Лекция 14 Момент импульса: матричная теория Получим собственные значения операторов проекции и квадрата момента другим способом. Этот способ основан только на коммутационных соотношениях между операторами момента и не использует явные выражения для самих операторов. По этой причине этот способ носит общий характер и может быть использован, в частности, для спинового момента, когда коммутационные соотношения имеют место, а явные выражения для операторов - нет. Введём следующие операторы: Lˆ = Lˆx iLˆ y (1) С помощью коммутационных соотношений для операторов проекций момента установим коммутационные соотношения для операторов L̂ . Имеем: Lˆ , Lˆ Lˆx iLˆ y , Lˆx iLˆ y Lˆx , Lˆx i Lˆ y , Lˆx i Lˆx , Lˆ y Lˆ y , Lˆ y 2i Lˆx , Lˆ y 2 Lˆz (2) Lˆ , Lˆz Lˆx iLˆ y , Lˆz Lˆx , Lˆz i Lˆ y , Lˆz i Lˆ y Lˆ , Lˆ2 Lˆx , Lˆ2 i Lˆ y , Lˆ2 0 Lˆx Lˆ (3) (4) Здесь использованы коммутационные соотношения для операторов проекций момента импульса и его квадрата. Отметим, что поскольку операторы L̂ неэрмитовы, они не отвечают никаким наблюдаемым величинам. Явные выражения для операторов L̂ можно получить из определения оператора момента ˆ L rˆ pˆ и формулы (1). В декартовых координатах выражения для проекций момента Lˆ x и Lˆ y приведены в предыдущей лекции. Непосредственно переходя от дифференцирования по декартовым координатам к дифференцированию по сферическим, получим следующие выражения для операторов L̂ : Lˆ = e i i ctg (5) Пусть, далее, l 2l - общая собственная функция операторов L̂2 и Lˆ z , отвечающая собz ственным значениям l 2 и lz (сейчас предполагается, что собственные значения операторов квадрата и проекции нам сейчас неизвестны; существование полной системы общих собствен1 ных функций операторов L̂2 и Lˆ z следует из факта их коммутации). Докажем, что функции Lˆ l 2l удовлетворяют уравнениям: z Lˆz Lˆ l 2l lz Lˆ l l 2 z Lˆ2 Lˆ l 2l l 2 Lˆ l 2l z z (6) z то есть являются общими собственными функциями операторов L̂2 и Lˆ z , отвечающими собственным значениям l 2 и lz (либо тождественно равны нулю; в последнем случае уравнения (6) также удовлетворяются). Для доказательства подействуем операторами L̂ на уравнения на собственные значения операторов L̂2 и Lˆ z : Lˆ Lˆ2 l 2l l 2 l 2l Lˆ Lˆz l 2l lz l 2l z z (7) z (8) z Пользуясь тем, что операторы L̂ коммутируют с оператором L̂2 , поменяем порядок следования операторов в левой части уравнения (1). В результате получим Lˆ2 Lˆ l 2l l 2 Lˆ l 2l z z (9) В уравнении (8) поменять порядок следования операторов L̂ и Lˆ z нельзя, поскольку эти операторы не коммутируют. Выразим входящее в него произведение операторов из коммутационного соотношения (3) и подставим в уравнение (8): Lˆ Lˆ z Lˆ l 2l lz l 2l z (10) z Раскрывая в (10) скобки и перенося одно из слагаемых в правую часть, получим второе уравнение Lˆz Lˆ l 2l lz z Lˆ l l 2 z (11) Из уравнений (10), (11) следует, что функции Lˆ l 2l являются собственными функциями операz торов L̂2 и Lˆ z , отвечающими собственным значениям l 2 и lz соответственно, или тожде- ственно обращаются в нуль Lˆ l 2l 0 (в этом случае уравнения (10), (11) также удовлетворяютz ся, а функция, тождественно равная нулю, собственной по определению не является). 