg x  C ; 3.
5.
arctg x
1
arctg x  C .
x
sin 2 3x
равен
x  1  cos 4 x
6. Предел lim
1. 0;
2. 3 4 ;
3. 9 8 ;
4. 9 4 ;
5.  .
- 20 -
dx .
x  C ; 4. arctg 2
x C;
7. Укажите функцию, эластичность которой постоянна (a  const, b  const) .
1. ax  b ;
2. ae bx ;
3. a ln(1  bx ) ;
4.
1
;
ax  b
5. ax b .
8. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
f ( x)  x 3  12 x  7 на отрезке 0,3 равна
1. 32;
2. 25;
3. 16; 4. 9;
5. 7.
2
9. Предел lim(cos 4 x ) ctg x равен
x 0
1. e 8 ;
2. e 8 ;
4. e 4 ;
3. 1;
5. e 4 .
10. Неверными среди приведенных являются утверждения:
1. ln(1  3x )  O( x ) ( x  ) ;
2. 10 x  1  o( 3 sin 4 x ) ( x  0) ;

3. (1  x )   1  O( x ) ( x  ;   0) ;
4. arctg x ~ x ( x  1) ;
3
3
( x  0) .
5. x sin 2 ~
x
x
x ln x

 ( x  1)( x  2)

11. Функция f ( x )  
1 ( x  0)


( x  0),
имеет:
1. одну точку разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода;
2. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва второго рода;
3. одну точку разрыва первого рода и две точки разрыва второго рода;
4. две точки разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода;
5. две точки разрыва второго рода и одну точку устранимого разрыва.
12. Значение производной y x функции y  y( x) , заданной неявно уравнением
y  ln( x  y )  x  1 , в точке М (0;1) равно
1.  1 ;
2.  1 2 ;
3. 0 ;
4. 1 2 ;
5. 1 .
13. Предел lim x b a  x равен нулю тогда и только тогда, когда
x 
1. a  0 ; 2. a  0  b  1 ; 3. a  0  b  0 ;
5.  a  1  b  1   a  1  b  0 .
- 21 -
4.  a  1   a  1  b  0 ;
14. Укажите неверные утверждения. Если функция y  f ( x ) непрерывна на отрезке
a; b , то:
1. она дифференцируема в любой точке x  a; b ;
2. функции m( x )  inf  f ( ) и M ( x)  sup  f ( ) непрерывны на a; b ;
a   x
a   x
3. она интегрируема на a; b , причем
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a) , где F ( x)  f ( x) для
a
x  a; b ;
4. она неограничена на a; b ;
b
5. имеет место соотношение
 f ( x)dx  f ()(b  a), где  a; b .
a
15. На кривой y  x 3 найдите точку, касательная в которой параллельна хорде,
соединяющей точки A ( 1;1) и B ( 2;8) .
1. Такой точки не существует; 2. ( 1;1) ; 3. ( 3;3 3 ) ; 4. (0;0) ; 5. (1;1) .
16. Площадь фигуры, ограниченной кривой y  xe  x
1. e ;
2. 2 ;
3. 1 ;
2
2
и ее асимптотой при x  0 , равна
5. среди приведенных нет верного ответа.
4. 1 2 ;
17. Укажите наиболее точное приближение к значению функции
f ( x)  e x  x  1  x 2 в точке x0  107 .
1. x 2 ;
2.
1 4
x ;
8
3.
1 4
x ;
6
4.
1 3
x ;
3
5.
1 3
x .
6
18. Укажите все расходящиеся несобственные интегралы.

1
dx
1.  2
; 2.  ln xdx ; 3.
x  x 1

0


0

dx
3
(x  3)
2
;
dx
4. 
;
2
2 x ln x
2
19. Функция f ( x)  e  x имеет:
1. одну точку экстремума и одну точку перегиба;
2. одну точку экстремума и две точки перегиба;
3. одну точку экстремума и не имеет точек перегиба;
4. две точки экстремума и одну точку перегиба;
5. две точки перегиба и не имеет точек экстремума.
- 22 -
3
5.
dx
 (x  2)
0
2
.
20. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим
образом:
100
D( p) 
2,
p
укажите целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах) при
увеличении цены на 4,5% от p0  25 .
1. 2 ;
2. 3 ;
3. 5 ;
21. Найдите A  B,
4. 7 ;
A  B,
5. 8 .
A  C, B  C ,
A  B  C, ( A  B)  C и изобразите
эти множества на координатной прямой, если A  0;3; B  (1;5); C    2;0 .
22. Изобразите схематически график функции y  f ( x ) , если известно, что в интервале
(a; b) y  0, y   0, y   0 .
23. Определите inf f ( x ) функции f ( x)  x x на интервале (0;) .
24. Опишите все асимптоты графика функции xe1 x .
25. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры,
ограниченной линиями y 2  4 x  4 , y  0 и x  2 .
26. Для функции f ( x ) 
x 1
найдите первообразную, график которой проходит
x  x 1
2
 

через точку M  0;
.
2 3

27. Найдите точки перегиба кривой x  t 2 ,
y  3t  t 3 .
28. Функция рыночного спроса на продукцию монополии Q от цены p имеет вид
Q( p)  10  p 2 , а общие издержки задаются соотношением C(Q)  4Q . Рассчитайте
монопольную цену, выпуск и прибыль.
29. Найдите значение налога, максимизирующее доход государства, если функция
спроса и предложения имеют вид ( Q – количество единиц произведенного товара,
p –цена на этот товар)
D : p  8200  5Q 2 ,
S : p  700  20Q 2 .
30. Определите дисконтированный доход за 7 лет при процентной ставке 9%, если
первоначальные (базовые) капиталовложения составили 21 млн. руб. и намечается
ежегодно увеличивать капиталовложения на 8 млн. руб.
- 23 -
Вариант №2
1. Укажите верное утверждение. Число a является пределом последовательности an  ,
если:
1.   0,
N
n  N :
an  a   ;
2. в любой окрестности точки a содержится бесконечно много членов
последовательности an  ;
3.   0
N ,
n  N :
0  an  a   ;
4.   0
N ,
n  N :
an  a   ;
5. существует окрестность точки a , в которой содержится бесконечно много членов
последовательности an  .
2. Укажите неверные утверждения.
1. Верхняя грань – одна из мажорант множества;
2. Верхняя грань – наименьшая из мажорант множества;
3. Ограниченное множество имеет нижнюю и верхнюю грани;
4. Ограниченное множество имеет мажоранту и миноранту;
5. Верхняя грань множества принадлежит этому множеству.


3. Предел lim x x 2  2  x равен
x  
1.  1 ;
2. 0 ;
3. 1 ;
5.   .
4. 2 ;
4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f ( x)  3
абсциссой x 0  1 .
1.  3 ;
2.  3 ln 3 ;
3. 3 1 ;
4. 3 ;
4. 2 ln( 1  x 2 )  arctg x  C ;
2.
5.

( x  arctg x)
dx .
1 x2
1
arctg x  2 arctg 2 x  C ;
2
1
ln( 1  x 2 )  arctg 2 x  C .
2
1  cos 3x
равен
x  sin 2 2 x
6. Предел lim
1.  3 2 ;
2.  9 8 ;
3. 0 ;
4. 9 8 ;
в точке с
5. 3 ln 3 .
5. Вычислите неопределенный интеграл
1
1. arctg x  arctg 2 x  C ;
2
x
5. 9 2 .
- 24 -
1
3. ln 1  x 2  arctg 2 x  C
2
7. Эластичность функции y  x ln x при x  e равна
1. 1 ;
3. e ;
2. 2 ;
4. e 2 ;
5. 2e .
8. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
f ( x)  3x 5  5x 3  6 на отрезке 0;2 равна
1. 58 ;
2. 56 ;
3. 48 ;
4. 10 ;
5. 2 .
9. Предел lim (tg x) 2 cos x равен
x
1. 0 ;

2. 1 ;
2
3. 2 ;
4. 3 ;
5.   .
10. Верными среди приведенных являются утверждения:
1. x 4 ln x  o(e x ) ( x  ) ;
2. e x  e  x ~ 2 ln( 1  x) ( x  0) ;


3. sin 2 3x  O( x 2 )  x   ;
2

4. 1  arctg x 
12
 1  o(3 x ) ( x  0) ;
5. x 3  3x 2  5x ~ 5x ( x  ) .
11. Функция
 x  3  x  1,

f ( x)   x 2  2  1  x  0 , имеет:
e 1 / x  x  0

1. одну точку разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода;
2. две точки разрыва первого рода;
3. две точки разрыва второго рода;
4. одну точку разрыва второго рода и одну точку устранимого разрыва;
5. две точки устранимого разрыва.
12. Значение производной y x функции y  y( x) , заданной неявно уравнением

x
ln y  arctg   , в точке M ( e; e) равно
4
 y
1
2

 
1.  1   ; 2. 1  ; 3. 1 ; 4. ; 5. не существует.


2
2
ln x
13. Вычислите первый дифференциал функции f ( x ) 
в точке с абсциссой
x
x 0  e 2 при d x  e 5 .
1. 1 ;
2.  1 ;
3. e ;
4.  e ;
5.  e 1 .
- 25 -
14. Укажите неверные утверждения. Если функция y  f ( x ) имеет локальный
максимум в точке x 0 ,
1. то найдется такая окрестность X ( x 0 ) точки x 0 , что x  X ( x 0 )  f ( x )  f ( x 0 ) ;
2. и существует lim f ( x ) , то lim f ( x )  f ( x 0 ) ;
x  x0
x  x0
3. и дифференцируема в точке x 0 , то f ( x 0 )  0 ;
4. то функция g ( x )   f ( x ) имеет локальный минимум в точке x 0 ;
5. то существует lim f ( x ) , причем lim f ( x )  f ( x 0 ) .
x  x0
x  x0
15. Используя формулу конечных приращений для функции f ( x ) 
12


cos x на отрезке

  
 6 ; 4  , получите оценки сверху и снизу величины f  f  4   f  6  : A  f  B . В
ответе укажите промежуток  A; B  .
 1
3
1. 
; ;
 2 2 

3
1 
;
2.  
;
2
 2
1 1 
3.  ;
;
2 2
1
 1
4.  
;  ;

2 2
5.   3;1 .
16. Значение площади фигуры, ограниченной линиями x  y 2  4 y  5 и x  y  5 ,
принадлежит промежутку:
1. 25;30 ;
2. 15;20 ;
3. 10;15 ;
4. 5;10 ;
5. 0;5 .
17. Укажите наиболее точное приближение к значению функции
f ( x)  sin 2 x  ln( 1  x 2 ) в точке x0  106 .
1. 2x 2 ;
3. 
2.  2x 2 ;
1 3
x ;
6
4. 
5 4
x ;
6
5.
1 4
x .
6
18. Укажите все расходящиеся несобственные интегралы.

1.


(2 x  3)dx
x4  x 1

;
2.
19. Функция f ( x) 
sin x
0 x  2 dx ; 3.
4

4
ln x
16  x 2

dx ; 4.
(ln x) 2
 ln( 1  e 2 ) имеет:
x
1. ни одной точки экстремума и одну точку перегиба;
2. одну точку экстремума и ни одной точки перегиба;
3. одну точку экстремума и одну точку перегиба;
4. две точки экстремума и одну точку перегиба;
5. две точки экстремума и две точки перегиба.
- 26 -
e2x
0 x 3  4 dx ; 5.
1
ln x
dx .
x
0

20. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим
образом:
500 1
D( p ) 
 ,
4 p
2
укажите целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах) при
увеличении цены на 4% от p0  16 .
1. 1 ;
2. 2 ;
3. 3 ;
4. 4 ;
5. 5 .
21. Найдите A  B, A  B, A  C ,B  C , A  B  C ,( A  B)  C и изобразите эти
множества на координатной прямой, если A   ;1 ; B  1; ; C  (0;1) .
22. Изобразите схематически график функции y  f ( x ) , если известно, что в интервале
(a; b)
y  0,
y   0,
y   0 .
3



23. Для последовательности a n  ( 1) n 1  2   : n  1 определите

n


inf an , sup an , lim an и lim a n .
n
n 
24. Опишите все асимптоты графика функции y  x 
ex
.
x2 1
25. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры,
ограниченной параболами y  x 2 и y  x .
26. Для функции f ( x) 
x3
найдите первообразную, график которой проходит
x x2
2
2
через точку M (1; ln 2) .
3
27. Найдите точки перегиба кривой x  3t 2 , y  3t  t 3 .
28. Функция рыночного спроса на продукцию монополии Q от цены p имеет вид
Q( p)  17  p 4 , а общие издержки задаются соотношением C(Q)  4Q . Рассчитайте
монопольную цену, выпуск и прибыль.
29. Найдите значение налога, максимизирующее доход государства, если функция
спроса и предложения имеют вид ( Q – количество единиц произведенного товара,
p – цена на этот товар)
D : p  800  0,5Q, S : p  700  2Q .
30. Определите дисконтированный доход за 5 лет при процентной ставке 10%, если
первоначальные (базовые) капиталовложения составили 17 млн. руб. и намечается
ежегодно увеличивать капиталовложения на 3 млн. руб
- 27 -
Вариант №3
1. Укажите верное утверждение. Функция y  f ( x ) задана в окрестности точки a .
Число A является пределом функции f ( x ) при x  a , если:
1.   0:   0 x : 0  x  a   и f ( x)  A   ;
2.   0
  0 x : 0  x  a    f ( x)  A   ;
3.   0 ,   0 x : 0  x  a    f ( x)  A   ;
4.   0 ,   0 x : 0  x  a  
5.   0 :   0 x :
xa 
f ( x)  A   ;
и
f ( x)  A   .
и
2. Укажите все сходящиеся последовательности an  .
1. a n 
2 n   2n
2
n
4. a n  n lg 1  n ;

n
 1
2. a n     ;
 2
;

3. a n  n sin lg n / n 2 ;
5. a n  1  n 1/ n .
2
3. Предел lim  4 x 2  2 x  1  2 x  равен

x
1.   ;
2.  1 / 2 ;
3. 0 ;
4. 1 / 2 ;
5.   .
4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f ( x)  16  5 x в
точке с абсциссой x0  32 .
1.  5 ;
2.  5 2 ;
3.  1 5 ;
4. 1 ;
5. 1 5 .
5. Вычислите неопределенный интеграл  e sin
2
1. e sin x  C ;
6. Предел lim
x1
1.  3 5 ;
sin 2 5x
2.  9 50 ;
x
sin 2 xdx .
2
3. 2e sin x  C ;
2. e sin 2 x  C ;
cos 3x  1
2
2
1
4.  e cos x  C ;
2
5. e cos 2 x  C .
равен
3. 9 50 ;
4. 2 ;
5.   .
7. Укажите функцию, эластичность которой не является постоянной
( a  const, b  const) .
1. ax  b ;
2. ax ;
3. a / x ;
4. ax 2 ;
5. a x .
- 28 -
8. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
f ( x)  3x 4  16 x 3  2 на отрезке  3;1 равна
1. 931;
2. 688;
3. 675;
4. 666;
5. 423.
18
9. Предел lim (cos 2 x)
tg 2 6 x
x 0
1. e 6 ;
2. e 2 ;
3. 1 ;
равен
4. e 1 ;
5. e 2 .
10. Верными среди приведенных являются утверждения:
1. n 2  7n  1  o(2 n ) (n  ) ;
2. ln( 1  sin x) ~ x ( x  ) ;
3. e x  1  x  O( x 2 )
4. arcsin( x 2  x) ~ x
5. (1  tg x )1 2  1  o(1)
( x  0) ;
( x  0) ;
( x  1) .
 xe1 x

2
1  x
11. Функция f ( x)  
0


( x  0),
имеет:
( x  0)
1. две точки разрыва второго рода;
2. две точки разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода;
3. три точки разрыва второго рода;
4. одну точку разрыва первого рода и две точки разрыва второго рода;
5. три точки разрыва первого рода.
12. Значение производной y x функции y  y( x) , заданной неявно уравнением
x  y  e y arctg x  0 , в точке M (0;0) равно
1.  1 ;
2. 0 ;
3. 1 ;
4. 2 ;
5. не существует.
13. Предел lim xb a x равен   тогда и только тогда, когда
x 
1.
2.
3.
4.
5.
a  1  a  1  b  0 ;
a  1  b  0;
a  1  b  0  a  1  b  1;
a  1  b  1;
a 1.
- 29 -
14. Укажите верные утверждения. Если функция y  f ( x ) непрерывна на отрезке
a; b , то:
1. график кривой y  f (x) имеет касательную в любой точке x0  a; b ;
2. sup f ( x)  max f ( x) , inf f ( x)  min f ( x) ( x  a; b) ;
3. существует по крайней мере одна точка c  a; b такая, что f (c)  0 ;
4. она интегрируема на a; b и имеет место формула Ньютона-Лейбница;
5. lim f ( x)  f ( x0 ) (x0  (a; b)),
lim f ( x)  f (a),
lim f ( x)  f (b) .
x x0
xa 0
15. На кривой y  x
3
xb0
найдите точку, касательная в которой параллельна хорде,
соединяющей точки A (1;1) и B ( 2;8) .
1. Такой точки не существует;
2. ( 7 3; 7 7 27) ;
3. ( 3;3 3 ) ;
4. (0;0) ;
5. (1;1) .
16. Значение площади фигуры, ограниченной линиями y 2  2 x и y 2  3  x ,
принадлежит промежутку
1. 1;2 ;
2. 2 ; 3 ;
3. 3 ; 4 ;
4. 4 ; 5 ;
5. среди приведенных нет верного ответа.
17. Укажите наиболее точное приближение к значению функции
x2
f ( x)  ln( 1  x 2 ) 
1. 2 x 2 ;
1  x2
1
2.  x 2 ;
2
в точке x0  10 5 .
1
3.  x 4 ;
2
4. x 4 ;
5.  x 4 .
18. Укажите все сходящиеся несобственные интегралы.
3
1.  ln( 2 x  3)dx ;
2
 arctg x
2. 
0
x2
 ln x

