11_modul_15_urok_5

(Класс 11, модуль XV, практикум, урок 5)
Урок 5. Вычисления на плоскости
План урока







5.1. Задачи на применение теоремы Пифагора
5.2. Задачи на применение теоремы косинусов
5.3. Задачи на применение теоремы синусов
5.4. Задачи на применение свойств отрезков хорд, секущих и касательных
5.5. Смешанные задачи
Тесты
Домашнее задание
Цели урока:
Напомнить основные принципы решения геометрических задач на вычисления,
рассмотреть избранные задачи повышенного уровня сложности.
5.1. Задачи на применение теоремы Пифагора
При вычислении длин отрезков на прямой часто используется основное свойство
длины:
если отрезок AB составлен из двух отрезков AC и CB , то длина отрезка AB
равна сумме длин отрезков AC и CB .
Это означает, что вычисление расстояний на прямой в основном сводится к
операциям сложения и вычитания.
На плоскости искомый отрезок чаще всего задается как элемент некоторой
геометрической фигуры, и для вычисления его длины приходится рассматривать
треугольники, углы и применять достаточно общие теоремы. Одной из самых знаменитых
является
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов.
Теорема Пифагора позволяет по двум сторонам прямоугольного треугольника
вычислить его третью сторону. Если возникает желание применить теорему Пифагора, то
можно целенаправленно строить прямоугольный треугольник, две стороны которого либо
известны, либо вычисляются без особого труда.
Пример 1. Сторона квадрата ABCD равна a . Найти радиус окружности, касающейся
стороны AD , диагонали AC и окружности, описанной около квадрата.
Решение. Центр O1 окружности, описанной около квадрата ABCD , совпадает с точкой
пересечения диагоналей. Центр O2 окружности, касающейся сторон угла CAD , лежит на
его биссектрисе. С учетом этого сделаем чертеж (рисунок 1). Обозначим радиус искомой
окружности через r и вычислим длину отрезка O1O2 . Для этого проведем O1H  AD ,
O2 K  AD и O2 P  O1H (рисунок 2). В результате образуется прямоугольный
треугольник O1O2 P . Далее находим:
a
 PH  O2 K  r 
2
a
1

O1 P   r  O2 AK  CAD  
2
2
8

sin 4

1
tg 



8 1  cos 4
2 1
 OK
r
tg  2  AK    r ( 2  1)
8 AK
8
AH  O1 H 
a
PO2  HK  AK  AH  r ( 2  1)  
2
Отсюда
2
2
a
a
 
O1O  O1 P  O2 P    r    r ( 2  1)   
2
2
 
2
2
2
2
Две окружности касаются внутренним образом, если расстояние между их
центрами равно разности радиусов. Так как радиус большей окружности равен O1 A  a 2 2 ,
то O1O2  a 2 2  r . Это позволяет составить квадратное уравнение:
 a2  r 
В
результате
преобразований
2

 
2
 r ( 2  1)  a2 
получается
a 2
2

2
r .
r 2 (3  2 2)  2ar ,
откуда
r1  0 ,
что
соответствует совпадению точек O2 и A , и r2  322a 2  2a(3  2 2) , что является ответом.
Ответ: 2a (3  2 2) .
Вопрос. Как доказать формулу tg  1sincos22 ?
5.2. Задачи на применение теоремы косинусов
При вычислении отрезков часто применяется
Теорема косинусов. В треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов
двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла
между ними.
Одним из применений теоремы косинусов является вычисление стороны
треугольника, если известны две другие стороны и косинус угла между ними.
Пример 2. В треугольнике ABC радиус вписанной окружности равен 2 , а расстояние
от ее центра до вершины C равно 2 5 . Найти стороны треугольника ABC , если
известно, что его площадь равна 12.
Решение. Центр O окружности, вписанной в треугольник, совпадает с точкой пересечения
биссектрис. С учетом этого сделаем чертеж (рисунок 3) и проведем из точки O
перпендикуляры к сторонам треугольника. По условию OK  OL  OM  2 , OC  2 5 .
Поэтому из прямоугольного треугольника OCM имеем
CM  OC 2  OM 2  20  2  3 2 .
По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, CL  CM  3 2 .
Обозначим угол OCM через  . Тогда
OM
1


