120103 Лекции СГМСКО 2011

Тема 1. Введение в предмет (2 часа)
Объект и предмет исследования. Основные задачи и методы современной геодезии.
Перевод геодезической отрасли на спутниковые методы решения научных и
практических задач геодезии. Основные проблемы, возникающие при согласовании
существующей государственной координатной основы с результатами спутниковых
средств измерений.
Новые технические методы, основанные на использовании глобальных
навигационных спутниковых систем (СНС) ГЛОНАСС и GPS, а также специальных
геодезических ИСЗ, таких, например, как ЛАГЕОС, ЭТАЛОН и Гео-ИК заставляют
геодезистов отказываться от традиционных методов решения научных и технических
задач и переходить к методам, основанным на спутниковых технологиях.
Основная научная задача геодезии на современном этапе её развития заключается в
создании четырехмерной системы отсчета, единой для всей Земли и соответствующей
этой системе модели внешнего гравитационного поля Земли. Создание такой системы
можно реализовать с необходимой для целей геодинамики и геотектоники точностью
только при учете обстоятельств суточного вращения Земли и движения её полюсов.
Особой проблемой при этом является выбор и применение временных шкал,
поскольку временная шкала, применяемая для решения научных задач геодезии
обязательно должна отражать неравномерности вращения Земли.
В настоящее время существует, по меньшей мере, три координатные системы, с
которыми приходится работать российским геодезистам. Координатная система ПЗ-90,
созданная в России используется при работе с отечественной спутниковой навигационной
системой ГЛОНАСС, координатная система WGS-84 положена в основу
функционирования американской СНС GPS. Государственная геодезическая сеть России
создана в системе координат 1942 года на эллипсоиде Ф.Н. Красовского, размеры
которого значительно отличаются от принятых в системах ПЗ-90 и WGS-84. Поэтому
одной из задач дисциплины “Современные геодезические методы создания координатной
основы” является изучение методов определения параметров преобразования
координатных систем в её наиболее общей постановке.
Цель данного курса состоит в получении студентами общего и в тоже время
концентрированного представления о современных геодезических методах создания и
развития трех- и четырехмерной координатной основы на физической поверхности Земли
для решения научных и практических задач геодезии.
Основными задачами дисциплины являются:
- закрепление знаний по основным принципам (математических и технологических)
создания геодезической координатной основы на поверхности Земли, как с помощью
традиционных (классических) средств измерений (триангуляция, трилатерация,
полигонометрия, нивелирование, астрономические и гравиметрические определения), так
и с помощью спутниковых средств измерений (ГНСС-измерения, лазерная дальнометрия,
радиоинтерферометрия квазаров).
- получение цельного представления о взаимосвязи традиционных и современных
спутниковых координатных определений (взаимное трансформирование координат,
полученных спутниковыми и классическими методами).
Литература
1. Антонович К. М. Использование спутниковых радионавигационных систем в
геодезии // Монография в 2-х томах. М. ФГУП «Картгеоцентр». -2005, 2007 гг 2. Морозов В.П. Курс сфероидической геодезии. М. Недра, 1979 г.
3. Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (Теоретическая геодезия). М.Недра, 1978 г.
4. Практикум по высшей геодезии (под редакцией Яковлева Н.В.).М.Недра,1982
5. Телеганов Н.А., Елагин А.В. Высшая геодезия и основы координатно-временных
систем – Новосибирск: СГГА, 2004. – 238 с.
6. Яковлев Н.В. Высшая геодезия. М.: Недра, 1989 г.
7. Красовский Ф.Н. Избранные сочинения. тт. I-IV. М.Недра,1955 г.
8. Поклад Г.Г., Гриднев С.П. Геодезия. – М.: Академический проект. – 2007. – 592 с.
9. Макаренко, Н.Л. Единая государственная система геодезических координат 1995
года (СК-95) [Текст] / Н.Л. Макаренко, Г.В. Демьянов, Е.В. Новиков и др. Под ред. А.А.
Дражнюка. – М.: Федерал. служба геодезии и картографии России. – 2000. – 34 с.
10.
Основные положения о государственной геодезической сети России. М.
2004 г.
11.
Машимов М.М. Планетарные теории геодезии М.: Недра. 1982.
12.
Герасимов
Уравнивание геодезических сетей
13.
Герасимов Спутниковые геодезические сети
14.
Каула У.. Спутниковая геодезия. (Теоретические основы). М.: Мир. – 1976.
15.
Основы спутниковой геодезии //Изотов А. А. и др. М.: Недра. – 1974.
Тема 2. Традиционные принципы (методы) создания на территории России трехмерной
координатной основы в соответствии с теорией М. С. Молоденского (3 часа)
Принципы (методы) создания плановой основы: астрономо-геодезическая сеть (АГС)
- сеть триангуляции и полигонометрии 1 и 2 классов, государственные геодезические
сети сгущения (ГГС) - триангуляция и полигонометрия 3 и 4 классов, полигонометрия I и
II разрядов. Схема уравнивания государственной плановой основы (ГПО).
Принципы (методы) создания государственной высотной основы (ГВО): государственная
нивелирная сеть (ГНС) - нивелирование I – IV классов. Принцип измерения (определения) разности высот.
Роль гравиметрических измерений в определении разности высот. Системы высот (нормальная,
ортометрическая, динамическая). Проблема определения ортометрических высот. Балтийская система
высот 1977 года. Современный подход к установлению исходного уровня для отсчета высот. Схема
уравнивания высотной основы.
Основные достоинства и недостатки традиционной плановой (ГПО=АГС+ГГС) и высотной
(ГВО=ГНС) государственной координатной основы (ГКО=ГПО+ГВО). Проблема образования из
государственной координатной основы единой трехмерной системы отсчета.
2.1 Государственная геодезическая сеть (ГГС) - назначение, требуемая точность построения и
плотность пунктов
Государственная геодезическая сеть (далее - ГГС) представляет собой совокупность геодезических
пунктов, расположенных равномерно по всей территории и закрепленных на местности специальными
центрами, обеспечивающими их сохранность и устойчивость в плане и по высоте в течение длительного
времени.
ГГС включает в себя также пункты с постоянно действующими наземными станциями спутникового
автономного определения координат на основе использования спутниковых навигационных систем с целью
обеспечения возможностей определения координат потребителями в режиме, близком к реальному времени.
ГГС предназначена для решения следующих основных задач, имеющих хозяйственное, научное и
оборонное значение:
 установление и распространение единой государственной системы геодезических координат на всей
территории страны и поддержание ее на уровне современных и перспективных требований;
 геодезическое обеспечение картографирования территории России и акваторий окружающих ее
морей;
 геодезическое обеспечение изучения земельных ресурсов и землепользования, кадастра,
строительства, разведки и освоения природных ресурсов;
 обеспечение исходными геодезическими данными средств наземной, морской и аэрокосмической
навигации аэрокосмического мониторинга природной и техногенной сред;



изучение поверхности и гравитационного поля Земли и их изменений во времени;
изучение геодинамических явлений;
метрологическое обеспечение высокоточных технических средств определения местоположения и
ориентирования.
Геодезические сети подразделяются на
1. Государственную геодезическую сеть ГГС,
2. Геодезические сети местного значения (сети сгущения),
3. Съемочные сети.
ГГС служит основой для решения научных и научно-технических задач общегосударственного значения.
Она является главной геодезической основой для топографических съемок всех масштабов. Она
подразделяется на 1, 2, 3 и 4 классы.
Обычные требования к густоте пунктов ГГС:
- для съемок 1:25000 – 1:10000 – 1 пункт на 50 – 60 кв. км (1 – 3 класса),
1:5000 – 1 пункт на 20 – 30 кв км
1:2000 и крупнее 1 пункт на 5 – 15 кв.км.
В городах с числом жителей более 100000 5 – 15.
Для расчета плотности используется ф-ла Павлова В.Ф.
P
3 2
S  0.87 S 2  S 2 ,
2
где S – длина стороны сети в км.
Параметры плотности и точности ГГС
Показатели
1
2
3
4
Длина звена триангуляции, км
Средняя длина стороны
Отн. ош-ка базисной (выходной) стороны
Отн. ош-ка в слабом месте
Отн. ош-ка для полигонометрии
Наименьшее значение угла в треугольнике
Допустимая невязка в треугольнике
СКО угла по невязкам в треугольниках
Астроопределения: ско по широте
По долготе
По азимуту
200
20-25
400 000
150 000
300 000
40
3
0.7/0.4*
0.3
0.03
0.5
7-20
300 000
300 000
250 000
20
4
1
0.3
0.03
0.5
5-8/3-8*
200 000
120 000
200 000
20
6
1.5
2-5
200 000
70 000
150 000
20
8
2
2.2. Структура и точность государственной геодезической сети по состоянию на 1995 год
ГГС, созданная по состоянию на 1995 года, объединяет в одно целое:

астрономо-геодезические пункты космической геодезической сети (далее - АГП КГС); п = 26