1
dx
dx ; 5.  e  x sin xdx .
; 4. 
dx ; 3. 
x

2 x
0 e  cos x
19. Функция f ( x)  x 2 e  x имеет:
1. одну точку экстремума и одну точку перегиба;
2. одну точку экстремума и две точки перегиба;
3. одну точку экстремума и не имеет точек перегиба;
4. две точки экстремума и одну точку перегиба;
5. две точки перегиба и две точки экстремума.
- 30 -
20. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим
образом:
1000 1
D( p ) 
 ,
5 p
2
укажите целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах) при
увеличении цены на 10% от p0  32 .
1. 6 ;
2. 7 ;
3. 8 ;
4. 9 ;
5. 10 .
21. Найдите A  B, A  B, A  C, B  C, A  B  C, ( A  B)  C и изобразите
эти множества на координатной прямой, если A  0;2; B  (1;4) ;
C   1;0 .
22. Изобразите схематически график функции y  f ( x ) , если известно, что в интервале
(a; b)
y  0,
y   0,
y   0 .
23. Определите sup f ( x) функции f ( x)  x x на интервале (0;2) .
24. Опишите все асимптоты графика функции y  2 x  arctg x .
25. Найдите объем тела, образованного вращением кривой y  xe x 2 вокруг ее
асимптоты при x  0 .
26. Для функции f ( x) 
x
2
x  4x  5
найдите первообразную, график которой проходит
через точку M (1;1) .
27. Найдите точки перегиба кривой x  2t 2 , y  t 5  240t .
28. Функция рыночного спроса на продукцию монополии Q от цены p имеет вид
Q( p)  15  p 3 , а общие издержки задаются соотношением C (Q)  3Q . Рассчитайте
монопольную цену, выпуск и прибыль.
29. Найдите значение налога, максимизирующее доход государства, если функция
спроса и предложения имеют вид ( Q – количество единиц произведенного товара,
p – цена на этот товар)
D : p  250  2Q 2 , S : p  70  3Q .
30. Определите дисконтированный доход за 3 года при процентной ставке 12%, если
первоначальные (базовые) капиталовложения составили 19 млн. руб. и намечается
ежегодно увеличивать капиталовложения на 5 млн. руб.
- 31 -
Вариант №4
1. Укажите верные утверждения.
1. Ограниченная последовательность сходится;
2. Неограниченная последовательность является бесконечно большой;
3. Сходящаяся последовательность ограничена;
4. Сумма бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой
последовательностью;
5. Если две последовательности имеют по одной предельной точке, то их сумма имеет
две предельные точки.
2. Укажите функции f (x) , имеющие конечный предел при x  0 .
1
1. f  x   x sin ;
x
ln 1  x   ln 1  x 
2. f  x  
;
arctg x 2 / 3
 
3. f  x   1 x 
1/ x
4. f x  
;
1  sin x 3 / 2  2 ;
x
e 1
5. f  x  
.
1  cos 2 x
x
3. Предел lim
n 
1. 1 ;
2. 1 2 ;


n n  5  n  4 равен
3. 1 3 ;
4. 0 ;
5.   .
4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции y  ln x  1 в точке с
абсциссой x0  2 .
1.  1 ;
2.  1 3 ;
3. 1 3 ;
4. 1 ;
5. угловой коэффициент неопределен.
5. Вычислите неопределенный интеграл 
1. 
4.
3
4  ln x  2 / 3  C ;
2
3 3
 4  ln x 4  C ;
4
5.
3
4  ln x
dx .
x
2. 3 4  ln x 4  C ;
ln x
3
4  ln x
C.
- 32 -
3.
4 3
 4  ln x 4  C ;
3
6. Предел lim
1  cos 2x
x 1
1.  2 3 ;
sin 2 3x
2.  2 9 ;
равен
3. 0 ;
4. 2 3 ;
5. 2 9 .

7. Эластичность функции y  x arctg x
1. 2 ;
2. 1 ;
4.  ;
3. 1/2;
2 /  при x  1 равна
5. 1 /  .
8. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции f ( x)  x 4  4 x на
отрезке  2;2 равна
1. 32;
2. 27;
3. 21;

9. Предел lim e x  x
x 
1. e 2 ;
2. e 1 ;

4. 16;
1/ x
3. 1 ;
5. 11.
равен
4. e ;
5. e 2 .
10. Неверными среди приведенных являются утверждения:
1. x 2  x ln 100 x ~ x 2 ( x  ) ;
1
2. arctg  o1 ( x  0) ;
x
3. x 3  3x  2 ~ 3( x  1) 2
4.
x  1 ;
 1
1 3
sin  O  ( x  ) ;
x x
 x2 
5. e x  e 2  o x  2 ( x  2) .
cos x ( x  0),

11. Функция f ( x )   x 2  1 0  x  1,
51 / 1 x  ( x  1)

имеет:
1. одну точку устранимого разрыва
2. одну точку разрыва первого рода;
3. одну точку разрыва второго рода;
4. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва второго рода;
5. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва первого рода.
12. Значение производной y x функции y  y( x) , заданной неявно уравнением
 
y sin x  cosx  y  , в точке M  ;0  равно
2 
1.  1 ;
2.  1 2 ;
3. 0 ;
4. 1 2 ;
5. 1 .
- 33 -
13. Вычислите первый дифференциал функции f ( x) 
x
в точке с абсциссой
2 ln x
x0  e 1 при d x  e 1 .
1. 1 ;
2.  1 ;
3.  e ;
4. e 1 ;
5.  e 1 .
14. Укажите неверные утверждения. Если функция y  f ( x ) имеет локальный
минимум в точке x 0 ,
1. то функция g ( x)   f ( x) имеет локальный максимум в точке x0 ;
2. и дифференцируема в точке x0 , то f  x0   0 ;
3. то найдется такая окрестность точки x0 , в которой f ( x)  f x0   0 ;
4. то существует lim f  x  , причем lim f  x   f  x0  ;
x  x0
x  x0
5. и существует lim f ( x ) , то lim f ( x)  f ( x0 ) .
x  x0
x  x0
12
sin x на отрезке

 
 
  
 4 ; 3  , получите оценки сверху и снизу величины f  f  4   f  3  : A  f  B . В
ответе укажите промежуток  A; B  .
15. Используя формулу конечных приращений для функции f ( x) 
 1 1
1.   ;  ;
2 2


3 1 
3.   ;  ;
2
 2
1 1 
2.  ;  ;
 2 2
 1 3
4.  ;  ;
 2 2
 
5. 1; 3 .
16. Значение площади фигуры, ограниченной линиями x 2  4 y и y 
8
x2  4
,
принадлежит промежутку
1. 0;1 ;
2. 1;2 ;
3. 2;3;
4. 3;4;
5. 4;5 .
17. Укажите наиболее точное приближение к значению функции f ( x)  e  x 
1
2
1 x2
в
точке x0  104 .
1.  2x 2 ;
2. 2x 2 ;
3.
3 4
x ;
2
3
4.  x 4 ;
4
1
5.  x 4 .
2
18. Укажите все сходящиеся несобственные интегралы.
1 arctg x
dx ;
x
  xe
1. 
 sin x
2. 
0
x

dx ; 3. 
cos x
7/5
0  / 2  x 
- 34 -

dx ;
dx
;
3 x ln x
4. 

5. 
2
ex
x2  4
dx .
19. Функция y  arctg x  ln 1  x 2 имеет:
1. одну точку экстремума и ни одной точки перегиба;
2. одну точку экстремума и одну точку перегиба;
3. одну точку экстремума и две точки перегиба;
4. две точки экстремума и ни одной точки перегиба;
5. две точки экстремума и две точки перегиба.
20. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим
образом:
750 1
D( p ) 
 ,
3 p 3
укажите целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах) при
увеличении цены на 3% от p0  27 .
1. 1 ;
2. 2 ;
3. 3 ;
4. 4 ;
5. 5 .
21. Найдите A  B, A  B, A  C ,B  C , A  B  C ,( A  B)  C и изобразите эти
множества на координатной прямой, если A   3;1; B  2;; C  (;2) .
22. Изобразите схематически график функции y  f ( x ) , если известно, что в интервале
(a; b)
y  0,
y   0,
y   0 .



 1n 1   1n


23. Для последовательности a n 

: n  1 определите
n
2




inf a n , sup a n , lim a n и lim a n .
n 
n 
24. Опишите все асимптоты графика функции y  3x 
2e x
x2  4
.
25. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры,
3
ограниченной линиями x 2  y 2  1 , y 2  x , y  0 .
2
26. Для функции f ( x) 
через точку M (1; ln 2) .
x4
x 2  5x  6
найдите первообразную, график которой проходит
27. Найдите точки перегиба кривой x  5t , y  t 4  10t 3  36t 2 .
28. Функция рыночного спроса на продукцию монополии Q от цены p имеет вид
Q( p)  13  p / 5 , а общие издержки задаются соотношением C (Q )  5Q . Рассчитайте
монопольную цену, выпуск и прибыль.
- 35 -
29. Найдите значение налога, максимизирующее доход государства, если функции
спроса и предложения имеют вид ( Q – количество единиц произведенного товара,
p – цена на этот товар)
D : p  3Q  124, S : p  2Q  14 .
30. Определите дисконтированный доход за 4 года при процентной ставке 13%, если
первоначальные (базовые) капиталовложения составили 23 млн. руб. и намечается
ежегодно увеличивать капиталовложения на 6 млн. руб.
§ 1.4. Интегральное исчисление. Ряды
(специальность «Менеджмент»)
Вариант №1
sin x
 e sin 2 xdx .
2
1. Вычислите неопределенный интеграл
A) e sin x  C ; B) e sin 2 x  C ; C) e cos x  C ; D) e cos 2 x  C ; E) Другой ответ.
2
2
 /2
 xe

2. Вычислите определенный интеграл
 x2
sin x 2 dx .
 /2
A) 0,5e 
2
/4
;
B) 0,5e 
2
/4
C)  0,5e 
;
2
/4

3. Вычислите определенный интеграл

0
A)  ; B)   ;
C) 2 ;
; D) 0; E) Другой ответ.
1  sin 2 x
dx .
cos x
D) 0; E) Другой ответ.
4. Площадь фигуры, ограниченной кривыми y  3x 2  1,
A) 11,5;
B) 12,5;
C) 13,5;
D) 14,5;
y  3x  7 равна
E) другой ответ.
5. Объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной кривыми y  e x , y  0 ,
x  0 , x  1 , вокруг оси Ox равен
A)  e 2  1;


B) 0,5 e 2  1 ;


D) 0,5 1  e 2 ;
C) e 2  1 ;
E) другой ответ.
6. Укажите несобственный интеграл, который сходится при   1.
A)


1
1

 x dx ; B)

dx
; C)
x



1
1
1
 2
 x dx ; D)

 x dx ; E)
- 36 -
dx
 x
2
.
7. Укажите неверное утверждение. Если ряд

a
n 1
n
, где a n  0 n , сходится, то:
N
A) последовательность S N   a n сходится;
n 1
N
B) последовательность S N   a n является бесконечно малой;
n 1
C) последовательность rk 

a
n  k 1
является бесконечно малой;
n
D) lim a n  0 ;
n 
E) ряд

a
n k
n
сходится для k  1 .
8. Сумма ряда

n 1
A) 1;
1
2
B) 2/3;
n
равна
C) 3/2;
D) 3/4;
E) 1/2.
9. Укажите сходящийся ряд.

n2

n2
 1
A)  1   ; B)
n
n 1 
n

1 

1  2  ;

n 
n 1 
n

1

C)  1   ; D)
n
n 1 
n

1 

1  2  ;

n 
n 1 
 1
E)  1   .
n
n 1 
10. Укажите ряд, который сходится только при p  1 .


A)
1
;

p
n 1 n
B)
2n
; C)

p
n 1 n

1
;

n p
n 1 2 n

D)
np ;
n 1

E)
np
.

n
n 1 2

11. Укажите все значения параметра p , при которых ряд
  1 n
n
p
сходится.
n 1
A) p  1 ;
B)  1  p  0 ;
C) p  0 ;
D) p  0 ;

E) 0  p  1 .
2n  1
x  1n с учетом граничных точек
2
2
 3n
12. Область сходимости степенного ряда
n 1
имеет вид
A) 0  x  2 ;
B) 0  x  2 ;
C) 0  x  2 ;
D) 0  x  2 ;
- 37 -
E) 0  x  1 .
13. Используя ряд Маклорена для f x  , вычислите
1
 f x dx с точностью до 0,001,
0
sin x
если f  x  
.
x
A) 0,946;
B) 0,945;
C) 0,944;
D) 0,943;
E) 0,942.
14. Укажите число членов ряда Фурье для функции f x   sin x   / 4.
A) 1; B) 2; C) 3;
D) 4;
E)  .
15. Вычислите 5-й коэффициент ряда Фурье по косинусам для функции f x   x на
  x   .
A) 0,4;
B)  0,4 ;
C)  0,08 /  ;
D) 0,08 /  ;
E) Другой ответ.
16. Вычислите неопределенный интеграл  x sin x cos xdx .
17. Вычислите неопределенный интеграл
x
2
x 1
dx .
 x 1
18. Найдите среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период
освоения от 100 до 121 изделий, если функция изменения затрат времени на
изготовление изделий t x   210 x  0,5 , где 210 мин. – затраты времени на первое
изделие, 0,5 – показатель производственного процесса.
19. Определите дисконтированный доход за 5 лет при процентной ставке 5%, если
первоначальные (базовые) капиталовложения составили 5 млн. руб. и намечается
ежегодно увеличивать капиталовложения на 5 млн. руб.
20. Вычислите
  x  y  dxdy , где G – треугольник с вершинами (1;1), (1;4), (4;4).
G
Вариант №2
dx
 cos x3tgx  1 .
1. Вычислите неопределенный интеграл
A) ln 3 tg x  1  C ; B)
2
1
1
ln 3 tg x  1  C ; C) 3 ln 3 tg x 1  C ; D)  ln 3 tg x  1  C ;
3
3
E) Другой ответ.

2. Вычислите определенный интеграл
 xe
 x2
cos x 2 dx .

A)  0,5e  ;
2
B) 0,5e  ;
2
C) 0; D) 0,5e  ;
2
E) Другой ответ.
- 38 -
 /2
1  cos 2 x
dx .
sin x

3. Вычислите определенный интеграл
 / 2
A)  ; B)   ;
C)  / 2 ;
D) 0; E) Другой ответ.
4. Площадь фигуры, ограниченной кривыми y  4  x 2 ,
A)  9 ;
B) 9;
D)  8 ;
C) 8;
y  x 2  2 x , равна
E) другой ответ.
5. Объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной кривыми y  x 3 , y  1 ,
x  0 , вокруг оси Oy равен
A)  / 2 ;
B)  / 3 ;
D)  / 7 ;
C)  / 5 ;
E) другой ответ.
6. Укажите несобственный интеграл, который сходится при   1.
1
A)
x

1
dx ; B)
0

0
dx
; C)
x
1
x
 2
1
dx ; D)
0
x

1
dx ; E)
0
a
n 1
A) последовательность rk 

B) ряд
a
n k
n
2
.
0

7. Укажите неверное утверждение. Если ряд
dx
 x
n
, где a n  0 n , сходится, то:

a
n  k 1
n
является бесконечно малой;
сходится для k  1 ;
N
C) последовательность S N   a n является бесконечно малой;
n 1
D) lim a n  0 ;
n 
N
E) последовательность S N   a n ограничена.
n 1
8. Сумма ряда
A) 1;

 1n
n 0
2n

B) 2/3;
C) 3/2;
равна
D) 3/4;
E) 1/2.
9. Укажите сходящийся ряд.

n
1 

A)  1  2  ;
n 
n 1 

n2
 1
B)  1   ; C)
n
n 1 
n

 1
1   ; D)

n
n 1 
- 39 -

n2
 1
1   ; E)

n
n 1 

n
1

1   .

n
n 1 
10. Укажите ряд, который сходится только при p  1 .


A)
1
;

p
n 1 n
B)
2n
; C)

p
n 1 n

1
;

n p
n 1 2 n

D)
np ;

E)
n 1
np
.

n
n 1 2

11. Укажите все значения параметра p , при которых ряд
  1 n
n
p
сходится условно.
n 1
A) p  1 ;
B)  1  p  0 ;
C) p  0 ;
D) p  0 ;
E) 0  p  1 .
 2n  1 
n
12. Область сходимости степенного ряда  
  x  2  сучетом граничных
3
n

2

n 1 
точек имеет вид
n

A)  3,5  x  0,5 ;
E)  1,5  x  1,5 .
B)  3,5  x  0,5 ;
C)  3,5  x  0,5 ;
13. Используя ряд Маклорена для f x  , вычислите
D)  3,5  x  0,5 ;
1
 f x dx с точностью до 0,01, если
0
f x   e .
x2
A) 1,42;
B) 1,43;
C) 1,44;
D) 1,45;
E) 1,46.
14. Укажите число членов ряда Фурье для функции f x   cos 2 7 x .
A) 1; B) 2; C) 3;
D) 4;
E)  .
15. Вычислите 5-й коэффициент ряда Фурье по синусам для функции f x   x на
  x   .
A) 0,4;
B)  0,4 ;
C)  0,08 /  ;
D) 0,08 /  ;
E) Другой ответ.
16. Вычислите неопределенный интеграл  x 2 ln xdx .
17. Вычислите неопределенный интеграл 
x 1
dx .
x  3x  3
2
18. Найдите среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период
освоения от 81 до 10 изделий, если функция изменения затрат времени на изготовление
изделий t x   190 x  0,5 , где 190 мин. – затраты времени на первое изделие, 0,5 –
показатель производственного процесса.
19. Определите дисконтированный доход за 7 лет при процентной ставке 7%, если
первоначальные (базовые) капиталовложения составили 7 млн. руб. и намечается
ежегодно увеличивать капиталовложения на 7 млн. руб.
20. Вычислите
  x  y  dxdy , где G – область, ограниченная кривыми
2
G
- 40 -
y  x, y  x 2 .
Вариант №3
1. Вычислите неопределенный интеграл
A) ln 4  sin 3x  C ;
cos 3 x
 4  sin 3x dx .
B) 3 ln 4  sin 3x  C ; C)
1
ln 4  sin 3x  C ;
3
D) 4 ln 4  sin 3x  C ; E) Другой ответ.

2. Вычислите определенный интеграл
x
2
 xe sin x dx .
2

A) 0,5e  ;
2
C)  0,5e  ; D)  0,5e  ;
2
B) 0;
2

3. Вычислите определенный интеграл

0
A)  ; B)   ;
C) 0;
E) Другой ответ.
cos x
1  sin 2 x
dx .
D) 2 ; E) Другой ответ.
4. Площадь фигуры, ограниченной кривыми y  x ,
A) 7/6;
B) 6/7;
C) 6,7;
D) 7,6;
y  2  x,
y  0 , равна
E) другой ответ.
5. Объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной кривыми y  x 3 , y  1 ,
x  0 , вокруг оси Ox равен
A)  / 2 ;
B)  / 3 ;
D)  / 7 ;
C)  / 5 ;
E) другой ответ.
6. Укажите несобственный интеграл, который сходится при   1.

A)
 x dx ;


B)
1

1
dx
; C)
x

x
 2

dx ;
1
D)

 x dx ;

E)
1
2
.
1

7. Укажите неверное утверждение. Если ряд
dx
 x
a
n 1
n
, где a n  0 n , сходится, то
N
A) последовательность S N   a n сходится;
n 1
N
B) последовательность S N   a n ограничена;
C) последовательность rk 
n 1

a
n  k 1
n
является бесконечно малой;
N
D) последовательность S N   a n является бесконечно малой;
n 1
E) lim a n  0 .
n 
- 41 -
8. Сумма ряда

1
3
n 0
A) 1;
B) 2/3;
n
равна
C) 3/2;
D) 3/4;
E) 1/2.
9. Укажите сходящийся ряд.
n

n2

 1
B)  1   ; C)
n
n 1 
1

A)  1   ;
n
n 1 
n2

 1
1   ; D)

n
n 1 
n

1 

1  2  ; E)

n 
n 1 

n
1 

1  2  .

n 
n 1 
10. Укажите ряд, который сходится при любых p .