OC
10
CM
3
cos  


OC
10
Так как OCL  OCM   , то ACB  ACB  2 , cos ACB  cos 2  2 cos 2   1  54 .
sin  
Положим AK  x , BK  y . Тогда AM AK x , BLBK  y , AB  x  y , AC  x  3 2 ,
BC  y  3 2 .
По формуле, выражающей площадь треугольника через периметр и радиус вписанной
окружности, получаем
12  12 ( AB  BC  AC)  2 ,
откуда
1
12  ( x  y  x  3 2  y  3 2) 2 
2
x  y  3 2
y  3 2
BC  6 2  x
AB  3 2 
По теореме косинусов
AB 2  AC 2  BC 2  2 AC  BC cos ACB
(3 2) 2  ( x  3 2) 2  (6 2  x) 2 
4
2( x  3 2)(6 2  x) 
5
x 2  3 2 x  4  0
Решая это квадратное уравнение, получаем x1  2 , x2  2 2 . Если x  x1 , то AC  4 2 ,
BC  5 2 . Если же x  x2 , то AC  5 2 , BC  4 2 .
Таким образом, во всех случаях получается треугольник со сторонами 3 2 , 4 2 , 5 2 .
Ответ: 3 2 , 4 2 , 5 2 .
Иногда теорема косинусов применяется для вычисления тригонометрических
функций углов треугольника.
Пример 3. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC построен
равносторонний треугольник ABD так, что вершины C и D оказались по разные
стороны от прямой AB . Найти площадь треугольника ABC , если известно, что AB  6 , а
расстояние от центра треугольника ABD до вершины C равно 21 .
Решение. Сделаем чертеж (рисунок 4). Обозначим через O центр равностороннего
треугольника ABD , через M — середину гипотенузы AB . Соединим точки O и M с
вершиной C треугольника ABC . Тогда CM  12 AB  3 по свойству медианы
прямоугольного треугольника, CO  21 по условию, OM  13 DM  13 AD 23  3 . В
результате в треугольнике OCM известны все стороны, и поэтому
CM 2  MO 2  CO 2
cos CMO 

2  CM  MO
9  3  21
3



2
23 3
Отсюда следует, что CMO  150 . Так как AMC  CMO  90 , то AMC  60 .
Значит, треугольник ACM равносторонний и AC  AM  3 . Окончательно получаем
BC  AB 2  AC 2  3 3
S
ABC

1
9 3
AC  BC 

2
2
Ответ: 9 2 3 .
Вопрос. Какую величину имеет угол OCM ?
При решении планиметрических задач важно обращать внимание не только на отрезки, но
и на углы и их тригонометрические функции. Иногда это проясняет и упрощает решение.
Пример 4. Окружность O1 радиуса 2 касается стороны AB угла ABC , а ее центр лежит
на стороне BC . Окружность O2 радиуса 3 касается сторон угла ABC и окружности O1 .
Найти угол ABC .
Решение. Проведем O1P  AB , O2Q   AB , O2 S  AC , O1T  O2Q (рисунок 5). В
результате получим ABC  TO1S , а в прямоугольных треугольниках O1O2 S и O1O2T
известны гипотенузы O1O2  5 и по одному катету O2 S  3 и
O2T  O2Q  TQ  O2Q  O1P  3  2  1 .
Обозначим O2O1S   , O2O1T   . Тогда
Поэтому
sin  
O2 S 3
9
4
  cos   1 
 
O1O2 5
25 5
sin  
O2T 1
1
2 6
  cos   1 


O1O2 5
25
5
cos ABC  cos TO1S  cos(   ) 
 cos  cos   sin  sin  

4 2 6 3 1 8 6 3

  

