КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ

1
КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ
КРИВОЛИНЕЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ
O
R
n2

2
2
1
b2
1
Рис.1
b1
Уравнения состояния плоского кругового стержня
N
 Q n   2U    A  R

Q n
  N   2V    AR

Q b
  2W    AR

M t
 Mn

M n
  M t  Qb R

M b
 Q n R


U
NR


V
 E  A

V

 b R  U 



W
 n R




 t
MtR


 G  J P 

 n
MnR 


E  Jn 

 b
MbR 


E  J b 
(1)

В матричной форме: Y   A   2 B Y
Y  N Qn
 F q
Qb
Mt
Mn
Mb U V W
(2)
t
n
b  
(3)
Общее решение:
Y  Ce p 


Характеристическое уравнение: det pI - A   2 B  0.
(4)
2
Характеристический многочлен:
det G( p, ) 





(5)
 p 2  x 2 p 2  y 2 p 2  2 z1 p  z12  z 22 p 2  2 z1 p  z12  z 22 P4 ( p)
Фундаментальные решения уравнения (2); Vk – собственные векторы А - 2В

V(,  )  V1 ()e p1 ( )
V2 ()e p2 ( )
V3 ()e p3 ( )
... V12 ()e pk ( )
Общее решение : Y(,  )  V(,  )C , С – произвольный вектор. (6)
Нормированное решение:
V(,0)C  Y(0) C  V(  ,0) -1 Y(0)
Y( ,  )  V(  ,  )V(  ,0) -1 Y(0)  D( ,  )Y(0)
Для конца стержня
Fk  D FF
 
q k   D qF
(7)
Yk  Y( ,  k )  D( ,  k )Y(0)
D Fq  F(0)


D qq  q(0) 
(8)


q k  D qF F(0)  D qq q(0)  F(0)  D qF 1 q k  D qq q(0)
Для произвольного угла

(9)

1
1
q( )  D qF ( )D -qF
( k )q k  D qq ( )  D qF ( )D -qF
( k )D qq ( k ) q(0)

Матрица функций формы конечного элемента:
-1
F(,  )  D qq ( )  D qF ( )D -1
qF ( k )D qq ( k ) D qF ( )D qF ( k )

(10)
(11)
ФУНКЦИОНАЛ ЛАГРАНЖА ДЛЯ КРУГОВОГО СТЕРЖНЯ
Деформации волокон, параллельных оси:
 R  u   k  v    ( w  v  w  v )  y  (v   k  u    w)   z  ( w    v) 
(12)
d t
R 
R
ds
R – расстояние от волокна до центра тяжести сеченияения в поперечной плоскости
Углы поворота подвижного трехгранника:
 b  v  k  u    w
 n  w    v
(13)

3
  R E R   R G R dV   u  u  v  v  w  wdV 
V
V
l

 u  pt  v  p n  w  pb ds  u(0)  N (0)  v(0)  Qn (0)  w(0)  Qb (0) 
0
 u (l )  N (l )  v(l )  Qn (l )  w(l )  Qb (l ) 
 t (0) M t (0)   n (0) M n (0)  b (0) M b (0) 
 t (l ) M t (l )   n (l ) M n (l )  b (l ) M b (l )  0
(14)

  
 k 
u   v  EA u   v    (v   u ) 
EJ b
R


GJ p
EJ n
0  w 
   t
w
 t
3
3

R
R

u  u v w  t 
 
 

 
 

 0


 0

(15)
вектор независимых перемещений
1
0
2
0
 2
0
R3

(v   u )   

 d


2
 2
0
0

0 

0 


0 


 
 
(16)
оператор дифференцирования
(17)
Аппроксимирующее выражение для градиентов перемещений:
 ( )    F1 ( )  q  B( )q
(18)
F1 – первые четыре строки из матрицы (11)
k
K
B
T
EBd 
0
- матрица жесткости
 EA
 R

 0
E

 0

 0

0
EJ n
R3
0
0
0
0
EJ b
R3
0

0 

0 


0 

GJ p 
R 
(19)
4
1
0
T
M  F IF  ARd I  
0
0

0
k

0 0 0
1 0 0

0 1 0

0 0 0
(20)
0
(21)
-матрица масс
k
P
F
T
pRd , p  pt
pn
pb
0
- вектор узловой нагрузки.
n+2
O2
n+1
O1
O3
n
Истинная ось стержня
bn+1
n-1
bn
Рис.2. Ансамбль конечных элементов
Рис.3. Сетка конечных элементов витка пружины
(Ne =10)
5
Результаты расчета частот свободных колебаний витка пружины
диаметр витка 2R = 40 мм; диаметр проволоки d=2мм; угол подъема 0.05
Отношения частот, определенных по МКЭ, к теоретическим
№
1
Прямолинейный Криволинейный
КЭ, Ne=50
КЭ, Ne=5
0.97
0.985
Время
расчета, с
10/200
2
0.876
0.967
10/240
3
0.765
0.950
10/240
Вывод: предложенный конечный элемент превосходит традиционный по
точности, но уступает ему по быстродействию.