A)
1
;

p
n 1 n
B)
2n
; C)

p
n 1 n

1
;

n p
n 1 2 n

D)

np ;
E)
n 1
np
.

n
n 1 2

11. Укажите все значения параметра p , при которых ряд
  1 n
n
p
сходится
n 1
абсолютно.
A) p  1 ;
B)  1  p  0 ;
C) p  0 ;
D) p  0 ;
E) 0  p  1 .
1  x  1
12. Область сходимости степенного ряда  3 
 сучетом граничных точек
n 3 
n 1
имеет вид
n

A)  2  x  4 ;
B)  2  x  4 ;
C)  2  x  4 ;
D)  2  x  4 ;
13. Используя ряд Маклорена для f x  , вычислите
 
B) 0,74;
1
 f x  dx с точностью до 0,01, если
0
f x   cos x .
A) 0,73;
E)  3  x  3 .
C) 0,75;
D) 0,76;
E) 0,77.
14. Укажите число членов ряда Фурье для функции f x   cos 2 x sin 3x .
A) 1; B) 2; C) 3;
D) 4;
E) 
15. Вычислите 5-й коэффициент ряда Фурье по косинусам для функции f x   x на
 / 2  x   / 2.
A) 0,4;
B)  0,4 ;
C)  0,08 /  ;
D) 0,08 /  ;
16. Вычислите неопределенный интеграл
E) Другой ответ.
 x ln 1  x  dx .
2
- 42 -
17. Вычислите неопределенный интеграл
x
2
x3
dx .
 2x  4
18. Найдите среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период
освоения от 121 до 144 изделий, если функция изменения затрат времени на
изготовление изделий t x   230 x  0,5 , где 230 мин. – затраты времени на первое
изделие, 0,5 – показатель производственного процесса.
19. Определите дисконтированный доход за 9 лет при процентной ставке 9%, если
первоначальные (базовые) капиталовложения составили 9 млн. руб. и намечается
ежегодно увеличивать капиталовложения на 9 млн. руб.
  x dxdy , где G – область, ограниченная кривыми
20. Вычислите
y  3x 2 ,
y  6  3x .
G
Вариант №4

1. Вычислите неопределенный интеграл
arctg x
dx .
x 1  x 
2
1
x arctg x  C ; B)
ln  x  1  C ; C)
1 x
1 x
1
D) arctg 2 x  C ; E) Другой ответ.
2
x arctg x  C ;
A)
 /2
2. Вычислите определенный интеграл
x
2
 xe cos x dx .
2
 / 2
A) 0;
B) 0,5e 
2
/4
;
C)  0,5e 
2
/4
; D)  0,5e 
 /2
3. Вычислите определенный интеграл


 /2
A)  ; B) 0;
C)   ;
2
/4
;
E) Другой ответ.
sin x
1  cos2 x
dx .
D)  / 2 ; E) Другой ответ.
4. Площадь фигуры, ограниченной кривыми y  x 2  2 x  3,
A) 2/9
B) 9/2;
C) 2,9;
D) 9,2;
y  3x  1 , равна
E) другой ответ.
5. Объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной кривыми y  4  x 2 ,
y  0 , x  0 , x  0 , вокруг оси Oy равен
A) 4 ;
B) 3 ;
C) 2 ;
D)  ;
E) другой ответ.
- 43 -
6. Укажите несобственный интеграл, который сходится при   1.
1
A)
x

1
dx ; B)
0

0
dx
; C)
x
1
x
 2
1
x
dx ; D)
0

1
dx ; E)
0

a
n 1

a
n  k 1
n
2
.
0
7. Укажите неверное утверждение. Если ряд
A) последовательность rk 
dx
 x
n
, где a n  0 n , сходится, то:
является бесконечно малой;
B) lim a n  0 ;
n 
N
C) последовательность S N   a n ограничена;
n 1
N
D) последовательность S N   a n сходится;
n 1
N
E) последовательность S N   a n является бесконечно малой.
n 1
8. Сумма ряда
A) 1;
B) 2/3;

 1n
n 0
3n

C) 3/2;
равна
D) 3/4;
E) 1/2.
9. Укажите сходящийся ряд.

n
1

A)  1   ; B)
n
n 1 
n2

 1
1   ; C)

n
n 1 
n

1

1  2  ; D)

n 
n 1 
n

1 

1  2  ;

n 
n 1 

E)
n
1

1   .

n
n 1 
10. Укажите ряд, который сходится при любых p .


A)
1
;

p
n 1 n
B)
2n
; C)

p
n 1 n

1
;

n p
n 1 2 n

D)
np ;

E)
n 1
np
.

n
n 1 2

11. Укажите все значения параметра p , при которых ряд
  1 n
n
p
расходится.
n 1
A) p  1 ;
B)  1  p  0 ;
C) p  0 ;
D) 0  p  1 ;

x  1n
n 1
n n

12. Область сходимости степенного ряда
E) p  0 .
с учетом граничных точек имеет
вид
A) 0  x  2 ;
B) 0  x  2 ;
C) 0  x  2 ;
D) 0  x  2 ;
- 44 -
E) 1  x  1.
13. Используя ряд Маклорена для f x  , вычислите
1
 f x  dx с точностью до 0,01, если
0
f x   e
A) 0,73;
 x2
.
B) 0,74;
C) 0,75;
D) 0,76;
E) 0,77.
14. Укажите число членов ряда Фурье для функции f x   sin 3x sin 4 x .
A) 1; B) 2; C) 3;
D) 4;
E)  .
15. Вычислите 5-й коэффициент ряда Фурье по синусам для функции f x   x на
 / 2  x   / 2.
A) 0,8;
B)  0,8 ;
C)  0,16 /  ;
D) 0,16 /  ;
16. Вычислите неопределенный интеграл
x e
17. Вычислите неопределенный интеграл
x
3
2
E) Другой ответ.
 x2
dx .
4x  3
dx .
 2x  6
18. Найдите среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период
освоения от 144 до 169 изделий, если функция изменения затрат времени на
изготовление изделий t x   250 x  0,5 , где 250 мин. – затраты времени на первое
изделие, 0,5 – показатель производственного процесса.
19. Определите дисконтированный доход за 11 лет при процентной ставке 11%, если
первоначальные (базовые) капиталовложения составили 11 млн. руб. и намечается
ежегодно увеличивать капиталовложения на 11 млн. руб.
20. Вычислите
  x
2
 y 2  dxdy , где G 
x, y  : 1  x  1, x
G
- 45 -
2

 y 1 .
Глава 2. И т о г о в ы е т е с т ы
Часть III
§ 2.1. Алгебра, анализ,
основы обыкновенных дифференциальных уравнений
(специальность «Менеджмент»)
Вариант №1
1. Матрица X , удовлетворяющая уравнению
 7 10 
1 2 

 X  
 , равна
2 3 
1 3 
 5 7 
A) 
 ;
17  24 
  7  24 
B) 
;
17 
 5
  7 17 
C) 
 ;
  24 5 
 7 5 
D) 
 ;
  24 17 
  24  7 
E) 
.
17 
 5
2. Координаты вектора d  6;6;1 в базисе из векторов a  2;0;1 , b  2;3;0 ,
c   1;4;1 равны
A) (1;2;0); B) (0;1;2);
C) (2;1;0); D) (2;0;1) ;
E) (1;0;2).
6 x  9  18
равен
x 0
arctg x
3. Предел lim
A) 0; B) 1; C) 2;
D) 3;
E) 4.
4. Производная функции f ( x )  arcsin
A)  2 ;
B)  1 ;
C) 0;
D) 1;
x
1  x2
при x  0 равна
E) 2.
5. Укажите функцию, эластичность которой постоянна.
A) Ax  B ;
C) Aln 1  Bx  ;
B) Ae Bx ;
D) 1/ Ax  B ;
6. Функция f ( x)  e  x имеет:
2
A) одну точку экстремума и одну точку перегиба;
B) одну точку экстремума и две точки перегиба;
C) одну точку экстремума и три точки перегиба;
D) две точки экстремума и две точки перегиба;
E) две точки экстремума и три точки перегиба.
- 46 -
E) Ax B .
7. Наибольшее значение функции u  x 2  xy в области  1  x  1, 0  y  3 равно
A) 0; B) 1; C) 2;
D) 3;
E) 4.
x  12  y 2  z 2
8. Производная функции u 
Ox равна
A)  2 ;
B)  1 ;
C) 0;
D) 1;
в точке O0;0;0 по направлению оси
E) 2.
9. Найдите неопределенный интеграл  e sin x sin 2 xdx .
2
A) e sin x  C ;
2
B) e sin 2 x  C ;
C) e cos x  C ;
2
D) e cos 2 x  C ;
10. Площадь фигуры, ограниченной кривыми y  3x 2  1,
A) 11,5;
B) 12,5;
C) 13,5;
E) Другой ответ.
y  3x  7 , равна
E) другой ответ.
D) 14,5;

11. Область сходимости степенного ряда
2n  1
x  1n с учетом граничных точек
2
2
 3n
n 1
имеет вид:
A) 0  x  2 ;
B) 0  x  2 ;
C) 0  x  2 ;
D) 0  x  2 ;
E) 0  x  1 .
12. Решением задачи Коши 2 xyy   y 2 , y1  1 является функция
A) y  x ;
B) y 
1
;
x
C) y  x x ;
D) y 
1
x x
;


E) y  0,5 x  x .
13. Решением задачи Коши 2 xy   y  2 x x, y1  0 является функция
A) y  x  1 x ;
B) y 
x 1
;
x
C) y  x x  1 ;
D) y 
1 x
;
x
E) y 
x 1
.
x
14. Решением задачи Коши 2 xy y    y  , y1  0 , y (1)  1 является функция
2


E) y  2x  x / 3 .
A) y  2 1  x x / 3 ;




B) y  3 1  x x / 2 ; C) y  2 x x  1 / 3 ;


D) y  3 x x  1 / 2 ;
15. Общим интегралом дифференциального уравнения x  y  dx  x  y  dy  0
является
A) x 2  y 2  2 xy  C ; B) x 2  y 2  2 xy  C ; C) x 2  y 2  2 xy  C ; D) x 2  y 2  2 xy  C ;
E) x 2  y 2  x  y  C .
- 47 -
16. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного преобразования,
 7 0 0


заданного матрицей A   0 3 2  .
 0 2 3


17. Исследуйте на условный экстремум: u  2 x  16 y , xy  y 2  7  0 .
18. Найдите выручку потребителей и поставщиков товара, законы спроса и
предложения на который имеют следующий вид: p  89  x 2 , 10 x  7 p  210  0.
19. Найдите общее решение дифференциального уравнения y   6 y   9 y  e 3 x .
20. Найдите общее решение дифференциального уравнения y   y  4 sin x .
Вариант №2
1. Матрица X , удовлетворяющая уравнению
 3 10   2 3
X 
  
 , равна
 2 7   1 1
 8  11
A) 
 ;
5  7 
  11 8 
B) 
 ;
  7 5
  8 11
C) 
 ;
5 7 
5  7 
D) 
 ;
 8  11
  7  11
E) 
.
8 
 5
2. Координаты вектора d  9;5;13 в базисе из векторов a  3;1;3 , b  1;2;4 ,
c  0;1;2 равны
A) (3;  2 ;0);
B) (3;0;  2 ); C) (  2 ;0;3); D) (  2 ;3;0) ; E) (0;3;  2 ).
4 5  x  8
равен
x 1
sin x 
3. Предел lim
A) 0; B) 1; C) 2;
D) 3;
E) 4.
4. Производная функции f ( x )  x x при x  e равна
A) 2e e ;
B) e ;
C) e e ;
D) 2 e 2 e ;
E) e 2 e .
5. Укажите функцию, эластичность которой не является постоянной.
A) Ax  B ;
B) Ax ;
C) A/ x ;
D) Ax 2 ;
E) A x .
- 48 -
6. Функция f ( x )  xe x имеет:
A) одну точку экстремума и одну точку перегиба;
B) одну точку экстремума и две точки перегиба;
C) одну точку экстремума и три точки перегиба;
D) две точки экстремума и две точки перегиба;
E) две точки экстремума и три точки перегиба.
7. Наименьшее значение функции u  x 2  xy в области  1  x  1, 0  y  3 равно
A) 0;
B)  1 ;
D)  3 ;
C)  2 ;
E)  4 .
8. Производная функции u  x 2  y 2  z  1 в точке O0;0;0 по направлению оси
Oy равна
2
A)  2 ;
B)  1 ;
C) 0;
D) 1;
E) 2.
9. Найдите неопределенный интеграл
A) ln 3 tg x 1  C ;
B)
dx
 cos x3 tg x  1 .
1
ln 3 tg x  1  C ;
3
2
C) 3ln 3 tg x 1  C ;
1
D)  ln 3 tg x  1  C ;
3
E) Другой ответ.
10. Объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной кривыми
y  e x , y  0, x  0, x  1 , вокруг оси Ox равен
A)  e 2  1 ;
B) 0,5 e 2  1 ;
C) e 2  1 ;
D) 0,5 1  e 2  ;
E) другой ответ.
 2n  1 
n
11. Область сходимости степенного ряда  
  x  2  с учетом граничных
n 1  3n  2 
точек имеет вид:
n

A)  3,5  x  0,5 ;
E)  1,5  x  1,5 .
B)  3,5  x  0,5 ;
C)  3,5  x  0,5 ;
D)  3,5  x  0,5 ;
12. Решением задачи Коши 2 xyy   y 2  0 , y1  1 является функция
A) y  x ;
B) y 
1
;
x
C) y  x x ;
D) y 
- 49 -
1
x x
;


E) y  0,5 x  x .
13. Решением задачи Коши 2 xy   y  2 y 2 x x, y1  1 является функция
B) y  
A) y   x x ;
x
;
x
D) y  
C) y   x ;
1
x x
;
x
.
x
E) y  
14. Решением задачи Коши 2 xy y    y   0 , y1  0 , y (1)  1 является функция
2


A) y  2 1  x ;


B) y  2 x  1 ; C) y 


x 1 / 2 ;
D) y 


x 1 / 2 ;
E) y  x  1
15. Общим интегралом дифференциального уравнения x  y  dy  x  y dx  0
является
A) x 2  y 2  2 xy  C ; B) x 2  y 2  2 xy  C ; C) x 2  y 2  2 xy  C ; D) x 2  y 2  2 xy  C ;
E) x 2  y 2  x  y  C .
16. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного преобразования,
 4 0  1


заданного матрицей A   0 5 0  .
1 0 4 


17. Исследуйте на условный экстремум: u  3x  6 y , y 2  xy  1  0 .
18. Найдите выручку потребителей и поставщиков товара, законы спроса и
предложения на который имеют следующий вид: 5 p  2 x  50, 5 p  6 x  10.
19. Найдите общее решение дифференциального уравнения y   14 y   49 y  e 7 x .
20. Найдите общее решение дифференциального уравнения y   y  4 cos x .
Вариант №3
1. Матрица X , удовлетворяющая уравнению
 3 2 3 1
X 
 
 , равна
10 7   1 2 
  11  3 
A) 
 ;
  13  4 
 11  13
B) 
 ;
 3 4 
 11  3
C) 
 ;
  13 4 
- 50 -
11 
 4
D) 
 ;
  3  13
  3 11 
E) 
 .
 4  13
2. Координаты вектора d  2;0;1 в базисе из векторов a  6;6;1 , b   1;4;1 ,
c  2;3;0 равны
A) (1;  2 ;0);
B) (0;1;  2 ); C) (  2 ;1;0); D) (  2 ;0;1) ; E) (1;0;  2 ).
 x2 1 

3. Предел lim  2
x  x  2 


A)  2 ;
B)  1 ;
2x
равен
C) 0,5;
D) 2;
E) 1.
4. Производная функции f ( x )  2 arctg
A)  2 ;
B)  1 ;
C) 0;
D) 1;
x
1 1 x2
при x  0 равна
E) 2.
5. Укажите функцию, эластичность которой постоянна и равна 2.
A) 2 x  2 ;
C) 2 ln 1  2 x  ;
B) 2e 2 x ;
D) 1/ 2 x  2 ;
E) 2x 2 .
6. Функция f ( x)  e  x имеет:
2
A) одну точку экстремума и одну точку перегиба;
B) одну точку экстремума и две точки перегиба;
C) одну точку экстремума и три точки перегиба;
D) две точки экстремума и две точки перегиба;
E) две точки экстремума и три точки перегиба.
7. Наибольшее значение функции u  x 2  y 2  xy  x  y в области x  y  3,
x  0, y  0 равно
A) 7;
B) 6;
C) 5;
D) 4;
E) 3.
8. Производная функции u  x 2  y 2  z  1 в точке O0;0;0 по направлению оси
Oz равна
2
A)  2 ;
B)  1 ;
C) 0;
D) 1;
E) 2.
9. Найдите неопределенный интеграл
A) ln 4  sin 3x  C ;
D) 4 ln 4  sin 3x  C ;
cos 3x
 4  sin 3x dx .
B) 3ln 4  sin 3x  C ;
C)
1
ln 4  sin 3x  C ;
3
E) Другой ответ.
10. Площадь фигуры, ограниченной кривыми y  4  x 2 ,
A)  9 ;
B) 9; C) 8;
D)  8 ;
E) другой ответ.
- 51 -
y  x 2  2 x, равна
1  x 1
11. Область сходимости степенного ряда  3 
 с учетом граничных точек
n 3 
n 1
имеет вид:
n

A)  2  x  4 ;
B)  2  x  4 ;
C)  2  x  4 ;
D)  2  x  4 ; E)  3  x  3 .
12. Решением задачи Коши 2 xy   y  0 , y1  1 является функция
A) y  x ;
B) y 
1
;
x
C) y  x x ;
D) y 
1
x x
;


E) y  0,5 x  x .
13. Решением задачи Коши 2 xy   y  2 y 2 x, y1  1 является функция
A) y   x ;
B) y  
x
;
x
1
;
x
C) y  
D) y  
1
x x
E) y  
;
x
.
x
14. Решением задачи Коши 2 xy   y   0 , y1  0 , y (1)  1 является функция


E) y  2x  x / 3 .
A) y  2 1  x x / 3 ;




B) y  3 1  x x / 2 ; C) y  3 x x  1 / 2 ;