5 5
5 5
25
Ответ: arccos 8 256 3 .
Пример 5. Равносторонний треугольник ABC со стороной a делится отрезком BD на
два треугольника так, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABD , в два раза
меньше радиуса окружности, вписанной в треугольник BCD . Найти радиусы этих
окружностей.
Решение. Учитывая, что центры вписанных в треугольники окружностей лежат на
биссектрисах углов, сделаем чертеж (рисунок 6) и проведем O1H  AB , O2 K  BC .
Положим O1H  r , O2 K   2r , O1BH   , O2 BK   . Тогда O1BD  O1BH   ,
O2 BD  O2 BK   . Поэтому 2  2  3 , откуда     6 .
В прямоугольном треугольнике AO1H угол O1 AH равен 6 , значит

r
AH  O1H   r 3 BH  a  r 3 tg 

6
ar 3
Аналогично находим, что CK  2r 3 и tg   2r . Составим теперь уравнение:
a 2 r 3
1

tg +tg
 tg  tg( + )=

6
1-tg  tg
3

r
2r
2r 2

 


:
1




 a  r 3 a  2r 3   (a  r 3)(a  2r 3) 
r (a  2r 3)  2r (a  r 3)
3ar  4r 2 3


(a  r 3)(a  2r 3)  2r 2 a 2  3ar 3  4r 2
Отсюда
a 2  3ar 3  4r 2  3(3ar  4r 2 3)
16r 2  6ar 3  a 2  0
D  (6a 3) 2  4 16a 2  4 11a 2 
3a 3  a 11
3a 3  a 11
 r2 

16
16
Корень r2 является посторонним, так как 2r2  a .
r1 
3  11)
Ответ: Радиусы окружностей a (3 16
и a (3 38 11) .
Вопрос. Почему при нахождении углов в планиметрических задачах полезнее вычислять
косинусы, а не синусы?
(Предполагаемый ответ. В отличие от значения синуса угла, по значению косинуса
угла сразу же можно определить, является ли угол острым, прямым или тупым.)
5.3. Задачи на применение теоремы синусов
Теорема синусов устанавливает соотношения между сторонами и синусами углов
треугольника. Иногда это позволяет составить нужное для решения задачи уравнение.
Однако основное значение теоремы синусов заключается в том, что с ее помощью удобно
вычислять радиус окружности, описанной около треугольника.
Теорема синусов. В треугольнике отношения сторон к синусам
противолежащих сторон равны между собой и равны диаметру описанной
окружности.
Пример 6. Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность радиуса 4,
пересекающая стороны AC и BC в точках D и E соответственно. Найти радиус
окружности, описанной около треугольника CDE , если BD  5 , CD   2 .
Решение. Сделаем чертеж (рисунок 7). В треугольнике DEC известна сторона CD . Если
найти синус противолежащего угла CED , то по теореме синусов получим ответ.
По свойству углов вписанного четырехугольника имеем BED  BAD  180 , а так как
CED  BED  180 , то CED  BAD . Из треугольника ABD по теореме синусов
BD
sin BAD  2 R ,
где R — радиус описанной окружности, по условию равный 4. Отсюда
5
sin BAD  BD
2R  8 .
Применяя теорему синусов к треугольнику CDE , получаем
CD
sin CED  2r ,
где r — радиус окружности, описанной около треугольника CDE . Таким образом,
5
8
r  2sinCD
CED  2  4  5 .
Ответ: 85 .
Пример 7. Точка M — середина стороны AC треугольника ABC . Известно, что AB  2 ,
BС  3 , ABM  2MBС . Определить площадь треугольника ABC .
Решение. Сделаем чертеж (рисунок 8). Положим MBC   , AMB   . Тогда
ABM  2 , CMB     . Применяя теорему синусов к треугольнику ABM , получаем
AB
AM
sin AMB  sin ABM
или
2
AM
sin   sin 2 ,
откуда
2
AM  2sin
sin  .
Аналогично, применяя теорему синусов к треугольнику BCM , находим
3
MC
sin(   )  sin  .

Так как sin(   )  sin  , то MC  3sin
sin  . По условию AM  MC , поэтому
2sin 2 3sin 


sin 
sin 
2sin 2  3sin  
4sin  cos   3sin  
Так как sin   0 , то cos   , а тогда
3
4
9
7
.