доплеровскую геодезическую сеть (далее - ДГС); п = 131

астрономо - геодезическую сеть (далее - АГС) 1 и 2 классов; п = 164306

геодезические сети сгущения (далее - ГСС) 3 и 4 классов,
п = 300000
Пункты указанных построений совмещены или имеют между собой надежные геодезические связи.
Космическая геодезическая сеть представляет собой глобальное геодезическое построение.
Координаты ее пунктов определены по доплеровским, фотографическим, дальномерным
радиотехническим и лазерным наблюдениям искусственных спутников Земли (далее - ИСЗ) системы
геодезического
измерительного комплекса (далее - ГЕОИК). Точность взаимного положения пунктов
при расстояниях между ними около 1...1,5 тыс. км характеризуется средними квадратическими ошибками,
равными 0,2. ..0,3 м.
Из всего состава глобальной космической геодезической сети в ГГС по состоянию на 1995 год
включены данные о 26 стационарных астрономо-геодезических пунктах, расположенных в границах АГС.
Доплеровская геодезическая сеть представлена 131 пунктом, взаимное положение и координаты которых
определены по доплеровским наблюдениям ИСЗ системы Транзит. Точность определения взаимного положения
пунктов при среднем расстоянии между пунктами 500...700 км характеризуется средними квадратическими
ошибками, равными 0,4...0,6 м.
Астрономо-геодезическая сеть состоит из 164306 пунктов и включает в себя:
• ряды триангуляции 1 класса, сети триангуляции и полигонометрии 1 и 2 классов, развитые в
соответствии с нормативными документами;
• траверсы полигонометрии 1 класса, базисы космической триангуляции большой протяженности,
проложенные в соответствии со специальными техническими указаниями.
Полученные из уравнивания средние квадратические ошибки измеренных углов на пунктах АГС 1 и
2 классов равны 0,74" и 1,06" соответственно.
Астрономо-геодезическая сеть 1 и 2 классов содержит 3,6 тысячи геодезических
азимутов,
определенных из астрономических наблюдений, и 2,8 тысячи базисных сторон, расположенных через170...200 км.
Точность выполненных в АГС астрономических определений координат характеризуется
следующими средними квадратическими ошибками:
• астрономической широты - 0,36",
• астрономической долготы - 0,0435.
Средние квадратические ошибки измерений астрономических азимутов и базисов, полученные по
результатам уравнивания, соответственно равны 1,27" и 1:500 000.
Точность определения взаимного планового положения пунктов, полученных в результате
выполненного в 1991 году общего уравнивания АГС как свободной сети, характеризуется в собственной
системе координат средними квадратическими ошибками:
• 0,02...0,04 м для смежных пунктов,
• 0,25...0,80 м при расстояниях от 500 до 9 000 км.
Высоты квазигеоида над референц-эллипсоидом Красовского определены методом астрономогравиметрического нивелирования.
Сеть линий астрономо-гравиметрического нивелирования покрывает всю территорию страны и образует 909
замкнутых полигонов, включающих 2897 астрономических пунктов. При вычислениях превышений квазигеоида
использованы данные гравиметрических съемок масштаба 1:1 000 000 и крупнее.
Точность определения превышений высот квазигеоида характеризуется средними квадратическими
ошибками:
• 0,06...0.09 м при расстояниях 10...20 км,
• 0,3...0,5 м при расстоянии около 1000 км.
Геодезические сети сгущения 3 и 4 классов включают в себя около 300 тысяч пунктов. Эти сети созданы
методами триангуляции, полигонометрии и трилатерации в соответствии с "Основными положениями о построении
государственной геодезической сети СССР", 1954 и 1961 г.г.
Плотность пунктов ГТС 1, 2, 3 и 4 классов, как правило, составляет не менее одного пункта на 50
кв. км.
На пунктах геодезических сетей 1,2,3 и 4 классов в соответствии с “Инструкцией о построении
государственной геодезической сети Союза ССР”, М., Недра, 1966 г. определены по два ориентирных пункта с
подземными центрами.
Нормальные высоты верхних марок подземных центров пунктов ГГС определены из
геометрического или тригонометрического нивелирования.
Существующая плотность ГГС при условии применения современных спутниковых и
аэросъемочных технологий обеспечивает решение задач картографирования и обновления карт всего
масштабного ряда до 1:500 для городов и 1:2 000 для остальной территории.
2.3 Традиционные методы построения плановой основы - триангуляция, полигонометрия,
трилатерация.
2.3.1. Основные принципы организации геодезических измерений
В теоретических исследованиях и практике геодезических работ особое внимание уделяется определению взаимного положения точек, как в
плановом отношении, так и по высоте. Многолетний опыт выполнения такого рода работ позволил выработать основные принципиальные положения, которые
следует неукоснительно соблюдать при организации геодезических измерений. Это позволяет свести к минимуму неизбежные ошибки, не допустить
накопления погрешностей при переходе от точки к точке, полностью избавиться от грубых промахов. Такими принципами являются:
переход «от общего к частному»;
систематический контроль всех видов работ.
Принцип перехода от общего к частному позволяет существенно уменьшить накопление погрешностей измерений. В соответствии с этим принципом
геодезические построения не должны быть однородными, а наоборот, должны создаваться в несколько этапов. Пусть, например, требуется определить
взаимное плановое положение множества точек 1, 2, 3… Сначала выберем несколько точек, взаимное положение которых определим с самой высокой
точностью. Следует иметь ввиду, что высокоточные геодезические работы очень дороги, поэтому охватить ими сразу все точки было бы нерационально. Затем
построим геодезическую сеть, включающую в себя пункты 1, 2, 3, 4, 5, … , 12. эта сеть будет иметь в качестве исходных данных координаты точек 1-4,
которые, образуя своеобразный жесткий каркас, не позволят новой сети деформироваться под влиянием погрешностей измерений. На следующем этапе
дальнейшее сгущение сети, добавив точки 13, 14, … , 25. построение, состоящее из точек 1-25, будет опираться на пункты 1-12, полученные на первых двух
этапах. Можно представить себе четвёртый, пятый и т.д. этапы сгущения сети, проводимые до тех пор, пока расстояния между точками не достигнут величины,
необходимой для производства съёмок местности, разбивок сооружений и т.д. Построение геодезической сети по рассмотренной выше схеме в соответствии с
принципом перехода от общего к частному требует, чтобы точность каждого предыдущего этапа была бы выше точности последующего ровно на столько,
насколько это необходимо для того, чтобы погрешностями исходных данных можно было бы пренебречь.
Принцип систематического контроля требует так организовать геодезические работы, чтобы на всех их стадиях и этапах каждый результат
измерений, вычислений и построений был бы надежно и неоднократно проконтролирован.
Геодезические сети представляют собой систему точек, определенным образом размещенных и закрепленных на местности. Положение этих точек в
результате выполнения геодезических измерений и вычислений должно быть найдено в единой системе координат и высот. Геодезические сети, для точек
которых получены только координаты x,y или только высоты Н, называют плановыми или высотными. Если пункты, закрепленные на местности, имеют все три
координаты x, y, H, то образующие их геодезические сети называют планово-высотными. В зависимости от роли в общей системе создания геодезической
основы на данной территории, точности, назначения и густоты геодезической сети в соответствии с современной классификацией делят на государственные
геодезические, сгущения, специальные и съёмочные.
Государственная геодезическая сеть представляет собой общегосударственную главную геодезическую основу. В тех местах, где плотность пунктов
главной геодезической основы недостаточна для выполнения тех или иных геодезических работ, сети сгущения. Специальные геодезические сети развивают в
связи со строительством инженерных сооружений или проведением каких-либо других работ, предъявляющих к геодезическому обеспечению особые
требования. Съёмочные геодезические сети представляют собой систему пунктов, непосредственно с которых выполняют съёмку местности, перенесения в
натуру проекта сооружения, различные контрольные измерения и т.п. По этой причине съёмочные сети называют рабочей геодезической основой.
Кроме перечисленных выше способов классификации, геодезические сети подразделяются в зависимости от способа их построения.
Государственная сеть 1-го класса служит геодезической основой для построения всех остальных плановых сетей. С помощью этой сети на
территории страны вводится единая система координат. Результаты измерения в сетях 1-го класса используются для решения научных геодезических задач.
Государственная геодезическая сеть 1-го класса создаётся в виде триангуляционных рядов, прокладываемых вдоль параллелей и меридианов на
расстоянии примерно200 км друг от друга. Ряды, идущие вдоль параллелей и меридианов, пересекаясь друг с другом, образуют полигоны периметром 8001000 км. Каждая из четырёх сторон этого полигона, называемая звеном, состоит из треугольников, близких к равносторонним, с расстоянием между
вершинами не менее 20 км. На концах звеньев, т.е. в вершинах полигонов, измеряют длину одной из сторон с относительной погрешностью не более 1:400
000. в пунктах лежащих на концах таких сторон, выполняют астрономические измерения широты, долготы и азимута. Горизонтальные углы в треугольниках 1го класса измеряют высокоточными теодолитами со средней квадратической погрешностью 0.7``. В тех районах, где по условиям местности построение
триангуляции сопряжено со значительными трудностями, её заменяют ходами полигонометрии 1-го класса.
Государственная сеть 2-го класса делается сплошной. Она заполняет собой полигоны 1-го класса и опирается на их пункты. Треугольники имеют
стороны длиной 7-20 км. Горизонтальные углы в треугольниках сети измеряют со средней квадратической погрешностью 1.0``, а стороны - с относительной
ошибкой не более 1:300 000. измеряемые стороны располагают равномерно по всей сети, но не реже, чем через 25 треугольников. Допускается замена
триангуляции полигонометрическими ходами 2-го класса.
Государственные сети 3-го и 4-го классов предназначены для сгущения сети пунктов 1 и 2 классов. Их строят в виде вставок отдельных пунктов
в существующую сеть более высоких классов. Длины сторон треугольников сети 3-го и 4-го классов составляют соответственно 5-8 км и 2-5 км при
относительной погрешности измеряемых сторон не более 1:200 000. углы измеряют со средней квадратической погрешностью 1.5 и 2. вместо триангуляции
разрешается применять полигонометрические ходы 3 и 4 классов.
Закрепление на местности пунктов государственной геодезической плановой сети выполняется специальными устойчивыми и долговременными
центрами. В зависимости от характера грунта и других физико-географических условий местности применяют различные конструкции центров. Важнейшей
частью любого центра является чугунная марка с небольшим, расположенном посередине, отверстием, которое обозначает закрепляемую точку геодезической
сети. Каждый центр имеет несколько дублирующих друг друга чугунных марок, расположенных на разной глубине, но на одной отвесной линии.
Поскольку в государственных геодезических сетях расстояния между пунктами составляют от двух до двадцати и более километров, то обеспечить
видимость между такими пунктами с земли можно только в горах. Кроме того, атмосфера в непосредственной близости от земли существенно влияет на
погрешности результатов измерений. По этим причинам на пунктах государственных плановых геодезических сетей строят специальные сооружения,
геодезические сигналы или пирамиды.
С помощью геодезических сигналов теодолит при измерении углов устанавливается высоко над землёй. Для геодезиста на уровне, удобном для
работы с теодолитом, сооружается специальная площадка с ограждением, лестницей и крышей. На крыше устанавливается визирный барабан для наведения
на данную точку со смежных пунктов сети. По конструкции сигналы делятся на простые и сложные. Простые сигналы имеют высоту до 15 м, сложные - 40 м и
более. Геодезические пирамиды устроены более просто. Их высота, как правило, не превышает 10 м. материалом для изготовления сигналов и пирамид
обычно служит дерево и металл.
Каталоги координат пунктов плановых геодезических сетей являются основным итоговым документом работ по созданию главной геодезической
основы. Они составляются в соответствии с установленными требованиями и содержат сведения о названии пунктов, их классе и местоположении, типе центра
и знака, даты их постройки. Координаты пункта приводятся в каталоге с указанием системы координат, в которой они получены. Кроме того, в каталог
вписывают длины и дирекционные углы сторон сети.
Каталоги хранятся в подразделениях Роскартографии, и Госгеонадзоре. По специальным запросам организаций, выполняющих те или иные
геодезические работы, делаются выписки из каталогов на указанную в запросе территорию.
2.3.2. Способы определения положений опорных пунктов
Астрономический способ заключается в определении астрономических координат , , от которых
переходят к геодезическим координатам B,L путем наблюдения небесных светил. По результатам
астрономических наблюдений определяют также геодезические азимуты А направлений на пункты. Кроме
того, азимуты могут быть получены с помощью гирокомпасов и гиротеодолитов. В дальнейшем от
геодезических координат можно перейти к плоским координатам x,y а от геодезического азимута – к
дирекционному углу а.
Достоинство данного способа – независимое определение координат, то есть метод является
автономным. Другой плюс – точность не зависит от места пункта в сети, - работает уравнение Лапласа:
    B,   (  L) cos  ,
A  a  (  L) sin   ( cos A   sin A) ctg z
(1)
(2)
Недостаток – сравнительно невысокая точность. Например, СКП для широты 0.3”, что соответствует
примерно 10 м на местности. Еще один недостаток, особенно при гироопределениях, необходимо учитывать
уклонения отвесных линий.
Геодезический способ состоит в том, что из астрономических определений находят прямоугольные
координаты только отдельных (исходных) пунктов системы. Остальные пункты опорной сети связывают с
исходным путем выполнения на земной поверхности измерений сторон и углов геометрических фигур,
вершинами которых являются опорные пункты. Такая схема ограничивает накопление погрешностей,
обеспечивает надежный контроль измерений, позволяет выполнять независимо геодезические работы на
различных участках. Этот метод является основным на территории нашей страны. Исключением являются
горные и арктические районы, где астрономический метод предпочтительнее.
Спутниковый способ основан на определении координат точек из обработки наблюдений ИСЗ.
Применяемые в настоящее время системы ГЛОНАСС и GPS (ГНСС) позволяют в любой момент времени и
в любом месте земного шара определять координаты точек с погрешностями до нескольких сантиметров.
В соответствии с принципом «от общего к частному» вся опорная сеть подразделяется на классы, и ее
построение осуществляется несколькими ступенями: от более высшего к низшему, от более крупных
построений к более мелким и менее точным. Пункты высших классов располагают на больших (до
нескольких десятков и тысяч километров) расстояниях, а затем последовательно сгущают путем развития
между ними сетей более низких классов. Это позволяет в сжатые сроки и с высокой точностью
распространять единую систему координат на всю территорию страны.
Фотограмметрический способ. Заключается в определении положений с использованием
аэрокосмических снимков, радарных съемок. Для построения опорных сетей не используется
Триангуляция - один из методов создания плановых геодезических сетей на основе построения и решения треугольников по измеренным углам.
Триангуляция представляет собой систему примыкающих или перекрывающих друг друга треугольников, которые могут образовывать триангуляционный ряд
или триангуляционную сеть. Сторону одного из треугольников измеряют непосредственно или получают косвенным путем, построив так называемую базисную
сеть, состоящую, как правило, из ромбов с разными по длине диагоналями. Остальные стороны триангуляционного ряда или сети находят путём
последовательного решения треугольников по углам и стороне, используя терему синусов.
Известно, что для решения треугольника достаточно измерить в нём, кроме стороны, два угла. Однако при построении триангуляции в каждом
треугольнике измеряют все три угла. Это позволяет проконтролировать результаты угловых измерений и, кроме того, в итоге специальных уравнительных
вычислений несколько повысить точность конечного результата. С этой же целью измеряют длину не одной стороны ряда или сети, а двух и более. В случае
необходимости в схеме триангуляции предусматривают перекрытие треугольников, что также улучшает качество построения.
Триангуляция 1 класса строится в виде системы полигонов из звеньев треугольников порядка 200-220
км (периметр 800-1000 км). Типовые фигуры – треугольники, четырехугольники и центральные системы. В
местах пересечения звеньев измеряются базисные стороны (или выходные стороны). На их концах
определяются пункта Лапласа с астроопределениями широт, долгот и азимутов. В отдельных районах
построена сплошная сеть 1-го класса. В других – вместо звеньев триангуляции строились вытянутые ходы
полигонометрии примерно их 10 сторон длиной 20-25 км.
По всем рядам АГС проведено астрономо-гравиметрическое нивелирование с целью получения
эллипсоидальных высот, изучения фигуры Земли и ее гравитационного поля.
Триангуляция 2-го класса строится из сплошных сетей треугольников, заполняющих звенья 1-го
класса. Сети 2-го класса могут создаваться и методом полигонометрии. Триангуляция 3 и 4 классов
представляет собой вставки жестких систем или отдельных пунктов в сети старших классов или ходов
полигонометрии. Сети 3 и 4 классов могут строиться методом трилатерации. Все пункты АГС должны
иметь отметки, полученные из геометрического или тригонометрического нивелирования.
После того, как будут вычислены длины стороны треугольников, находят координаты их вершин. Для этого в качестве исходных данных необходимо
иметь координаты одной из точек и дирекционный угол ( азимут ) одной из сторон сети. Затем по этим сторонам последовательно решают прямые
геодезические задачи и таким образом определяют плановое положение вершин сети.
Трилатерация - как и триангуляция, представляет собой построение, состоящее из треугольников. Однако в этих треугольниках измеряют не углы, а
длины сторон. Триангуляцию и трилатерацию применяют в тех случаях, когда существует видимость на большие расстояния.
Полигонометрия - метод, в основу которого положено поыберем несколько точек, взаимное положение которых определим с самой высокой
точностью.борот, должны создаваться в несколько этстроение на местности сомкнутых или разомкнутых многоугольников ( ходов ), в которых измеряют
горизонтальные углы между соседними сторонами и длины сторон . Метод полигонометрии применяют обычно в закрытой местности, где трудно обеспечить
видимость на большие расстояния.
Геодезические засечки применяют, как правило, для определения координат отдельных точек. В качестве исходных данных используют пункты
существующих геодезических сетей, а в качестве измеряемых величин - горизонтальные углы и расстояния.
Плановое положение точки определяется двумя её координатами X, Y, поэтому для реализации любой засечки необходимо измерить, как минимум,
две независимые величины (углы, расстояния ), каким-либо образом связывающие определяемую точку с исходными пунктами.
Наибольшее распространение в практике создания геодезической плановой основы получили прямая и обратная ( боковая )угловые засечки, а также
задача Потенота ( определение положения четвёртой точки по трём данным ).
Сущность прямой угловой засечки состоит в том, что искомую точку находят как пересечение двух направлений и с твёрдых ( исходных ) пунктов и .
Направления на определяемую точку задают, измерив горизонтальные углы и с исходной стороной .
2.4. Государственная высотная основа
2.4.1 Назначение и требуемая точность нивелирной сети. Схема и программа построения нивелирной
сети на разных этапах ее развития
Основное назначение Главной высотной основы (ГВО) России, состоящей из линий нивелирования I
и II классов – распространение единой системы нормальных высот по всей территории страны.
Сгущение нивелирной сети I и II классов осуществляется нивелированием III и IV классов, что
позволяет повысить плотность пунктов единой системы высот на территории страны.
Кроме своего основного назначения ГВО России обеспечивает решение научных задач, таких как
изучение фигуры Земли и вертикальных движений земной поверхности.
Данные о точных высотах земной поверхности используются во многих отраслях государства: в
картографировании территорий, при проектировании, строительстве и эксплуатации зданий и сооружений,
для водного хозяйства, гидроэнергетики.
Исходным пунктом ГВО России с 1873 г. является нуль Кронштадтского футштока. Высоты всех
пунктов на территории России определяются относительно исходного пункта.
Государственная высотная основа. Государственная геодезическая высотная основа, как и плановая, строится в соответствии с принципом
перехода от общего к частному и подразделяется на четыре класса. Все четыре класса создаются методом геометрического нивелирования.
Нивелирная сеть 1 - го класса имеет наивысшую точность. Ходы нивелирования 1-го класса прокладывают по специально разработанным, с
учётом геофизической ситуации, маршрутам между основными морями. Средняя квадратическая погрешность нивелирования составляет 0.5 мм на 1 км хода
при систематической ошибке не более 0.05 мм. Характерной особенностью нивелирования первого класса является то, что его периодически повторяют по тем
же маршрутам, в результате чего получают данные для анализа вертикальных движений земной коры.
Нивелирная сеть 2 - го класса строится с опорой на нивелирную сеть 1-го класса в виде полигонов периметром 500-600 км. Высотная невязка в
полигонах не должна превышать мм, где - периметр полигона в км. С помощью ходов нивелирования 1-2 классов на всей территории страны вводится единая
Балтийская система высот.
Нивелирные линии I и II классов
Нивелирование сети 3 - го и 4 - го классов служат для сгущения сетей 1 и 2 классов. Ходы нивелирования 3 и 4 классов должны опираться с
обоих концов на закреплённые точки ходов более высоких классов или образовывать сомкнутые полигоны. Высотная невязка ходов не должна превышать и мм
для 3 и 4 классов соответственно. В нивелирную сеть 3 и 4 классов обязательно включают все пункты плановой государственной геодезической основы.
Закрепление главной высотной геодезической основы на местности выполняется независимо от класса нивелирования постоянными знаками
через 5-7 км, а в труднодоступных районах - через 10-15 км. Кроме того, для закрепления точек нивелирных ходов используются долговременные каменные
или железобетонные сооружения, в цокольной части которых на цементном растворе устанавливают стенные реперы и марки. Такие же реперы могут
устанавливаться в отвесных скалах. Нивелирные ходы 1 и 2 классов закрепляются дополнительно через 50-60 км фундаментальными ( капитальными )
реперами, обеспечивающими стабильность закреплённой точки в течение продолжительного времени. Каталоги высот реперов составляются. Хранятся и
используются так же, как и каталоги координат.
НС состоят из систем полигонов примерно равного периметра. Линии нивелирования младших
классов опираются обоими концами на реперы старших классов или на узловые реперы такого же класса,
образуя замкнутые полигоны.
Класс
Периметр Расст. м- Расст.
Направл.
Число Число
Высота
fхода доп.
wдоп
полигона у
м-х
линий ст. на 1
луча
реперами фунд
км
реп.
1
2800
5-7
50-60
Прямо и
2
До 15
0.8 0.5
1.5 П
3 L
обр.
2
600
5-7
50-60
-«1
Больше
0.5 0.3
3.5 П
5 L
15
3
150/60
3-5
4
-
-
Не закл
Прямо
1
-
0.3
-
прямо
1
-
0.2
10 L
20 L
7 П
20 П
2.4.2. Методы высокоточного нивелирования, гравиметрическое обеспечение нивелирных линий
Геометрическое нивелирование выполняют путём визирования горизонтальным лучом трубой
нивелира и отсчитывания высоты визирного луча над земной поверхностью в некоторой её точке по отвесно
поставленной в этой точке рейке с нанесёнными на ней делениями или штрихами (см. Геодезические
инструменты). Обычно применяют метод нивелирование из середины, устанавливая рейки на башмаках
или колышках в двух точках, а нивелир - на штативе между ними (рис. 1).
Рис. 1. Геометрическое нивелирование
Расстояния от нивелира до реек зависят от требуемой точности нивелирования и условий местности,
но должны быть примерно равны и не более 100-150 м. Превышение h одной точки над другой определяется
разностью отсчётов а и b по рейкам, так что h = a - b. Так как точки, в которых установлены рейки, близки
друг к другу, то измеренное превышение одной из них относительно другой можно принять за расстояние
между проходящими через них уровенными поверхностями. Если геометрическим нивелированием
определены последовательно превышения между точками А и В, В и С, С и D и т.д. до любой удалённой
точки К, то путём суммирования можно получить измеренное превышение точки К относительно точки А
или исходной точки О, принятой за начало счёта высот. Уровенные поверхности Земли, проведённые на
различных высотах или в различных точках земной поверхности, не параллельны между собой. Поэтому для
определения нивелирной высоты точки К необходимо измеренное превышение относительно исходной
точки О исправить поправкой, учитывающей непараллельность уровенных поверхностей Земли.
Физический смысл геометрического нивелирования состоит в том, что на перемещение единицы
массы на бесконечно малую высоту dh затрачивается работа dW = - gdh, где g - ускорение силы тяжести.
Применительно к нивелированию от исходной точки О до текущей точки К можно написать
где WO и Wk - потенциалы силы тяжести в этих точках, а интеграл вычисляется по пути нивелирования
между ними (полученную по этой формуле величину называют геопотенциальной отметкой). Т. о.,
нивелирование можно рассматривать как один из способов измерения разности потенциалов силы тяжести в
данной и исходной точках.
Исходную точку нивелирования, или начало счёта нивелирных высот, выбирают на уровне моря.
Нивелирную высоту h над уровнем моря определяют по формуле
где gm - некоторое значение ускорения силы тяжести, от выбора которого зависит система нивелирных
высот. В СССР принята система нормальных высот, отсчитываемых от среднего уровня Балтийского моря,
определённого из многолетних наблюдений относительно нуля футштока в Кронштадте.
В зависимости от точности и последовательности выполнения работы по геометрическому нивелированию
подразделяются на классы. Государственная нивелирная сеть СССР строится по особой программе и
делится на 4 класса. Нивелирование I класса выполняют высокоточными нивелирами и штриховыми
инварными рейками по особо выбранным линиям вдоль железных и шоссейных дорог, берегов морей и рек,
а также по др. трассам, важным в том или ином отношении. По линиям нивелирования I класса средняя
квадратичная случайная ошибка определения высот не превышает ±0,5 мм, а систематическая ошибка
всегда менее ±0,1 мм на 1 км хода. В СССР нивелирование I класса повторяют не реже, чем через 25 лет, а в
отдельных районах значительно чаще, чтобы получить данные о возможных вертикальных движениях
земной коры. Между пунктами нивелирования I класса прокладывают линии нивелирования II класса,
которые образуют полигоны с периметром 500-600 км и характеризуются средней квадратичной случайной
ошибкой около ±1 мм и систематической ошибкой ±0,2 мм на 1 км хода. Нивелирные линии III и IV классов
прокладываются на основе линий высших классов и служат для дальнейшего сгущения пунктов нивелирной