D) y  2 x x  1 / 3 ;
15. Общим интегралом дифференциального уравнения x  y  dx  x  y  dy  0
является
A) x 2  y 2  2 xy  C ; B) x 2  y 2  2 xy  C ; C) x 2  y 2  2 xy  C ; D) x 2  y 2  2 xy  C ;
E) x 2  y 2  x  y  C .
16. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного преобразования,
 1 0 1


заданного матрицей A   0 1 0  .
 1 0 1


17. Исследуйте на условный экстремум: u  2 x  y , y 2  x 2  1  0 .
18. Найдите выручку потребителей и поставщиков товара, законы спроса и
предложения на который имеют следующий вид: p  44  x 2 , p  x 2  2 x  20.
19. Найдите общее решение дифференциального уравнения y   6 y   9 y  e 3 x .
20. Найдите общее решение дифференциального уравнения y   y  4 sin x .
- 52 -
Вариант №4
1. Матрица X , удовлетворяющая уравнению
2 3 
1 2

 X  
 , равна
 7 10 
3 1
  1 12 
A) 
 ;
  1 17 
1 
 12
B) 
 ;
  1  17 
  17  1
C) 
;
12 
 1
  1  17 
D) 
;
12 
1
  1  17 
E) 
.
1 
 12
2. Координаты вектора d   4;0;2 в базисе из векторов a   2;3;0 , b  1;4;11 ,
c  6;6;1 равны
A) (4;0;2); B) (2;0;4); C) (  2 ;0;  4 ); D) (  4 ;0;  2 ) ; E) (0;2;  4 ).
3. Предел lim
x 
A)  2 ;
x
B)  1 ;
2

 x  1  x 2  x  11 равен
C) 0,5;
D) 2;
E) 1.
4. Производная функции f ( x )  2 arctg
A)  2 ;
B)  1 ;
C) 0;
D) 1;
x
1 1 x2
при x  0 равна
E) 2.
5. Укажите функцию, эластичность которой постоянна и равна 0,5.
A) 0,5x  0,5 ;
B) 0,5x ;
C) 0,5 / x ;
D) 0,5x 2 ;
E) 0,5 x .
6. Функция f ( x )  xe x имеет:
A) одну точку экстремума и одну точку перегиба;
B) одну точку экстремума и две точки перегиба;
C) одну точку экстремума и три точки перегиба;
D) две точки экстремума и две точки перегиба;
E) две точки экстремума и три точки перегиба.
7. Наименьшее значение функции u  x 2  y 2  xy  x  y в области x  y  3,
x  0, y  0 равно
A)  1 ;
B)  2 ;
C)  3 ;
D)  4 ;
E)  5 .
- 53 -
8. Производная функции u  x 2   y  1  z 2 в точке O0;0;0 по направлению оси
Ox равна
2
A)  2 ;
B)  1 ;
C) 0;
D) 1;
E) 2.
9. Найдите неопределенный интеграл

arctg x
x (1  x )
2
1
x arctg x  C ; B)
ln  x  1  C ;
1 x
1 x
1
D) arctg 2 x  C ; E) Другой ответ.
2
A)
dx .
x arctg x  C ;
C)
10. Объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной кривыми
y  x 3 , y  1, x  0 , вокруг оси Oy равен
A)  ;
B) 2 / 3 ;
C) 2 / 5 ;
D) 2 / 7 ;
11. Область сходимости степенного ряда
E) другой ответ.

x  1n
n 1
n n

с учетом граничных точек имеет
вид:
A) 0  x  2 ;
B) 0  x  2 ;
C) 0  x  2 ;
D) 0  x  2 ;
E)  1  x  1 .
12. Решением задачи Коши 2 xy   y  0 , y1  1 является функция
A) y  x ;
B) y 
1
;
x
C) y  x x ;
D) y 
1
x x
;


E) y  0,5 x  x .
13. Решением задачи Коши 2 xy   y  2 x, y1  0 является функция
A) y   x  1 x ;
B) y 
1 x
;
x
C) y  x  1 ;
D) y 
1 x
;
x
E) y 
x 1
.
x
14. Решением задачи Коши 2 xy   y   0 , y1  0 , y(1)  1 является функция

E) y  2

x  1 .
A) y  2 1  x ;
B)
y


x  1 / 2 ; C) y 


x 1 / 2 ;
D) y  x  1 ;
15. Общим интегралом дифференциального уравнения  y  x  dy  x  y dx  0
является
A) x 2  y 2  2 xy  C ; B) x 2  y 2  2 xy  C ; C) x 2  y 2  2 xy  C ; D) x 2  y 2  2 xy  C ;
E) x 2  y 2  x  y  C .
- 54 -
16. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного преобразования,
 2  1  1


заданного матрицей A   0  1 0  .
0 2 1 


17. Исследуйте на условный экстремум: u  5  3x  4 y , y 2  x 2  25  0 .
18. Найдите выручку потребителей и поставщиков товара, законы спроса и
предложения на который имеют следующий вид: p  120 /x  2, p  2,5x  10 .
19. Найдите общее решение дифференциального уравнения y   14 y   49 y  e 7 x .
20. Найдите общее решение дифференциального уравнения y   y  4 cos x .
§ 2.2. Математический анализ (специальность «Мировая
экономика»)
Вариант №1


1[2]. Укажите верные утверждения. Функция u  f M  M  R m задана в окрестности
точки M 0 . Число А не является пределом функции f  M  при M  M 0 , если:
1.   0 ,   0 : M : 0  M , M 0   
2.   0 ,   0 M : 0  M , M 0   

3.   0 ,   0 : M : 0  M , M 0   
 M , M 0   
f (M )  A   ;
f (M )  A   ;

4.   0 :   0 M : 0  M , M 0   
5.   0 :   0 M :
f (M )  A   ;

f (M )  A   ;


f (M )  A   .


2[2]. Предел lim x x 2  3  x равен
x  
1.   ;
2.  3 2 ;
3. 0;
5.   .
4. 3 2 ;
3[2]. Производная функции f ( x, y )  (1  x ) 2  y 2 в точке О(0;0) по направлению оси
Ox равна
1.  2 ;
2.  1 ;
3. 1 / 2 ;
4. 1 ;
5. 2 .
4[2]. Вычислите неопределенный интеграл
arctg x
x (1  x)
1
arctg 2
2
1. ln arctg x  C ; 2. 2 arctg x  C ; 3.
5.

1
arctg x  C .
x
- 55 -
dx .
x  C ; 4. arctg 2
x C;
5[2]. Значение функции f ( x)  x x
1. e e ;
2. e 1 e ;
3. e  e ;
( x  0) в точке локального экстремума равно
4. e 1 / e ;
5. 1.
6[2]. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
f ( x)  x 3  12 x  7 на отрезке 0;3 равна
1. 32;
2. 25;
3. 16;
4. 9;
5. 7.
x ln x

 ( x  1)( x  2)

7[2]. Функция f ( x)  
1 ( x  0)


( x  0),
имеет:
1. одну точку разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода;
2. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва второго рода;
3. одну точку разрыва первого рода и две точки разрыва второго рода;
4. две точки разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода;
5. две точки разрыва второго рода и одну точку устранимого разрыва.
8[3]. На кривой y  x 3 найдите точку, касательная в которой параллельна хорде,
соединяющей точки A( 1;1) и B ( 2;8) .
1. Такой точки не существует; 2. ( 1;1) ; 3. ( 3;3 3 ) ; 4. (0;0) ;
5. (1;1) .
9[3]. Значение производной y x функции y  y( x) , заданной неявно уравнением
y  ln( x  y )  x  1 , в точке M (0;1) равно
1.  1 ;
2.  1 2 ;
3. 0 ;
4. 1 2 ;
5. 1 .
10[3]. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим
образом:
100
D( p) 
2,
p
найдите, заменяя приближенно приращение соответствующей функции ее
дифференциалом, изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 4,5% от
p0  25 .
1. 2 ;
2. 3 ;
3. 5 ;
4. 7 ;
5. 8 .
- 56 -
11[3]. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q  AK 0,9 L0,5
( A  const ) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при
увеличении затрат капитала K и уменьшении трудовых ресурсов L соответственно на
5% и 7%.
1. Увеличится на 2%;
2. Уменьшится на 2%;
3. Увеличится на 1%;
4. Уменьшится на 1%.
5. Не изменится.
12[4]. На рисунке изображены линии уровня функции z  f  x, y  . Отметьте верные
утверждения.
1. В точках C и D функция f  x, y  принимает максимальные значения;
2. В точках C и D функция f  x, y  принимает минимальные значения;
3. В точке B функция f  x, y  принимает максимальное значение;
4. В точке B функция f  x, y  принимает минимальное значение;
5. В окрестности точки A поверхность z  f  x, y  имеет вид седла; на линии EF
функция f  x, y  сохраняет постоянное значение.
y
-1
0
-4 B
-3
-1 -2
5
3
2
1
0 1 2
x
3
-2
-1
C
4
3
4
3
2
1
D
1
F
E
0
1 2
A
-1
3
0
-2
-3
13[4]. Площадь фигуры, ограниченной кривой y  xe  x
равна
1. e ;
2. 2 ;
3. 1 ;
4. 1 2 ;
2
2
и ее асимптотой при x  0 ,
5. среди приведенных нет верного ответа.
- 57 -
14[4]. Укажите наиболее точное приближение к значению функции
f ( x)  e x  x  1  x 2 в точке x 0  10 7 .
1. x 2 ;
2.
1 4
x ;
8
3.
1 4
x ;
6
1 3
x ;
3
4.
5.
1 3
x .
6
2
15[4]. Функция f ( x)  e  x имеет:
1. одну точку экстремума и одну точку перегиба;
2. одну точку экстремума и две точки перегиба;
3. одну точку экстремума и не имеет точек перегиба;
4. две точки экстремума и одну точку перегиба;
5. две точки перегиба и не имеет точек экстремума.
16[4]. Найдите A  B,
A  B,
A  C, B  C ,
A  B  C, ( A  B)  C и изобразите
эти множества на координатной прямой, если A  0;3; B  (1;5); C    2;0 .
17[4]. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x  sin t , y  2 t в точке,
для которой t  0 .
18[5]. Опишите все асимптоты графика функции xe1 x .
x


19[5]. Известно, что F ( x)   e t t 2  7t 3  6t 2 dt . Найдите абсциссы точек, в которых
2

функция F (x) принимает экстремальные значения, и опишите характер этих
экстремумов.
20[6]. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость:
0
0
а)
 3  x e
3x
dx ;
б)

3

dx
5
x  1
.
3



21[6]. Дана функция z  ln( 5x 2  3 y 2 ) , точка А(1;1) и вектор l  3i  2 j . Найдите:

1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора l .
22[8]. По графику функции y  f  x  , изображенному на рисунке, выясните вид
графиков ее первой и второй производных.
y
y=f(x)
0
a
b
- 58 -
x
23[10]. Найдите все точки локального экстремума функции
f ( x, y)  x 2  2 xy  2 y 2  2 x и определите их тип.
24[10]. Исследуйте на условный экстремум функцию f ( x, y )  2 x  16 y при условии
связи xy  y 2  7  0 .
25[10]. Найдите функцию спроса, если известны: 1) значение цены p=90 в некоторой
x  100
(0  x  100).
точке x=10; 2) эластичность E x ( p ) 
x
Вариант №2
1[2]. Укажите верные утверждения.
Первый дифференциал дифференцируемой функции z  f  x, y  в точке M 0 x0 , y 0  
это то же самое, что
f
f
dx  dy ;
x
y
f  x0  x, y 0   f  x0 , y 0 
f  x0 , y 0  y   f  x0 , y 0 
2. dx  lim
, где dx и
 dy  lim
x0
y 0
x
y
dy  бесконечно малые приращения x и y ;
3. a x  x0   b y  y 0  , где z  ax  by – уравнение касательной плоскости к графику
1.
функции z  f  x, y  в точке M 0 ;
4. главная (линейная) часть приращения функции в точке M 0 ;
5. a x  x0   b y  y 0  при условии, что
f x0  x, y0  y   f x0 , y0   ax  x0   b y  y0    o

x  x0 2   y  y 0 2  .



2[2]. Предел lim x x 2  2  x равен
x  
1.  1 ; 2. 0 ; 3. 1 ; 4. 2 ; 5.   .
3[2]. Производная функции f ( x, y)  e x
равна
1. 2 ; 2. 1 ; 3. 0; 4.  1
2
( 2 y )
в точке M(1;2) по направлению оси Oy
2 ; 5.  1 .
4[2]. Вычислите неопределенный интеграл

( x  arctg x)
dx .
1 x2
1
1
1
1. arctg x  arctg 2 x  C ; 2. arctg x  2 arctg 2 x  C ; 3. ln 1  x 2  arctg 2 x  C ;
2
2
2
4. 2 ln( 1  x 2 )  arctg x  C ;
5.
1
ln( 1  x 2 )  arctg 2 x  C .
2
- 59 -
5[2]. Значение функции f ( x)  x  x
1.
e e ; 2.
e 1 / e ;
3.
( x  0) в точке локального экстремума равно
e  e ; 4.
e 1 / e ; 5.
1.
6[2]. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
f ( x)  3x 5  5x 3  6 на отрезке 0;2 равна
1. 58 ; 2. 56 ; 3. 48 ; 4. 10 ; 5. 2 .
 x  3 ( x  1),

7[2]. Функция f ( x )   x 2  2 ( 1  x  0), имеет:
e 1 x ( x  0)

1. одну точку разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода;
2. две точки разрыва первого рода;
3. две точки разрыва второго рода;
4. одну точку разрыва второго рода и одну точку устранимого разрыва;
5. две точки устранимого разрыва.
8[3]. Используя формулу конечных приращений для функции f ( x ) 
12

cos x на


  
отрезке  ;  , получите оценки сверху и снизу величины f  f    f   :
 4
 6
6 4
A  f  B . В ответе укажите промежуток  A; B  .
 1

3
3
1 
1
 1
1 1 
 ; 3.  ;
1. 
;  ; 2.  
;
;  ; 5.   3;1 .
 ; 4.  

2 2
2
2 2
 2 2 
 2
9[3]. Значение производной y x функции y  y( x) , заданной неявно уравнением

x
ln y  arctg   , в точке M (e; e) равно
4
 y
1
 
1.  1   ; 2.

2
1

2
; 3. 1 ; 4.
2

; 5. не существует.
10[3]. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим
образом:
500 1
D( p ) 
 ,
4 p
2
укажите, приближенно заменяя приращение соответствующей функции ее
дифференциалом, целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах)
при увеличении цены на 4% от p0  16 .
1. 1 ; 2. 2 ; 3. 3 ; 4. 4 ; 5. 5 .
- 60 -
11[3]. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q  AK 0,5 L0,7
( A  const ) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при
уменьшении затрат капитала K и увеличении трудовых ресурсов L соответственно на
8% и 10%.
1. Уменьшится на 2%.
2. Увеличится на 2%.
3. Уменьшится на 3%.
4. Увеличится на 3%.
5. Не изменится.
12[4]. На рисунке изображены линии уровня функции z  f  x, y  . Отметьте неверные
утверждения.
1. В точках C и D функция f  x, y  принимает максимальные значения;
2. В точкe D функция f  x, y  принимает минимальное значение, а в точке C –
максимальное;
3. В точке C функция f  x, y  принимает максимальное значение, а в точке D –
минимальное;
4. В точке A функция f  x, y  принимает минимальное значение;
5. В окрестности точки B поверхность z  f  x, y  имеет вид седла; на линии EF
функция f  x, y  сохраняет постоянное значение.
E
-3
-2
2
1
y
-1
-1
0
5
B
-2 -3
0
C
0
3
2
1
A
-4
-3
D
-1
-2
0 1 2
-1
2
1
x
3
-2
3
4
1
3
2
2
1
F
-1
1
13[4]. Значение площади фигуры, ограниченной линиями x  y 2  4 y  5 и x  y  5 ,
принадлежит промежутку
1. [25;30]; 2. [15;20); 3. [10;15); 4. [5;10); 5. (0;5).
- 61 -
14[4]. Укажите наиболее точное приближение к значению функции
f ( x)  sin 2 x  ln( 1  x 2 ) в точке x 0  10 6 .
1
5
1
1. 2 x 2 ; 2.  2x 2 ; 3.  x 3 ; 4.  x 4 ; 5. x 4 .
6
6
6
15[4]. Функция f ( x) 
(ln x) 2
 ln( 1  e 2 ) имеет:
x
1. ни одной точки экстремума и одну точку перегиба;
2. одну точку экстремума и ни одной точки перегиба;
3. одну точку экстремума и одну точку перегиба;
4. две точки экстремума и одну точку перегиба;
5. две точки экстремума и две точки перегиба.
16[4]. Найдите A  B, A  B, A  C ,B  C , A  B  C ,( A  B)  C и изобразите эти
множества на координатной прямой, если A  (;1]; B  [1;); C  (0;1) .
17[4]. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x  arctg t , y  ln( 1  t 2 ) в
точке, для которой t  3 .
18[5]. Опишите все асимптоты графика функции y  x 
ex
.
x2 1
x 4  3x 3  2 x 2
dx  C . Найдите абсциссы точек, в которых
cos x  3
функция F (x) принимает экстремальные значения, и опишите характер этих
экстремумов.
19[5]. Известно, что F ( x)  
20[6]. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость:

а)

x
2
4
 x e dx ;
2
б)
0
dx
 (x  1) 2
0
.



21[6]. Дана функция z  arctg ( xy 2 ) , точка А(2;3) и вектор l  4i  3 j . Найдите:

1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора l .
22[8]. Выясните вид графика функции y  f  x  по графику ее первой производной,
изображенному на рисунке.
y
a
b
0
y'=f'(x)
- 62 -
x
23[10]. Найдите все точки локального экстремума функции
f ( x, y)  4 x 2  2 xy  y 2  10 x  4 y и определите их тип.
24[10]. Исследуйте на условный экстремум функцию f ( x, y )  3x  6 y при условии
связи y 2  xy  1  0 .
25[10]. Найдите функцию спроса, если известны : 1) значение цены p=18 в некоторой
p
точке x=1; 2) эластичность E p ( x) 
(0  p  20).
p  20
Вариант №3
1[2]. Укажите верные утверждения.
Функция u  f M  M  R m задана в окрестности точки M 0 . Число А является


пределом функции f  M  при M  M 0 , если:
M : 0  M , M 0   
1.   0 ,   0
f (M )  A   ;

2.   0 ,   0 : M : 0  M , M 0   

f (M )  A   ;
3.   0 ,

f (M )  A   ;
4.   0 ,
  0, M : 0  M , M 0   
  0 : M : 0  M , M 0   
 M , M 0   
5.   0 :   0 M :
2[2]. Предел lim
x 
 4x

f (M )  A   ;
f (M )  A   .