16 4
Теперь найдем sin ABC и вычислим площадь треугольника ABC :
sin ABC  sin 3  3sin   4sin 3  
9 sin   1 
3 7 7 7 5 7



4
16
16
1
S ABC  AB  BC sin ABC 
2
1
5 7 15 7
  2  3


2
16
16

Ответ:
15 7
16
.
5.4. Задачи на применение свойств отрезков хорд, секущих и касательных
При решении задач с окружностями иногда помогают свойства пересекающихся
хорд, свойства касательных и секущих.
Пример 8. Окружность, проходящая через вершину C треугольника ABC , касается
стороны AB в точке L и пересекает стороны AC и BC в точках P и Q соответственно.
Найдем AC и BC , если известно, что AP  3 , AL  6 , LB  8 и прямая PQ параллельна
AB .
Решение. Сделаем чертеж (рисунок 9). Пусть PC  x , QC  y . Так как AL — отрезок
касательной, AC – секущая, проведенные к окружности из одной точки, то AP  AC  AL2
или 3  (3  x)  62 , откуда x  3  12 , x  9 , AC  AP  PC  12 .
BQ
AP
По теореме Фалеса PC
или 93  BQ
, откуда BQ  13 y . Рассматривая теперь
 QC
y
касательную BL и секущую BC , проведенные из точки B , получаем BL2  BQ  BC или
2
1
1
,
3 y  3 y  y  8
откуда y  12 . Поэтому BC  43 y  16 .
Ответ: AC  12 , BC  16 .
Пример 9. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC вписанная
окружность касается боковой стороны BC в точке Q , а отрезок AQ пересекает
вписанную окружность в точке P . Найдем площадь треугольника ABС , если известно,
что AC  15 , PQ  1 .
Решение. Сделаем чертеж (рисунок 10). Окружность, вписанная в равнобедренный
треугольник, касается основания в середине, значит, AM  MC  15
. По свойству
2
касательных, проведенных из одной точки, получаем CQ  CM 
15
2
. Далее, так как AM
— касательная и AQ — секущая, проведенные из точки A , то AP  AQ  AM 2 или
AP  ( AP  1)  154 . Полагая AP  x , получаем x 2  x  154  0 . Нам нужен положительный
корень, поэтому
1  4 3
AP 
 
2
2
3
5
AQ   1  
2
2
В результате в треугольнике ACQ стали известными все стороны, и тогда
cos  
Отсюда
AC 2  CQ 2  AQ 2

2 AC  CQ
15 25  
15 

 15      2  15 

4 4  
2 

25
5

 
2 15 6
Ответ: 3 411 .
Вопрос. Как доказать, что на рисунке 10 треугольники APM и AQM подобны?
5.5. Смешанные задачи
Рассмотрим еще несколько задач.
Пример 10. Через середину стороны ромба перпендикулярно этой стороне проводится
прямая, которая пересекает противолежащую сторону и делит ромб на части, площади
которых равны 12 и 27. Требуется найти сторону ромба.
Решение. Пусть в ромбе ABCD угол A острый, а перпендикуляр проводится через
середину M стороны AB (рисунок 11). Обозначим сторону ромба через a и острый угол
через  . Для вычисления площадей проведем MN AD . Тогда AMND и MNCB —
равные параллелограммы, причем
S AMND  SMNCB 
a 2 sin 

2
Треугольник MNK прямоугольный, у которого MN  a , MNK   . Поэтому
MK  a sin  , NK  a cos и
2
S MNK  12 MN  NK  a sin2 cos .
Отметим, что дальнейшие вычисления будут соответствовать сделанному чертежу, на
котором NK  ND , то есть a cos   a2 , cos   12 . При этом
S AMDK  S AMND  S MNK 
 AM  AD sin A 
a 2 sin  (1  cos  )
 12
2
S BMKC  S MBCN  S MNK 


В результате приходим к системе
a 2 sin  (1  cos  )
 27
2
2
a sin  (1  cos  )  24;
 2
a sin  (1  cos  )  54
Поделив почленно первое уравнение на второе, получаем
1  cos  4
 
1  cos  9
5

13
Так как 135  12 , то этот результат соответствует чертежу. Далее находим
9  9 cos   4  4 cos   cos  
25 12
 
169 13
a 2 sin  (1  cos  )  24
sin   1 
12 8
  24
13 13
132
13
a2 
 a 
4
2
a2 
Ответ:
13
2
.
Пример 11. Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC является хордой
окружности радиуса 10. Вершина C лежит на диаметре этой окружности, который
параллелен гипотенузе. Угол CAB составляет 75 . Найдем площадь треугольника ABC .
Решение. Сделаем чертеж (рисунок 12). Проведем CH  AB и OK  AB . Так как
AB CO , то OK  CH . Положим AB  c , тогда AK  2c . По условию BAC  512 . Поэтому
5
AC AB cos BAC  c cos 
12
5
5
CH AC sin BAC  c cos
 sin