сети. Для долговременной сохранности нивелирные пункты, выбираемые через каждые 5-7 км,
закрепляются на местности реперами или марками нивелирными, закладываемыми в грунт, стены каменных
зданий, устои мостов и т.д.
2.5 Системы высот
Высота точки является третьей координатой, определяющей её положение в пространстве.
В геодезии для определения отметок точек применяются следующие системы высот (рис):
ортометрическая;
геодезическая;
нормальная;
относительная (условная).
Ортометрическая (абсолютная) высота Hо – расстояние, отсчитываемое по направлению отвесной линии от
поверхности геоида до данной точки.
Геодезическая высота Hг – расстояние, отсчитываемое по направлению нормали от поверхности референцэллипсоида до данной точки.
В нашей стране все высоты реперов государственной нивелирной сети определены в нормальной системе
высот. Это связано с тем, что положение геоида под материками определить сложно. Поэтому с конца 40-х
годов в СССР было принято решение не применять ортометрическую систему высот.
В нормальной системе высот отметка точки Hн отсчитывается по направлению отвесной линии от
поверхности квазигеоида, близкой к поверхности геоида.
Квазигеоид («якобы геоид») – фигура, предложенная в 1950-х г.г. советским учёным М.С. Молоденским в
качестве строгого решения задачи определения фигуры Земли. Квазигеоид определяется по измеренным
значениям потенциалов силы тяжести согласно положениям теории М.С. Молоденского.
В России абсолютные высоты точек определяются в Балтийской системе высот (БСВ) относительно нуля
Кронштадтского футштока – горизонтальной черты на медной пластине, прикрепленной к устою моста
через обводной канал в г. Кронштадте.
Относительная высота Hу – измеряется от любой другой поверхности, а не от основной уровенной
поверхности.
3. Принципы современной технологии развития государственной координатной
основы с помощью космических средств (5 часов)
Современная концепция развития государственной координатной основы.
Фундаментальная астрономо-геодезическая сеть (ФАГС). Высокоточная геодезическая
сети (ВГС), спутниковые геодезические сети (СГС). Активные и пассивные геодезические
сети. Сетевые методы ГНСС технологий.
Современная структура (схема) государственной координатной основы, включающая
спутниковые и традиционные геодезические сети.
Основные (характерные) особенности спутниковой координатной основы (ФАГС,
ВГС, СГС) по отношению к государственной основе (АГС, ГГС, ГНС), созданной
традиционными средствами.
Основная проблема, возникающая при согласовании существующей государственной
плановой и высотной основы с результатами спутниковых координатных определений, и
принцип решения этой проблемы.
3.1. Основные принципы развития государственной геодезической сети
Задание, поддержание и воспроизведение системы
координат на уровне
требований, обеспечивающих решение фундаментальных перспективных задач в
области геодезии, геофизики, геодинамики и космонавтики, обуславливает
необходимость создания геодезической сети на качественно новом, более высоком,
уровне точности.
Построение такой сети - составная часть новой высокоэффективной государственной
системы геодезического обеспечения территорий Российской Федерации, основанной на применении методов космической геодезии и использовании глобальных навигационных
спутниковых систем ГЛОНАСС и GPS.
Государственная геодезическая сеть, создаваемая в соответствии с настоящими
"Основными положениями", структурно формируется по принципу перехода от общего
к частному и включает в себя геодезические построения различных классов точности:
• фундаментальную астрономо - геодезическую сеть (ФАГС),
• высокоточную геодезическую сеть (ВГС),
•
спутниковую геодезическую сеть 1 класса (СГС-1).
В указанную систему построения вписываются также существующие сети триангуляции и
полигонометрии 1.. , 4 классов.
На основе новых высокоточных пунктов спутниковой сети создаются постоянно
действующие дифференциальные станции с целью обеспечения возможностей определения
координат потребителями в режиме близком к реальному времени.
По мере развития сетей ФАГС, ВГС и СГС-1 выполняется уравнивание ГГС и
уточняются параметры взаимного ориентирования геоцентрической системы координат
и системы геодезических координат СК-95.
3.2. Фундаментальная астрономо-геодезическая и высокоточная геодезическая сети
Высший уровень в структуре координатного обеспечения территории России
занимает фундаментальная астрономо-геодезическая сеть. Она служит исходной геодезической основой для дальнейшего повышения точности пунктов государственной
геодезической сети.
ФАГС практически реализует геоцентрическую систему координат в рамках
решения задач координатно-временного обеспечения (КВО).
Фундаментальная астрономо-геодезическая сеть состоит из постоянно
действующих и периодически определяемых пунктов Роскартографии, формирующих
единую сеть на территории Российской Федерации.
В состав постоянно действующих пунктов ФАГС включаются пункты Роскартографии
и АГП КГС, а также, по согласованию, расположенные на территории России пункты лазерной
локации спутников, сверхдлиннобазисной радиоинтерферометрии, пункты службы вращения
Земли, и другие пункты спутниковых наблюдений, измерения на которых позволяют
поддерживать и уточнять геоцентрическую систему координат.
Расстояние между смежными пунктами ФАГС -650...1000КМ.
Количество, расположение постоянно действующих
и периодически
определяемых пунктов ФАГС, состав аппаратуры и программы наблюдений
определяются программой построения и функционирования ФАГС.
Все пункты ФАГС должны быть фундаментально закреплены с обеспечением
долговременной стабильности их положения как в плане, так и по высоте.
Пространственное положение пунктов ФАГС определяется методами космической
геодезии в геоцентрической системе координат относительно центра масс Земли со средней
квадратической ошибкой 10... 15 см. а средняя квадратическая ошибка взаимного положения
пунктов ФАГС должна быть не более 2 см по плановому положению и 3 см по высоте с учетом
скоростей их изменения во времени. В число основных задач построения ФАГС входит
достижение требуемой точности и достоверное оценивание точности создаваемой новой
геоцентрической системы координат и определение изменений координат пунктов
ФАГС во времени.
На пунктах ФАГС выполняются определения нормальных высот и
абсолютных значений ускорений силы тяжести. Определения нормальной высоты
производится нивелированием не ниже II класса точности, абсолютные определения
силы тяжести - по программе определения фундаментальных гравиметрических
пунктов.
Периодичность этих определений на пунктах ФАГС устанавливается в пределах
5...8 лет и уточняется в зависимости от ожидаемых изменений измеряемых
характеристик.
Задаваемая
пунктами
ФАГС
геоцентрическая система координат
согласовывается на соответствующем уровне точности с фундаментальными
астрономическими (небесными) системами координат и надежно связывается с
аналогичными пунктами различных государств в рамках согласованных научных
проектов международного сотрудничества.
Параметры связи между земной системой координат, задаваемой пунктами ГГС, с
фундаментальными астрономическими (небесными) координатами на адекватном уровне
точности устанавливаются оперативными наблюдениями ГСВЧ и публикуются в
специальных бюллетенях этой службы.
Второй уровень в современной структуре ГГС занимает высокоточная
геодезическая сеть, основные функции которой состоят в дальнейшем
распространении на всю территорию России геоцентрической системы координат и
уточнении параметров взаимного ориентирования геоцентрической системы и
системы геодезических координат.
ВГС, наряду с ФАГС, служит основой для развития геодезических построений
последующих классов, а также используется для создания высокоточных карт высот
квазигеоида совместно с гравиметрической информацией и данными нивелирования.
ВГС представляет собой опирающееся на пункты ФАГС, однородное по
точности пространственное геодезическое построение, состоящее из системы пунктов,
удаленных один от другого на 150...300 км.
Пункты ВГС определяются относительными методами космической геодезии,
обеспечивающими точность взаимного положения со средними квадратическими
ошибками, не превышающими 3 мм+5х10-8 D (где D - расстояние между пунктами) по
каждой из плановых координат и 5 мм+7х10-8 D по геодезической высоте. Каждый пункт
ВГС должен быть связан измерениями со смежными пунктами ВГС и не менее чем с тремя
ближайшими пунктами ФАГС. В исключительных случаях на труднодоступных
территориях допускается отсутствие связей между смежными пунктами ВГС при
условии их связи с большим количеством близких пунктов ФАГС и использовании
наблюдений большей продолжительности.
На пунктах ВГС выполняются определения нормальных высот и абсолютных
значений ускорений силы тяжести. Периодичность этих определений устанавливается
Роскартографией в зависимости от ожидаемых изменений измеряемых характеристик.
Для связи существующей сети с вновь создаваемыми геодезическими построениями
определяется взаимное положение пунктов ФАГС и ВГС с ближними пунктами АГС со
средней квадратической ошибкой, не превышающей 2 см по каждой координате. Для связи с
главной высотной основой пункты ВГС привязываются к реперам нивелирной сети I... II
классов или совмещаются с реперами соответствующих линий нивелирования.
3.3. Спутниковая геодезическая сеть 1 класса, астрономо-геодезическая сеть и
геодезические сети сгущения
Третий уровень в современной структуре ГГС занимает спутниковая
геодезическая сеть 1-го класса, основная функция которой состоит в обеспечении
оптимальных условий для реализации точностных и оперативных возможностей
спутниковой аппаратуры при переводе геодезического обеспечения территории
России на спутниковые методы определения координат.
СГС-1 представляет собой пространственное геодезическое построение,
создаваемое по мере необходимости, в первую очередь, в экономически развитых
районах страны, состоящее из системы легко доступных пунктов с плотностью,
достаточной для эффективного использования всех возможностей спутниковых
определений потребителями, как правило, со средними расстояниями между смежными
пунктами около 25.. .35 км.
СГС-1 создается относительными методами космической геодезии,
обеспечивающими определение взаимного положения ее смежных пунктов со
средними квадратическими ошибками Змм+1х10 7 D по каждой из плановых
координат и 5мм+2х107 D по геодезической высоте.
СГС-1 может строиться отдельными фрагментами. В каждый фрагмент
должны включаться все пункты ВГС
и
АГС,
попадающие в
область,
перекрывающую фрагмент на треть расстояния между смежными пунктами ВГС на
данной территории.
Средняя квадратическая ошибка определения положения пунктов СГС-1
относительно ближайших пунктов ВГС и ФАГС не должна превышать 1...2 см в
районах с сейсмической активностью 7 и более баллов и 2...3 см в остальных регионах
страны.
Нормальные высоты должны определяться на всех пунктах СГС-1, либо из
геометрического нивелирования с точностью, соответствующей требованиям к нивелирным
сетям П.. ,Ш классов, либо из спутникового нивелирования как разности геодезических
высот, определяемых относительными методами космической геодезии, и высот
квазигеоида.
Окончательная точность положения пунктов СГС-1 определяется
материалам обработки в соответствии
с нормативно-техническими актами
построению СГС-1, утверждаемыми Роскартографией.
по
по
Для связи СГС-1 с АГС и нивелирной сетью часть пунктов СГС-1 должна быть
совмещена или связана с существующими пунктами АГС и реперами нивелирной сети не
ниже Ш класса. Связь, как правило, должна определяться относительным методом
космической геодезии со средними квадратическими ошибками не более 2 см для
плановых координат при привязке пунктов АГС и 1 см для геодезических высот при
привязке нивелирных реперов. При высотной привязке использование пунктов АГС с
известными нормальными высотами вместо нивелирных реперов не допускается.
Расстояние между пунктами АГС, совмещенными с пунктами СГС-1 или привязанными к
ним, не должно быть больше 70 км при средней плотности СГС-1 и 100 км при
построении разреженной сети СГС-1 в необжитых районах. Расстояние между
нивелирными реперами для связи с пунктами СГС-1 должно быть не более 100 км.
В случае необходимости могут создаваться геодезические сети сгущения в
соответствии с нормативно-техническими актами, утверждаемыми Роскартографией.
Повторные определения координат пунктов ГТС и высот реперов должны планироваться в
необходимом объеме и с требуемой точностью для выявления деформаций земной поверхности
и изучения закономерностей их изменений
При необходимости повторных определений координат пунктов в сейсмоактивном
регионе построение СГС-1 планируется с повторным определением пунктов ВГС на этой и
смежной территориях.
В районах происшедших землетрясений с магнитудой 5 и более повторное определение
координат пунктов геодезических сетей проводится в возможно короткие сроки. Протяженность
создаваемых фрагментов СГС-1, включая пункты ВГС, на которые опираются фрагменты СГС-1,
должна обеспечивать опору на пункты, не затронутые влиянием произошедшего землетрясения.
Необходимость повторных определений координат пунктов геодезических сетей, обусловленная
деформациями техногенного происхождения., обосновывается маркшейдерскими и другими
геолого-геофизическими данными.
Пункты СГС-1, совмещенные или связанные с реперами нивелирной сети 1...111
классов, используются для уточнения высот квазигеоида.
В исключительных случаях в районах, не обеспеченных необходимыми данными о
высотах квазигеоида, для определения нормальных высот допускается применение
тригонометрического нивелирования. В последнем случае средняя квадратическая ошибка
взаимного положения смежных пунктов по высоте должна быть не более 20 см.32.4.
Геодезические сети специального назначения
Геодезические сети специального назначения создаются в тех случаях, когда
дальнейшее сгущение пунктов ГГС экономически нецелесообразно или когда требуется
особо высокая точность геодезической сети.
Геодезические сети специального назначения создаются в единых государственных
системах координат или в установленном порядке в местных системах координат.
Учет и хранение исходных данных, раскрывающих переход от местных систем
координат к государственным системам координат (ключи перехода) осуществляется органами
государственного геодезического надзора (Госгеонадзора).
3.4 Основные проблемы, возникающие при согласовании существующей
государственной плановой и высотной основы с результатами спутниковых
координатных определений. Принципы решения этой проблемы.
Определения координат, выполняемые оперативно и с высокой точностью с
помощью спутниковых технологий, должны быть связаны с государственной
координатной основой. Четыре фактора создают проблему корректного совместного
использования спутниковых и традиционных опорных геодезических сетей [1].
Первый фактор - точностной. Он заключается в том, что точность относительного
положения пунктов спутниковой сети примерно на порядок выше, а в некоторых случаях
и более, чем соответствующая точность существующей ГГС.
Второй фактор - физический. Он состоит в том, что плановая (ГГС) и высотная
(ГНС) государственные основы не образуют единую трехмерную пространственную
координатную систему, поскольку созданы в различных физических системах отсчета:
ГГС  в геометрической (референц-эллипсоид), ГНС  в гравитационной (система
нормальных высот). Точность связи ГГС и ГНС в единой системе через высоты
квазигеоида, примерно, на порядок ниже, чем точность взаимного положения точек в ГГС
и ГНС. Спутниковая сеть, в противоположность традиционной геодезической сети,
образует трехмерную пространственную систему с примерно равными по точности
координатами (точность высот меньше точности плановых координат лишь в 1,5 – 2 раза).
Третий фактор - математический. Он заключается в том, что при согласовании
спутниковых и традиционных геодезических сетей на ограниченной территории система
уравнений связи координат плохо обусловлена. В условиях неизбежных погрешностей
измерений и модели встает задача корректного выделения из всей совокупности исходной
информации устойчивой части решения, согласованной с точностью входных данных.
Четвертый фактор - нормативно-технический. Он связан с введением спутникового
каталога и нормативно-технической документации для технически грамотного
использования спутниковой сети в различных приложениях.
Проблемы, связанные с первыми тремя факторами, могут быть решены разработкой
регулярной модели трансформирования координат, отвечающей следующим системным
требованиям:
1) математическая модель трансформирования должна быть адекватна в
пространстве измерений и в пространстве оцениваемых параметров;
2) математическая модель трансформирования должна быть наблюдаема;
3) алгоритм оценивания параметров модели должен быть состоятелен.
Математическая модель трансформирования должна обеспечивать пространственное
преобразование спутниковой геодезической сети в референцную систему координат без
изменения геометрии и масштаба сети, чтобы не деформировать более точную
спутниковую геодезическую сеть при ее “вставке” в государственную координатную
основу. Чтобы не допустить потери точности при воспроизведении координат,
относительная погрешность математической модели трансформирования должна быть как
минимум на порядок меньше погрешности высокоточных спутниковых измерений. Это
значит, что методическая погрешность модели должна быть порядка десятых долей
миллиметра.
4. Классические (теория М.С. Молоденского) и современные принципы определения внешнего
гравитационного поля Земли (4 часа)
Основные положения теории М.С. Молоденского определения физической поверхности Земли и ее
внешнего гравитационного поля.
Современные способы определения элементов внешнего гравитационного поля Земли. Глобальный и
региональный геоид. Региональный и локальный квазигеоид. Способы определения аномалий высоты,
отклонений отвеса, астрономических координат и азимутов с помощью спутниковых средств измерений и
математической модели кавзигеоида.
4.1 Основные положения теории М.С. Молоденского определения физической поверхности
Земли и ее внешнего гравитационного поля.
Применение формулы Стокса для определения высот геоида относительно общего земного
эллипсоида наталкивается на серьезные трудности. Во-первых, для интегрирования необходимо, чтобы
гравитационные аномалии были известны по всей поверхности Земли, более двух третей которой покрыта
морями и океанами. Измерение силы тяжести на поверхности океанов стало возможно лишь в ХХ столетии.
Вторая проблема -- более серьезная. Теория Стокса требует, чтобы все массы лежали под уровенной
поверхностью, называемой геоидом. Кроме того, измерения силы тяжести выполняются на физической
поверхности, не совпадающей с геоидом. Задача состоит в том, чтобы в измеренной значение внести такие
поправки, которые бы перенесли все массы под уровень моря, не изменяя самой уровенной поверхности, а
сила тяжести оказалась бы отнесенной к уровню моря (геоиду). Эта проблема широко обсуждалась в
научной литературе и получила название проблемы регуляризации Земли.
Оказалось, что для успешного решения проблемы регуляризации необходимо знать внутреннее
строение Земли. В научный спор о том, как решать проблему регуляризации, в 50-х годах вмешался
М.С.Молоденский, который доказал, что различные варианты решения практически эквивалентны, но они
не решают задачу вполне строго. Он предложил строгое решение задачи определения фигуры Земли. При
этом определяются высоты не поверхности, которую мы называем геоидом, а другой поверхности,
достаточно близкой к геоиду, которую он назвал квазигеоидом.
М.С. Молоденский разработал теорию построения квазиеоида, предложил алгоритмы
приближенного решения проблемы. Во-первых, редукция (перенос) силы тяжести или потенциала
выполняется в линейном приближении. Во-вторых, хотя все измерения и редукции относятся к физической
поверхности или к эллипсоиду, интегрирование малых функций, где это требуется, выполняется по сфере
(сферическое приближение). Конечно, теория Молоденского не окончательная. Она постоянно
совершенствуется его учениками. В Советском Союзе возникла школа Молоденского, которая широко
известна не только у нас, но и за рубежом.
4.2 Ортометрические и нормальные высоты
Нивелирный ход от точки О, расположенной, например, на уровне моря, к точке Р даст измеренную
высоту точки Р над уровнем моря
, где
нивелирное превышение одного звена. Если
нивелирный ход имеет много звеньев, то сумму можно заменить интегралом
Вычислим разность потенциалов меду точками О и Р.
.
Таким образом, для определения разности потенциалов нужно иметь нивелирные превышения и силу
тяжести вдоль всего профиля.
Введем в рассмотрение еще одну точку. Через точку Р проходит силовая линия, которую можно
продолжить до поверхности геоида (уровень моря). Она пересечется с этой поверхностью в токе Р'. Таким
образом точки О и Р' лежат на одной поверхности уровня (на геоиде) Поскольку результат определения
разности потенциалов не зависит от пути интегрирования, выберем такой маршрут О-Р'-Р. Приращение
потенциала мы получим лишь на отрезке силовой линии Р'-Р:
. При движении по
силовой линии сила тяжести непрерывно меняется. Согласно теореме о среднем, в курсе математического
анализа, можно найти такое значение подынтегральной функции, которое она принимает внутри интервала
интегрирования, которым можно заменить подынтегральное выражение
Отрезок силовой линии РР' называется ортометрической высотой точки над уровнем моря (то есть
над геоидом). Итак
Чтобы вычислить ортометрическую высоту, необходимо знать не только приращение потенциала, но
и уметь вычислить среднее значение силы тяжести на отрезке силовой линии, а для этого необходимо знать
как меняется сила тяжести на этом отрезке внутри Земли. М.С.Молоденский предложил заменить
на
среднее значение нормально силы тяжести. Высоту, которую мы таким образом получим он назвал
нормальной. Такая замена неизбежно внесет погрешность, которая, впрочем, невелика. Согласно
определению, нормальная высота может быть определена по формуле
Поскольку ортометрическая высота есть высота точки над уровнем моря, то мало отличающаяся от
нее нормальная высота будет равна высоте точки от поверхности мало отличающейся от геоида.
Молоденский назвал эту поверхность квазигеоидом.
Отличие истинной (геодезической) высоты от нормальной уместно назвать аномалией высоты. Это
понятие также ввел Молоденский. Итак, аномалия высоты есть
Аномалия высоты есть расстояние квазигеоида от эллипсоида, или равна высоте почтигеоида.
Очевидно, что
. В классическом понимании, определить фигуру Земли -- это значит определить
высоты геоида N. Однако, мы не сделаем большой погрешности, если будем считать фигурой Земли -фигуру квазигеоида, а для этого мы должны определить аномалии высот.
Сведем задачу снова к краевой задаче для гармонических функций. Следовательно, аномалию
высоты нужно определить через возмущающий потенциал. Итак, имеем:
потенциал тяжести в точке Р равен
моря (точка );
, С -- приращение потенциала от уровня
нормальный потенциал в точке Р0, равный
.
Таким образом, точка Р не совпадает с точкой Р0, так как она подбирается так, чтобы приращение
потенциала реального и нормального были одинаковыми
Здесь постоянные
и
означают следующее: первая постоянная есть величина потенциала
тяжести на геоиде, а вторая -- величина нормального потенциала на уровенном эллипсоиде. Нетрудно
убедиться, что отрезок РР0 равен аномалии высоты . Следовательно
поэтому
.
С другой стороны
, поэтому
Отсюда следует
Мы получили вновь формулу Брунса, однако она отличается тем, что содержит дополнительный
член
, который в "классической" формуле отсутствует. В теории Стокса предполагается, что обе
эти постоянные равны: потенциал тяжести на уровне моря равен потенциалу уровенного эллипсоида.
Другое отличие: нормальная сила тяжести задается не на геоиде, а в некоторой точке Р0, отстоящей
от текущей токи на физической поверхности на величину, равную аномалии высоты. Геометрическое место
всех точек Р0 называется теллуроидом. Гравитационные аномалии, как и прежде, относятся к разным
точкам: наблюденное значение задано на физической поверхности, а нормальное -- на теллуроиде.
В литературе, посвященной исследованию гравитационных полей планет, встречаются и другие
определения понятия теллуроида, как поверхности аппроксимирующую форму Земли.
Теллуроид Марусси определяется следующим образом. Теллуроид -- геометрическое место точек, в
которых потенциал тяжести совпадает с нормальным
.
Теллуроид Крарупа (гравиметрический теллуроид) -- геометрическое место точек, в котором
нормальная сила тяжести совпадает с силой тяжести на поверхности Земли
.
Каждое из определений теллуроида требует своего подхода для определения его фигуры.
4.2 Современные способы определения элементов внешнего гравитационного поля Земли.
4.2.1 Модели геоида.
Модели геоида могут быть представлены в виде точечных значений, профилей или карт и могут
аппроксимироваться некоторой функцией. Спектральная информация о геоиде, содержащемся в модели,
имеет короткие, средние и длинные волны. Короткие волны, имеющие амплитуду порядка метра, не
превышают 100 км, средние, с амплитудой до 10 м, имеют ширину от 100 до 1000 км.
Модели геоидов различают по размеру охватываемой ими территории и по методам получения их
характеристик. Астрономо-геодезические геоиды строятся по уклонениям отвесной линии u и ее азимуту v:
  u cos v,   u sin v, u   2   2
.
Уклонения отвеса в плоскости меридиана  и в плоскости первого вертикала  получаютсяиз
сравнения геодезических и астрономических координат:
    B,   (  L) cos B .
Геодезические координаты можно находить из спутниковых наблюдений, или из наземных
измерений (триангуляция, полигонометрия). Астрономические координаты определяют по наблюдениям
звезд методами геодезической астрономии.
Наклон геоида  в исследуемой точке в направлении с азимутом А вычисляется по формуле:
   cos A   sin A ,
приращение геоида по высоте определяется как
d   ds ,
а передача высоты геоида от пункта А к пункту В происходит в соответствии с соотношением:
B
 B   A    ds .
A
В гравиметрическом методе высота геоида в точке А вычисляется по известной
формуле Стокса:
R
A 
f ( ) g d ,
4 
в которой  - угол между геоцентрическими радиусами точки А и элемента площади, d, g –
гравитационная аномалия для элемента поверхности, f() – функция Стокса. Аномалия ускорения силы
тяжести вычисляется как разность измеренного значения ускорения с редукцией в свободном воздухе минус
нормальное значение силы тяжести на эллипсоиде. Интегрирование по формуле (11.134) нужно вести на
эллипсоиде по всему земному шару. Вклад далеких зон быстро убывает с увеличением углового расстояния
 и становится мал при >30.
В астрономо-гравиметрических геоидах превышения геоида получаются гравиметрическим методом,
но корректируются по астрономо-геодезическим данным на опорных пунктах. Спутниковые геоиды
строятся на основе анализа возмущений в орбитах. В геометрических геоидах высоты геоида над
эллипсоидом определяются из сравнения отметок пунктов, полученных из нивелирования, и геодезических
высот, определенных, как и в астрономо-геодезическом методе, по спутниковым измерениям или
классическими методами геодезии.
По размеру покрываемой территории (репрезентативности) различают три типа моделей геоидов:
планетарные (глобальные), региональные и локальные.
4.2.2 Использование глобальных геоидов. В последнее время в качестве планетарных геоидов
наибольшее распространение получили модели, представляющие собой набор полностью нормированных
коэффициентов Cnm, Snm разложения потенциала силы тяжести по сферическим функциям. Высота геоида  в
точке со сферическими координатами r, ,  может быть вычислена по формуле:
GM

