Исследование потери устойчивости стержня при динамическом нагружении сжимающей силой

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
Исследование потери устойчивости
стержня при динамическом
нагружении сжимающей силой
студент
Клак М.А.
Научный руководитель доктор ф.-м. наук, профессор:
Иванова Е.А.
2013 г.
Постановка задачи
Рассматривается первоначально
прямолинейный безынерционный
стержень с массой на верхнем
конце. Решается задача о потери
устойчивости этого стержня в
случае действия на него
динамической сжимающей силы.
Уравнения движения стержня
Уравнения движения:
𝑁 ′ (𝑠, 𝑡) = 0
𝑀′ (𝑠, 𝑡) + 𝑅′ (𝑠, 𝑡) × 𝑁(𝑠, 𝑡) = 0
Соотношение упругости:
𝑀 = 𝐶3 − 𝐶1
𝑡 ∙ 𝑃𝑇 ∙ Ф
Векторы деформации:
𝑃′ = Ф × 𝑃
𝑃 ∙ 𝑡 + 𝐶1 Ф
ε = 𝑅′ − 𝑃 ∙ 𝑡
В классической теории стержней:
ε=0
⇒
𝑅′ = 𝑃 ∙ 𝑡
Граничные условия
Условия жесткой заделки на нижнем
конце:
𝑅|𝑠=0 = 0,
𝑃|𝑠=0 = 𝐸
Условия на верхнем конце стержня:
уравнение движения груза:
𝑚(𝑡 ∙ 𝑅)|𝑠=𝑙 = −𝐹 𝑡 − 𝑚𝑔 − (𝑡 ∙ 𝑁|𝑠=𝑙 )
𝑅|𝑠=𝑙 ∙ 𝐸 − 𝑡 𝑡 = 0
𝑁|𝑠=𝑙 ∙ 𝐸 − 𝑡 𝑡 = 𝐹 ∗
Груз шарнирно прикреплен к стержню:
𝑀|𝑠=𝑙 = 0
Решение уравнений статики стержня
Вектор силы: 𝑁 = 𝑁|𝑠=𝑙
Вектор деформации: Ф = 𝑅′ × 𝑅"
Вектор момента:
𝑀 = 𝐶1 Ф ⇒ 𝑀 = 𝐶1 𝑅′ × 𝑅"
Доказывается, что конфигурация изогнутого
стержня – плоская
𝑃 = 𝑃 ψ𝑏
⇒
𝑅′ = 𝑐𝑜𝑠ψ𝑡 + sinψ𝑛
Итоговое выражение для вектора моментов:
𝑀 = 𝐶1 ψ′𝑏
Краевая задача для ψ
Дифференциальное уравнение:
𝐶1 Ψ"(𝑠) + (𝑛 ∙ 𝑁)𝑐𝑜𝑠Ψ − (𝑁 ∙ 𝑡)𝑠𝑖𝑛Ψ = 0
Граничные условия:
Ψ𝑠=0 = 0
Ψ′𝑠=𝑙 = 0
Введем обозначения:
𝑁 = 𝑁𝑒,
𝑒 ∙ 𝑛 = −𝑠𝑖𝑛𝛽,
𝑒 ∙ 𝑡 = −𝑐𝑜𝑠𝛽
Замена переменных: ψ = ψ − 𝛽
Краевая задача в новых обозначениях:
𝐶1 ψ"(𝑠) + 𝑁𝑠𝑖𝑛ψ = 0
ψ𝑠=0 = −𝛽
ψ′𝑠=𝑙 = 0
Первый интеграл
Первый интеграл уравнения с учетом ψ′𝑠=𝑙 = 0
′
ψ = ±2
𝑁
𝐶1
ψ𝑙
2
𝑠𝑖𝑛
2
−
ψ
2
𝑠𝑖𝑛
2
, где ψ𝑙 =ψ|𝑠=𝑙
𝑁 = 𝑁𝑒 ⇒ 𝑁 > 0 ⇒
2 ψ𝑙
𝑠𝑖𝑛
2
−
2ψ
𝑠𝑖𝑛
2
≥0 ⇒
ψ
2
ψ𝑙
2
𝑠𝑖𝑛
2
𝑠𝑖𝑛2
≤1
Решение в квадратурах
ψ
Введем новую переменную θ:
𝑠𝑖𝑛θ =
𝑠𝑖𝑛 2
ψ
𝑠𝑖𝑛 2𝑙
Дифференциальное уравнение для θ:
2
θ′ =
𝑁
𝐶1
2
ψ𝑙
2
2
1 − 𝑠𝑖𝑛 ξ 𝑠𝑖𝑛 θ , где ξ =
Используем граничное условие: ψ|𝑠=0 = −𝛽
𝜃|𝑠=0 = θ0 ,
где 𝑠𝑖𝑛θ0 = −
𝑠𝑖𝑛
𝑠𝑖𝑛
𝛽
ψ𝑙
Решение задачи в квадратурах имеет вид :
𝑁
𝑠=
𝐶1
θ
θ0
𝑑𝜏
1 − 𝑠𝑖𝑛2 ξ 𝑠𝑖𝑛2 𝜏
2
2
Критическая𝜋сила
2
𝑁
𝑙=𝐽 ξ ,
𝐶1
𝑑𝜏
где 𝐽(ξ) =
1 − 𝑠𝑖𝑛2 ξ 𝑠𝑖𝑛2 𝜏
θ0
J(ξ) принимает минимальное значение при ξ=0
𝐽 0 =
𝜋
θ0
2
𝑑𝜏 =
𝜋
2
− θ0
Следовательно:
(𝜋 − 2𝛳0𝑐𝑟 )2 𝐶1
𝑁𝑐𝑟 =
4𝑙2
𝑐𝑡𝑔𝛳0𝑐𝑟 = 𝜋 2 − 𝛳0𝑐𝑟
𝑁
𝑙≥𝐽 0
𝐶1
Определение радиус вектора
𝑅′ = 𝑐𝑜𝑠ψ𝑡 + sinψ𝑛,
𝑠
𝑅=𝑡
𝑅|𝑠=0 = 0
𝑠
𝑐𝑜𝑠ψ𝑑𝑠 + 𝑛
0
𝑠𝑖𝑛ψ𝑑𝑠
0
Спасибо за внимание