12
12
1
5 c
 c sin
 
2
6 4
Из прямоугольного треугольника AKO по теореме Пифагора получаем
AK 2  KO 2  AO 2 или
c2 c2
  100
4 16
откуда
5c 2
c2  20 16
16  100
c=8 5 .
Ответ: 8 5 .
Чему равна площадь треугольника ABC ?
Пример 12. Из точки вне окружности проведены касательные и секущая, причем точки
касания и точки пересечения секущей с окружностью являются вершинами некоторой
трапеции. Найти отношение оснований трапеции, если угол между касательными равен
60 .
Решение. Пусть A и C — точки касания, а B и D – точки пересечения окружности и
секущей, причем AD BC (рисунок 13). Обозначим через O центр, а через r радиус
окружности, и вычислим сторону правильного треугольника ASC (рисунок 14). Понятно,
что ASC  60 , ASO  30 , откуда SO  2r , SA  SC   AC  r 3 .
Так как трапеция ABCD вписана в окружность, то она равнобочная, значит, BD  r 3 .
Пусть SB  z , по свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки, имеем
SB  SD  SA2 или z ( z  r 3)  3r 2 
Это уравнение имеет единственный положительный корень z  r 23 ( 5 1)  SB .
Заметим теперь, что угол SAC между касательной SA и хордой AC измеряется
половиной дуги AC . Этой же половиной измеряется и вписанный угол CDA , значит,
CDA  SAC  60 . Аналогично, SCB  SDC .
Положим AB  x , BC  y и проведем BE CD . Понятно, что BE  x , ED  y . Так как
угол BAE при основании равнобедренного треугольника ABE равен 60 , то этот
треугольник правильный и AE  x .
В треугольниках SBC и SDC угол при вершине S — общий, кроме того, углы SCB и
SDC равны. Следовательно, эти треугольники подобны. Но тогда
CD SC
x
2
5 1