r
 nmax n  a  n

1      Pnm (sin  )(C nm cos m  S nm sin m ) ,
 n2 m0  r 

где r ,  ,  - сферические координаты точки во внешнем гравитационном поле, a- большая полуось
эллипсоида, Cnm ,S nm - нормализованные гармонические коэффициенты, Pnm (sin  ) - нормализованные
присоединенные функции Лежандра, связанные с ненормализованными присоединенными функциями
Лежандра:
1/ 2
 (n  m)!(2n  1)k 
Pnm (sin  )  
 Pnm (sin  ) ,
(n  m)!


которые выражаются через полиномы Лежандра Pn (sin  ) степени n:
Pnm (sin  )  (cos ) m
Pn (sin  ) 
dm
d (sin  ) m
1
[ Pn (sin  )] ,
dn
2 n! d (sin  )
n
Нормализованные гармонические коэффициенты
коэффициентами:
n
(sin 2   1) n .
Cnm ,S nm связаны с
ненормализованными
1/ 2
Cnm  
 Cnm 
(n  m)!


.
 
 S nm   (n  m)!(2n  1)k   S nm 
Множитель k в формулах (2.37) и (2.40) равен 1 при m  0 и равен 2 при m  1 .
Ускорение силы тяжести
 определяется по формуле Сомильяна (Somigliana):

a e cos 2 B  b p sin 2 B
(a 2 cos 2 B  b sin 2 B)1/ 2
где a и b - большая и малая полуоси эллипсоида, а
,
e
и
p
- соответственно ускорения силы
тяжести на экваторе и на полюсе. С числовыми значениями формула приводится к виду:

978032 .67714 (1  0.0019318513 8639 sin 2 B)
(1  0.0066943799 9013 sin B)
2
1/ 2
10 5 (мгал).
Реализации общеземных систем координат сопровождаются выводом параметров разложения
потенциала тяготения и высот геоида над эллипсоидом, соответствующим данной системе координат.
Модели с разложением до 36 степени и порядка обычно получают из анализа возмущений орбит спутников
с применением динамического метода космической геодезии. Величины  получаются сглаженными,
ошибки определения высот по глобальным моделям относительно велики и могут достигать нескольких
метров. Одна из причин этого явления заключается в медленной сходимости ряда (2.41) и невозможности
отображения локальных особенностей геоида современными методами разложений. Например, при
разложении до 36 степени и до такого же порядка разрешающая способность аппроксимации высот геоида
эквивалентна половине длины волны с расстоянием около 500 км. Известны более точные модели
планетарных геоидов с разложениями до 180, 360 порядков. При их построении используются не только
спутниковые данные, но и результаты гравиметрических измерений. Разложение до 180 степени и до такого
же порядка обеспечивает разрешение 11 с учетом волн геоида до 1-2 м. В хорошо изученных районах с
плавным рельефом существующие глобальные модели позволяют достичь точности определения высот
геоида порядка 0.6-1.0 м. [Галазин и др., 1998; DMA, 1991].
4.2.3 Глобальная модель геоида EGM2008
На сайте национального агентства геопространственных исследований Министерства обороны США
(National Geospatial-Intelligence Agency – NGA) опубликованы результаты работы группы разработки EGM –
новая гравитационная модель земли (EGM2008) степени 2160 [1]. Основные разработчики N.K. Pavlis1, S.A.
Holmes2, S.C. Kenyon3, J.K. Factor4 представили конечную итерацию модельного подхода, результат
разработки и анализа нескольких последовательно созданных предварительных гравитационных
моделей (PGM) все лучшего и лучшего представления. Из этих моделей модель PGM2007A была
высоко оценена международной рабочей группой, спонсором которой является международная ассоциация
геодезии (IAG).
Модель EGM2008 включает в себя детальные гравитационные аномалии в разрешении 5x5 минут и
использует преимущества новейших спутниковых решений на базе GRACE, содержит улучшенные,
полученные из альтиметрии, аномалии силы тяжести, рассчитанные при использовании PGM2007B (вариант
PGM2007A), и модели динамической топографии океана (DOT).
Опубликованные материалы содержат собственно модель EGM2008 в виде коэффициентов
сферических гармоник и вычисленные аномалии высот геоида с разрешением 1'x1' и 2,5’x2,5’, программы
интерполяции и вырезки участков и тексты программ на языке FORTRAN. Приведена дополнительная
информация в виде статей и презентаций.
В модели используются следующие константы, связывающие референц-эллипсоид и нормальное
гравитационное поле:
− a=6378137.00 m (большая полуось эллипсоида WGS 84);
− f=1/298.257223563 (сжатие эллипсоида WGS 84);
− GM=3.986004418 x 1014 m3s-2 (геоцентрическая гравитационная постоянная);
− ω=7292115 x 10-11 radians/sec (угловая скорость вращения Земли).
В целом закон распределения разностей близок к нормальному, о чем свидетельствуют результаты
статистического анализа распределения, соответствующего разностям высот:
− систематическое смещение модели EGM2008 относительно результатов спутниковых определений
и геометрического нивелирования, вызванное разницей отсчетных высот,
разностью поверхностей геоида и квазигеоида, составляет +5,0 см при σ =5,3 см. − значения
асимметрии и эксцесса разностей высот равны -0,426 и -0,168, что не превышает их критических значений
(0,539 и 0,359 соответственно) при 95-процентном уровне значимости.
Исследования показывают:
1. Модель EGM2008 существенно точнее модели EGM96, и ее можно рекомендовать для замены
модели EGM96 в тех работах, в которых модель EGM96 использовалась.
2. Повышение точности модели геоида расширяет спектр работ, в которых трудоемкое наземное
геометрическое и тригонометрическое нивелирование можно не выполнять или выполнять как контрольное,
ограничившись спутниковыми измерениями (например, геодезическое обеспечение геофизических методов
геологоразведки, топографические работы в средних и мелких масштабах).
3. Вместе с тем выполненная предварительная оценка показывает необходимость более углубленного
исследования модели с привлечением дополнительной информации – полной совместно уравненной
высотной составляющей СГС республики и точностных характеристик спутниковых измерений, данных
гравиметрии, большего объема информации, покрывающей всю территорию республики, и большей
плотности данных. Кроме того, для этой работы,
очевидно, необходимо привлечь данные сопредельных государств. Конечной целью такого
исследования должна являться региональная модель геоида Республики Беларусь точности 2-3 см, основой
которой и может служить модель EGM2008.
4.2.4 Региональные и локальные модели геоида
В региональных моделях высоты геоида представляются в виде значений, заданных в узлах
регулярной сетки. Обычно такие модели создаются на основе гравиметрической информации и охватывают
территорию в несколько десятков градусов по широте и долготе с шагом сетки несколько минут. Для
определения высоты геоида по региональной модели в исследуемой точке достаточно выбрать значения в
ближайших к ней узлах сетки и выполнить интерполяцию. Примерами региональных моделей геоида
являются известные модели GEOID90, GEOID93, GEOID96, создаваемые Национальной геодезической
службой США для территории страны и соседних с ней областей [Leick 1995; Milbert 1992].
Под локальной моделью высот геоида понимается совокупность значений высот, вычисленных в
результате сопоставления эллипсоидальных высот H с нормальными H на пунктах спутниковой сети:
  H  H
В эти высоты геоида полностью входит ошибки эллипсоидальной высоты начального пункта GPSсети, которая может достигать нескольких десятков метров. При правильной передаче координат по
пунктам сети эта ошибка будет на всех точках постоянной, а превышения высот геоида

 AB  H AB  H AB
будут иметь высокую точность, что позволяет использовать полученные таким
образом данные для изучения фигуры Земли.
В геометрическом методе при наличии четырех и более опорных пунктов с известными
нормальными (из нивелирования) и эллипсоидальными (по GPS-наблюдениям) высотами образуются
разности вида (11.135), для каждой из них может быть составлено выражение вида:
 A ( x, y)  Ax  By  Cxy  D
где x, y – плоские прямоугольные координаты опорных точек в местной системе, A, B, C, D –
коэффициенты, определяемые по разностям высот на опорных точках. После определения этих
коэффициентов можно вычислить высоту геоида для определяемого пункта по его координатам и перейти к
нормальной высоте.
Выражения вида (11.136) называют интерполянтами. Вместо плоских координат x, y можно
использовать геодезические координаты B, L. При большем числе опорных пунктов применяются более
сложные аппроксимирующие выражения, учитывающие не только наклоны геоида, но и его кривизну.
Точность метода определяется плотностью опорных пунктов, степенью аномальности гравитационного поля
и видом интерполянта. Достоинством метода является его слабая чувствительность к ошибкам координат
начального пункта сети. При расстояниях между опорными пунктами 15 – 20 км в районах средней
аномальности ошибка составляет 15 –20 см, в районах повышенной аномальности – 40 – 60 см [Непоклонов
и др., 1996].
Кроме непосредственных значений высот, локальная модель должна включать плановые координаты
пунктов и ковариационную матрицу ошибок высот. Плановые координаты получают из первичной
обработки спутниковых измерений, или из свободного (минимально ограниченного) уравнивания сети.
Ковариационная матрица ошибок формируется из ковариационных матриц измерений высот Н и Н.
Для вычисления в исследуемой точке высоты геоида по локальной модели необходим более сложный
аппарат интерполяции, чем для обслуживания региональных моделей, так как высокая точность модельных
высот не соответствует плотности сети. При этом в качестве дополнительной информации может быть
использована автоковариационная функция высот геоида. В связи с этим различают коррелированные и
некоррелированные модели геоидов.
При использовании региональной и локальной моделей геоида одной из проблем является оценка
точности нормальной высоты. Ошибки модели могут быть в базе данных, в алгоритме интерполяции, или в
ошибочных данных, как и локальные высоты геоида внутри ячейки сетки могут не отражаться в модели.
Очевидно, чем ближе две точки одна к другой, тем более вероятно, что ошибки в их геоидальных высотах
более коррелированны. Две точки, которые совсем близко одна от другой (скажем, в 1 м), будут иметь
коэффициент корреляции 1.0, означающий, что ошибки в их геоидальных высотах совершенно
коррелированны. Так же очевидно, что с увеличением расстояния на некотором удалении ошибки в их
геоидальных высотах перестанут быть коррелированными, то есть коэффициент корреляции станет равным
0. Это максимальное расстояние называется радиусом корреляции, и обозначается rC .
При моделировании коротковолновых ошибок в модели регионального геоида величина радиуса
корреляции будет теоретически зависеть от промежутков в ячейках сетки в базе данных. Радиус корреляции
может назначаться пользователем, но по умолчанию он должен устанавливаться равным диагонали между
углами сетки. По этому умолчанию все высоты геоида в сети будут иметь корреляции между их ошибками,
хотя на точках в противоположных сторонах сетки коэффициент корреляции приближается к нулю.
Слишком малый радиус корреляции будет ослаблять корреляцию модели, а большой радиус корреляции
может приводить к сингулярной ковариационной матрице. Когда же контрольные точки отстоят дальше,
чем теоретический радиус корреляции, это не соответствует корреляциям модели в ошибках высот геоида.
Для пары высот геоида с коррелированными ошибками необходимо определить математическую
функцию для вычисления коэффициента корреляции между ними с использованием в качестве аргумента
радиуса корреляции и расстояния от точки до точки. Эта функция называется автокорреляционной
функцией АКФ. Один из видов АКФ определяется следующим образом:
C A B 

A B
 
A
 1.0 
B
D AB
.
rC
В этом выражении C  A B представляет коэффициент корреляции между ошибками в геоиде на точках
А, В, а D – расстояние между точками А, В. Другие члены АКФ могут быть приняты для моделирования
поправок в модель геоида. Приведенная здесь АКФ производит простую линейную интерполяцию, как
консервативная стратегия, которая не накладывает предположений о преобладающем источнике ошибок в
модели геоида. Коэффициент корреляции, который всегда будет между 0 и 1, здесь выражается
отношением расстояния между двумя точками и радиуса корреляции.
Прежде чем масштабировать дисперсией модели геоида
 2 , коэффициенты корреляции задают для
недиагональных элементов кофакторной матрицы Q высот геоида, диагональные члены которой
устанавливаются равными 1. В результате масштабирования получается ковариационная матрица
наблюденных высот геоида .
 1
Σ  A B   2 Q    2 
C A B
C A B 
.
1 
По мере накопления информации о геоиде на некоторую территорию в виде локальных моделей они
могут по желанию пользователя объединяться в одну региональную модель. В отличие от локальной модели
хранить полную ковариационную матрицу всех ошибок геоида региональной модели не представляется
возможным. Поэтому такое объединение целесообразно лишь при достижении некоторой однородной
плотности пунктов локальных моделей, позволяющей интерполировать высоты без существенной потери
точности [TRIMNET, 1991].
4.3 Способы определения аномалий высоты, отклонений отвеса, астрономических координат и
азимутов с помощью спутниковых средств измерений и математической модели квазигеоида.
Определение нормальных высот по спутниковым наблюдениям. Передача от начального пункта сети
приращений декартовых координат X, Y, Z, полученных из обработки GPS-наблюдений базовых линий,
позволяет найти координаты всех остальных пунктов в единой системе как в форме прямоугольных
координат X, Y, Z, так и в форме геодезических координат B, L, H в системе осей общеземного эллипсоида.
Геодезистам и инженерам обычно нужны высоты от уровня моря, в принятой в России Балтийской системе
нормальных высот БСВ-77. Связь этих высот с геодезическими высотами в некоторой точке описывается
известным соотношением:
H   H  ,
(11.128)
где H - нормальная высота пункта (над поверхностью квазигеоида), а  - высота квазигеоида над
эллипсоидом. Предполагается, что высоты H и H в уравнении (11.128) действительно имеют
геометрическую связь через высоту квазигеоида , то есть имеют общую систему координат. Если,
например, в сети, построенной по спутниковым наблюдениям, геодезические координаты начального
пункта были приняты с некоторыми ошибками в системе WGS-84, то высоты всех точек будут иметь
дополнительные ошибки. Поэтому в уравнении (11.128) должны появиться члены, вызванные
негеоцентричностью локальной системы. Аналогично, если высота  относится, например, к геоиду WGS84, то в уравнении (11.128) нельзя использовать высоту Н над эллипсоидом Красовского в системе СК-95
(или СК-42). В дальнейшем мы не будем акцентировать внимание на различии в терминах геоид и
квазигеоид, полагая, что методика определения этих поверхностей во многом аналогична. Заметим, что на
симпозиуме EUREF в Анкаре в мае 1996 г. была принята резолюция № 2 о переходе к системе нормальных
высот для Европы (http://www.euref-iag.net/html/resolutions.html), однако многие геодезисты продолжают
использовать геоид Гаусса-Листинга как основную отсчетную поверхность [Бурша, Юркина, 2005].
Поверхность геоида имеет сложную, неправильную форму. Это связано как с рельефом местности,
так и с неравномерным распределением плотности земных пород. Отступления геоида от эллипсоида
колеблются от -100 м до +75 м. Для геодезических измерений необходимо иметь модель геоида с точностью
эллипсоидальной высоты, только тогда точность H будет соответствовать точности H. В абсолютном
методе GPS по кодовым псевдодальностям эллипсоидальная высота в лучшем случае пока может
определяться на метровом уровне точности. Относительные и дифференциальные фазовые методы дают
приращение эллипсоидальных высот между двумя точками с точностью сантиметрового уровня, поэтому
требования к точности геоида здесь значительно выше, хотя при этом достаточно знать приращения в
высотах геоида между пунктами .

4.4 Построение математической модели локального квазигеоида
4.4.1 Постановка задачи и проблемы, возникающие при ее решении
Задача построения математической модели локального квазигеоида формулируется
следующим образом.
Для локальной области известны координаты узловых точек спутниковой и
наземной геодезических сетей в исходной и в штриховой системах отсчета:
(B,L,H)i - эллипсоидальные геодезические координаты относительно исходного
эллипсоида с параметрами a,e;
(x,y)i' или (B,L)i' - плоские прямоугольные или эллипсоидальные координаты
относительно штрихового эллипсоида с параметрами а',е';
Hi - нормальные высоты, определенные из геометрического нивелирования;
ковариационные матрицы геодезических и нормальных высот KH, KH.
В качестве дополнительной исходной информации могут быть использованы
результаты астрономических и гравиметрических измерений.
С этими исходными данными следует решить следующие задачи:
подобрать математическую модель локального квазигеоида, наилучшим образом его
аппроксимирующую;
найти параметры этой модели и их ковариационную матрицу;
получить первые производные аналитической записи модели и их ковариационную
матрицу.
Кроме того, следует разработать методику, позволяющую использовать модель и ее
параметры для предвычисления в заданных точках локальной области по координатам
(B,L,H) следующих величин:
нормальных высот H,
астрономических широт и долгот  
астрономических азимутов ,
а также получить ковариационные матрицы вычисленных координат.
Математическая модель локального квазигеоида представляет из себя функцию,
аппроксимирующую высоты квазигеоида на заданной области. В основу ее построения
положено геометрическое соотношение между высотой квазигеоида, нормальной Н и
геодезической Н высотами:


 =НН .
Первая проблема построения математической модели квазигеоида состоит в учете
систематических сдвигов H, H, описанных в п.1.3.3. Если эти сдвиги не учитывать,
то результатом будет модель локального квазигеоида относительно локального WGSэллипсоида.
Вторая проблема построения математической модели локального квазигеоида
заключается в том, что ее аналитическая запись априори неизвестна и должна
определяться опытным путем.
Третья проблема состоит в оценке адекватности математической модели
квазигеоида.
4.4.2 Получение нормальных высот с помощью GPS-измерений
и
математической модели локального квазигеоида
Математическая модель локальной фигуры квазигеоида W с параметрами a позволяет на локальной
области в любой точке с координатами (B i,Li,Hi) найти высоту квазигеоида над эллипсоидом i =
W(a,B0,L0,Bi,Li) и получить нормальную высоту этой точки Hi = Hi  i.
Ковариационная матрица нормальных высот KH есть сумма ковариационнх матриц геодезических
высот KH и высот квазигеоида K:
KH = KH + K,
где компоненты матрицы Kесть функции от параметров математической модели локального
квазигеоида.
Здесь следует отметить, что по определению нормальная высота отсчитывается по направлению
нормали к эллипсоиду, и разным эллипсоидам соответствуют разные нормальные высоты одной и той же
точки на физической поверхности Земли. Но эта разность пренебрегаемо мала. Так, при относительном
наклоне эллипсоидов около 2 разность нормальных высот составляет величину 5H10-11.
Для корректного использования модели локального квазигеоида должно соблюдаться следующее
условие: геодезические координаты точек, в которых вычисляются нормальные высоты, и геодезические
координаты узловых точек, по которым выполнялось построение модели, должны быть в единой системе
координат. Тогда систематические сдвиги по высоте H,  не будут оказывать влияние на получаемые
нормальные высоты.
Если построена адекватная модель локального квазигеоида и условие единой системы координат
выполнено, то можно ожидать, что нормальные высоты будут вычисляться с погрешностью mH  max(2mH,
2m), где mH, m погрешности спутниковых геодезических высот и высот квазигеоида. Поскольку
погрешность вычисления высот квазигеоида зависит от удаления от начальной точки, то данное свойство
распространяется и на вычисленные нормальные высоты.
При использовании модели локального квазигеоида необходимо задавать геодезические высоты
пунктов с погрешностью mH, удовлетворяющей условию:
mHGPS  mH  mH
где mHGPS  погрешность спутниковых измерений геодезических высот,
mH  заданная погрешность вычисления нормальных высот, mH mHGPS.
При вычислении нормальных высот плановые координаты B,L можно задавать с меньшей точностью,
чем геодезические высоты. Величина допустимой погрешности плановых координат mBL зависит от наклона
квазигеоида к эллипсоиду в данной точке
mBLGPS  mBLmH
где mBLGPS  погрешность плановых координат, полученных по GPS- измерениям.
Если 4, то при использовании математической модели локального квазигеоида плановые
координаты точки достаточно знать с погрешностью не более 250 м, чтобы обеспечить получение
нормальной высоты с погрешностью mH5 мм.
4.4.3 Определение уклонений отвесной линии, астрономических
координат и азимутов с использованием математической модели
локального квазигеоида
Как отмечалось в п.1.3.3, геометрические уклонения отвесной линии в i-ой точке на поверхности
Земли в плоскостях меридианаi и первого вертикала i определяются путем дифференцирования высоты
геоида. Если имеется математическая модель локального квазигеоида (153), то аналитические выражения
для составляющих уклонений отвеса, полученные дифференцированием (153) по B, L имеют следующий
вид [77] :
n n