 2 x  1  2 x равен
2
1.   ; 2.  1 2 ; 3. 0; 4. 1 2 ; 5.   .
3[2]. Производная функции f ( x, y )  2 x 2  (1  y ) 2 в точке О(0;0) по направлению оси
Oy равна
1. – 2; 2.  1 ; 3.  1
2 ; 4. 1 ; 5. 2 .
2
4[2]. Вычислите неопределенный интеграл  e sin x sin 2 x dx .
1. e sin
2x
C ;
2. e sin 2 x  C ;
3. 2e sin
5[2]. Значение функции f ( x)  x x
1.
 e ;
e
2.
 e
1 e
;
3.
2x
C;
4.  1 2  e cos
2x
C ;
5. e cos 2 x  C .
( x  0) в точке локального экстремума равно
2
 e
e
;
4.
 e
- 63 -
1 e
;
5.
1.
6[2]. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
f ( x)  3x 4  16 x 3  2 на отрезке  3;1 равна
1. 931;
2. 688;
3. 675;
4. 666;
5. 423.
 xe 1 x
( x  0),

2
(
1

x
)

7[2]. Функция f ( x )  
имеет:
0
( x  0)


1. две точки разрыва второго рода;
2. две точки разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода;
3. три точки разрыва второго рода;
4. одну точку разрыва первого рода и две точки разрыва второго рода;
5. три точки разрыва первого рода.
8[3]. На кривой y  x найдите точку, касательная в которой параллельна хорде,
соединяющей точки A (1;1) и B ( 2;8) .
3
1. Такой точки не существует;
2. ( 7 3 ; 7 7 27) ;
3. ( 3;3 3 ) ;
4. (0;0) ;
5. (1;1) .
9[3]. Значение производной y x функции y  y( x) , заданной неявно уравнением
x  y  e y arctg x  0 , в точке М (0;0) равно
1.  1 ;
2. 0;
3. 1;
4. 2; 5. не существует.
10[3]. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим
образом:
100 1
D( p ) 
 ,
5 p 2
укажите, заменяя приближенно приращение соответствующей функции ее
дифференциалом, целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах)
при увеличении цены на 10% от p0  32 .
1. 6;
2. 7;
3. 8;
4. 9; 5. 10.
11[3]. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q  AK 0, 4 L0,8
( A  const ) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при
увеличении затрат капитала K и уменьшении трудовых ресурсов L соответственно на
10% и 5%.
1. Увеличится на 5%;
2. Уменьшится на 5%;
3. Увеличится на 2%;
4. Уменьшится на 2%;
5. Не изменится.
- 64 -
12[4]. На рисунке изображены линии уровня функции z  f  x, y  . Отметьте верные
утверждения.
1. В точке B функция f  x, y  принимает максимальное значение;
2. В точке B функция f  x, y  принимает минимальное значение;
3. В точках A и C функция f  x, y  принимает максимальные значения;
4. В точках A и C функция f  x, y  принимает минимальные значения;
5. В окрестности точки D поверхность z  f  x, y  имеет вид седла; на линии EF
функция f  x, y  сохраняет постоянное значение.
5
y
4 3
B
2
1
0
-1
2
F
6
2
-1
0
4
3
C 3 2
6 A
4
3
2
6
1
16
1
0
5
1
2
32
D
64
1/2
2
x
3
E
1
0
-1 -1 0 4 6 16
32
64
13[4]. Значение площади фигуры, ограниченной линиями y 2  2 x и y 2  3  x ,
принадлежит промежутку
1. 1;2 ;
2. 2 ; 3 ;
3. 3 ; 4 ;
4. 4 ; 5 ;
5. среди приведенных нет верного ответа.
14[4]. Укажите наиболее точное приближение к значению функции
f ( x)  ln( 1  x 2 ) 
x2
1 x
1. 2 x 2 ;
1
2.  x 2 ;
2
2
в точке x 0  10 5 .
1
3.  x 4 ;
2
4. x 4 ;
5.  x 4 .
15[4]. Функция f ( x)  x 2 e  x имеет:
1. одну точку экстремума и одну точку перегиба;
2. одну точку экстремума и две точки перегиба;
3. одну точку экстремума и не имеет точек перегиба;
4. две точки экстремума и одну точку перегиба;
5. две точки экстремума и две точки перегиба.
- 65 -
16[4]. Найдите A  B, A  B, A  C, B  C, A  B  C, ( A  B)  C и изобразите
эти множества на координатной прямой, если A  0;2; B  (1;4) ; C   1;0.
17[4]. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x  t ln t , y 
для которой t  1 .
ln t
в точке,
t
18[5]. Опишите все асимптоты графика функции y  2 x  arctg x .
3t 2  3t 3  t 4
19[5]. Известно, что F ( x)  
dt . Найдите абсциссы точек, в которых
ln( t 2  2)

функция F (x) принимает экстремальные значения, и опишите характер этих
экстремумов.
x
20[6]. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость:
1
0
а)
 xe dx ;
2x
б)


0
dx
xx
2
.



21[6]. Дана функция z  arcsin x 2 y  , точка А(1;2) и вектор l  5i  12 j . Найдите:

1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора l .
22[8]. По графику функции y  f  x  , изображенному на рисунке, выясните вид
графиков ее первой и второй производных.
y
y=f (x)
0
a
b
x
23[10]. Найдите все точки локального экстремума функции
f ( x, y)  x 2  xy  5 y 2  5x  12 y и определите их тип.
24[10]. Исследуйте на условный экстремум функцию f ( x, y )  x  y при условии связи
x2  y2  8 .
- 66 -
25[10]. Найдите функцию спроса, если известны: 1) значение цены p=36 в некоторой
x  300
(0  x  300).
точке x=12; 2) эластичность E x ( p) 
x
Вариант №4
1[2]. Укажите неверные утверждения.
Для того, чтобы непрерывная в точке M 0 функция f  x, y  была дифференцируемой в
этой точке, достаточно потребовать, чтобы:
1. A, B : f  x, y   f  x0 , y 0   A x  x0   B y  y 0   o ,
где    x  x0 2   y  y 0 2 ;
2. существовали частные производные f x   M 0  и f y   M 0  ;

3. для любого направления l существовала производная вдоль этого направления в
точке M 0 ;
4. частные производные f   x, y  и f   x, y  существовали в некоторой окрестности
x
y
точки M 0 и были бы непрерывны в точке M 0 ;
5. существовали все частные производные первого порядка f  x, y  в некоторой
окрестности точки M 0 .
2[2]. Предел lim
n 
1. 1 ;
2. 1 2 ;


n n  5  n  4 равен
3. 1 3 ;
4. 0 ;
5.   .
3[2]. Производная функции f ( x, y )  3 x 3  y 3 в точке M(–1;0) по направлению оси Ox
равна
1.  1 ;
2.  1 3 ;
3. 0;
4. 1; 5.
2.
4[2]. Вычислите неопределенный интеграл 
1. 
4.
3
4  ln x  2 / 3  C ;
2
3 3
 4  ln x 4  C ;
4
5.
 e ;
e
2.
 e
1 e
;
4  ln x
dx .
x
2. 3 4  ln x 4  C ;
ln x
3
4  ln x
5[2]. Значение функции f ( x)  x  x
1.
3
3.
3.
4 3
 4  ln x 4  C ;
3
C.
( x  0) в точке локального экстремума равно
2
 e
e
;
4.
 e
- 67 -
1 e
;
5.
1.
6[2]. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции f ( x)  x 4  4 x
на отрезке  2;2 равна
1. 32;
2. 27;
3. 21; 4. 16;
5.11.
cos x ( x  0),

7[2]. Функция f ( x )   x 2  1 (0  x  1),
51 / 1 x  ( x  1)

имеет:
1. одну точку устранимого разрыва;
2. одну точку разрыва первого рода;
3. одну точку разрыва второго рода;
4. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва второго рода;
5. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва первого рода.
8[3]. Используя формулу конечных приращений для функции f ( x) 
 
  

f

f
;
,
получите
оценки
сверху
и
снизу
величины
 
 4 3 
 4
ответе укажите промежуток  A; B  .
 1 1
1.   ;  ;
2 2

1 1 
2.  ;  ;
 2 2

3 1 
3.   ;  ;
2
 2
 1 3
4.  ;  ;
 2 2
12
sin x на отрезке

 
f   : A  f  B . В
 3
 
5. 1; 3 .
9[3]. Значение производной y x функции y  y( x) , заданной неявно уравнением
 
y sin x  cosx  y  , в точке M  ;0  равно
2 
1.  1 ;
2.  1 2 ;
3. 0 ;
4. 1 2 ;
5. 1 .
10[3]. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим
образом:
750 1
D( p ) 
 ,
3
p 3
укажите, приближенно заменяя приращение соответствующей функции ее
дифференциалом, целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах)
при увеличении цены на 3% от p0  27 .
1. 1 ;
2. 2 ;
3. 3 ;
4. 4 ;
5. 5 .
- 68 -
11[3]. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q  AK 0,8 L0,5
( A  const ) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при
уменьшении затрат капитала K и увеличении трудовых ресурсов L соответственно на
10% и 8%.
1. Уменьшится на 2%;
2. Увеличится на 2%;
3. Уменьшится на 4%;
4. Увеличится на 4%;
5. Не изменится.
12[4]. На рисунке изображены линии уровня функции z  f  x, y  . Отметьте неверные
утверждения.
1. В точках C и D функция f  x, y  принимает максимальные значения;
2. В точках A и D функция f  x, y  принимает максимальные значения;
3. В точке B функция f  x, y  принимает максимальное значение;
4. В точке B функция f  x, y  принимает минимальное значение;
5. В окрестности точки C поверхность z  f  x, y  имеет вид седла; на линии EF
функция f  x, y  сохраняет постоянное значение.
6
y
0
5
0
-1
1
6
-2
-3
2
5
3
3
2 B
4
1
4
3
0
2
1
2
A
-1
-2
-3
x
3
-2
C
-1
0
15
-5
E
10
0
-1
-4
D
-3
-2
-1
принадлежит промежутку
2. (1;2];
3. (2;3];
4. (3;4];
5. (4;5].
- 69 -
2
0
13[4]. Значение площади фигуры, ограниченной линиями x 2  4 y и y 
1. (0;1];
1
F
8
,
x 4
2
14[4]. Укажите наиболее точное приближение к значению функции
2
1
f ( x)  e  x 
в точке x 0  10 4 .
2
1 x
1.  2x 2 ;
2. 2x 2 ;
3.
3 4
x ;
2
3
4.  x 4 ;
4
1
5.  x 4 .
2
15[4]. Функция y  arctg x  ln 1  x 2 имеет:
1. одну точку экстремума и ни одной точки перегиба;
2. одну точку экстремума и одну точку перегиба;
3. одну точку экстремума и две точки перегиба;
4. две точки экстремума и ни одной точки перегиба;
5. две точки экстремума и две точки перегиба.
16[4]. Найдите A  B, A  B, A  C ,B  C , A  B  C ,( A  B)  C и изобразите эти
множества на координатной прямой, если A   3;1; B  2;; C  (;2) .
17[4]. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x  arccos t , y  1  t 2 в
точке, для которой t 
2
.
2
18[5]. Опишите все асимптоты графика функции y  3x 
2e x
.
x2  4
10 x 2  3x 3  x 4
dx  C . Найдите абсциссы точек, в
arctg 1  x 2 
которых функция F (x) принимает экстремальные значения, и опишите характер этих
экстремумов.
19[5]. Известно, что F ( x )  
20[6]. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость:

а)
 x
2

10
 2 x e  x dx ;
б)
0
dx
3 x  2.
0



21[6]. Дана функция z  3x 4  2 x 2 y 3 , точка А(–1;2) и вектор l  4i  3 j . Найдите:

1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора l .
- 70 -
22[8]. Выясните вид графика функции y  f  x  по графику ее первой производной,
изображенному на рисунке.
y
y'=f ' (x)
0
b
a
x
23[10]. Найдите все точки локального экстремума функции
f ( x, y)   x 2  xy  y 2  3x  3 y и определите их тип.
24[10]. Исследуйте на условный экстремум функцию f ( x, y )   x  2 y при условии
связи x 2  y 2  5  0 .
25[10]. Найдите функцию спроса, если известны : 1) значение цены p=10 в некоторой
p
точке x  3 ; 2) эластичность E p ( x) 
(0  p  40).
p  40
Часть IV
§ 2.3. Математический анализ (специальность «Экономика»)
Вариант №1
1. Укажите верные утверждения. Если функция f  M  дифференцируема в точке
M 0  R m , то:
1. найдется такая окрестность точки M 0 , в которой f  M  непрерывна;
2.  f  M   f  M 0  - бесконечно малая функция в точке M 0 ;
3. найдется такая окрестность точки M 0 , в которой f  M  ограничена;
4. существует такая линейная функция g M  , что в некоторой окрестности точки M 0
будет иметь место равенство f M   g M   oM , M 0  ;
5. при m  2 график z  f  x, y  имеет касательную плоскость в точке M 0 .
2. Пусть    M , M 0  . Утверждение f M   o при M  M 0 эквивалентно
следующему утверждению:
1.  lim  f M    M , M 0   0 ;
M M 0
2.  lim f M   0 ;
M M 0
3. A,   0 :  M :  M , M 0     f M   A ;
f M 
 0;
M  M 0  M , M 
0
4.  lim
5. A,   0 :  M :  M , M 0     f M   A M , M 0  .
- 71 -

3. Двойной предел lim x  y
x  
y  
1. e 1 ;
2. 2e 2 ;
3. 0;
2
2
 e 
 x y
равен
4. 2; 5.   .
4. Укажите все сходящиеся числовые ряды
1.

n 1
n2
ln 3 n


;
2.

n1

sin n
n2  1
;
3.
4n
 n!2
n1


; 4.   1 tg  ; 5.
 3n 
n1
n
n
1  1 
  n  .
n 1
2

5. Площадь треугольника, образованного асимптотами графика функции y 
касательной к этому графику, проходящей через точку M  1;1 , равна
1. 2;
2. 3;
3. 4;
4. 6;
3x  4
и
x2
5. 8.
6. На рисунке изображены линии уровня функции z  f  x, y  . Отметьте верные
утверждения.
1. В точках C и D функция f  x, y  принимает максимальные значения;
2. В точках C и D функция f  x, y  принимает минимальные значения;
3. В точке B функция f  x, y  принимает максимальное значение;
4. В точке B функция f  x, y  принимает минимальное значение;
5. В окрестности точки A поверхность z  f  x, y  имеет вид седла; на линии EF
функция f  x, y  сохраняет постоянное значение.
y
-1
0
-4 B
-3
-1 -2
5
3
2
1
0 1 2
x
3
-2
-1
C
4
3
4
3
2
1
E
0
1 2
A
-1
F
-2
-3
- 72 -
1
D
0
3
7. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q  AK 0,9 L0,5 ( A  const )
установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при увеличении
затрат капитала K и уменьшении трудовых ресурсов L соответственно на 5% и 7%.
1. Увеличится на 2%;
2. Уменьшится на 2%;
3. Увеличится на 1%;
4. Уменьшится на 1%;
5. Не изменится.
8. Производная функции u  x 2  y 3  z  xyz в точке M 1;1;2 по направлению вектора

l  2;1;2 равна
1.  2 ;
2.  1 ;
3. –0,(3);
4. 0,(3);
5. 1.
9. Определите промежуток, которому принадлежит значение полной производной


t
функции z  ln  x  y exp    x  t 2  1, y  sin t при t  0 .

 x
1.  2;1 ;
2.  1;0 ;
3. 0;1 ;
4. 1;2 ;
10. Область сходимости степенного ряда

5. 2;3 .
x  42n
 25
n 1
n
 n2
с учетом граничных точек
совпадает с множеством
1.  5;5 ;
2.  5,5 ;
3.  9,1 ;
4.  9,1 ;
5.  9;1 .
11. Укажите целое число, к которому наиболее близко значение интеграла
2
 x  y  dxdy , где область D ограничена линиями: y  2  x , y  2 .
D
1.  4 ;
2. 0;
3. 4;
4. 5;
5. 6.
- 73 -
dz
dt
12. По предложенным графикам линий уровня функции двух переменных f  x, y  и
условия связи g  x, y   0 (более толстая линия на рисунке) определите наличие или
отсутствие у функции f  x, y  условного локального экстремума в точке: a) M1 ; b)
M 2 ; c) M 3 ; d) M 4 ; e) M 5 .
1. В точке имеется условный минимум;
2. В точке имеется условный максимум;
3. В точке отсутствует условный экстремум;
4. В точке имеется нестрогий условный минимум;
5. В точке имеется нестрогий условный максимум.
-2
M5
-6
M3
M1
-4
M4
-5
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
M2
-4
-3
-2 -1
13. Используя ряд Маклорена для функции f  x  , вычислите

0,001, если f  x   x ln 1  x
1. 0,008;
2. 0,012;
2
 f x dx
с точностью до
0
.
3. 0,014;
1/ 2
4. 0,016;
5. 0,018.
14. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
z  4 x 2  2 xy  y 2  10 x  4 y в области, ограниченной линиями:
x  3, y  3, x  y  4 , равна
1. 94;
2. 224;
3. 225; 4. 228;
5. 232.
15. Вычислите с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь
фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением x 2  y 2 
координатах.
3/ 2
1. 2 ; 2. 4 ;
3. 8 ;
4. 12
5. 16 .
- 74 -
 8 xy в декартовых
16. Оцените ошибку, получаемую при замене суммы ряда

sin n 2
n 1
2n

суммой первых его
10-ти слагаемых.
17. Опишите все асимптоты графика функции y  xe2 / x  1 .
18. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x  sin t , y  2 t в точке, для
которой t  0 .
19. По графику функции y  f  x  , изображенному на рисунке, выясните вид графиков
ее первой и второй производных.
y
y=f(x)
0
a
b
x
20. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость:
0
0
а)
 3  x e
3x
dx ;
б)
3

21. Найдите значение предела lim
e x sin x  x1  x 
x0
22. Для функции f  x  

2x  5
 x  12  x  2 
проходит через точку M 3;1  4 ln 2 .
x3
dx
5
x  13
.
.
найдите первообразную, график которой
23. Подсчитайте выручку потребителей и поставщиков товара, законы спроса и
предложения на который имеют следующий вид: p  89  x 2 , 10 x  7 p  210  0 . Здесь
x – количество товара, p – цена на этот товар.
- 75 -
24. На рисунке изображены линии уровня функции z  f  x, y  . Постройте график
функции z  f ( 5, y ) .
5
y
4 3 2
1
0
1
6
2
2
1
2
4
3
2
6
4
3
8
1
16
1
0
5
2
2
3
1
x
32
64
1/2
2
1
0
1 1 2 4 8 16
25. Укажите точки разрыва функции z 
32
x y
x  y3
3
64
.
26. Вычислите приближенно при помощи дифференциала первого порядка
3,962  3,022 .
27. Применяя правило нахождения частных производных сложной функции,
определите z  и z  , если z  ln u 2  v 2 , u  e x tgy , v  e x .
x
y


28. Пусть z  z x, y  – неявная функция, определяемая уравнением z 3  2 xz  y  0 ,
которая при x  1 и y  1 принимает значение z  1 . Напишите разложение функции z
по возрастающим степеням биномов  x  1 и  y  1 до второго порядка включительно.
29. Определите локальные экстремумы функции трех переменных
f  x, y, z   x 3  y 2  z 2  12 xy  2 z .
30. Найдите условные локальные экстремумы функции z  x 2  y 2  xy при
x2  y2  2 .
Вариант №2
1. Укажите неверные утверждения.
Если функция f  M  непрерывна в точке M 0  R m , то:
1. найдется такая окрестность точки M 0 , в которой f  M  ограничена;
2.   0   0 : M : 0   M , M 0     f M   f M 0    ;
3. при m  2 график z  f  x, y  имеет касательную плоскость в точке M 0 ;
4.  f  M   f  M 0  – бесконечно малая функция при M  M 0 ;
5.  lim f M   f M 0  .
M M 0
- 76 -
2. Укажите верные утверждения.
Первый дифференциал дифференцируемой функции z  f  x, y  в точке M 0  x0 , y 0  –
это то же самое, что
f
f
dx  dy ;
x
y
f  x0  x, y 0   f  x0 , y 0 
f  x0 , y 0  y   f  x0 , y 0 
2. dx  lim
,
 dy  lim
x0
y 0
x
y
где dx и dy — бесконечно малые приращения x и y ;
3. a x  x0   b y  y 0  , где z  ax  by – уравнение касательной плоскости к графику
1.
функции z  f  x, y  в точке M 0 ;
4. главная (линейная) часть приращения функции в точке M 0 ;
5. a x  x0   b y  y 0  при условии, что
f  x0  x, y 0  y   f  x0 , y 0   a x  x0   b y  y 0   o  x  x0  2   y  y 0 2  .



x 0
3. Двойной предел lim x 2  y 2
x y
2 2
равен
y 0
1. e ;
2. e 1 ;
3. 0; 4. 1; 5.   .
4. Укажите все расходящиеся числовые ряды.