2 По этой причине операторы L̂ и L̂ называются операторами, повышающим и понижающим проекцию момента импульса частицы на ось z . Далее. Пусть j максимальное собственное значение проекции момента на ось z при фиксированной величине момента (ясно, что таковое существует). Тогда Lˆ l 2 , j = 0 (12) Подействуем на это равенство оператором L̂ : Lˆ Lˆ l 2 , j 0 (13) Lˆ Lˆ ( Lˆx iLˆ y )( Lˆx iLˆ y ) Lˆ2x Lˆ2y i[ Lˆx , Lˆ y ] Lˆ2 Lˆ2z Lˆz (14) С другой стороны из определения имеем Поэтому равенство (13) сводится к Lˆ Lˆ Lˆ 2 2 z z l2 , j 0 (15) Так волновая функция l 2 , j есть собственная функция всех операторов, входящих в это равенство, а также с учётом того, что это состояние с максимальной проекцией момента на ось z , равной j , получим: l 2 j 2 j l 2 , j = 0 (16) Отсюда l2 = j2 j (17) где j - максимальное значение проекции момента. Действуя далее на функцию l 2 , j оператором L̂ , будем получать новые собственные функции l 2 , j l 2 , j l 2 , j 2 l 2 , j 3 (18) ... пока не дойдем до функции с минимальной проекцией. Обозначим эту проекцию k . С одной стороны, для числа k справедливо равенство k jn (19) где n - целое число. С другой, для функции l 2 ,k выполнено условие Lˆ l 2 ,k = 0 (20) Действуя на это равенство оператором L̂ , получаем: Lˆ Lˆ l 2 ,k Lˆ2x Lˆ2y i[ Lˆx , Lˆ y ] l 2 ,k Lˆ2 Lˆ2z Lˆz l 2 ,k 0 3 (21) Так как функция l 2 ,k является собственной функцией операторов L̂2 и Lˆ z , то из формулы (21) получаем l 2 k 2 k l 2 ,k = 0 (22) или l2 = k2 k (23) Подставляя в формулу (23) k из (19) и приравнивая полученное выражение выражению (17), получим для максимально возможного значения проекции момента в состоянии с определенным квадратом момента j n 2 (24) где n - целое число. Таким образом из формул (24), (17) и (19) следует, что собственные значение операторов квадрата момента и его проекции на ось z определяются соотношениями l2 = lz l , 2 l (l 1) (l 1), (25) (l 2), ... l (26) где l - целое или полуцелое число. Никаких других собственных значений эти операторы иметь не могут. Для построения собственных функций операторов квадрата и проекции момента используем явное выражение оператора L̂ (5). Учитывая, что зависимость от азимутального угла волновой функции состояния с максимальной проекцией Yll ( , ) определяется соотношением ll ( )eil , где ll ( ) - некоторая функция полярного угла , из формул (5), (12) получаем для функции ll ( ) d ll ( ) l ctg ll ( ) = 0 d (27) ll ( ) = const sin l (28) откуда Выражение для сферической функции Yll 1 ( , ) получаем, действуя на (28), понижающим оператором: Yl ,l 1 Lˆ _ Yll l il ei ictg sin e 4 ei (l 1) 1 d sin 2l l 1 sin dcos (29) Аналогично получается и общее выражение для сферической функции Ylm Lˆ l m Yll eim 1 d l 2 sin 2l m l m sin d (cos ) (30) Рассмотрим теперь свойства четности сферических функций. Поскольку в оператор момента сами декартовы координаты и производные по ним входят в виде билинейных комбинаций, операторы инверсии и момента коммутируют: Lˆ , Pˆ = 0 (31) Используя теорему о связи коммутации операторов и одновременной измеримости физических величин, можно сделать вывод, что состояние с определённым моментом и проекцией обладает также определённой чётностью. А поскольку при преобразованиях инверсии сферические координаты преобразуются как r r r r (32) то Ylm ( , ) Ylm ( , ) (33) Найдем четность всех сферических функций. Во-первых, очевидно, что четность сферической функции определяется только моментом и не зависит от проекции момента на ось. Действительно, состояния с различными проекциями связаны друг с другом действием операторов Lˆ , n которые коммутируют с оператором четности. Поэтому достаточно найти четность функции Yll ( , ) . А это легко сделать, используя явное выражение для сферической функций с максимальной проекцией: Yll ( , ) = const sin l eil (34) Yll ( , ) = const sin l ( )eil ( ) (1)l Yll ( , ) (35) Из (34) имеем Поэтому для любых сферических функций Ylm ( , ) (1)l Ylm ( , ) 5 (34)