   a lm  l  (Bi  B0 ) l 1  (L i  L 0 ) m + i ,
M i  H i l 1m  0
n n



i  
   a lm  m  (Bi  B0 ) l  (L i  L 0 ) m 1 + i .
( N i  H i ) cos Bi l  0m 1
i  
(165
)
Поправки  и в формуле (165) есть наклоны квазигеоида относительно геоида в
соответствующих плоскостях и обусловлены разницей высот геоида и квазигеоида. По
оценкам [105],  может достигать максимального значения порядка 2 м на высокогорных
плато при высотах порядка 5 км; в большинстве случаев разница составляет порядок
несколько сантиметров. Поправки  и  зависят от изменения на локальной области
ее производной). Если изменение разности высот квазигеоида и геоида на 20 км
составляет 1 мм, то поправки в уклонения отвесной линии будут порядка
 0,01
Ковариационная матрица уклонений отвесной линии как функций от параметров
математической модели локального квазигеоида есть
K 
 BТ ,
  = BK x
где K x ковариационная матрица оценок параметров модели квазигеоида,
B матрица коэффициентов при параметрах alm в формулах (165).
С найденными уклонениями отвесной линии можно определить астрономические
координаты  и , а также астрономический азимут  по известным формулам:
=B+,
=L+/cosB,
=A + (L)sin (cosA sinA)ctgZ,
(166)
где А, Z  геодезические азимут и зенитное расстояние измеряемого направления.
Если считать, что геодезические координаты B,L и уклонения отвесной линии ,
получаются независимо друг от друга, то ковариационные матрицы предвычисленных по
формулам (166) астрономических координат K, K и азимута K есть
K=KB + K,
K=KL+K/cos2B,
K= KA+( K + KL)sin2B
где KB, KL, KA  ковариационные матрицы геодезических координат и азимута.
Априорная точность определения уклонений отвесной линии, астрономических
координат и азимутов зависит от точности построения модели локального квазигеоида и,
как следствие, от расстояния до начальной точки. Что касается точности определения
астрономической вертикали спутниковым методом по сравнению с традиционными
методами, то она зависит от следующих факторов:
- точности привязки локальной GPS-сети к общеземной системе координат;
- точности относительных GPS-измерений;
- адекватности модели локального квазигеоида;
- точности получения уклонений отвесной линии традиционными методами.
Поскольку уклонения отвесной линии не зависят от сдвига по высоте, то локальные сдвиги систем
высотH, H, , перечисленные в п.1.3.3, не будут оказывать влияние на значения уклонений отвесной
линии. Это свойство можно использовать при объединении локальных моделей квазигеоида.
Точность вычисления астрономических широт, долгот и азимутов с использованием
математической модели локального квазигеоида определяется, главным образом,
точностью и плотностью данных нивелирования. Потенциально она должна быть выше
точности астрооптических средств наблюдений [8].
Технология определения астрономических координат и азимутов с помощью GPS-измерений и
модели локального квазигеоида подобна технологии вычисления нормальных высот, описанной выше.
Исходными данными для получения уклонений отвесной линии в текущей точке с координатами (B i,Li,Hi)
служат математическая запись модели, значения ее параметров и их ковариационная матрица, координаты
начальной точки (B0,L0). При использовании модели локального квазигеоида должно соблюдаться условие
единства систем координат узловых и текущих точек, сформулированное в п.4.3.1.
Для пересчета уклонений отвесной линии в другую систему координат следует
воспользоваться формулами связи, выведенными в п.2.1.4:
'- B' +xН,

'=(-L')cos B' yН,
или
'+(B- B') + xН ,
'=+(L-L')cosB' yН
При этом требуется знать параметры трансформирования xН,yН - проекции вектора относительного
наклона эллипсоида на оси горизонтальной системы координат текущей точки.
Процедура вычисления уклонений отвесной линии, астрономических координат и азимутов с
использованием модели локального квазигеоида включена в комплект компьютерных программ по
преобразованию координат.
5. Принципы взаимного трансформирования результатов
координатных определений,
получаемых с помощью спутниковых и традиционных средств измерений (3 часа)
Понятие «система координат (reference system)» и «координатная основа (reference frame)». Земные
системы координат: мгновенные и средние, общеземные и референцные, прямоугольные, эллипсоидальные
(геодезические) и плоские прямоугольные (проекция
Гаусса-Крюгера, универсальная поперечная проекция Меркатора). Земные координатные основы
(ITRF, WGS-84, ПЗ-90, СК-42, СК-95, NAD-27, NAD-83, БСВ-77).
Принципы взаимного трансформирования результатов координатных определений, получаемых с
помощью спутниковых и традиционных средств измерений. Преобразование координат (модели Г.
Гельмерта, М.С. Молоденского и их разновидности).
Определение параметров математической модели локального квазигеоида и включение ее в состав
модели трансформирования координат. Декомпозиция задачи трансформирования координат. Проблема
определения сдвига системы координат по направлению нормали к земному эллипсоиду. Теоретически
некорректная интерпретация масштабного параметра трансформирования СГС в ГКО.
Уравнивание локальных спутниковых геодезических сетей (СГС), построенных относительным
методом координатных определений. Свободное уравнивание, разновидности минимально-ограниченного
уравнивания, ограниченное уравнивание, ограниченное уравнивание с одновременным оцениванием
параметров трансформирования. Характерные особенности (в отношении систематических искажений
координат наземных пунктов) различных способов уравнивания СГС и привязки их к государственной
координатной основе.
5. Системы отсчета координат и времени
5.1. Общеземные системы отсчета
Система координат ПЗ-90. Параметры Земли 1990 года ПЗ-90 были определены Топографической
службой Вооруженных сил Российской Федерации. Параметры ПЗ-90 включают:
- фундаментальные астрономическими и геодезические постоянные,
- характеристики координатной основы (параметры земного эллипсоида, координаты пунктов,
закрепляющих систему, параметры связи с другими системами координат),
- планетарные модели нормальных и аномальных гравитационных полей Земли, локальные
характеристики гравитационных полей (высоты геоида над общим земным эллипсоидом и аномалии силы
тяжести).
Входящая в состав ПЗ-90 система координат иногда называется СГС-90 – (Спутниковая
геоцентрическая система 1990 г.) [Национальный отчет 1993]. Параметры Земли ПЗ-90 заменили
предыдущие наборы ПЗ-77 и ПЗ-85. Параметры Земли ПЗ-90 получены по результатам почти 30 миллионов
фотографических, радиодальномерных, доплеровских, лазерных и альтиметрических измерений спутника
Гео-ИК с привлечением радиотехнических и лазерных измерений дальностей до спутников систем
ГЛОНАСС и «Эталон» [Основные положения 1997; Галазин и др. 1998; Базлов 1996].
Начало системы расположено в центре масс Земли. Ось Z направлена к среднему северному полюсу
на среднюю эпоху 1900-1905 г.г. (МУН). Ось X лежит в плоскости земного экватора эпохи 1900-1905 г.г., и
плоскость (XOZ) определяет положение нульпункта принятой системы счета долгот. Ось Y дополняет
систему координат до правой. Геодезические координаты В, L, H относятся к общему земному эллипсоиду с
большой полуосью а и сжатием  (табл.1). Ось вращения (малая полуось) совпадает с осью Z, плоскость
начального меридиана (L=0) совпадает с плоскостью (XOZ).
Спутниковая геоцентрическая система координат закреплена на территории СНГ координатами 30
опорных пунктов космической геодезической сети со средними расстояниями 1-3 тысячи километров.
Точность взаимного расположения пунктов характеризуется ошибками в 10, 20 и 30 см для расстояний
соответственно в 100, 1000 и 10000 км. Ошибки привязки СГС-90 к геоцентру по абсолютной величине не
превышают 1.5 м. Планетарные модели гравитационного поля Земли получены в виде разложений в ряд по
сферическим функциям до 36 и 200 степени и порядка систем точечных масс (32000 параметров). Средняя
квадратическая ошибка высоты геоида над эллипсоидом равна 1.5 м, что не уступает зарубежным моделям,
а на территории СНГ превосходит их по точности. Для системы ПЗ-90 получены параметры связи с
системами СК-42 и WGS-84 (табл. 1.3).
Cистема WGS-84. Мировая геодезическая система WGS-84 (World Geodetic System - 84) была
разработана Военно-картографическим агентством Министерства обороны США [DMA 1991]. Система
WGS-84 реализована путем модификации координатной системы NSWC-9Z-2, путем приведения ее в
соответствие с данными Международного Бюро Времени (МБВ). Для этого система NSWC-9Z-2 была
сдвинута на -4.5 м по оси Z, повернута к западу на 0.814”, и масштабирована на - 0.6·10-6.
Начало системы WGS-84 находится в центре масс Земли, ось Z направлена к Условному земному
полюсу (УЗП), установленного МБВ на эпоху 1984.0. Ось X находится на пересечении плоскости опорного
меридиана WGS-84 и плоскости экватора УЗП. Опорный меридиан является начальным (нулевым)
меридианом, определенным МБВ на эпоху 1984.0. Ось Y дополняет систему до правой, т.е. под углом 90о на
восток. Начало координатной системы WGS-84 и ее оси также служат геометрическим центром и осями
референц-эллипсоида WGS-84. Этот эллипсоид является эллипсоидом вращения. Его параметры почти
идентичны параметрам международного эллипсоида GRS80.
Величина гравитационной постоянной для атмосферы Земли принята
Международной ассоциации геодезии (МАГ). В дополнение к параметрам J 2 и
вариации из-за приливных деформаций Земли:
коэффициенте величине C 20
J 2 =
по
C 20
рекомендациям
приводятся их
9.3·10-9, что соответствует в нормированном
= -4.1610-9.
Система WGS-84 используется как система для бортовых эфемерид спутников GPS с 23 января 1987
г., заменив собою WGS-72. Обе системы были получены на основе доплеровских измерений спутников
TRANSIT. Носителями системы были пять станций Контрольного сегмента GPS. Точность привязки
начальной реализации системы WGS-84 к геоцентру не хуже, чем 1 м [DMA 1991].
С середины 90-х сеть станций WGS-84 значительно выросла. В 1994 г. Министерство обороны США
ввело реализацию WGS-84, которая полностью базировалась на GPS измерениях, а не на доплеровских
измерениях. Эта новая реализация известна как WGS-84(G730), где буква G стоит для обозначения GPS, а
730 обозначает номер недели (начиная с h UTC 2 января 1994 г.), когда Управление NIMA начало
представлять свои орбиты GPS в этой системе. Следующая реализация WGS-84, названная WGS-84(G873),
также полностью основывалась на GPS наблюдениях. Вновь буква G отражает этот факт, а “873” относится
к номеру недели GPS, начавшейся в 0h UTC 29 сентября 1996 г. Хотя NIMA начало вычисление орбит GPS в
этой системе с этой даты, сегмент Операционного контроля GPS не принимал WGS-84(G873) до 29 января
1997 г.
Начало, ориентировка и масштаб WGS-84(G873) определены относительно принятых координат для
15 станций слежения GPS: 5 из них поддерживаются ВВС, а 10 – NIMA (рис. 5.6 в главе 5). Система WGS84(G873) приближена к ITRF94 с субдециметровой точностью [Snay and Soler 1999-2000].
В 2001 г. Национальное управление по отображению и картированию (NIMA) совместно с
Дальгреновским дивизионом военно-морского центра надводных вооружений провело 15-суточный сеанс
наблюдений, в ходе которого провело привязку своей глобальной сети из 11 постоянных станций и шести
станций Контрольного сегмента, управляемых ВВС, к сети станций Международной GPS службы.
Координаты этих станций составили оперативную реализацию системы WGS-84, используемую МО США
для высокоточных геодезических работ (в том числе для определения орбит). Образованны улучшенные
оценки координат этих станций, привязанных к системе ITRF-2000, которые включены в оперативное
использование NIMA и ВВС в январе 2002 г. Стандартные отклонения по каждой координате станций
составляют около 1 см.
Полученному набору координат 17 станций было дано обозначение WGS84(G1150); он включает
также набор принятых скоростей тектонических движений для станций на эпоху 2001.0. Это обозначение
указывает, что координаты были получены через метод GPS и были применены для образования точных
GPS эфемерид NIMA, начиная с 1150 недели GPS [Merrigan et al. 2002] .
Практически отсчетная основа WGS-84(G1150) идентична отсчетной основе ITRF2000 (рис. 3.9).
Больше
информации
по
системе
WGS-84
можно
получить
через
Интернет:
http://164.214.2.59/GandG/tr8350_2.html.
Системы отсчета ITRS и отсчетные основы ITRF. Постоянно повышающаяся точность методов
космических наблюдений требует соответствующего повышения точности установления координатных
систем. Международная служба вращения Земли и референцных систем в «Conventions 1996» и
«Conventions 2000» выделяет теоретические системы, для которых дается концепция системы,
фундаментальная теория и стандарты, и практические реализации систем через наборы координат точек
(фидуциальных наземных пунктов, квазаров). Для систем первого вида применяются термины система
отсчета, референцная система (reference system). Системы второго вида называют отсчетной основой
(reference frame) [РТМ 68-14-01].
Земная отсчетная основа Terrestrial Reference Frame (TRF) –это набор физических точек с точно
определенными координатами в некоторой координатной системе (декартовой, эллипсоидальной,
картографической), связанной с земной референцной системой Terrestrial Reference System (TRS). Такие
земные отсчетные основы являются реализациями земных референцных систем. Эти концепции были
разработаны астрономами и геодезистами в конце 1980-х.
В настоящее время отсчетные основы ITRF являются наиболее точными реализациями общеземных
систем. Название ITRFyy расшифровывается как International Terrestrial Reference Frame - Международная
земная отсчетная основа, yy - две последние цифры года образования системы. Вывод ITRF основан на
объединении координат более чем 200 станций МСВЗ и их скоростей движения, полученных из
наблюдений такими средствами космической геодезии, как РСДБ, лазерная локация Луны и искусственных
спутников Земли, GPS (c 1991 г.), доплеровская орбитографическая радиопозиционная интегрированная
спутниковая система DORIS (с 1994 г.) и микроволновая спутниковая система PRARE [IERS 1996].
Системы ITRS удовлетворяют следующим требованиям:
- начало систем находится в центре масс всей Земли, включая океаны и атмосферу,
- единицей длины является метр (SI), определенный в локальной земной системе в смысле
релятивистской теории гравитации,
- ориентировка осей задается по данным МБВ на эпоху 1984.0,
- временная эволюция ориентировки осей такова, что она не имеет остаточной вращательной
скорости в плоскости горизонта по отношению к земной коре. Поле скорости координатных систем ITRF не
имеет вращения относительно геофизической модели движения тектонических плит. Для систем ITRF88 ITRF91 использовалась модель абсолютного движения AM0-2, для ITRF91 и ITRF92 - модель NNRNUVEL1, а начиная с ITRF93 используется модель NNR-NUVEL1А.
Вектор положения пункта R( t ) на поверхности твердой Земли в эпоху t в системе ITRS дается
уравнением:
R ( t )  R 0  V0 ( t  t 0 )    i R ( t ) ,
(3.46)
i
где R 0 - положение в эпоху t 0 , V0 - скорость в эпоху t 0 ,  i R( t ) - подлежащие
учету поправки за высокочастотные, преимущественно геофизические эффекты. К
ним относят:
- периодические лунно-солнечные приливы в твердой Земле, вызывающие
смещения до 0.5 м:
- деформации из-за океанических приливных нагрузок, которые могут
достигать десятков миллиметров для станций вблизи континентального шельфа;
- атмосферные нагрузки, являющиеся реакцией эластичной коры на
изменяющееся во времени распределение атмосферного давления. Последние
исследования показали, что этот эффект может иметь величину несколько
миллиметров в вертикальном смещении станции;
- постледниковая отдача, наблюдаемая преимущественно в северных
широтах как последствие ледникового периода. Влияние может доходить до
нескольких миллиметров в год по высоте;
- полюсный прилив, являющийся реакцией эластичной коры Земли на
смещения полюса вращения. При компонентах полярного движения порядка 10 м
максимальное смещение будет 10-20 мм.
Модели перечисленных поправок даются в [IERS 1996; IERS 2003; Teunissen
et al. 1998]. Другие поправки добавляются, если они больше 1 мм и их можно
вычислить в соответствии с некоторой моделью.
Скорости тектонических движений могут достигать 10 см/год. Если для
некоторой станции скорость в ITRF еще не определена из наблюдений, то вектор
скорости V0 должен определяться как сумма скоростей:
V0  Vplate  Vr ,
(3.47)
где V plate - горизонтальная скорость плиты, вычисляемая по модели движения тектонических плит
NNR NUVEL1A, а Vr - остаточная скорость. Вектор линейной скорости V plate получается по скоростям x,
y, z вращения плиты в декартовых координатах (табл. 3.2) в соответствии с принадлежностью пункта к
той или иной тектонической плите (рис. 3.8):
Vplate  10
6
 0