или 


BC SB
y
2
5 1
Окончательно получаем
AD x  y x
5 3

 1 

BC
y
y
2
Ответ:
5 3
2
.
Проверь себя. Вычисления на плоскости
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Чему равен радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 8 см
и 15 см и гипотенузой 17 см ?
 1. 2 см
 2. 3 см
 3. 4 см
 4. 5 см
(Правильный вариант: 2)
В треугольнике ABC со стороной AB  8 см косинус угла ACB равен
радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC ?
 1. 5 см
3
5
. Чему равен
 2. 6 см
 3. 7 см
 4. 8 см
(Правильный вариант: 1)
Вокруг треугольника ABC со стороной AB  10 см и углом ACB , равным 150o , описана
окружность с центром O . Чему равен радиус окружности, описанной вокруг треугольник
AOC ?
 1. 6 см
 2. 8 см
 3. 10 см
 4. 12 см
(Правильный вариант: 3)
В треугольнике со сторонами a, b, c радиусы вписанной и описанной окружностей равны
r и R соответственно. Чему равно произведение r  R ?
2abc
 1.
abc
 2.
4abc
abc
 3.
abc
2(a  b  c)
 4.
abc
4(a  b  c)
(Правильный вариант: 3)
Проверь себя. Вычисления на плоскости
Задание 2. Укажите правильный вариант ответа
.
В окружности хорды AB и CD пересекаются в точке P . Известно, что AP  8 , BP  15 ,
CP  6 . Чему равна длина отрезка ABC ?
 1. 12
 2. 16
 3. 20
 4. 24
(Правильный вариант: 3)
Две секущие, проведенные через точку P , пересекают окружность в точках A и B , в
точках C и D , причем точка A лежит между точками P и B , точка C лежит между
точками P и D . Известно, что PA  4 , AB  3 , PC  5 . Чему равна длина отрезка CD ?
3
 1.
5
 2. 1
 3.
7
5
 4.
12
5
(Правильный вариант: 1)
В треугольнике ABC окружность проходит через вершину A , касается стороны BC в
точке M и пересекает сторону AB в точке N . Известно, что AN  3 , BN  2 . Чему равна
длина отрезка BM ?
 1. 5
 2. 6
 3. 8
 4. 10
(Правильный вариант: 4)
Через точку P , расположенную вне окружности радиуса R , проводится прямая, которая
пересекает окружность в точках A и B . Известно, что расстояние от точки P до центра
окружности равно m . Чему равно произведение PA  PB ?
 1. 2m 2  2 R 2
 2. 2m2  R 2
 3. m2  R 2
 4. m2  2 R 2
(Правильный вариант: 2)
Домашнее задание
1. Сторона правильного треугольника ABC равна a , AD – - его высота, опущенная из
вершины A . Найдите радиус окружности, которая касается стороны AC , высоты AD и
описанной около треугольника ABC окружности.
2. В треугольнике ABC радиус вписанной окружности равен 5 , расстояние от ее центра
до вершины C равно 5, а сторона AB равна 4 5 . Найдите стороны AC и BC .
3. В треугольнике ABC радиус вписанной окружности равен 5 , расстояние от ее центра
до вершины C равно 5 2 , а периметр треугольника равен 12 5 . Найдите стороны
треугольника ABC .
4. В треугольнике ABC радиус вписанной окружности равен 1, расстояние от ее центра до
вершины C равно 5 , а сумма сторон AC и BC равна 8. Найдите стороны треугольника
ABC .
5. Внутри квадрата ABCD выбрана точка E так, что угол BEC прямой. Найдите площадь
треугольника BEC , если BC  10 , а расстояние от центра квадрата до точки E равно 1.
6. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC построен квадрат ABDE так,
что вершина C находится вне квадрата. Найдите площадь треугольника ABC , если
AB  13 , а расстояние от центра квадрата до вершины C равно 3.
7. На стороне AB равностороннего треугольника ABC как на гипотенузе построен
прямоугольный треугольник ABD так, что вершины C и D расположены по одну
сторону от прямой AB . Найдите площадь треугольника ABD , если AB  21 , а
расстояние от центра треугольника ABC до вершины D равно 1.
8. Сумма тангенсов двух углов равна 2, а тангенс суммы этих углов равен 4. Найдите
тангенс каждого угла.
9. Синус острого угла параллелограмма равен 53 . Найдите косинус тупого угла этого
параллелограмма.
10. Синус угла, образованного диагональю ромба с его стороной, равен 0,2. Найдите
косинусы углов ромба.
11. Докажите, что отношение площади правильного n -угольника, вписанного в
окружность радиуса 1, к площади правильного 2n -угольника, вписанного в эту
окружность, равно cos n .
12. Пусть S n — площадь правильного n -угольника, вписанного в окружность радиуса 1.
Докажите, что:
S
а) 4  cos 4  cos 8  cos 16 ;
S32
б) S32 
в)
S3
S96
16
2  2 2  2 2 2
8 2 2 2 ;


