Занятие 8 Решение показательных уравнений, приводящихся к квадратным уравнениям Многие показательные уравнения заменой переменной сводятся к квадратному уравнению вида: ax2+bx+c=0. Примеры. Решить уравнение: 1) 4x+2x+1-3=0. Представим 4x в виде степени с основанием 2. (22)x+2x∙21-3=0; при возведении степени в степень основание оставляют, а показатели перемножают: 2·х=х·2, поэтому: (2x)2+2∙2x-3=0; вводим новую переменную: пусть 2x=y; y2+2y-3=0. Дискриминант для четного второго коэффициента: D1=12-1∙(-3)=1+3=4=22 – полный квадрат, поэтому применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. y1+y2=-2, y1∙y2=-3. Подбираем корни: y1=-3, y2=1. Возвращаемся к переменной х: 1) 2x=-3, нет решений, так как значения показательной функции: Е(у)=(0; +∞). (только положительные числа). 2) 2x=1. Число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию. 2x=20; x=0. Ответ: 0. 2) 0,252x-5∙0,52x+4=0. Решаем аналогично. Представляем 0,252x— в виде степени с основанием 0,5. (0,52)2x-5∙0,52x+4=0; (0,52x)2-5∙0,52x+4=0. 0,52x=y; ввели новую переменную у и получили приведенное квадратное уравнение: y2-5y+4=0; Дискриминант D=b2-4ac=52-4∙1∙4=25-16=9=32 — полный квадрат, применяем теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. y1+y2=5, y1+y2=4. Корни приведенного квадратного уравнения находим подбором: y1=1, y2=4 и возвращаемся к переменной х: 1) 0,52x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию. 0,52x=0,50; 2x=0; x=0. 2) 0,52x=4; приведем степень 0,52x к основанию 2, применив формулу: (1/a)x =а-х (1/2)2x=22; 2-2x=22; приравниваем показатели: — 2x=2 |:(-2) x=-1. Ответ: -1; 0. Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 4, используя формулы: ах=1/ax и ax∙ay=ax+y . Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то основания можно опустить и приравнять показатели степеней. Переносим дробь из правой части равенства в левую и упрощаем левую часть. Находим дискриминант приведенного квадратного уравнения. Дискриминант является квадратом целого числа, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.