  z
  y

 z
0
x
y 

  x  R 0 .
(3.48)
0 
Другие отсчетные основы. Кроме реализуемых МСВЗ отсчетных основ ITRF известны другие,
задаваемые преимущественно теми же станциями, что и в ITRF, но расположенными на ограниченной
территории. К ним относится отсчетная основа EUREF (European Reference Frame), созданная и
поддерживаемая
Европейской
подкомиссией
Международной
ассоциации
геодезии
[http://www.epncb.oma.be]. Основная сеть из 93 фундаментальных пунктов была измерена через GPS в
течение мая 1989 г. Позднее она была расширена до 150 постоянно действующих станций GPS наблюдений.
Окончательно EUREF представляет собой единую систему на всю Европу, которая согласована с системами
WGS-84 и ITRF. Полученная система координат известна как ETRF-89 (или ETRS89), для многих целей
она может рассматриваться как реализация WGS-84 в Европе. Многие страны адаптируют пункты EUREF
как сеть «нулевого» класса, от которой они расширяют национальные сети [Botton et al. 1997;
http://www.epncb.oma.be].
В Южной Америке реализована подобная отсчетная основа SIRGAS (Sistema de Referência
Geocêntrico para as Américas), в Австралии – GDA94 (Geocentric Datum of Australia), в США и Канаде –
NAD83(CORS96) [Soler and Marshall 2003].
5.2. Референцные системы координат
Эти земные системы связаны с локальными референц-эллипсоидами. Центры референц-эллипсоидов
как правило не совпадают с центром масс Земли из-за ошибок ориентирования. Поэтому эти системы
иногда называют еще квазигеоцентрическими.
Основной плоскостью в референцной системе является плоскость экватора референц-эллипсоида.
Ось Z направлена по нормали к экватору, вдоль малой оси эллипсоида. Ось X направлена в плоскости
начального меридиана геодезической системы, то есть проходит через точку B=0, L=0. Ось Y дополняет две
предыдущие оси до правой (или левой) координатной системы. Возможно использование размеров и
формы одного и того же эллипсоида в различных координатных системах, отличающихся своей
ориентировкой (исходными геодезическими датами).
В референцных системах обычно применяются геодезические (сфероидические) координаты (рис.
3.6): геодезическая широта B, геодезическая долгота L и высота над эллипсоидом H.
Из-за наблюдательных ограничений, наложенных ранее условностями геодезии, исторически
оказались выполненными два разных типа геодезических систем:
- двухмерные континентальные плановые геодезические системы, закрепленные пунктами
геодезических сетей с координатами B r , Lr , например системы координат 1942 г. (СК-42),
североамериканская система NAD-27,
- полностью независимые континентальные высотные системы, являющиеся по существу
физическими геодезическими основами, независимыми от эллипсоида, и строящиеся на основании
уравнивания нивелирных наблюдений. К таким системам относится принятая в России Балтийская система
высот 1942 г. и принятая в США Национальная геодезическая система высот 1929 г. (National Geodetic
Vertical Datum, NGVD29). В этих системах высоты точек задаются относительно геоида (квазигеоида).
Глобальные систем высот пока не определены и не приняты, хотя исследования в этом направлении ведутся
[70].
ема
Таблица 3.3. Параметры некоторых локальных референц-эллипсоидов
Знаменатель
Сист
Эллипсоид
Большая
сжатия 1/ 
полуось a (м)
СК-42
Красовского,
6 378 245
298.3
Красовского,
6 378 245
298.3
NAD-
Кларка, 1886
6 378 206.4
NAD-
GRS80
6 378 136
298.257222101
ED-50
Хейфорда, 1924
6 378 388
297.0
1940
СК-95
1940
294.9786982
27
83
Принятая в США система NAD-83 представляет собой пример глобальной плановой координатной
системы, относящейся к эллипсоиду GRS-80. Хотя при установлении этой системы использовались данные
РСДБ и доплеровские наблюдения спутников, при уравнивании сети не были включены в качестве
неизвестных поправки к высотам точек над эллипсоидом, то есть NAD-83 - плановая система координат
[Snay, Soler 1999].
Континентальные плановые координатные системы, установленные по классическим геодезическим
измерениям, не являются геоцентрическими. Наблюденные значения широт и долгот, принятые уклонения
отвесных линий и ондуляции геоида в начальных точках сети (пункт Пулково для СК-42 или Meades Ranch в
Канзасе для NAD-27), а также выбранные параметры подходящих эллипсоидов влияют на сдвиги начала
системы по отношению к геоцентру. Использование упрощенного уравнения Лапласа и ошибки в
измеренных астроазимутах приводят к непараллельности осей локальной референцной и общеземной
систем. Различная методика измерений и обработки базисов и использование разных эталонов метра
приводит к расхождению в масштабах систем.
Системы СК-42 и СК-95
Система 1942 года (СК-42) является основной системой координат, принятой для использования в
России (и в бывшем Советском Союзе). После 1946 года, когда были приняты параметры нового
эллипсоида, более подходящего на территории нашей страны для обработки астрономо-геодезических
построений и картографирования, в России была установлена система исходных геодезических дат с
началом в пункте Пулково и поверхностью относимости в виде референц-эллипсоида Красовского. Работы
по выводу параметров нового референц-эллипсоида велись в течение 10 лет в ЦНИИГАиК под
руководством проф. Красовского Ф.Н. Впервые для вывода параметров эллипсоида были привлечены
гравиметрические данные как на территории СССР, так и на зарубежной территории. Данная система
получила название «Система 1942 года» (СК-42) [Макаренко и др. 2000].
По теоретическому определению начало системы координат 1942 года (СК-42) близко к центру масс
Земли, но не совпадает с ним примерно на 200 м. Ось Z42 параллельна оси Z общеземной системы, ось X42
определяется положением нульпункта принятой системы счета долгот, ось Y42 дополняет систему до
правой.
Центр референц-эллипсоида СК-42 совпадает с началом прямоугольной системы координат (X 42, Y42,
Z42), ось вращения совпадает с осью Z42, плоскость начального меридиана совпадает с плоскостью
(XOZ)42.
Линейные и угловые элементы ориентирования задают координаты центра референц-эллипсоида
Красовского и ориентировку осей системы 1942 г. в общеземной системе координат. Система была
реализована на территории страны системой 87 уравненных полигонов триангуляции 1-го класса,
полностью покрывавших Европейскую часть страны и распространявшихся на восток в виде узкой цепочки
полигонов. Сеть триангуляции уравнивалась отдельными блоками. На границе блоков результаты
предыдущего уравнивания принимались за безошибочные и таким образом координаты постепенно
передавались все далее на восток. В каркас полигонов 1-го класса вставлялась заполняющая сеть
триангуляции 2-го класса. Такой принцип построения сети привел к неизбежным деформациям сети.
В 1991 г. построенная на территорию страны астрономо-геодезическая сеть (АГС) из 164000 пунктов
была уравнена как единое целое. Результаты уравнивание подтвердили наличие значительных деформаций в
сети, достигавших на севере и на востоке 20 – 30 метров. Локальные деформации на границах блоков
иногда достигали 10 м. Точность взаимного положения пунктов в уравненной сети характеризуется
средними квадратическими ошибками в 6, 20, 60 и 200 см при расстояниях соответственно в 10, 100, 1000 и
10000 км.
Проведенное уравнивание АГС показало необходимость в новой системе с однородной точностью
координат по всей стране. Для повышения точности было решено использовать результаты высокоточных
спутниковых измерений на 26 пунктах Космической геодезической сети (КГС), построенной ВТУ, и 134
пунктах Доплеровской геодезической сети (ДГС), созданной Роскартографией. В качестве дополнительных
измерений в общее решение вошли геоцентрические расстояние геодезических пунктов, с использованием
гравиметрических высот квазигеоида. Результаты проведенного в 1995 г. совместного уравнивания стали
основой системы геодезических координат 1995 г. (СК-95).
Единая государственная система геодезических координат 1995 года получена в результате совместного
уравнивания трех самостоятельных, но связанных между собой, геодезических построений различных классов
точности: КГС, ДГС, по их состоянию на период 1991 - 93 годов.
Объем измерительной астрономо-геодезической информации, обработанной для введения системы
координат 1995 года, превышает на порядок соответствующий объем информации, использованной для
установления системы координат 1942 года (СК-42).
Космическая геодезическая сеть предназначена для задания геоцентрической системы координат,
доплеровская геодезическая сеть - для распространения геоцентрической
системы
координат,
астрономо-геодезическая сеть - для задания системы геодезических координат и до ведения системы
координат до потребителей.
В совместном уравнивании АГС представлена в виде пространственного построения. Высоты пунктов
АГС от носительно референц- эллипсоида Красовского определены как сумма их нормальных высот и высот
квазигеоида, полученных из астрономо- гравиметрического нивелирования.
В процессе нескольких приближений совместного уравнивания высоты квазигеоида для
территории отдаленных восточных регионов дополнительно уточнялись с учетом результатов уравнивания. С
целью контроля геоцеитричности системы координат в совместное уравнивание включены независимо
определенные геоцентрические радиус-векторы 35 пунктов КГС и ДГС, удаленных один от другого на расстояния
около 1000км, для которых высоты квазигеоида над общим земным эллипсоидом получены гравиметрическим
методом; а нормальные высоты - из нивелирования.
В результате совместного уравнивания КГС, ДГС, АГС и значений радиус-векторов пунктов построена
сеть из 134 опорных пунктов ГГС, покрывающая всю территорию при среднем расстоянии между смежными
пунктами 400...500 км.
Точность определения взаимного положения этих пунктов по каждой из трех, пространственных
координат характеризуется средними квадратическими ошибками 0,25...0,80 м при расстояниях от 500
до 9000 км.
Абсолютные ошибки отнесения положений пунктов к центру масс Земли не превышают 1 м по
каждой из трех осей пространственных координат.
Эти пункты использовались в качестве исходных при заключительном общем уравнивании АГС.
Точность
определения
взаимного планового положения пунктов, полученная в результате
заключительного уравнивания АГС по состоянию на 1995 год,
характеризуется средними
квадратическими ошибками: 0,02...0,04 м для смежных пунктов, 0,25...0,80 м при расстояниях от 1 до 9
тыс. км.
Между единой государственной системой геодезических координат 1995 года (СК-95) и единой
государственной геоцентрической системой координат “Параметры Земли 1990 года” (ПЗ-90) установлена
связь, определяемая параметрами взаимного перехода (элементами ориентирования). Направления координатных
осей Х,У,2 используемой геоцентрической системы координат определены координатами пунктов КГС; начало
координат этой системы установлено под условием совмещения с центром масс Земли.
За отсчетную поверхность в государственной геоцентрической системе координат (ПЗ-90) принят общий
земной эллипсоид со следующими геометрическими параметрами:
• большая полуось 6378 136 м;
• сжатие 1:298,257839.
Центр этого эллипсоида совмещен с началом геоцентрической системы координат; плоскость
начального (нулевого) меридиана совпадает с плоскостью ХZ этой системы.
Геометрические параметры общего земного эллипсоида приняты равными соответствующим
параметрам уровенного эллипсоида вращения. При этом за уровенный эллипсоид вращения принята
внешняя поверхность нормальной Земли, масса и угловая скорость вращения которой задаются равными
массе и угловой скорости вращения Земли.
Масса Земли М , включая массу ее атмосферы, умноженная на постоянную тяготения f, составляет
геоцентрическую гравитационную постоянную fМ = 39860044 х 107 м 3/с 2, угловая скорость вращения Земли w
принята равной 7292115 х1011 рад/с, гармонический коэффициент геопотенциала второй степени J2, определяющий
сжатие общего земного эллипсоида, принят равным 108263х108.
Система координат 1995 года установлена так, что ее оси параллельны осям геоцентрической
системы координат. Положение начала СК-95 задано таким образом, что значения координат пункта ГГС
Пулково в системах СК-95 и СК-42 совпадают.
Переход от геоцентрической системы координат к СК-95 выполняется по формулам:
X С К-95 = X ПЗ-90 - ДX 0
Y С К -95 = Y ПЗ-90 - ДY 0
Z С К -95 = Z ПЗ-90 - ДZ 0
где ДХ0, ДУ0, ДZ0 - линейные элементы ориентирования., задающие координаты начала системы координат
1995 года относительно геоцентрической системы координат ПЗ-90, составляют ДХо = +25,90 м; ДУ0 = -130,94 м, ДЖо =
-81,76 м.
За отсчетную поверхность в СК-95 принят эллипсоид Красовского с параметрами:
• большая полуось 6378 245 м;
• сжатие 1: 298,3.
Малая полуось эллипсоида совпадает с осью 7, остальные оси системы координат СК-95 лежат в его
экваториальной плоскости, при этом плоскость начального (нулевого) меридиана совпадает с плоскостью
ХЖ этой системы.
Положение пунктов ГГС в принятых системах задается следующими координатами:
• пространственными прямоугольными координата ми X, У, Z ;
• геодезическими (эллипсоидальными) координата ми В, L, Н;
• плоскими прямоугольными координатами х и у, вычисляемыми в проекции Гаусса-Крюгера.
При решении специальных задач могут применяться и другие проекции эллипсоида на плоскость.
Геодезические высоты пунктов ГГС определяют как сумму нормальной высоты и высоты
квазигеоида над отсчетным эллипсоидом или непосредственно методами космической геодезии, или путем
привязки к пунктам с известными геоцентрическими координатами.
Нормальные высоты пунктов ГГС определяются в Балтийской системе высот 1977 года, исходным
началом которой является нуль Кронштадтского футштока.
Карты высот квазигеоида над общим земным эллипсоидом и референц - эллипсоидом Красовского на
территории Российской Федерации издаются Федеральной службой геодезии и картографии России и
Топографической службой ВС РФ.
Масштаб ГТС задается Единым государственным
эталоном времени-частоты-длины. Длина метра
принимается в соответствии с резолюцией MAS Генеральной конференции по мерам к весам (октябрь 1983 г.) как
расстояние, проходимое светом в вакууме за 1:299 792 458-ую долю секунды.
В работах по развитию ГГС используются шкалы атомного ТА (813) и координированного UTC (SU)
времени, задаваемые существующей эталонной базой Российской Федерации, а 1-акже параметры вращения
Земли и поправки для перехода к международным шкалам времени, периодически публикуемые Госстандартом
России в специальных бюллетенях Государственной службы времени и частоты (ГСВЧ).
Астрономические широты и долготы, астрономические и геодезические азимуты, определяемые по
наблюдениям звезд, приводятся к системе фундаментального звездного каталога, к системе среднего полюса
и к системе астрономических долгот, принятых на эпоху уравнивания ГГС.
Метрологическое обеспечение геодезических работ осуществляется в соответствии с требованиями
государственной системы обеспечения единства измерений.
Типы средств измерений, применяемые при создании ГГС, включая импортируемые., должны быть
утверждены, а средства измерений при выпуске из производства, после ремонта и в процессе эксплуатации
должны проходить поверку в соответствии с Федеральным законом “Об обеспечении единства измерений” от
27.04.1993 №4871-1 (с изменениями).
5.3 Преобразование координат по методу Гельмерта и Молоденского
Геодезисту, занимающемуся спутниковыми технологиями, приходится сталкиваться
с двумя видами координатных преобразований:
 - использование опубликованных параметров преобразования,
 - преобразование через определение соответствующих параметров.
Иногда эти два вида преобразований называют соответственно глобальным и локальным
преобразованиями, и, соответственно, параметры преобразования называют глобальными (иногда
национальными, для отдельной страны) и локальными параметрами. В данном разделе будет рассмотрен
первый вид преобразований. Второй вид будет рассмотрен в главе 11 как один из методов уравнивания
спутниковых сетей с ограничениями.
Используемые в современных методах построения сетей преобразования координат и высот можно
свести в схему (рис. 2.12) [Rizos, 1999].
СК-2
Плановые координаты x2, y2
СК-1
Плановые координаты x1, y1
и нормальные высоты H 2
и нормальные высоты H1
1
Плановые координаты x2, y2
и геодезические высоты H2
Плановые координаты x1, y1
и геодезические высоты H1
Геодезические
координаты B1, L1, H1
a1, 1
Прямоугольные
координаты X1, Y1, Z1
2
H  H  
Метод
Молоденского
a, , T, , 
Метод
Гельмерта
T, , 
Геодезические
координаты B2, L2, H2
a2, 2
Прямоугольные
координаты X2, Y2, H2
Возможные координатные преобразования при объединении классических и спутниковых методов
построения сетей.
Т
Преобразование компонент вектора rСК 2  ( X ,Y ,Z ) СК 1 из системы СК1 в систему СК2 в общем
случае сводится к трем операциям: переносу, повороту и масштабированию. В частном случае любая из
операций может применяться самостоятельно или в комбинации с любой другой.
T
Операция переноса заключается в добавлении к вектору rСК 1 вектора T  (T X ,TY ,TZ ) начала
координат системы СК1 в системе СК2:
rСК 2  rСК 1  T .
(2.80)
Преобразование координат вектора операцией поворота производится после совмещения начал
координатных систем и записывается уравнением:
rСК 2  R  rСК 1 ,
(2.81)
где R - матрица поворота размера 33. Ее элементы являются косинусами углов между «новыми» и
«старыми» осями, то есть
cos( X CK 2 , X CK 1 ) cos( X CK 2 , YCK 1 ) cos( X CK 2 , Z CK 1 )
R   cos(YCK 2 , X CK 1 ) cos(YCK 2 , YCK 1 ) cos(YCK 2 , Z CK 1 )  .
 cos(Z CK 2 , X CK 1 ) cos Z CK 2 , YCK 1 ) cos(Z CK 2 , Z CK 1 ) 
(2.82)
Частными случаями матрицы R являются матрицы вращения вокруг одной из осей. Для таких случаев
используется уравнение:
rCK 2  R i ( ) rCK 1 ,
(2.83)
где  - угол вращения, а i - номер оси, вокруг которой производится вращение. Если вращение
происходит вокруг оси x, то i = 1, а матрица R 1 ( ) имеет вид:
0
1

R1 ( )  0 cos
0  sin 
0 
sin   .
cos 
(2.84)
При поворотах вокруг второй и третьей оси соответственно на углы  и  имеем:
cos  0  sin  
R 2 (  )   0
1
0  ,
 sin  0 cos  
 cos  sin  0
R 3 ( )   sin  cos  0 .
 0
0
1
(2.85)
(2.86)
Очень часто поворот разбивают на три вращения либо с использованием углов Эйлера (рис. 2.13),
либо углов Кардано (рис. 2.14). На рис. 2.13 основные плоскости систем СК1 и СК2 пересекаются по линии
OC . Угол  между осью XCK1 и линией OC называется углом прецессии, угол i между основными
плоскостями - углом нутации, и угол  между линией OC и осью XCK2 называется углом чистого
вращения. Преобразование с применением углов Эйлера записывается в виде:
rCK 2  R 3 ( ) R 1 (i ) R 3 ()  rCK 1 .
Рис. 2.13. Углы Эйлера.
Преобразование
с
углами Кардано
(2.87)
Рис. 2.14. Углы Кардано.
X, Y, Z, образующими вектор малого вращения
ω  ( X , Y ,  Z ) , при котором производится три последовательных вращения. На рис. 2.14 показано,
что первое вращение производится вокруг оси ZCK1 на угол Z против часовой стрелки. В результате этого
вращения ось XCK1 оказывается в положении X, а ось YCK1 – в положении Y. Второе вращение производится
вокруг оси X на угол X, в результате чего ось Y оказывается в положении YCK2, а ось ZCK1 – в положении Z.
Наконец, третье вращение производится вокруг оси YCK2 на угол Y, после которого ось Z оказывается в
положении ZCK2, а ось X – в положении XCK2. Все три вращения записываются в виде произведения
rCK 2  R 2 (Y ) R1 ( X ) R 3 ( Z )  rCK 1 .
(2.88)
T
Метод Гельмерта
При малых углах вращения X, Y, Z после разложения тригонометрических функций в ряд Тейлора
с удержанием членов первого порядка и перемножения матриц получаем:
 1
E  R 3 ( Z ) R 2 (Y ) R 1 ( X )    Z
 Y
Z
1
 X
 Y 
 X  .
1 
(2.89)
Операция масштабирования при трансформировании координат заключается изменении длины
одинаково во всех направлениях с помощью малого скаляра , характеризующего отличие от единицы
отношения одного и того же элемента длины в разных системах (преобразование подобия):
rCK 2  (1   )rCK 1 ,
(2.90)
Обычно  <10-6 и дается в единицах 6-го или 9-го знака.
Часто встречающееся в космической геодезии преобразование прямоугольных координат с
использованием операций переноса, поворота на углы Кардано и масштабирования записывается
следующим образом:
rCK 2  T  (1   ) E rCK 1 ,
(2.91)
или
X 
X 
TX   
Y 


 Y 
  TY     Z
 
 Z 
 Z 
T   
CK 2
CK 1  Z   Y
Z

X
 Y   X 
 X   Y  .
   Z  CK 1
(2.92)
Этот вид преобразований нередко называют преобразованием по Гельмерту, или 7-параметрическим
преобразованием, или Евклидовым преобразованием подобия, а входящие в него параметры
трансформирования (векторы T и  и скаляр ) - параметрами Гельмерта.
В таблице 2.4 приводятся параметры связи для некоторых систем, в некоторых случаях знаки
параметров, взятых из публикаций, приведены в соответствие с формулой (2.92).
Связь геодезических координат (Метод Молоденского)
Очень часто используется преобразование, при котором геодезические координаты B, L, H в системе
СК2 получаются через координаты в системе СК1, минуя переход к прямоугольным координатам:
BCK 2  BCK 1  B 

LCK 2  LCK 1  L  .
H CK 2  H CK 1  H 
(2.93)
Поправки B, L, H являются не только функциями параметров связи координатных систем, но
также зависят от изменения размеров и формы референц-эллипсоидов, и, следовательно, должны содержать
девять параметров. Вероятно, первое появление в печати данных формул было сделано в Трудах
ЦНИИГАиК, вып. 131, Молоденским М.С., Еремеевым В.Ф. и Юркиной М.И. [Молоденский и др., 1961].
Однако в них не учитывалось изменение масштаба, то есть они аналогичны шести-параметрическому
преобразованию по Гельмерту. В зарубежной литературе это преобразование называется как «метод
Молоденского», например [Botton et al., 1997; Harvey, 1986], или «стандартные формулы Молоденского»
[DMA, 1991]. Полные формулы преобразования имеют вид [Герасимов, 1996]:
 