 cos 3  cos 6  cos 12 t cos 24
 cos 48
;
г) S96  24 












2 3  2 2 3  2 2 2 3 ;
д)   S96  24  2  2  2  3 ;
попробуйте оценить точность данного приближения к числу  .
13. Окружность O1 радиуса 3 касается продолжения стороны AB угла ABC , а ее центр
лежит на стороне BC . Окружность O2 радиуса 1 касается сторон угла ABC и окружности
O1 . Найдите угол ABC .
14. Окружность O1 радиуса 2 касается продолжения стороны AB угла ABC , а ее центр
лежит на стороне BC . Окружность O2 радиуса 5 касается сторон угла ABC и окружности
O1 . Найдите угол ABC .
15. Окружность O1 радиуса 4 касается стороны AB угла ABC , а ее центр лежит на
стороне BC . Окружность O2 радиуса 1 касается сторон угла ABC и окружности O1 ,
центр O2 лежит вне круга O1 . Найдите угол ABC .
16. Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность радиуса 3,
пересекающая сторону AC в точке D . Найдите радиус окружности, описанной около
треугольника BDC , если AB  5 , BC  7 .
17. Радиус окружности, описанной около треугольника ABC , равен 3, сторона AB равна
5. Через вершины A и C проводится окружность радиуса 7, пересекающая луч CB в
точке D . Найдите длину AD .
18. Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность радиуса 9,
пересекающая луч AC в точке E , не лежащей на стороне AC . Найдите радиус
окружности, описанной около треугольника BCE , если AB  7 , BC  2 .
19. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC и боковыми
сторонами AB и CD . Известно, что AD  5 , BC  3 , ACD  2BAC . Определите длину
боковой стороны трапеции.
20. В треугольнике ABC сторона AB  15 . Окружность, проходящая через вершину C ,
касается стороны AB в точке L и пересекает стороны AC и BC в точках P и Q
соответственно. Найдите AC и BC , если AP  3 , BQ  2 и CL — биссектриса угла C .
21. Окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке L , проходит через
вершину C и пересекает стороны AC и BC в точках P и Q соответственно. Найдите
AB и AC , если CQ  9 , QB  3 , AP  4 и CL является биссектрисой угла C .
22. Окружность, проходящая через вершину C треугольника ABC , касается AB в точке
L и пересекает стороны AC и BC в точках P и Q соответственно. Найдите AC и BC ,
если AB  12 , PQ  9 , AP  4 и прямая PQ параллельна AB .
23. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC вписанная окружность
касается боковой стороны BC в точке Q , а отрезок AQ пересекает вписанную
окружность в точке P . Найдите площадь треугольника ABC , если AC  12 , PQ  5 .
24. Равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около
окружности. Сторона CD касается этой окружности в точке Q , а отрезок AQ пересекает
окружность в точке P . Найдите радиус окружности, если AP  2 , PQ  7 .
25. Через середину боковой стороны равнобедренного треугольника перпендикулярно
этой стороне проведена прямая, которая пересекает вторую боковую сторону и делит
треугольник на части, площади которых равны 30 и 66. Найдите длину боковой стороны
треугольника.
26. Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника перпендикулярно
гипотенузе проведена прямая, делящая треугольник на части, площади которых равны 25
и 39. Найдите длину гипотенузы.
27. Через середину боковой стороны равнобедренного треугольника перпендикулярно
этой стороне проведена прямая, которая пересекает основание треугольника и делит
треугольник на части, площади которых равны 50 и 94. Найдите длину боковой стороны
треугольника.
28. Вне равностороннего треугольника ABC со стороной длины a выбрана точка M так,
что отрезок AM пересекает сторону BC , а площади треугольников ABM , ACM и BCM
пропорциональны числам 4, 1 и 2 соответственно. Найдите длину отрезка AM .
29. Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом длины a повернут вокруг
вершины прямого угла на 30 . Найдите площадь общей части исходного и повернутого
треугольников.
30. В равнобедренной трапеции ABCD основание AB имеет длину a , величина угла A
равна 60 . Окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD , касаются. Найдите
площадь трапеции.
31. Длина основания AB равнобедренной трапеции ABCD равна 3, A  60 . Диагональ
AC трапеции и биссектрисы углов B и D пересекаются в одной точке. Определите
длину основания CD .
32. В треугольнике ABC проведена медиана BD , ABC  120 . Окружность, описанная
около треугольника BCD , касается прямой AB , а ее радиус равен R . Найдите площадь
треугольника ABC .
33. В равностороннем треугольнике ABC со стороной 2 проведена высота BH . Прямая,
параллельная стороне AB , пересекает отрезки AC , BH и BC в точках M , N и K
соответственно. Найдите наименьшее возможное значение суммы площадей
треугольников MNH и BNK .
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. 11-5-01.CDR
Рисунок 2. 11-5-02.CDR
Рисунок 3. 11-5-03.CDR
Рисунок 4. 11-5-04.CDR
Рисунок 5. 11-5-05.CDR
Рисунок 6. 11-5-06.CDR
Рисунок 7. 11-5-07.CDR
Рисунок 8. 11-5-08.CDR
Рисунок 9. 11-5-10.CDR
Рисунок 10. 11-5-11.CDR
Рисунок 11. 11-5-12.CDR
Рисунок 12. 11-5-13.CDR
Рисунок 13. 11-5-14A.CDR
Рисунок 14. 11-5-15A.CDR