I. ГЕОМЕТРИЯ. УРОК: «МЕТОД КООРДИНАТ»

ГЕОМЕТРИЯ.
УРОК: «МЕТОД КООРДИНАТ»
Предмет: Геометрия
Тема: Метод координат
Класс: 9 класс
Педагог: Аширбекова Лариса Александровна, заместитель директора по воспитательной
работе, учитель математики и информатики.
Учреждение образования: МОУ Шуринская средняя общеобразовательная школа
Кемеровской области
Город: Кемеровская область
Учащиеся должны:
Знать формулы координат середины отрезка, длины вектора и расстояние между двумя
точками;
Уметь применять полученный материал к решению задач по теме.
Ход урока.
I.
Организационный момент: объяснить цели урока.
II.
Повторение пройденного материала:
Тестирование:
1. Закончите предложение.
Координаты равных векторов соответственно ...
(равны)
2. Установите истинность или ложность данного высказывания:
Разложение вектора b {-3; 2} по его координатным векторам имеет вид
b = -3 i +2 j
(да)
3. Закончите предложение:
Вектор а = -2 i + 3 j имеет координаты а {...; ... }
-2;3
III. Объяснение нового материала:
План объяснения.
1. Вводное слово учителя:
Используя систему координат, можно изучать геометрические фигуры и их свойства с
помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы
алгебры. Такой подход к изучению геометрических фигур называется методом координат.
На этом уроке вы познакомитесь с формулами:
1) нахождение координат середины отрезка;
2) вычисление длины вектора по его координатам;
3) нахождение расстояния между двумя точками.
2. Деление отрезка в данном отношении.
На прямой АВ находится точка М, причем она не совпадает с точкой В. Отношение, в
котором точка М делит направленный отрезок АВ на части, называется число k, при
котором АМ = k МВ. Если точка М лежит на отрезке АВ (Рисунок 1),
то векторы АМ  МВ , и по
АМ
определению скалярного произведения k = МВ > 0, где АМ =  АМ  и МВ = МВ .
Если же точка М находится вне отрезка АВ (Рисунок 2),
то АМ  МВ , и по определению скалярного
произведения k0, следовательно,
3. Координаты середины отрезка.
Пусть в системе координат Оху точка А имеет
координаты (х1;у1), точка В - координаты (х2;у2). Точка
М - середина отрезка АВ. Выразим координаты (х; у)
середины М отрезка АВ через координаты его концов.
Т.К. точка М - середина отрезка АВ, то АМ=МВ. По
правилу треугольника с одной стороны ОМ = ОА + АМ,
а с другой стороны получим: ОМ = ОВ + ВМ. Складывая эти равенства, получим 2 ОМ =
ОА + ОВ + ( АМ + ВМ ) = ОА + ОВ (т.к. АМ + ВМ =0).

1
Отсюда ОМ = 2 ОА  ОВ

Координаты векторов ОМ , ОА и ОВ равны координатам соответствующих точек М, А и
В.
Так как координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат, а при
произведении вектора на число его координаты умножаются на это число, то записывая


1
х
равенство ОМ = 2 ОА  ОВ в координатах, получим:
Итак, ОМ

х х
1
у у
1
2
2
;
2
2
х х
1
2
у
2
у у
1
2
2
,
 . Т.к. точка М имеет те же координаты, что и вектор
ОМ , то :
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих
координат ее концов.
4. Вычисление длины вектора по его координатам.
Докажем, что длина вектора
а 
х; у
 вычисляется по
формуле
а = х
2

у
2
.
Отложим от начала координат вектор ОА =
а
и опустим из
точки А перпендикуляры АА1 и АА2 на оси Ох и ОУ
соответственно. Координаты точки А равны координатам
вектора ОА , т.е. (х;у). Поэтому ОА1 =  х, АА1 = ОА2 =
у. (мы рассматриваем случаи, когда х 0 и у0 ; другие
случаи рассмотрите самостоятельно). По теореме Пифагора ОА
2
=
2
ОА1  АА1
х у
2
=
2
.
Но  а =  ОА  = ОА, поэтому  а  = х
2

у
2
, что и требовалось доказать.
5. Расстояние между двумя точками.
Пусть точка М1 имеет координаты (х1; у1), а точка М2 - координаты (х2; у2). Выразим
расстояние d между этими точками через их координаты.
Координаты вектора М1М2 равны { х2 - х1; у2 - у1}. Значит, модуль этого вектора можно
( х 2  х1)  ( у 2  у1)
2
2
найти по формуле | М1М2 |=
Но | М1М2 | = d. Следовательно расстояние между точками М1 (х1; у1) и М2 (х2; у2) можно
выразить формулой
( х 2  х1)  ( у 2  у1)
2
d=
2
6. Метод координат.
Применяя метод координат, можно решать задачи двух видов.
Во-первых, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах геометрические
соотношения, мы применяем алгебру к геометрии. Так мы поступали, когда выразили
через координаты основную геометрическую величину - расстояние между двумя
точками. Аналогичный прием будет применен при выводе уравнения окружности и
прямой.
Во-вторых, пользуясь координатами, можно истолковывать уравнения и неравенства
геометрически и таким образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое
изображение функций - первый пример такого применения метода координат. Если
известны уравнения фигур, можно изучать их взаимное расположение, решая системы
соответствующих уравнений.
Применения метода координат в соединении с алгеброй составляет раздел геометрии,
называемый аналитической геометрией. Аналитическая геометрия была создана в первой
половине XVII в. в работах знаменитых французских ученых Рене Декарта (1596-1650 гг.)
и Пьера Ферма (1601-1665 гг.)
IV. Закрепление изученного материала:
Тестирование:
1. Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В - на положительной оси
Оу. Найдите координаты вершин треугольника АВО, если ОА =7, ОВ =4
а)
А(0;7)
В(4;0)
С(1;0)
Б)
А(7;0)
В(0;4)
О(0;0)
В)
А(1;7)
В(4;1)
О(1;1)
2. Даны точки А(0;1)
и В(5;3). Найдите
координаты точек С
и D, если точка В - середина отрезка АС, точка D - середина отрезка ВС.
А)
С(-7; 10);
D(-5; -7,5)
Б)
С( 10; -7);
D(7,5; -5)
В)
С(7; -10);
D(-5; 7,5)
V. Подведение итогов.
VI. Задание на дом: п. 89, №№ 929, 930, 935.