1.
 1n n 2
 1  5n 2

; 2.
n 1

n 1
1 
n1  cos
 ; 3.
n  1



n 1
ln n
n5  n

; 4.

n 1
 1 n n 2  3
2n

; 5.
5. Площадь треугольника, образованного асимптотами графика функции y 
касательной к этому графику, проходящей через точку M 4;3 , равна
1. 4;
2. 6;
3. 8;
4. 10;
5. 12.
- 77 -
7n
 n! .
n 1
2x  1
и
x 1
6. На рисунке изображены линии уровня функции z  f  x, y  . Отметьте неверные
утверждения.
1. В точках C и D функция f  x, y  принимает максимальные значения;
2. В точкe D функция f  x, y  принимает минимальные значения;
3. В точке C функция f  x, y  принимает максимальное значение;
4. В точке A функция f  x, y  принимает минимальное значение;
5. В окрестности точки B поверхность z  f  x, y  имеет вид седла; на линии EF
функция f  x, y  сохраняет постоянное значение.
2
1
E
-3
-2
y
-2 -3
-1
-1
0
C
B
0
3
2
1
A
-4
-3
D
5
-1
-2
0 1 2
-1
2
1
x
3
-2
3
4
1
3
2
2
1
0
1
F
-1
7. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q  AK 0,5 L0,7 ( A  const )
установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при уменьшении
затрат капитала K и увеличении трудовых ресурсов L соответственно на 8% и 10%.
1. Уменьшится на 2%;
2. Увеличится на 2%;
3. Уменьшится на 3%;
4. Увеличится на 3%;
5. Не изменится.
8. Производная функции u  xy 2  xyz  z 2 в точке M 2;1;1 по направлению вектора

l  2;1;2 равна
1. 3;
2. 6;
3. 10;
4. 15;
5. 18.
9. Определите промежуток, которому принадлежит значение полной производной

функции z  tg t x 2  y 2
1. 2;3 ;
2. 3;4 ;
 x  e , y  ln t  при t  1.
3. 4;5 ;
t
4. 5;6 ;
5. 6;7 .
- 78 -
dz
dt

10. Область сходимости степенного ряда

 x  7  2n
9
n 1
n
n 2 с учетом граничных точек
совпадает с множеством
2.  3;3 ;
1.  3;3 ;
3.  3;3;
4. 4;10 ;
5. 4;10 .
11. Укажите целое число, к которому наиболее близко значение интеграла
2
 x  y dxdy , где область D ограничена линиями: y  x , y  3x , x  2 .


D
1. 3;
2. 6;
3. 12;
4. 18;
5. 24.
12. По предложенным графикам линий уровня функции двух переменных f  x, y  и
условия связи g  x, y   0 (более толстая линия на рисунке) определите наличие или
отсутствие у функции f  x, y  условного локального экстремума в точке: a) M1 ; b)
M 2 ; c) M 3 ; d) M 4 ; e) M 5 .
1. В точке имеется условный минимум;
2. В точке имеется условный максимум;
3. В точке отсутствует условный экстремум;
4. В точке имеется нестрогий условный минимум;
5. В точке имеется нестрогий условный максимум.
M1
M4
5
M5
3
1
4
-1
-3
M3
-5
5
M2
-4
-2
0
1
2
3
13. Используя ряд Маклорена для функции f  x  , вычислите
4
1/ 2
 f x dx
0
2  x2
0,001, если f  x   x e
1. 0,035;
2. 0,042;
.
3. 0,048;
4. 0,053;
5. 0,056.
- 79 -
с точностью до
14. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
z  2x 2  xy  2 y 2  x  4 y в области, ограниченной линиями: x  1, y  2, x  4, y  2 ,
равна
1. 23;
2. 28,125;
3. 30; 4. 36,125;
5. 38.
15. Вычислите с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь
фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением x 2  y 2  3  y 4 в декартовых
координатах.
1.

;
4
2.
3
;
8
3.
3

; 4.
;
4
2
5.  .

3
16. Оцените ошибку, получаемую при замене суммы ряда   
n 1  7 
первых его 5-ти слагаемых.
17. Опишите все асимптоты графика функции y 
2n
cos n 3 суммой
2 x 2  sin x
.
x


18. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x  arctg t , y  ln 1  t 2 в
точке, для которой t  3 .
19. Выясните вид графика функции y  f  x  по графику ее первой производной,
изображенному на рисунке.
y
a
b
0
x
y'=f ' (x)
20. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость:

а)
x
2

e
x
2 dx ;
4
б)
0
0
21. Найдите значение предела lim x 3 / 2
x  
22. Для функции f  x  
dx
  x  12 .
ex 1
e 2 x  4e x  4
1
проходит через точку M  0;  .
6



x 1  x 1  2 x .
найдите первообразную, график которой
- 80 -
23. Подсчитайте выручку потребителей и поставщиков товара, законы спроса и
предложения на который имеют следующий вид: 5 p  2 x  50 , 5 p  6 x  10 . Здесь
x – количество товара, p – цена на этот товар.
24. На рисунке изображены линии уровня функции z  f  x, y  . Постройте график
функции z  f  x,0 .
5
y
4 3 2
1
0
1
2
6
2
1
2
4
3
2
6
4
3
2
8
1
16
1
0
5
2
x
32
3
1
64
1/2
2
1
0
1 1 2 4 8 16
32

64

ln 4  x 2  y 2
25. Укажите точки разрыва функции z 
.
xy
26. Вычислите приближенно при помощи дифференциала первого порядка
1,983
.
2,01 2
27. Применяя правило нахождения частных производных сложной функции,
uv
 x
определите z x  и z y  , если z  arctg
, u  x 2  y 2 , v  exp   .
uv
 y
28. Пусть z  z x, y  – неявная функция, определяемая уравнением 4 x 3  z 2  3xyz  0 ,
которая при x  1 и y  1 принимает значение z  4 . Напишите разложение
функции z по возрастающим степеням биномов  x  1 и  y  1 до второго порядка
включительно.
29. Определите локальные экстремумы функции трех переменных
f  x, y, z   2 x 2  xy  2 xz  y  y 3  z 2 .
30. Найдите условные локальные экстремумы функции z  2 x  3 y при
x 2  y 2  13  0 .
- 81 -
Вариант №3


1. Укажите верные утверждения. Функция u  f M  M  R m задана в окрестности
точки M 0 . Число A является пределом функции f  M  при M  M 0 , если:
1.   0   0 M : 0   M , M 0     f M   A   ;
2.   0   0 : M : 0   M , M 0     f M   A   ;
3.   0   0, M : 0   M , M 0     f M   A   ;
4.   0,   0 : M : 0   M , M 0     f M   A   ;
5.   0 :   0 M :  M , M 0     f M   A   .
2. Укажите неверные утверждения.
1. Второй дифференциал функции z  f  x, y  в точке M 0  x0 , y 0  равен
f  dx 2  2 f  dxdy  f  dy 2 .
x2
y2
xy
2. Направление градиента функции в данной точке совпадает с направлением
наибольшей производной по направлению в этой точке;
3. Непрерывная в области функция ограничена в ней;
4. Если функция f  M  дифференцируема и строго выпукла на множестве D , то она
достигает локального экстремума лишь в одной точке множества D ;
5. Для любой функции z  f  x, y  имеет место равенство f   x, y   f   x, y  .
xy
3. Двойной предел lim
x  x
y 
1. -1;
2. 0;
3. 1;
2x  y
2
 xy  y 2
yx
равен
5.   .
4. 2;
4. Укажите все сходящиеся числовые ряды:

1.
n
  8  ; 2.
 
n 1  7 


n 1

n
n3  n  1
; 3.

n 1
 1 n  n 2
3n

; 4.
arctg 2 n
; 5.

n 1 n n  5

n 1
5. Площадь треугольника, образованного асимптотами графика функции y 
касательной к этому графику, проходящей через точку M 1;7 , равна
1. 4;
2. 6;
3. 8;
4. 10;
5. 12.
- 82 -

 n!sin 2 n .
5 x  12
и
x2
6. На рисунке изображены линии уровня функции z  f  x, y  . Отметьте верные
утверждения.
1. В точке B функция f  x, y  принимает максимальное значение;
2. В точке B функция f  x, y  принимает минимальное значение;
3. В точках A и C функция f  x, y  принимает максимальные значения;
4. В точках A и C функция f  x, y  принимает минимальные значения;
5. В окрестности точки D поверхность z  f  x, y  имеет вид седла; на линии EF
функция f  x, y  сохраняет постоянное значение.
5
y
4 3
B
2
1
0
-1
2
F
6
2
-1
0
4
3
C 3 2
6 A
4
3
2
6
1
16
1
0
5
1
2
32
D
64
1/2
2
x
3
E
1
0
-1 -1 0 4 6 16
32
64
7. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q  AK 0,4 L0,8 ( A  const )
установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при увеличении
затрат капитала K и уменьшении трудовых ресурсов L соответственно на 10% и 5%.
1. Увеличится на 5%;
2. Уменьшится на 5%;
3. Увеличится на 2%;
4. Уменьшится на 2%;
5. Не изменится.
8. Производная функции u  xyz 2  zx 2  zy в точке M 1;1;1 по направлению вектора

l  1;2;2 равна
1. 7;
2. 6;
3. 4,(3);
4. 3;
5. 2,(3).
9. Определите промежуток, которому принадлежит значение полной производной




y
функции z  x 2 exp   x  ln t 2  1 , y  cos 2t при t   .
t
1.  1;0 ;
2. 0;1 ;
3. 1;2 ;
4. 2;3 ;
5. 3;4 .
- 83 -
dz
dt


10. Область сходимости степенного ряда
n 1
x  52n
4n  n
с учетом граничных точек
совпадает с множеством
1.  7;3 ;
2.  7,3 ;
4.  9;1 ;
3.  9,1 ;
5.  5;2 .
11. Укажите целое число, к которому наиболее близко значение интеграла
2
2
2
2
 x  y dxdy , где область D ограничена линиями: y   x , y  x , x  3 .


1. 111;
2. 152;
D
3. 297;
4. 305;
5. 456.
12. По предложенным графикам линий уровня функции двух переменных f  x, y  и
условия связи g  x, y   0 (более толстая линия на рисунке) определите наличие или
отсутствие у функции f  x, y  условного локального экстремума в точке: a) M1 ; b)
M 2 ; c) M 3 ; d) M 4 ; e) M 5 .
1. В точке имеется условный минимум;
2. В точке имеется условный максимум;
3. В точке отсутствует условный экстремум;
4. В точке имеется нестрогий условный минимум;
5. В точке имеется нестрогий условный максимум.
-2
M5
M1
-6
-4
-5
-4
M4
-3
M3
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
M2
-2
-1
13. Используя ряд Маклорена для функции f  x  , вычислите
1/ 2
 f x dx
0
0,001, если f  x   x 2 1  x .
1. 0,026;
2. 0,034;
3. 0,049;
4. 0,052;
5. 0,057.
- 84 -
с точностью до
14. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
z  2 x 2  xy  y 2  5x  3 y в области, ограниченной линиями: x  3, y  2, x  y  6 ,
равна
1. 42;
2. 53;
3. 64; 4. 86; 5. 98.
15. Вычислите с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь
фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением x 2  y 2 
декартовых координатах.
3/ 2
1. 2 ;
2. 4 ;
3. 8 ;
 4x 2  y 2  в
4. 12 ; 5. 16 .
16. Оцените ошибку, получаемую при замене суммы ряда


n 1
sin n
3
n
n

2
суммой первых
его 4-х слагаемых.
17. Опишите все асимптоты графика функции y  2 x  arctg
x
.
2
18. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x  tg 3t , y  cos 2t в точке,

для которой t  .
4
19. По графику функции y  f  x  , изображенному на рисунке, выясните вид графиков
ее первой и второй производных.
y
y=f(x)
0
a
x
b
20. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость:
1
0
а)
 xe
2x
dx ;
б)


0
21. Найдите значение предела lim
x 0
cos x  e

x2
2
x4
- 85 -
.
dx
x  x2
.
22. Для функции f  x  
x
x 1
3
найдите первообразную, график которой проходит через
  3
 .
точку M 1;
 18 
23. Подсчитайте выручку потребителей и поставщиков товара, законы спроса и
предложения на который имеют следующий вид: p  44  x 2 , p  x 2  2 x  20 . Здесь
x – количество товара, p – цена на этот товар.
24. На рисунке изображены линии уровня функции z  f  x, y  . Постройте график
функции z  f 1, y  .
5
y
4 3 2
1
0
1
6
2
2
1
2
4
3
2
6
4
3
0
5
2
8
1
16
1
2
3
1
64
1/2
2
1
0
1 1 2 4 8 16
32
64

x 2  y 2 sin  x  y 
25. Укажите точки разрыва функции z 
.
 x  y y 2  x 
26. Вычислите приближенно при помощи дифференциала первого порядка
ln 3,022  1,993 .

x
32

27. Применяя правило нахождения частных производных сложной функции,
uv
определите z x  и z y  , если z  ctg
, u  e xy , v  x 2  y 2 .
uv
28. Пусть z  z x, y  - неявная функция, определяемая уравнением
x 2  2 y 2  z 2  y  2 z  1  0 , которая при x  2 и y  1 принимает значение z  2 .
Напишите разложение функции z по возрастающим степеням биномов  x  2 и
 y  1 до второго порядка включительно.
- 86 -
29. Определите локальные экстремумы функции трех переменных
f  x, y, z   x 3  xy  y 2  2 zx  2 z 2  3 y  1.
30. Найдите условные локальные экстремумы функции z  x 2  y 2  4 xy при
x2  y2  2  0.
Вариант №4
1. Укажите неверные утверждения. Для того, чтобы непрерывная в точке M 0 функция
f  x, y  была дифференцируемой в этой точке, достаточно потребовать, чтобы:
1. A, B : f  x, y   f  x0 , y 0   A x  x0   B y  y 0   o , где
   x  x0 2   y  y 0  2 ;
2. Существовали частные производные f x   M 0  и f y   M 0  ;

3. Для любого направления l существовала производная вдоль этого направления в
точке M 0 ;
4. Частные производные f   x, y  и f   x, y  существовали в некоторой окрестности
x
y
точки M 0 и были бы непрерывны в точке M 0 ;
5. Существовали все частные производные первого порядка f  x, y  в некоторой
окрестности точки M 0 .


2. Укажите верные утверждения. Функция u  f M  M  R m задана в окрестности
точки M 0 . Число A не является пределом функции f  M  при M  M 0 , если:
1.   0   0 : M : 0   M , M 0     f M   A   ;
2.   0,   0 M : 0   M , M 0     f M   A   ;
3.   0,   0 : M : 0   M , M 0     f M   A   ;
4.   0 :   0 M : 0   M , M 0     f M   A   ;
5.   0 :   0 M :  M , M 0     f M   A   .
x2
1 x y
3. Двойной предел lim 1  
равен
x 
x
y a
1. e ;
2. e 1 / a ;
3. ln a ;
5.   .
4. 1;
4. Укажите все расходящиеся числовые ряды.

1.

n 1
3n
n  n  11
5

;
2.