[T X sin B cos L  TY sin B sin L  TZ cos B 
M H
2
a( Ne 2 sin B cos B) Ne  N 2 


 1 sin B cos B] 
a
2  a 2



2
 (1  e cos 2 B)( X sin L  Y cos L)   e 2  sin B cos B;
B 
L 
 
( N  H ) cos B
(T X sin L  TY cos L) 
(2.94)
(2.95)
 tgB(1  e E2 )( X
cos L  Y sin L)   Z ;
a 
H  TX cos B cos L  TY cos B sin L  TZ sin B  E E 
N



eE2 N sin 2 B

 eE2 N sin B cos B X sin L  Y cos L  




2




  ( N  H  eE2 sin 2 B).
Здесь
(2.96)
a E  (a E ) CK 2  (a E ) CK 1 ,
e E2  (e E2 ) CK 2  (e E2 ) CK 1 ,
a
N
,
1 e 2 sin 2 B
M 
a(1  e 2 )
(1  e 2 sin 2 B)3
.
(2.97)
(2.98)
(2.99)
(2.100)
Глобальные методы преобразования координат обеспечивают высокую точность при работе с
точными координатными системами, например ITRF. При трансформировании локальных референцных
координат ошибки могут значительно возрастать из-за того, что параметры связи координатных систем во
многих случаях определяются по ограниченной выборке точек и не могут учитывать локальных
нелинейных искажений в сетях. Например, точность перехода из системы ПЗ-90 в СК-42 оценивается в 2 - 4
м [Основные положения, 1997], а из WGS-84 в СК-42 - в 5 - 7 м [Бойков и др., 1993]. Следует также иметь
в виду, что с появлением новых реализаций координатных систем повышается точность глобальных
методов трансформирования.
Для преобразования координат в локальных областях пользуются методами, в которых переход от
одной системы в другую осуществляется по тем же алгоритмам, какие используются в глобальных методах,
но параметры перехода или часть из них определяются
по измерениям на опорных точках в
рассматриваемой области [Галазин и др., 1997].
5.4. Уравнивание спутниковых и традиционных геодезических сетей
5.4.1 Концепции уравнивания.
В общем случае кампания GPS измерений включает использование небольшого числа приёмников
для определения координат большого количества станций. Выполненные в проекте наблюдения
разделяются на сессии, состоящие из наблюдений на отдельных станциях (пунктах). Сессия может быть
короткой, всего несколько минут, если в малой сети применяется метод быстрого разрешения
неоднозначностей, или несколько часов и даже суток, если необходимо достигать высокую точность в более
крупных сетях. При ограниченном числе доступных спутников типичная сессия наблюдения в инженерных
сетях продолжается от 1 до 3 часов. Разработаны и используются следующие методики уравнивания
спутниковых наблюдений:
 уравнивание наблюдений, выполненных на одной станции;
 обработка одной базовой линии и последующее объединение базовых линий в сеть,
 объединенное уравнивание всех полученных наблюдений отдельной сессии (уравнивание
наблюдений многих станций одной сеансов), и
 объединение решений многих сеансов в строгое всеобщее сетевое решение.
Уравнивание одной станции (позиционирование точки, «однопунктовое» решение) обеспечивает
абсолютные координаты станции в системе WGS-84 (или ПЗ-90). Если обрабатываются только кодовые
измерения, то из-за низкой точности эти результаты обычно представляют малый интерес для геодезических
применений, но они часто отвечают требованиям некоторых задач геофизики, ГИС и дистанционного
зондирования. Типичная область этого применения – навигация.
В строгом геодезическом уравнивании необходима информация и об относительном, и об
абсолютном положении пункта. Поэтому решение по одной станции во многих программных пакетах
включается для совместной обработки многих станций. Решение по одной станции также используется для
предварительной обработки и редактирования данных (например, из-за потерь счета циклов, вращения
Земли, эффектов теории относительности, ионосферы, тропосферы и для образования нормальных мест).
Более точные абсолютные положения, на уровне несколько метров или лучше можно достигнуть, если
используются данные нескольких суток наблюдений. Сантиметровый уровень точности возможен при
абсолютном позиционировании по фазе несущей.
Концепция одинарной базовой линии очень широко используется в программном обеспечении для
обработки спутниковых данных. В совместном уравнивании обрабатываются наблюдения от двух
одновременно работавших приемников, преимущественно в виде двойных разностей. Результатом являются
компоненты X , Y , Z вектора базовой линии и соответствующая ковариационная матрица KXYZ.
Отдельные базовые линии используются как исходные данные в программе уравнивания сети.
Обработка наблюдений в сети распадается на первичное уравнивание (решение базовых линий) и вторичное
уравнивание (уравнивание векторов базовых линий). Эта методика является строгой, если одновременно
наблюдали только два приемника, и если используется вся стохастическая информация полной
ковариационной матрицы. Однако если пары станций выбраны из большего числа одновременно
действовавших приемников, то не все возможные комбинации базовых линий не зависят одна от другой.
Как было показано в разделе 10.2.4, при одновременных наблюдениях R приемниками получается R(R-1)/2
возможных базовых линий, но независимыми из них являются только R-1 линий. Если имеющееся
программное обеспечение может обрабатывать только по одной базовой линии, то независимые, «не
тривиальные» базовые лини должны выявляться с использованием подходящих критериев отбора, таких как
длина базовой линии или число наблюдений. Тем не менее, эта методика не является строгой для сетевых
решений, поскольку не учитывается стохастическая информация между одновременно наблюдавшимися
линиями. Для улучшения решения необходимо тщательное взвешивание и ослабление корреляции.
Большинство производителей предлагают вместе с приемниками программы, которые используют
концепцию базовых линий. Эти программы удобны для малых проектов, для полевой проверки данных и
для применений в реальном времени.
В уравнивании многих станций одной сессии совместно обрабатываются все данные, которые
наблюдались одновременно тремя или более участвующими приемниками. В этом случае результатами
решения являются R-1 независимых векторов и ковариационная матрица размера 3(R-1) 3(R-1). В
зависимости от имеющегося программного обеспечения, результаты можно также выдавать набором из 3R
координат и ковариационной матрицы размером 3R3R. Ковариационная матрица также является блочнодиагональной, в которой размер ненулевых диагональных блоков является функцией числа приемников R.
Следовательно, это строгое уравнивание наблюдений с использованием всех взаимных стохастических
соотношений. Для геодезических целей такое «многопунктовое» уравнивание имеет концептуальные
преимущества над методом базовых линий, поскольку используется весь потенциал точности СРНС.
Несколько решений по сессиям можно объединять в уравнивание многих сессий или, более точно, в
решение по многим станциям и многим сессиям. Это обычная методика, когда крупные сети разбиваются на
части из-за ограниченного числа приемников. Основное условие в таком уравнивании состоит в том, что
каждая сессия связывается хотя бы с одной другой сессией через одну или большее количество общих
станций, на которых наблюдения выполнялись в обе сессии. Расширение числа общих станций повышает
стабильность и надежность всей сети.
Заключительная часть уравнивания спутниковой сети заключается в ее объединении с традиционной
ГГС и переводе координат в государственную референцную систему координат СК-95 и систему высот
БСВ-77.
5.4.2 Свободное, минимально ограниченное и ограниченное уравнивание
Из приведенных в разделе замечаний следует, что для средней кампании есть два вида уравнивания:
первичное уравнивание, в результате выполнения которого находятся векторы базовых линий и
соответствующие ковариационные матрицы, и вторичное уравнивание, которое рассматривает выход
первичного уравнивания как наблюдение.
Уравнивание геодезических сетей, построенных с применением спутниковых технологий, является
необходимым этапом технологии геодезических работ. Задачами уравнивания является:
 согласование совокупности всех измерений в сети,
 минимизация и фильтрация случайных ошибок измерений,
 выявление и отбраковка грубых измерений, исключение систематических ошибок,
 получение набора уравненных координат и соответствующих им элементов базовых линий с
оценкой точности в виде ошибок или ковариационных матриц,
 трансформирование координат в требуемую координатную систему,
 преобразование геодезических высот в нормальные высоты над квазигеоидом.
Таким образом, главная цель уравнивания – повышение точности и представление результатов в
необходимой системе координат с оценкой точности. Для достижения этих целей используются известные
теоретические и практические методы, имеющие достоверное статистическое обоснование.
Обработка некоторой базовой линии АВ дает в результате вектор между двумя станциями с
компонентами в виде разностей координат D AB  ( X AB , Y AB , Z AB ) , которые рассматриваются
T
теперь как результаты измерений. Им соответствует ковариационная матрица K XYZ AB размера 33. Полная
ковариационная матрица для сети является блочно-диагональной, с подматрицами размера 33 на главной
диагонали. В такой форме результаты измерений получаются, если работали только два приемника. Если
совместно обрабатывались результаты сессии из R приемников и получено R-1 независимых базовых линий,
то им соответствует полная ковариационная матрица размера 3(R-1)3(R-1).
Дополнительными исходными данными для уравнивания СГС являются:
 координаты опорных пунктов в геоцентрической системе WGS-84, ПЗ-90 или ITRF с необходимой
точностью,
 координаты (плановые и высотные) опорных пунктов в новой системе при переводе
пространственных координат.
Различают свободное, минимально ограниченное и ограниченное (несвободное) уравнивание. В
свободном уравнивании неизвестными считаются все пункты сети, и положение сети относительно
геоцентра известно с той же точностью, что координаты начальной точки сети. В этом случае матрица
коэффициентов системы уравнений поправок (матрица плана) и, следовательно, нормальная матрица будет
иметь дефект ранга, равный трем. Однако использование аппарата псевдообращения матриц, применяемого
в некоторых программах, позволяет провести уравнивание. При фиксировании координат одного пункта
получаем минимально ограниченное уравнивание, в котором нормальная матрица оказывается
невырожденной. Для достижения значимого контроля векторная сеть не должна содержать векторы, концы
которых не связаны, по крайней мере, с двумя станциями. При фиксировании более чем трех координат,
будет ограниченное уравнивание в том смысле, что будут наложены дополнительные ограничения по
отношению к минимально необходимым. Свободное и минимально ограниченное уравнивание применяются
для решения первых трех задач, перечисленных в начале раздела. Его результаты отражают внутреннюю
точность сети, не деформированной ошибками исходных данных. Ограниченное уравнивание выполняется
после успешного выполнения минимально ограниченного уравнивания для включения вновь построенной
сети в существующую сеть, в ее координатную систему, в том числе систему высот. Для этого новая сеть
должна быть связана, по крайней мере, с двумя станциями существующей сети.
При уравнивании сети можно оценить качество наблюдений выведенных векторов базовых линий,
выполнить вычисления внутренней и внешней надежности, можно выявить и удалить грубые ошибки.
Например, ошибка в высоте антенны не будет обнаружена при обработке базовых линий одна за другой, но
будет обнаружена при уравнивании сети. Методику последовательного уравнивания, если необходимо,
можно также использовать для уравнивания компонент сети. При свободном или минимально ограниченном
уравнивании можно произвести передачу дисперсий для вычисленных расстояний, углов или любых других
функций координат.
Особая проблема, - это совместное уравнивание спутниковых и обычных геодезических измерений.
Суть ее
в том, что классические геодезические измерения (измерения углов,
нивелировки,
астрономические определения и др.) выполняются с использованием уровня, то есть в качестве опорной
поверхности используется геоид. Измерения базовых линий производятся в системе осей общеземного
эллипсоида. Для корректного приведения данных к одной какой-либо системе необходимо знать высоты
геоида над эллипсоидом с соответствующей точностью.
Уравнивание небольших сетей выполняется обычно по программам, входящим в состав фирменного
коммерческого обеспечения. Примером таких программ может служить модуль TRIMNET Plus, входивший
в состав программ GPSurvey и в несколько измененном виде вошедший в пакет Trimble Geomatics Office
американской фирмы Trimble Navigation и др.
5.5. Функциональные и стохастические модели наблюдений
5.5.1 Функциональные модели уравнивания
Уравнение связи или математическая модель уравнивания спутниковой геодезической сети (СГС)
определяет соотношение между измеренными величинами (компонентами вектора базовой линии) и
параметрами сети, в качестве которых здесь выступают координаты пункта наблюдений.
Уравнивание СГС можно производить в прямоугольных пространственных координатах X, Y, Z, в
геодезических координатах B, L, H на эллипсоиде, или в плоских координатах в некоторой проекции.
Уравнивание в прямоугольной системе координат. Если уравнивание производится в
прямоугольных пространственных координатах параметрическим методом, то математической моделью
измерений является обычная модель уравнений наблюдений:
(11.60)
D AB  R B  R A ,
где D AB - уравненный вектор наблюдений, а R A , R B - уравненные координаты станций. Такая
математическая модель от природы линейна. Вектор наблюдений между станциями А и В записывается как
X AB   X B  X A 
 Y    Y  Y  .
A 
 AB   B
 Z AB   Z B  Z A 
Выразим координаты станций
поправки к ним
(11.61)
R A , R B через их предварительные (априорные) значения R 0A , R 0B и
dR A , dR B :
R 1  R 10  dR 1 , R 2  R 02  dR 2 ,
(11.62)
Теперь уравнение поправок для одной базовой линии можно записать в виде:
~
R 0B  R 0A  dR B  dR A  D AB  v AB ,
(11.63)
или
 dR A  dR B  l AB  v AB ,
где
~
D AB :
(11.64)
v AB - вектор поправок (матрица-столбец) в измеренные компоненты вектора базовой линии
v AB  (vX AB , vYAB , vZ AB )T ,
(11.65)
а l AB - свободный член, определяемый выражением:
~
l AB  R 0B  R 0A  D AB .
(11.66)
Система уравнений поправок для всей сети записывается в виде:
(11.67)
AX  l  v .
Матрица коэффициентов А для модели (11.67) состоит из 1, -1 и 0, ее фрагмент для линии AB
выглядит следующим образом:
 1 0 0
A   0  1 0
 0 0  1
1 0 0
0 1 0 .
0 0 1
(11.68)
Матрица А выглядит так же, как для нивелирной сети. Каждая базовая линия вносит в матрицу плана
три строки. Каждой станции сети принадлежат три столбца. Вектор неизвестных поправок в параметры
X состоит из векторов поправок dX в координаты пунктов:
X  (dX A , dX B ,  , dX N )T 
 (dX A , dYA , dZ A , dX B , dYB , dZB , , dX N , dYN , dZ N )T ,
(11.69)
а вектор свободных членов l и вектор поправок v состоят соответственно из отдельных векторов
свободных членов и векторов поправок в компоненты базовых линий.
Из-за того, что наблюдение вектора содержит информацию об ориентировке и масштабе сети,
достаточно зафиксировать только начало координатной системы. Минимальные ограничения для
фиксирования начала можно наложить просто удалением трех параметров координат одной станции из
набора параметров. Таким приемом данная станция будет зафиксирована.
При ограниченном уравнивании в качестве дополнительных неизвестных в параметрические
уравнения могут вставляться параметры связи между системами координат и высот.
5.5.2 Стохастические модели уравнивания сети. Важность стохастической модели сети очевидна:
она дает информацию о точности измерений. Тем самым достигается исправление более грубых измерений
большими поправками, а более точных измерений – меньшими поправками. Если же стохастическая модель
сети содержит ошибочную информацию, то результаты уравнивания и заключение о нем могут оказаться
ненадежными.
Стохастическая модель сети, построенной по ГЛОНАСС/GPS измерениям, представляется
ковариационными матрицами KXYZ, полученными при решении отдельных базовых линий:
K XYZ
  X2

  YX

 ZX
 XY
 Y2
 ZY
 XZ   K11 K12 K13 

 YZ    K 21 K 22 K 23  ,
 Z2   K 31 K 32 K 33 
(11.79)
в которых диагональные члены – дисперсии приращений координат базовых линий, а
недиагональные члены – их ковариации. В случае обработки одновременных наблюдений R приемниками
имеется полная ковариационная матрица для группы из R станций (или R-1 независимых базовых линий).
Она имеет размер 3(R-1)3(R-1).
Использование дисперсий (квадратов средних квадратических ошибок) как основы
для назначения весов наблюдений подразумевает, что ошибки наблюдений (компонент
базовой линии) имеют нормальное распределение. Однако это может быть ошибочное
предположение, которому практически нет альтернативы.
Одной из характерных особенностей спутниковых методов является существенное
преобладание систематических ошибок над случайными. Практически всегда при
решении базовых линий в ковариационных матрицах для приращений координат
получаются миллиметровые точности, особенно при удачном разрешении
неоднозначностей по двойным разностям. В то же время невязки в замкнутых фигурах,
вычисляемые по этим же базовым линиям, имеют величину на сантиметровом уровне. Это
происходит потому, что ковариационная матрица на выходе из решения базовой линии
подразумевает точность по внутренней сходимости. В ней не учитывается влияние
ошибок центрирования, измерения высоты антенны, некоррелированных ошибок
тропосферной и ионосферной задержки и других, не моделируемых ошибок, которые в
сеансе ведут себя как систематические ошибки (смещения). Когда на вход программы
уравнивания сети будет поступать нереальная ковариационная матрица, получаемое
решение не будет проходить 2-тест. Если бы можно было определить истинную
ковариационную матрицу (включающую влияние не моделируемых ошибок), тогда ее
можно было бы использовать вместо выходной ковариационной матрицы, полученной
при первичном уравнивании сети.
Хотя ковариационные матрицы векторов базовых линий не дают возможности
судить о реальной точности их координат, по ним можно составить некоторые выводы об
условиях наблюдений. Но перед их использованием во вторичном уравнивании эти
матрицы необходимо корректировать, приближая их к реальным условиям измерений. На
практике обработчик для изменения ковариационных матриц прибегает к различным
эмпирическим методам. Обычно это производится в итеративном режиме, с
использованием теста на фактор дисперсии (или какой-либо другой статистический тест).
В коммерческих программах уравнивания спутниковых сетей, как правило,
используются два общепринятых метода корректировки ковариационных матриц:
 масштабирование ковариационных матриц, и
 модификация отдельных элементов ковариационных матриц.
В первом методе применяется некоторый масштабирующий коэффициент (скаляр)
w, и получается преобразованная ковариационная матрица K XYZ , в которой все дисперсии
и ковариации будут хуже, чем в уравнении (11.79) [Rizos, 1999]:
K XYZ  w  K XYZ .
(11.80)
Если тест не проходит, то назначается другой коэффициент, и вычисления повторяются.
5.6. Тестирование результатов уравнивания
Результаты уравнивания. Результатами уравнивания спутниковой сети являются оцененные
параметры (прямоугольные, геодезические или плоские координат и высоты пунктов сети) и
характеристики их точности, задаваемые в апостериорной ковариационной матрице. Ковариационная
матрица решения K X содержит дисперсии оцененных параметров и корреляции между ними. Эти данные
используются для построения эллипсов ошибок (или эллипсоидов ошибок) положений пунктов или для
эллипсов ошибок линий, характеризующих точность уравненных параметров. В дополнение к параметрам и
их точностям, из решения получается другая полезная информацию: это поправки в наблюдения (или

остаточные невязки) vi , их ковариационная матрица K v , гистограммы распределения ошибок, числа
избыточности ri.
Теория МНК не требует, чтобы остаточные невязки наблюдений имели нормальное распределение.
Однако если ошибки наблюдений имеют Гауссово нормальное распределение, то можно ожидать нормально
распределённые остаточные невязки. Поэтому по остаточным невязкам можно выполнить несколько
статистических тестов. Статистические тесты можно применить для оценки качества наблюдений и для
выявления аномальных ошибок (отскоков) в измерениях [Герасименко, 1998; Rizos, 1999].
Статистическое тестирование. Уравнивание по МНК геодезических сетей редко
немедленно дает приемлемые результаты по ряду различных причин. Поэтому результаты
уравнивания должны быть проверены (протестированы), чтобы выявить и устранить
любые ошибочные влияния. Тестирования можно применить к любому решению по МНК
любых типов измерений.
Тестирование начинается с нулевой гипотезы H0, которая описывает некоторую проверяемую
ситуацию. Если нулевая гипотеза отвергается, то принимается альтернативная гипотеза HA. Для выполнения
тестирования вычисляются статистики, характеристики которых, в частности функция плотности
вероятности, хорошо известны, если гипотеза H0 верна. В зависимости от величины вычисленного значения
статистики, принимаемой за критерий, делается решение принять или отвергнуть гипотезу H0.
При выполнении тестирования возможны ошибки двух родов:
 гипотеза H0 отвергается, хотя на самом деле она должна быть принята. Это ошибка I рода,
вероятность ее совершения определяется уровнем значимости теста . Если уровень доверия выбран 95%,
то =0.05.
 гипотеза H0 принимается, хотя на самом деле она должна быть отвергнута. Это ошибка II рода,
вероятность ее совершения обозначается как . Величина 1- называется мощностью теста.
Процедура тестирования может быть представлена в следующем виде:
 выбор нулевой гипотезы H0;
 вычисление принятого критерия t;
 выбор уровня значимости  и вычисление по известной плотности вероятности P критерия t его
критического значения p, которое может быть превышено с вероятностью ;
 если t<p, то принимается гипотеза H0, в противном случае она отвергается;
 выбор вероятности  и вычисление по HA предельно обнаруживаемого значения t (или выбор
величины t и вычисление , то есть вероятности ошибки II рода для этого значения) [Герасименко, 1998].
Тест 2. В высокоточных спутниковых измерениях отношение апостериорной и априорной
дисперсий должно быть меньше или равно 1. Когда отношение меньше 1, то это говорит о том, что
предсказанные ошибки были преувеличены, и, что на самом деле точность выше, чем ожидалось. Когда
отношение больше 1, то возможно, что одна или несколько предсказанных ошибок были недооценены, то
есть реальные ошибки оказались больше предсказанных.
Вероятностный тест 2 основан на сумме взвешенных квадратов поправок v, числе степеней свободы
r и уровне доверия (проценте вероятности). Назначение этого теста – отвергнуть или принять гипотезу о
том, что предсказанные ошибки были точно оценены. Если тест не проходит, то это указывает на то, что все
или несколько наблюдений необходимо проверить, или даже наблюдать повторно.
Статистикой, используемой для теста 2, является квадратичная форма оцененных поправок. Она
представляет длину или норму вектора оцененных поправок в наблюдения. Математически квадратичная
форма поправок определяется как
 

v  vT K v 1 v
где
матрица
(11.105)

v – вектор оцененных поправок, а K v – ковариационная матрица оцененных поправок. Однако
K v (формула (11.104б)) является сингулярной, поскольку имеет ранг, равный числу степеней
свободы (дефект ранга равен числу наблюдений минус число степеней свободы). Поэтому квадратичная
форма поправок аппроксимируется путем замены
K v на априорную ковариационную матрицу наблюдений
K, то есть
 