 1 n
n  2 n ln
n

;
3.

n 1
n
1
;
100
- 87 -
 13

4.  n e n  1 ;

n 1 



5.

sin 2 2 n
n 1
n3

.
5. Площадь треугольника, образованного асимптотами графика функции y 
касательной к этому графику, проходящей через точку M  4;2 , равна
3x  6
и
x 1
1. 3; 2. 4; 3. 6; 4. 9; 5. 12.
6. На рисунке изображены линии уровня функции z  f  x, y  . Отметьте неверные
утверждения.
1. В точках C и D функция f  x, y  принимает максимальные значения;
2. В точках A и D функция f  x, y  принимает максимальные значения;
3. В точке B функция f  x, y  принимает максимальное значение;
4. В точке B функция f  x, y  принимает минимальное значение;
5. В окрестности точки C поверхность z  f  x, y  имеет вид седла; на линии EF
функция f  x, y  сохраняет постоянное значение.
6
y
0
5
0
-1
1
6
-2
-3
2
5
3
3
2 B
4
1
4
3
0
2
1
2
A
-1
-2
-3
x
3
-2
C
D
15
-5
E
10
0
-1
-4
F
-3
-2
-1
0
7. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q  AK 0,8 L0,5 ( A  const )
установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при уменьшении
затрат капитала K и увеличении трудовых ресурсов L соответственно на 10% и 8%.
1. Уменьшится на 2%;
2. Увеличится на 2%;
3. Уменьшится на 4%;
4. Увеличится на 4%;
5. Не изменится.
8. Производная функции u  x 2 z  y 2 z  z 2 y в точке M 1;2;2 по направлению вектора

l   2;1;2 равна
1. 2;
2. 4;
3. 6;
-1
0
4. 8; 5. 10.
- 88 -
1
2
9. Определите промежуток, которому принадлежит значение полной производной
функции z  arcsin


2

x
x  cos t , y  e t при t  .
2
yt
1.  6;3 ; 2.  3;0 ;
3. 0;3 ; 4. 3;6 ;
10. Область сходимости степенного ряда
dz
dt
5. 6;9 .

 x  3  3n
n 1
8n

n с учетом граничных точек
совпадает с множеством
1.  2;2 ;
2.  2;2 ;
4. 1;5 ;
3. (1;5);
5. 1;5 .
11. Укажите целое число, к которому наиболее близко значение интеграла
D
где область D ограничена линиями: y  0 , y  x , y  2  x .
1.  2 ;
2.  1 ;
3. 0;
 xydxdy ,
4. 1; 5. 2.
12. По предложенным графикам линий уровня функции двух переменных f  x, y  и
условия связи g  x, y   0 (более толстая линия на рисунке) определите наличие или
отсутствие у функции f  x, y  условного локального экстремума в точке: a) M1 ; b)
M 2 ; c) M 3 ; d) M 4 ; e) M 5 .
1. В точке имеется условный минимум;
2. В точке имеется условный максимум;
3. В точке отсутствует условный экстремум;
4. В точке имеется нестрогий условный минимум;
5. В точке имеется нестрогий условный максимум.
M1
M4
5
M5
3
1
4
-1
-3
M3
-5
5
M2
-4
-2
0
- 89 -
1
2
3
4
13. Используя ряд Маклорена для функции f  x  , вычислите
1/ 2
 f x dx
с точностью до
0
0,001, если f  x   x 2 cos x .
1. 0,055;
2. 0,049;
3. 0,042;
4. 0,038;
5. 0,034.
14. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
z  4x 2  xy  y 2  2 x  4 y в области, ограниченной линиями: x  2 , y  2 , x  2 ,
y  3 , равна
1. 15;
2. 19;
3. 24; 4. 40;
5. 56.
15. Вычислите с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь
фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением x 2  y 2 3  2x 4 в декартовых
координатах.

1.
3

; 2.
;
8
4
3.

;
2
4.
3
;
4

5.  .

16. Оцените ошибку, получаемую при замене суммы ряда
cos 3 n
 5n 
n 1
суммой первых
n
его 7-ми слагаемых.
1
17. Опишите все асимптоты графика функции y  x ln  e   .
x

18. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x  arccos t , y  1  t 2 в
точке, для которой t 
2
.
2
19. Выясните вид графика функции y  f  x  по графику ее первой производной,
изображенному на рисунке.
y
y'=f ' (x)
0
b
a
- 90 -
x
20. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость:

а)
 x
2

 2x e
x
10
б)
dx ;
0
dx
3 x  2.
0
1


x x

3
2
21. Найдите значение предела lim  x  x  e  x 6  1 .
x  
2


22. Для функции f  x  
e 2x  e x
e 2 x  6e x  8
3
проходит через точку M  0; ln 5  .
 2

найдите первообразную, график которой
23. Подсчитайте выручку потребителей и поставщиков товара, законы спроса и
120
предложения на который имеют следующий вид: p 
, p  2,5 x  10 . Здесь x –
x2
количество товара, p – цена на этот товар.
24. На рисунке изображены линии уровня функции z  f  x, y  . Постройте график
функции z  f  x,4 .
5
y
4 3 2
1
6
0
1
2
2
1
2
4
3
2
6
4
3
0
5
2
8
1
16
1
2
3
1
64
1/2
2
1
0
1 1 2 4 8 16
25. Укажите точки разрыва функции z 
x
32
32
64
ln 1  x  y 
.
sin x sin y
26. Вычислите приближенно при помощи дифференциала первого порядка
0,99 2  0,983 .
- 91 -
27. Применяя правило нахождения частных производных сложной функции,
v
определите z x  и z y  , если z  sin
, u  ln x 3  y 4 , v  e xy .
2
u
28. Пусть z  z x, y  - неявная функция, определяемая уравнением z 3  6 z  xy  0 ,
которая при x  2 и y  2 принимает значение z  2 . Напишите разложение
функции z по возрастающим степеням биномов  x  2 и  y  2 до второго порядка
включительно.


29. Определите локальные экстремумы функции трех переменных
f  x, y, z   x 2  y 2  z 2  2x  4 y  6z .
30. Найдите условные локальные экстремумы функции z   x  y при
x2
 y2  5.
4
§ 2.4. Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии.
Математический анализ
(специальность «Государственное и муниципальное
управление»)
Вариант №1
1[2]. Укажите верные утверждения.
Первый дифференциал дифференцируемой функции z  f  x, y  в точке M 0  x0 , y 0  –
это то же самое, что
f
f
dx  dy ;
x
y
f  x0  x, y 0   f  x0 , y 0 
f  x0 , y 0  y   f  x0 , y 0 
2. dx  lim
, где dx и
 dy  lim
x0
y 0
x
y
dy – бесконечно малые приращения x и y ;
3. a x  x0   b y  y 0  , где z  ax  by – уравнение касательной плоскости к графику
1.
функции z  f  x, y  в точке M 0 ;
4. главная (линейная) часть приращения функции в точке M 0 ;
5. a x  x0   b y  y 0  при условии, что
f x0  x, y0  y   f x0 , y0   ax  x0   b y  y0   o 

x  x0 2   y  y0 2  .

2[2]. Матрица X , удовлетворяющая уравнению
 7 5   2 1 
  
 , равна
X  
 4 3   1  1
  11 8 
  10 17 
  2  3
 1  2
 ; 3. 
 ; 4. 
 ;
 ; 2. 
1. 
 12 
 7
 1 2 
 1  3
 15  11
- 92 -
  2  1
 .
5. 
3 2 
3[2]. Производная функции f ( x, y)  e x
равна
1. 2 ;
2. 1 ;
3. 0;
4.  1
2;
2
( 2 y )
в точке M(1;2) по направлению оси Oy
5.  1 .
4[2]. Вычислите неопределенный интеграл

( x  arctg x)
dx .
1 x2
1
1
1
1. arctg x  arctg 2 x  C ; 2. arctg x  2 arctg 2 x  C ; 3. ln 1  x 2  arctg 2 x  C ;
2
2
2
1
4. 2 ln( 1  x 2 )  arctg x  C ; 5. ln( 1  x 2 )  arctg 2 x  C .
2
5[2]. На рисунке изображены линии уровня функции z  f  x, y  . Отметьте неверные
утверждения.
1. В точках C и D функция f  x, y  принимает максимальные значения;
2. В точкe D функция f  x, y  принимает минимальное значение, а в точке C —
максимальное;
3. В точке D функция f  x, y  принимает максимальное значение, а в точке C —
минимальное;
4. В точке A функция f  x, y  принимает минимальное значение;
5. В окрестности точки B поверхность z  f  x, y  имеет вид седла; на линии EF
функция f  x, y  сохраняет постоянное значение.
E
-3
-2
2
1
y
-1
-1
0
5
B
-2 -3
0
C
0
3
2
1
A
-4
-3
D
-1
-2
0 1
-1
2
1
2
x
3
-2
3
4
1
3
2
2
1
1
6[2]. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
f ( x)  3x 5  5x 3  6 на отрезке 0;2 равна
- 93 -
F
-1
1. 58 ;
2. 56 ;
3. 48 ;
4. 10 ;
5. 2 .
 x  3 ( x  1),

7[2]. Функция f ( x )   x 2  2 ( 1  x  0), имеет:
e 1 x ( x  0)

1. одну точку разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода;
2. две точки разрыва первого рода;
3. две точки разрыва второго рода;
4. одну точку разрыва второго рода и одну точку устранимого разрыва;
5. две точки устранимого разрыва.
8[2]. Используя формулу конечных приращений для функции f ( x ) 
12

cos x на


  
отрезке  ;  , получите оценки сверху и снизу величины f  f    f   :
 4
 6
6 4
A  f  B . В ответе укажите промежуток  A; B  .
 1
3
1. 
; ;
 2 2 

3
1 
;
2.  
;
2
 2
1 1 
3.  ;
;
2 2
1
 1
4.  
;  ;

2 2
5.   3;1 .
9[2]. Значение производной y x функции y  y( x) , заданной неявно уравнением

x
ln y  arctg   , в точке М (e; e) равно
4
 y
1
 
1.  1   ;

2
2.
1

2
;
3. 1 ;
4.
2

;
5. не существует.
10[2]. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим
образом:
500 1
D( p ) 
 ,
4 p
2
укажите, приближенно заменяя приращение соответствующей функции ее
дифференциалом, целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах)
при увеличении цены на 4% от p0  16 .
1. 1 ;
2. 2 ;
3. 3 ;
4. 4 ;
5. 5 .
1 2
dz
 y
функции z  x exp   при
dt
e
t
t  2 , где x  g (t ) , y  h(t ) , а g (2)  6 , g (2)  1 , h(2)  2 , h(2)  1 2 .
11[3]. Определите значение полной производной
1. 30 ;
2. 12;
3.  3 ;
4.  18 ;
5.  21 .
- 94 -
12[5]. По предложенным графикам линий уровня функции двух переменных f  x, y  и
условия связи g  x, y   0 (более толстая линия на рисунке) определите наличие или
отсутствие у функции f  x, y  условного локального экстремума в точке: a) M1 ; b)
M 2 ; c) M 3 ; d) M 4 ; e) M 5 .
1. В точке имеется условный минимум;
2. В точке имеется условный максимум;
3. В точке отсутствует условный экстремум;
4. В точке имеется нестрогий условный минимум;
5. В точке имеется нестрогий условный максимум.
-2
M5
-6
M3
M1
-4
M4
-5
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
M2
-4
-3
-2 -1
13[3]. Значение площади фигуры, ограниченной линиями x  y 2  4 y  5 и x  y  5 ,
принадлежит промежутку
1. [25;30];
2. [15;20); 3. [10;15);
4. [5;10); 5. (0;5).
14[3]. Укажите наиболее точное приближение к значению функции
f ( x)  sin 2 x  ln( 1  x 2 ) в точке x 0  10 6 .
1 3
5
1
x ; 4.  x 4 ; 5. x 4 .
6
6
6
2
(ln x)
15[3]. Функция f ( x) 
 ln( 1  e 2 ) имеет:
x
1. ни одной точки экстремума и одну точку перегиба;
2. одну точку экстремума и ни одной точки перегиба;
3. одну точку экстремума и одну точку перегиба;
4. две точки экстремума и одну точку перегиба;
5. две точки экстремума и две точки перегиба.
- 95 -
1. 2 x 2 ;
2.  2x 2 ;
3. 
16[3]. Найдите фундаментальный набор решений однородной системы линейных
алгебраических уравнений
 x1  x2  3x3  6 x4  0,

 7 x1  3x2  7 x3  18 x4  0,
 4 x  x  5 x  12 x  0
2
3
4
 1
и запишите общее решение этой системы в векторной форме.
17[3]. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x  arctg t , y  ln( 1  t 2 ) в
точке, для которой t  3 .
18[3]. Опишите все асимптоты графика функции y  x 
ex
.
x2 1
x 4  3x 3  2 x 2
dx  C . Найдите абсциссы точек, в которых
cos x  3
функция F (x) принимает экстремальные значения, и опишите характер этих
экстремумов.
19[3]. Известно, что F ( x)  
20[4]. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость:


x
4
а)  x 2 e 2 dx ;
б) 
0
0
dx
.
(x  1) 2



21[4]. Дана функция z  arctg ( xy 2 ) , точка А(2;3) и вектор l  4i  3 j . Найдите:

1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора l .
22[4]. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q  AK 0,5 L0,7
( A  const ) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при
уменьшении затрат капитала K и увеличении трудовых ресурсов L соответственно на
8% и 10%.
f ( x)
f ( x)
dx  F ( x; a)  C ,
23[4]. Найдите неопределенный интеграл  2
dx , если 
xa
x  x6
где F ( x; a ) – заданная функция переменных x и a, C  const .
24[5]. Выясните вид графика непрерывной функции y  f  x  по графику ее первой
производной, изображенному на рисунке.
y
0
a
b
b
x
x
y=f'(x)
- 96 -
25[5]. Найдите функцию спроса, если известны : 1) значение цены p=18 в некоторой
p
точке x=1; 2) эластичность E p ( x) 
(0  p  20).
p  20
26[5]. Вычислите tg , где  – угол между линейно независимыми собственными
векторами матрицы
4 
2
 .
A  
  1  3
27[5]. Найдите все точки локального экстремума функции
f ( x, y)  4 x 2  2 xy  y 2  10 x  4 y и определите их тип.
28[5]. Исследуйте на условный экстремум функцию f ( x, y )  3x  6 y при условии
связи y 2  xy  1  0
29[5]. Предполагая, что у дифференцируемой функции двух переменных
f ( M )  f ( x, y ) известны значения f ( A)  2 , f ( B)  2,05 , f (C )  1,93 в точках
A(5;3) , B (5,01;3) , C (5;3,07) , определите приближенно ее частные производные
f x ( A), f y ( A) и дифференциал df ( A).
30[5]. Найдите общее решение дифференциального уравнения y   6 y   9 y  10e 3x и
его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (0)  3 , y (0)  2 .
Вариант №2
1[2]. Укажите верные утверждения.
Функция u  f M  M  R m задана в окрестности точки M 0 . Число А не является


пределом функции f  M  при M  M 0 , если:
1.   0 ,   0 : M : 0  M , M 0   
2.   0 ,   0 M : 0  M , M 0   


3.   0 ,   0 : M : 0  M , M 0   
4.   0 :   0 M : 0  M , M 0   
5.   0 :   0 M :
 M , M 0   



f (M )  A   ;
f (M )  A   ;
f (M )  A   ;
f (M )  A   ;
f (M )  A   .
2[2]. Матрица X , удовлетворяющая уравнению
 1 1
 1  1

  X  
 , равна
 4 3
 2  3
7 0 
 ;
1. 
18  5 
  7 0
 1 0
 ; 3. 
 ;
2. 
  18 5 
  2 1
 1 0 
 ;
4. 
 2  1
- 97 -
  7  18 
 .
5. 
5 
 0
3[2]. Производная функции f ( x, y)  (1  x) 2  y 2 в точке О(0;0) по направлению оси
Ox равна
1.  2 ;
2.  1 ; 3. 1
2;
4. 1 ;
5. 2 .
4[2]. Вычислите неопределенный интеграл
1. ln arctg x  C ; 2. 2 arctg x  C ; 3.
5.

arctg x
x (1  x)
1
arctg 2
2
dx .
x  C ; 4. arctg 2
x C;
1
arctg x  C .
x
5[2]. На рисунке изображены линии уровня функции z  f  x, y  . Отметьте верные
утверждения.
1. В точках C и D функция f  x, y  принимает максимальные значения;
2. В точках C и D функция f  x, y  принимает минимальные значения;
3. В точке B функция f  x, y  принимает максимальное значение;
4. В точке B функция f  x, y  принимает минимальное значение;
5. В окрестности точки A поверхность z  f  x, y  имеет вид седла; на линии EF
функция f  x, y  сохраняет постоянное значение.
y
-1
0
-4 B
-3
-1 -2
5
3
2
1
0 1 2
x
3
-2
-1
C
4
3
4
3
2
1
D
1
0
1 2
A
-1
F
E
3
0
-2
-3
6[2]. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
f ( x)  x 3  12 x  7 на отрезке 0;3 равна
1. 32; 2. 25;
3. 16;
4. 9;
5. 7.
- 98 -
x ln x

 ( x  1)( x  2)

7[2]. Функция f ( x )  
1 ( x  0)


( x  0),
имеет:
1. одну точку разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода;
2. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва второго рода;
3. одну точку разрыва первого рода и две точки разрыва второго рода;
4. две точки разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода;
5. две точки разрыва второго рода и одну точку устранимого разрыва.
8[2]. На кривой y  x 3 найдите точку, касательная в которой параллельна хорде,
соединяющей точки A ( 1;1) и B ( 2;8) .
1. Такой точки не существует; 2. ( 1;1) ; 3. ( 3;3 3 ) ; 4. (0;0) ; 5. (1;1) .
9[2]. Значение производной y x функции y  y( x) , заданной неявно уравнением
y  ln( x  y )  x  1 , в точке M (0;1) равно
1.  1 ;
2.  1 2 ;
3. 0 ;
4. 1 2 ;
5. 1 .
10[2]. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим
образом:
D( p) 
100
2,
p
укажите, приближенно заменяя приращение соответствующей функции ее
дифференциалом, целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах)
при увеличении цены на 4,5% от p0  25 .
1. 2 ;
2. 3 ; 3. 5 ;
4. 7 ;
5. 8 .
 x
dz
функции z  4 arcsin   при
dt
 yt 
t  1, где x  g (t ) , y  h(t ) , а g (1)  3 , g (1)  11 , h(1)  5 , h(1)  10 .
11[3]. Определите значение полной производной
1. 0,4 ; 2. 5; 3.  2,6 ; 4. 2;
5. 4.
- 99 -
12[5]. По предложенным графикам линий уровня функции двух переменных f  x, y  и
условия связи g  x, y   0 (более толстая линия на рисунке) определите наличие или
отсутствие у функции f  x, y  условного локального экстремума в точке: a) M1 ; b)
M 2 ; c) M 3 ; d) M 4 ; e) M 5 .
1. В точке имеется условный минимум;
2. В точке имеется условный максимум;
3. В точке отсутствует условный экстремум;
4. В точке имеется нестрогий условный минимум;
5. В точке имеется нестрогий условный максимум.
-2
M5
M1
-6
-4
-5
M4
-4
-3
M3
M2
-2
-1
13[3]. Площадь фигуры, ограниченной кривой y  xe  x
равна
1. e ;
2. 2 ;
3. 1 ;
4. 1 2 ;
2
2
и ее асимптотой при x  0 ,
5. среди приведенных нет верного ответа.
14[3]. Укажите наиболее точное приближение к значению функции
f ( x)  e x  x  1  x 2 в точке x 0  10 7 .
1. x 2 ;
2.
1 4
x ;
8
3.
1 4
x ;
6
4.
1 3
x ;
3
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
5.
1 3
x .
6
2
15[3]. Функция f ( x)  e  x имеет:
1. одну точку экстремума и одну точку перегиба;
2. одну точку экстремума и две точки перегиба;
3. одну точку экстремума и не имеет точек перегиба;
4. две точки экстремума и одну точку перегиба;
5. две точки перегиба и не имеет точек экстремума.
- 100 -
16[3]. Найдите фундаментальный набор решений однородной системы линейных
алгебраических уравнений
 x1  3x2  4 x3  x4  0,

 5 x1  7 x2  2 x3  5 x4  0,
 3x  2 x  x  3x  0
2
3
4
 1
и запишите общее решение этой системы в векторной форме.
17[3]. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x  sin t , y  2 t в точке,
для которой t  0 .
18[3]. Опишите все асимптоты графика функции y  xe1 x .
x


19[3]. Известно, что F ( x )   e t t 4  7t 3  6t 2 dt . Найдите абсциссы точек, в которых
2

функция F (x) принимает экстремальные значения, и опишите характер этих
экстремумов.
20[4]. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость:
0
0
а)
3x
 3  x e dx ;
б)

3

dx
5
x  1
3
.