  

v  vT K 1 v  vT Pv  r 02 .
(11.106)
Таким образом, тест 2 становится тестом на апостериорную дисперсию единицы веса, где нулевая
гипотеза H0 состоит в том, что оцененная (апостериорная) дисперсия единицы веса равна априорной
дисперсии единицы веса.
Для выполнения теста 2 составляется статистика:
 
vT Pv
 02


 02
(n  u )   n2u .
2
0
(11.107)
Заметим, что n-u – число степеней свободы уравнивания, которое принимается при отсутствии
дефекта ранга в матрице коэффициентов. Основываясь на статистике (11.102) можно выполнить тест по
обнаружению нарушения уравнивания. Гипотезы формулируются следующим образом:

H 0 :  02   02 ,

H A :  02   02 ,
(11.108а)
(11.108б)
Нулевая гипотеза утверждает, что априорная дисперсия единицы веса в статистическом смысле равна
апостериорной дисперсии единицы веса. Если численное значение
2 



 02
v T Pv
(
n

u
)

 02
 02
(11.109)
таково, что
 2   n2u , 1 / 2 .
2
 2   n
u,  / 2 .
(11.110а)
(11.110б)
то нулевая гипотеза отвергается. Уровень значимости , то есть вероятность ошибки I рода или
вероятность отвержения нулевой гипотезы, даже если она истинная, обычно фиксируется равным 0.05.
Здесь уровень значимости есть сумма вероятностей в обеих ветвях кривой распределения ошибок (рис.
11.7). Вероятность  ошибки II рода (мощность теста), то есть вероятности отвержения альтернативной
гипотезы и принятия нулевой гипотезы, хотя альтернативная гипотеза верна, обычно не вычисляется.
При уравнивании спутниковых данных априорная дисперсия единицы веса принимается равной
единице. Если невязки наблюдений согласуются с оценками их точности (из ковариационной матрицы), и
имеют нормальное распределение, то апостериорная дисперсия единицы веса должна ожидаться в интервале
между 0.6 и 1.6, в зависимости от числа степеней свободы r=n - u. В программах уравнивания ее обычно
называют масштабным показателем точности (reference factor). Он выводится и для всей сети, и для
каждого наблюдения.
Поскольку величина


 r2  vT Q 1 v , являющаяся тестовой статистикой, следует распределению 2
с r степенями свободы, где r – число избыточности, то ожиданием
 r2
является число избыточности:
 v T Q 1v  r
 T 1 
2
  , поэтому E(02 )  1 .
E (  r )  r , следовательно, E ( v Q v )  r , или E
 r
r


Если тест для сети проходит, то это свидетельствует о нормальном распределении ошибок измерений
и о том, что достигнутая точность соответствует ожидавшейся точности. С помощью 2-теста оценивается
приемлемость всего уравнивания, поэтому такие тесты называют глобальными. В том случае, если тест не
удается, можно указать на наличие одной или нескольких из следующих проблем:
 слабые оценки средних квадратических ошибок и корреляций между наблюдениями. Остаточные
невязки наблюдений значительно больше или меньше, чем априорные средние квадратические ошибки. Это
говорит о том, что априорная ковариационная матрица K не соответствует ожиданию и требует повторного
корректирования;
 неадекватная модель для учета систематических ошибок, или фиксировалось недостаточное
количество параметров;
 большие ошибки в одном или большем числе наблюдений, например, грубые ошибки в измерении
высоты антенны, передаваемые в неправильное решение базовой линии;
 низкое качество (точность) наблюдений, например, из-за недостаточной продолжительности сессий;
 ошибки при вводе данных (наблюдений, соответствующих параметров или переключателей опций)
[Герасименко, 1998; Падве, 2005; Leick, 1995; Rizos, 1999; Krakiwsky et al., 1999].
Тестирование ошибок измерений. При тестировании ошибок измерений предполагается, что
остаточные невязки имеют нормальное распределение. Следовательно, прежде чем проводить
статистические тесты, может понадобиться проверка того, что невязки имеют нормальное распределение.
Знакомая кривая частоты нормального распределения, имеющая форму колокола,
показывает, что сравнительно большие невязки должны встречаться значительно реже,
чем малые. Например, 99.7% всех невязок должны быть меньше, чем утроенная средняя
квадратическая ошибка, вычисленная по невязкам.
Если одна или несколько невязок значительно превышают другие невязки в наборе,
тогда нужно решить:
 являются ли аномальные наблюдения экстремальным случаем в нормальном распределении, и в
таком случае его нужно сохранить, или
 является ли это наблюдение указанием на содержание аномальных ошибок, известных как
«отскоки» или «промахи», и тогда его нужно удалять.
Границей между большой ошибкой, относящейся к нормальному распределению, и
аномальной ошибкой из альтернативного распределения является критическое значение,
которое устанавливается в зависимости от принятой вероятности. Для вероятностей 95, 99
и 99.9% критические значения составляют соответственно 1.96, 2.58 и 3.29. Величина,
выбранная для критического значения, будет также определять, какой процент хороших
наблюдений будет некорректно отвергнутым. Если в качестве критического значения
выбрана величина 2.58 (уровень доверия 99%), то ожидается, что будет отвергнут 1%
хороших данных (вместе с любыми наблюдениями, имеющими «истинные» большие
ошибки), – это и есть ошибки I рода.
Рис. Несмещённое и смещённое нормальное распределение остаточных невязок
[Rizos, 1999]
Второй тип ошибочного исхода тестирования наблюдений по невязкам состоит в
принятии плохого наблюдения (которое, как предполагается, принадлежит нормальному
распределению), которое должно быть отвергнуто (то есть принадлежит
альтернативному распределению) – в литературе по статистике считается как ошибка II
рода. Вероятность совершения ошибки II рода рассматривается как мощность теста 
(=0.30, 0.20 и 0.10, что соответствует вероятностям 30, 20 и 10% соответственно).
Следовательно, если мощность установлена на 20%, то это значит, что есть 20%
вероятности неправильного принятия наблюдений, которые должны быть отвергнуты
(или 80% вероятности правильного выявления аномальных ошибок). Альтернативное
распределение может быть нормальным распределением, но с другим средним и средней
квадратической ошибкой. Такая ситуация возможна, если наблюдения оказались
систематически смещенными на некоторую величину.
Когда наблюдения не смещены, (то есть не содержат большую ошибку),
нормированные невязки центрируются в левой части нормального распределения (рис.
11.7). Это наблюдение принимается внутри набора границ посредством выбора уровня
значимости (здесь 1%, или 0.5% с каждой стороны от значения). Однако если наблюдение
смещено, то нормированная невязка будет также смещена, и её распределение будет
центрировано относительно другого среднего (правая сторона нормального
распределения). Здесь также есть возможность того, что величина аномальной
нормированной невязки будет в пределах между -2.58 и +2.58, и будет ошибочно
принята как несмещённая невязка. Вероятность этого события равна 20%. Величину 
рассматривают как верхнюю границу, равную сумме a и b, где a – функция параметра , а
b – функция параметра . К примеру, если =0.01, а =0.20, то a=2.58 и b=0.84, что даёт в
результате =3.42 [Rizos, 1999].
Тау тест. Тест был предложен американским ученым Поупом (Pope A.J.). В этом
тесте ошибки II рода не учитываются. Тест принадлежит к группе тестов Стьюдента,
которые используют полученную из наблюдений апостериорную дисперсию единицы
веса. Статистика теста в соответствии с [Leick, 1995] представляется как
v
v
v

vi
 n-r
 i  i   i   i
 0
 vi  0 qi  0 ri / pi  0  i ri
(11.111)
Символом n-r обозначено  - распределение с n-r степенями свободы. Оно связано
со статистикой Стьюдента t через соотношение:
 nr 
n  r t nr 1
n  r  1  t n2r 1
(11.112)
При бесконечно большом числе степеней свободы  - распределение стремится к
распределению Стьюдента или к нормальному распределению, то есть    t  n(0, 1) .
При выполнении -теста проверяется гипотеза о том, что все невязки следуют

нормальному распределению: vi  n(0,  vi /  0 ) для всех i. Гипотеза отвергается, то есть
наблюдение отмечается флагом для дальнейшего исследования и возможного
отвержения, если
i  c .
(11.113)
Критическое значение с выбирается в соответствии с уровнем значимости
  P( max  c) , для которого используется фиксированное, заранее выбранное
значение, скажем, =0.05. Критическое значение c связано с числом наблюдений в
уравнивании n: P( i  c)   / n . Таким образом, критическое значение определяется как

c  nr dx 

2n
(11.114)
Критическое значение c становится функцией числа степеней свободы и
количества наблюдений.
Метод data snooping. Разработанный голландским геодезистом В. Баарда (Willem
Baarda) метод data snooping («просмотр данных») или w-тест также часто применяется к
тестированию индивидуальных поправок. Теория метода предполагает, что в наборе
наблюдений присутствует только один промах. Нулевая гипотеза записывается как
ni 
vi
 0 qi
 n(0, 1)
(11.115)
При уровне значимости 5% критическое значение равно 1.96. Критическое
значение для этого теста не является функцией числа наблюдений в уравнивании.
Статистика (11.115) использует априорное значение  0 , а не апостериорную оценку

0 .
Статистики (11.111) и (11.115) являются функциями индивидуальных чисел
избыточности ri. Для данного размера поправок соответствующие наблюдения
являются более вероятно отвергаемыми в тех случаях, когда меньше числа
избыточности. Поскольку принятие промахов увеличивается с уменьшением чисел
избыточности, повышенная чувствительность критического значения к малым числам
избыточности представляется желательным свойством. И  тест, и метод data snooping
хорошо работают в итеративных решениях. На каждой итерации наблюдения с
наибольшим промахом должны удаляться. Поскольку МНК пытается распределить
грубые ошибки, несколько правильных наблюдений могли бы принять на себя большие
поправки и могли бы быть отмечены флагами ошибочно.
Стратегия поиска ошибок. Поскольку все поправки в уравнивании обычно
коррелированны, отвержение измерений должно проходить последовательно, шаг за
шагом, каждый раз исключая по одной большой ошибке. Вначале из вектора наблюдений
удаляются самая большая невязка, отмеченная как аномальная, уравнивание повторяется,
и тестирование невязок выполняется вновь. Удаление одного измерения в уравнивании
может значительно влиять на результаты и изменять характер ошибок и связанных с ними
тестовых статистик. Следовательно, удаление многих измерений может приводить к
ошибочному выбрасыванию хороших данных.
В случае единственной аномальной ошибки в уравнивании, представляющей один компонент базовой
линии, нужно бы удалять не только наблюдение этого компонента, но всю базовую линию (то есть все три
компонента). Дальнейшая проблема состоит в том, что три «наблюдения» базовой линии коррелированны,
что делает статистическое тестирование ненадежным. Более оправдано было бы удаление только плановых
компонент или только высотной компоненты вектора.
Статистика w-теста имеет стандартное нормальное распределение, когда нет отскоков в уравнивании.
В ситуации, когда статистика теста превосходит критическое значение при желаемом уровне значимости,
соответствующее измерение отмечается флагом возможной аномальной ошибки. Тест выполняется для
каждого измерения и наибольшая величина (когда один отскок может вызывать неудачу множественного
теста), которая превосходит максимальное значение, считается отскоком и удаляется из модели. Такое wтестирование выполняется вновь, чтобы посмотреть, нет ли еще отскоков. Если находится другая
аномальная ошибка, ее удаляют из модели, а измерение, которое первым рассматривалось отскоком,
восстанавливается, и модель тестируется вновь. Такая процедура «data-snooping» повторяется до тех пор,
пока никакие аномальные ошибки больше не будут выявляться.
В том случае, когда уравниваемая сеть достаточно сложная, целесообразно для выявления ошибок
разбивать ее на части и каждую часть тестировать отдельно. Другой выход – начать уравнивание с
некоторой части сети и затем постепенно наращивать сеть, выполняя последовательное тестирование
[Герасименко, 1998; Leick, 1995; Rizos, 1999].
Точность. Средние квадратические ошибки координат находятся как квадратные корни из
диагональных элементов ковариационной матрицы параметров K X . Очень часто для представления
точности координат используются эллипсы или эллипсоиды ошибок. В случае плановых координат
ковариационная матрица координат точек, извлечённая из полной ковариационной матрицы, имеет вид:
где r 
а
 EN
 EN
 E N
2
K EN   E
 EN
- коэффициент корреляции,
E
 EN    E2

 N2  r E N
и
N
r E N 

 N2 
(11.116)
- средние квадратические ошибки координат,
- ковариация между координатами.
Эллипс показывает размеры области доверия к координатам отдельной точки, не зависимо от любых
других точек в уравнивании. Чтобы определить эллипс ошибок, необходимо определить размер и
ориентировку большой и малой полуоси эллипса. Дирекционный угол  направления, для которого
максимально, равен
tg 
2 EN
 N2   E2
.
Формулы для большой полуоси a и малой полуоси b имеют вид:


 x2
(11.117)


1 2
(11.118)
 E   N2  ( E2   N2 ) 2  4( EN ) 2
2
1 2
(11.119)
b
 E   N2  ( E2   N2 ) 2  4( EN ) 2
2
Если строятся «стандартные» эллипсы ошибок (формулы (11.118) и (11.119)), то
вероятность того, что точка будет в эллипсе для двухмерного случая равна 39%. Нередко
даются эллипсы с уровнем доверия 95%, то есть в 2.45 раза больше их «стандартного»
размера.
Часто более важно получать оценки точности относительных положений точек, а не
их абсолютных положений. Эти оценки можно также найти по ковариационным матрицам
координат. Рассмотрим две точки A и B, соответствующая им часть ковариационной
матрицы есть:
  E2
 E A , N A  E A , EB  E A , N B 
A


 N A ,EA
 N2 A
 N A , EB  N A , N B 

(11.120)
K EN  
AB
 EB , E A  EB , N A
 E2 B
 EB , N B 


 N2 B 
 N B , E A  N B , N A  N B , EB
Тогда
 E ,E   E2 A  2 EA ,EB   E2B
(11.121а)
a
 N ,N   N2 A  2 N A , N B   N2 B
 E ,N   N B ,EB   N A , E A   N B , E A   N A , EB
(11.121б)
(11.121в)
Ориентировку и длину большой и малой полуосей эллипсов для линий можно
получить из уравнений вида (11.117), (11.118) и (11.119), тем же способом, что и для
эллипсов точек [Rizos, 1999; Strang, Borr, 1997; Глушков и др., 2002].
Точность можно проконтролировать путем сравнения с заранее установленной
информацией. Обычно этот контроль включает вычисление ошибок по разностям на
контрольных точках, которые являются геодезическими точками с известными
координатами, не включавшимися в уравнивание фиксированными. При избыточном
числе опорных пунктов этот прием используется для выявления ошибок в исходных
данных. Другой метод – вначале уравнять сеть с минимальными ограничениями или как
свободную сеть, в любом случае, без внешних влияний на форму сети; затем используется
7- (или 4- для плановой сети) - параметрическое преобразование, чтобы подогнать
свободно уравненную сеть ко всем фиксированным точкам через пост-обработку. Невязки
после этого эффективно указывают ошибки, такие же, как по контрольным точкам.
Числа избыточности. Важную информацию могут также давать числа избыточности. Число
избыточности для векторов изменяются от нуля до трёх. Проверка выбранного набора чисел избыточности
обнаруживает те части сети, которые либо содержат избыточные наблюдения (буквально) или, более
опасно, недостаточные наблюдения. Нулевая избыточность подразумевает наличие станций, которые
определяются только одним вектором. Это создает полностью неконтролируемую ситуацию. Необходимо
исследовать наименьшие числа избыточности. К примеру, если станция определяется двумя векторами, и у
одного из этих векторов было уменьшение веса, в автоматизированной процедуре поиска ошибок, то другой
вектор имеет малое число избыточности, даже если он может оказаться правильным и точно определённым
вектором. Из-за того, что у второго вектора уменьшили вес, здесь создаётся особенно неконтролируемая
ситуация. Для больших сетей числа избыточности являются прекрасным средством для нахождения слабых
мест сети. Нужно не только проверить число избыточности для векторов, но также нужно вычислять
среднее число избыточности для каждой станции. Малые числа избыточности для станции указывают на
области, которым были бы полезны дополнительные наблюдения [Leick, 1994a, 1995].
4.3. Обработка измерений и преобразование их в принятую систему координат.
Порядок координатных определений в системе координат 1995 года с
использованием спутниковых средств и технологий
При решении проблем согласования локальных спутниковых и наземных
геодезических сетей сформулированные требования к математическим моделям
трансформирования систем координат выполняются далеко не всегда. Так,
линеаризованные
модели
Гельмерта,
Молоденского,
наиболее
часто
используемые в геодезической практике [3,4,5,6,7], обладают погрешностями на
уровне погрешностей высокоточных спутниковых измерений (порядка 10-6). Кроме
того, применение этих моделей требует знания геодезических высот в
референцной системе. Поэтому задача разработки математической модели
корректного трансформирования трехмерных геодезических сетей является
актуальной.
Обеспечение указанных требований
к моделям в условиях плохой
обусловленности задачи трансформирования приводит к проблеме выделения из
всей совокупности исходной информации устойчивой части решения,
согласованной с точностью входных данных. В работе предлагается улучшенный
алгоритм выделения устойчивой части решения в случае плохой обусловленности
задачи, автоматически адаптирующийся к размерам и форме локальной
геодезической сети. Он основан декомпозиции и сингулярном разложении плохо
обусловленных систем линейных уравнений.
Следующий аспект преобразования координат в локальной области
заключается в построении и использовании математической модели локального
квазигеоида. Хотя в данном направлении ведутся многочисленные научные
исследования и получены теоретические и практические результаты
([8,9,10,11,12,13]), но вопросы оценки точности модели, выработки критериев ее
адекватности и выбора наиболее подходящей модели рассматриваются поразному, решены не до конца и требуют дальнейших исследований.
Разработка и определение математических моделей трансформирования
координат подразумевают как теоретические исследования, так и численные
эксперименты. Внедрение результатов исследования на производстве и в учебном
процессе должно сопровождаться соответствующим программным обеспечением.
Поэтому
представляется
важным
и
необходимым
разработка
отечественных
компьютерных программ.
Практическая
ценность
методики
регулярного
оценивания
параметров
трансформирования состоит в том, что дальнейшие преобразования локальной
высокоточной спутниковой сети в референцную систему координат выполняются в
пространстве, с миллиметровой точностью, без деформации сети. Методика позволит
потребителям координатной информации получать с помощью автоматизированной,
всепогодной и портативной спутниковой аппаратуры комплекс геодезических данных,
как в пространстве, так и во времени, как плановых, так и высотных координат (высоты
– относительно уровня моря!), а также направление астрономической вертикали в точке
на физической поверхности Земли. Точность получаемых геоданных будет выше, чем в
традиционных методах наземной геодезии. Это создаст условия для практической
реализации
автоматизированной
технологии
комплексного
мониторинга
по
формированию, хранению и распространению координатно-временной информации.
Методика может быть использована при производстве геодезических и геологогеофизических работ, земельного и лесного, городского и районного кадастров,
движения морских и воздушных судов, железнодорожного, речного и автомобильного
транспорта, движения и деформации инженерных сооружений, блоков земной коры и
тектонических плит, глобальной геодинамики и вращения Земли.