21[4]. Дана функция z  ln( 5x 2  3 y 2 ) , точка А(1;1) и вектор l  3i  2 j . Найдите:

1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора l .
22[4]. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q  AK 0,9 L0,5 (A =
const) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при
увеличении затрат капитала K и уменьшении трудовых ресурсов L соответственно на
5% и 7%.
23[4]. Найдите неопределенный интеграл
f ( x)
f ( x)
 x 2  2 x  3 dx , если  x  a dx  F ( x; a)  C ,
где F ( x; a ) – заданная функция переменных x и a, C=const.
24[5]. По графику функции y  f  x  , изображенному на рисунке, выясните вид
графиков ее первой и второй производных.
y
y=f(x)
0
a
- 101 -
b
x
25[5]. Найдите функцию спроса, если известны: 1) значение цены p=90 в некоторой
x  100
(0  x  100).
точке x=10; 2) эластичность E p ( x) 
x
26[5]. Вычислите tg , где  – угол между линейно независимыми собственными
векторами матрицы
 4  4
 .
A  
 2  5
27[5]. Найдите все точки локального экстремума функции f ( x, y)  x 2  2 xy  2 y 2  2 x
и определите их тип.
28[5]. Исследуйте на условный экстремум функцию f ( x, y )  2 x  16 y при условии
связи xy  y 2  7  0 .
29[5]. Предполагая, что у дифференцируемой функции двух переменных
f ( M )  f ( x, y ) известны значения f ( A)  7 , f ( B)  7,02 , f (C )  7,03 в точках
A(6;4) , B(6,02;3,98) , C (6,01;4,01) , определите приближенно ее частные производные
f x ( A), f y ( A) и дифференциал df ( A).
30[5]. Найдите общее решение дифференциального уравнения y   y  4 sin x и его
частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (0)  0 , y (0)  1 .
Вариант №3
1[2]. Укажите неверные утверждения.
Для того, чтобы непрерывная в точке M 0 функция f  x, y  была дифференцируемой в
этой точке, достаточно потребовать, чтобы:
1. A, B : f  x, y   f  x0 , y 0   A x  x0   B y  y 0   o ,
где  
x  x0 2   y  y 0 2 ;
2. существовали частные производные f x   M 0  и f y   M 0  ;

3. для любого направления l существовала производная вдоль этого направления в
точке M 0 ;
4. частные производные f   x, y  и f   x, y  существовали в некоторой окрестности
x
y
точки M 0 и были бы непрерывны в точке M 0 ;
5. существовали все частные производные первого порядка f  x, y  в некоторой
окрестности точки M 0 .
2[2]. Матрица X , удовлетворяющая уравнению
3  2  1 2
  
 , равна
X  
5  4   5 6
- 102 -
3  2
 ;
1. 
5  4
  3 2
 ;
2. 
  5 4
5 
 3
 ;
3. 
  2  4
  3  5
;
4. 
4 
 2
  4 2
 .
5. 
  5 3
3[2]. Производная функции f ( x, y )  3 x 3  y 3 в точке M(–1;0) по направлению оси Ox
равна
1.  1 ;
2.  1 3 ;
3. 0;
4. 1; 5.
2.
4[2]. Вычислите неопределенный интеграл
1. 
4.

3
4  ln x
dx .
x
3
4  ln x  2 / 3  C ; 2. 3 4  ln x 4  C ; 3. 4  3 4  ln x 4  C ;
2
3
ln x
3 3
 4  ln x 4  C ; 5.
C.
3
4
4  ln x
5[2]. На рисунке изображены линии уровня функции z  f  x, y  . Отметьте неверные
утверждения.
1. В точках C и D функция f  x, y  принимает максимальные значения;
2. В точках A и D функция f  x, y  принимает максимальные значения;
3. В точке B функция f  x, y  принимает максимальное значение;
4. В точке B функция f  x, y  принимает минимальное значение;
5. В окрестности точки C поверхность z  f  x, y  имеет вид седла; на линии EF
функция f  x, y  сохраняет постоянное значение.
6
y
0
5
0
-1
1
6
-2
-3
2
5
3
3
2 B
4
1
4
3
0
2
1
2
A
-1
-2
-3
x
3
-2
C
-1
0
15
-5
E
10
0
-1
-4
D
F
-3
-2
- 103 -
-1
0
1
2
6[2]. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции f ( x)  x 4  4 x
на отрезке  2;2 равна
1. 32; 2. 27; 3. 21; 4. 16;
5.11.
cos x ( x  0),

7[2]. Функция f ( x )   x 2  1 (0  x  1),
51 / 1 x  ( x  1)

имеет:
1. одну точку устранимого разрыва;
2. одну точку разрыва первого рода;
3. одну точку разрыва второго рода;
4. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва второго рода;
5. одну точку устранимого разрыва и одну точку разрыва первого рода.
8[2]. Используя формулу конечных приращений для функции f ( x) 
12
sin x на отрезке

 
 
  
 4 ; 3  , получите оценки сверху и снизу величины f  f  4   f  3  : A  f  B . В
ответе укажите промежуток  A; B  .
 1 1
1.   ;  ;
2 2


3 1 
3.   ;  ;
2
 2
1 1 
2.  ;  ;
 2 2
 
 1 3
4.  ;  ; 5. 1; 3 .
 2 2
9[2]. Значение производной y x функции y  y( x) , заданной неявно уравнением
 
y sin x  cosx  y  , в точке M  ;0  равно
2 
1.  1 ; 2.  1 2 ;
3. 0 ;
4. 1 2 ;
5. 1 .
10[2]. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим
750 1
образом: D( p) 
 , укажите, приближенно заменяя приращение
3
p 3
соответствующей функции ее дифференциалом, целое число, наиболее близкое к
изменению дохода (в процентах) при увеличении цены на 3% от p0  27 .
1. 1 ;
2. 2 ;
3. 3 ;
4. 4 ;
5. 5 .
 y2  t 
dz
 при
11[3]. Определите значение полной производной
функции z  2 ln 
 x 
dt


t  8 , где x  g (t ) , y  h(t ) , а g (8)  2 , g (8)  6 , h(8)  3 , h(8)  2 .
1. 13;
2. 20 ;
3. 11;
4. 18;
5. 5,5.
- 104 -
12[5]. По предложенным графикам линий уровня функции двух переменных f  x, y  и
условия связи g  x, y   0 (более толстая линия на рисунке) определите наличие или
отсутствие у функции f  x, y  условного локального экстремума в точке: a) M1 ; b)
M 2 ; c) M 3 ; d) M 4 ; e) M 5 .
1. В точке имеется условный минимум;
2. В точке имеется условный максимум;
3. В точке отсутствует условный экстремум;
4. В точке имеется нестрогий условный минимум;
5. В точке имеется нестрогий условный максимум.
2
3
M1
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
M2
M5
4
M4
M3
4
5
5
1
2
3
4
1
2
3
4
13[3]. Значение площади фигуры, ограниченной линиями x 2  4 y и y 
принадлежит промежутку
1. (0;1];
2. (1;2];
3. (2;3];
4. (3;4];
5. (4;5].
14[3]. Укажите наиболее точное приближение к значению функции
2
1
f ( x)  e  x 
в точке x 0  10 4 .
2
1 x
1.  2x 2 ;
2. 2x 2 ;
3.
3 4
x ;
2
3
4.  x 4 ;
4
1
5.  x 4 .
2
15[3]. Функция y  arctg x  ln 1  x 2 имеет:
1. одну точку экстремума и ни одной точки перегиба;
2. одну точку экстремума и одну точку перегиба;
3. одну точку экстремума и две точки перегиба;
4. две точки экстремума и ни одной точки перегиба;
5. две точки экстремума и две точки перегиба.
- 105 -
8
,
x 4
2
16[3]. Найдите фундаментальный набор решений однородной системы линейных
алгебраических уравнений
 2 x1  2 x2  x3  x4  0,

 2 x1  3x2  5 x3  4 x4  0,
  2 x  x  3x  6 x  0
1
2
3
4

и запишите общее решение этой системы в векторной форме.
17[3]. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x  arccos t , y  1  t 2 в
2
.
2
точке, для которой t 
2e x
.
x2  4
18[3]. Опишите все асимптоты графика функции y  3x 
19[3]. Известно, что F ( x)  
10 x 2  3x 3  x 4
dx  C . Найдите абсциссы точек, в
arctg (1  x 2 )
которых функция F (x) принимает экстремальные значения, и опишите характер этих
экстремумов.
20[4]. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость:

а)
 x
2

10
x
 2 x e dx ;
б)
0
dx
3 x  2.
0



21[4]. Дана функция z  3x 4  2 x 2 y 3 , точка А(–1;2) и вектор l  4i  3 j . Найдите:

1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора l .
22[4]. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q  AK 0,8 L0,5
( A  const ) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при
уменьшении затрат капитала K и увеличении трудовых ресурсов L соответственно на
10% и 8%.
23[4]. Найдите неопределенный интеграл
f ( x)
 x 2  13x  42 dx , если
f ( x)
 x  a dx  F ( x; a)  C , где F ( x; a ) – заданная функция переменных x и a, C  const .
24[5]. Выясните вид графика непрерывной функции y  f  x  по графику ее первой
производной, изображенному на рисунке.
y
y=f ' (x)
0
b
a
- 106 -
x
25[5]. Найдите функцию спроса, если известны : 1) значение цены p=10 в некоторой
p
точке x=3; 2) эластичность E p ( x) 
(0  p  40).
p  40
26[5]. Вычислите tg , где  – угол между линейно независимыми собственными
векторами матрицы
2 1
 .
A  
 3 4
27[5]. Найдите все точки локального экстремума функции
f ( x, y)   x 2  xy  y 2  3x  3 y и определите их тип.
28[5]. Исследуйте на условный экстремум функцию f ( x, y )   x  2 y при условии
связи x 2  y 2  5  0 .
29[5]. Предполагая, что у дифференцируемой функции двух переменных
f ( M )  f ( x, y ) известны значения f ( A)  5 , f ( B)  5,04 , f (C )  4,95 в точках
A( 2;1) , B(2;1,02) , C (2,01;1) , определите приближенно ее частные производные
f x ( A), f y ( A) и дифференциал df ( A).
30[5]. Найдите общее решение дифференциального уравнения y   5 y   6 y  12 cos 2 x
и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (0)  1 , y (0)  3 .
Вариант №4
1[2]. Укажите верные утверждения.
Функция u  f M  M  R m задана в окрестности точки M 0 . Число А является
пределом функции f  M  при M  M 0 , если:


1.   0 ,   0 : M : 0  M , M 0   
2.   0 ,   0 : M : 0  M , M 0   
3.   0 ,   0, M : 0  M , M 0   
4.   0 :   0 M : 0  M , M 0   
5.   0 :   0 M :
 M , M 0   

f (M )  A   ;

f (M )  A   ;

f (M )  A   ;

f (M )  A   ;

f (M )  A   .
2[2]. Матрица X , удовлетворяющая уравнению
 1 2
 4  6

  X  
 , равна
 2 5
2 1 
 16  6 
1. 
 ;
  32 13 
  16 6 
 16  32 
2. 
 ; 3. 
 ;
 32  13
  6 13 
- 107 -
  16 32 
4. 
;
 13
 6
13 32 
5. 
 .
 6 16 
3[2]. Производная функции f ( x, y )  2 x 2  1  y  в точке О(0;0) по направлению
оси Oy равна
2
2.  1 ; 3.  1 / 2 ;
1.  2 ;
4. 1 ;
5. 2 .
4[2]. Вычислите неопределенный интеграл
1. e sin x  C ;
2
2. e sin2 x  C ;
e
3. 2e sin x  C ;
sin2 x
sin 2 xdx .
4.  1 / 2e cos x  C ;
2
5. e cos 2 x  C .
2
5[2]. На рисунке изображены линии уровня функции z  f  x, y  . Отметьте верные
утверждения.
1. В точке B функция f  x, y  принимает максимальное значение;
2. В точке B функция f  x, y  принимает минимальное значение;
3. В точках A и C функция f  x, y  принимает максимальные значения;
4. В точке A и C функция f  x, y  принимает минимальные значения;
5. В окрестности точки D поверхность z  f  x, y  имеет вид седла; на линии EF
функция f  x, y  сохраняет постоянное значение.
5
y
4 3
B
2
1
0
F
6
-1
2
2
-1
0
4
3
C 3 2
6 A
4
3
0
5
1
2
6
1
16
1
2
32
D
64
1/2
2
E
1
0
-1 -1 0 4 6 16
32
64
6[2]. Разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
f ( x )  3x 4  16 x 3  2 на отрезке  3;1 равна
1. 931; 2. 688;
3. 675; 4. 666;
x
3
5. 423.
- 108 -
 xe 1 / x
 (1  x 2 ) ( x  0),

7[2]. Функция f ( x )  
0 ( x  0)


имеет:
1. две точки разрыва второго рода;
2. две точки разрыва первого рода и одну точку разрыва второго рода;
3. три точки разрыва второго рода;
4. одну точку разрыва первого рода и две точки разрыва второго рода;
5. три точки разрыва первого рода.
8[2]. На кривой y  x найдите точку, касательная в которой параллельна хорде,
3
соединяющей точки A (1;1) и B ( 2;8) .
1. Такой точки не существует; 2. ( 7 / 3;7 7 / 27) ; 3. ( 3;3 3 ) ; 4. (0;0) ; 5. (1;1) .
9[2]. Значение производной y x функции y  y( x) , заданной неявно уравнением
x  y  e y arctg x  0 , в точке М (0;0) равно
1.  1 ;
2. 0;
3. 1;
4. 2; 5. не существует.
10[2]. Предполагая, что спрос на некоторую продукцию зависит от цены p следующим
образом:
D( p )  5
100
p

1
,
2
укажите, заменяя приближенно приращение соответствующей функции ее
дифференциалом, целое число, наиболее близкое к изменению дохода (в процентах)
при увеличении цены на 10% от p0  32 .
1. 6;
2. 7; 3. 8;
4. 9; 5. 10.
 y  t2

dz
функции z  2 tg
 1 при
dt
 x

t  3 , где x  g (t ) , y  h(t ) , а g (3)  2 , g (3)  3 , h (3)  11 , h (3)  5 .
11[3]. Определите значение полной производной
1.0; 2.  6 ; 3.  4 ; 4. 2;
5. 6.
- 109 -
12[5]. По предложенным графикам линий уровня функции двух переменных f  x, y  и
условия связи g  x, y   0 (более толстая линия на рисунке) определите наличие или
отсутствие у функции f  x, y  условного локального экстремума в точке: a) M1 ; b)
M 2 ; c) M 3 ; d) M 4 ; e) M 5 .
1. В точке имеется условный минимум;
2. В точке имеется условный максимум;
3. В точке отсутствует условный экстремум;
4. В точке имеется нестрогий условный минимум;
5. В точке имеется нестрогий условный максимум.
M1
M4
5
M5
3
1
4
-1
-3
M3
-5
5
M2
-4
-2
0
1
2
3
4
13[3]. Значение площади фигуры, ограниченной линиями y 2  2 x и y 2  3  x,
принадлежит промежутку
1. [1;2);
2. [2;3];
3. (3;4);
4.(4;5];
5. среди приведенных нет верного ответа.
14[3]. Укажите наиболее точное приближение к значению функции
x2
f ( x )  ln 1  x 2  
в точке x 0  10 5 .
2
1 x
1
1
1. 2 x 2 ; 2.  x 2 ; 3.  x 4 ; 4. x 4 ; 5.  x 4 .
2
2
15[3]. Функция f ( x )  x 2 e  x имеет:
1. одну точку экстремума и одну точку перегиба;
2. одну точку экстремума и две точки перегиба;
3. одну точку экстремума и не имеет точек перегиба;
4. две точки экстремума и одну точку перегиба;
5. две точки перегиба и две точки перегиба.
- 110 -
16[3]. Найдите фундаментальный набор решений однородной системы линейных
алгебраических уравнений
 2 x1  2 x 2  3x 3  x 4  0,

5x1  2 x 2  4 x 3  4 x 4  0,
 x  2x  2x  6x  0
2
3
4
 1
и запишите общее решение этой системы в векторной форме.
17[3]. Составьте уравнения касательной и нормали к кривой x  t ln t , y 
для которой t  1 .
ln t
в точке,
t
18[3]. Опишите все асимптоты графика функции y  2 x  arctg x .

3t 2  2t 3  t 4
19[3]. Известно, что F ( x )  
dt . Найдите абсциссы точек, в которых
ln t 2  2
x
функция F (x) принимает экстремальные значения, и опишите характер этих
экстремумов.
20[4]. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость:
0
а)
 xe
1
2x
dx ;
б)


0
dx
x  x2
.



21[4]. Дана функция z  arcsin( x 2 / y ) , точка А(1;2) и вектор l  5i  12 j . Найдите:

1) grad z в точке А; 2) производную в точке А по направлению вектора l .
22[4]. При заданной производственной функции Кобба-Дугласа Q  AK 0,4 L0,8
(A =const) установите, как изменится объем выпуска продукции Q (в процентах) при
увеличении затрат капитала K и уменьшении трудовых ресурсов L соответственно на
10% и 5%.
f ( x)
dx , если
 2 x  15
где F ( x; a ) – заданная функция переменных x и a, C=const.
23[4]. Найдите неопределенный интеграл
x
2
f ( x)
 x  a dx  F ( x; a)  C ,
24[5]. По графику функции y  f  x  , изображенному на рисунке, выясните вид
графиков ее первой и второй производных.
y
y=f(x)
0
a
b
- 111 -
x
25[5]. Найдите функцию спроса, если известны: 1) значение цены p=36 в некоторой
x  300
(0  x  300).
точке x=12; 2) эластичность E p ( x ) 
x
26[5]. Вычислите tg , где  – угол между линейно независимыми собственными
векторами матрицы
 3  4
A  
 .
 2 1 
27[5]. Найдите все точки локального экстремума функции
f ( x, y )  x 2  xy  5 y 2  5x  12 y и определите их тип.
28[5]. Исследуйте на условный экстремум функцию f ( x, y )  x  y при условии связи
x2  y2  8.
29[5]. Предполагая, что у дифференцируемой функции двух переменных
f ( M )  f ( x, y ) известны значения f ( A)  1 , f ( B )  1,05 , f (C )  0,92 в точках A(5;6) ,
B(5, ;6,01) , C (5,02;6) , определите приближенно ее частные производные f x ( A), f y ( A)
и дифференциал df ( A).
30[5]. Найдите общее решение дифференциального уравнения y   4 y   6 x 2  1 и его
частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (0)  2 , y (0)  3 .
- 112 -