Математика - Факультет математики и ИТ МГУ им. Н.П.Огарева

Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
“МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.П. ОГАРЁВА”
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ
И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
ПРОГРАММА
ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ
СПЕЦИАЛЬНОСТИ 010101.65 – МАТЕМАТИКА
САРАНСК 2014
1. Основные алгебраические структуры: группы, кольца, поля.
1.1. Определения группы, кольца, поля; основные утверждения; примеры
этих структур на N , Z , R , C , Z m , множестве числовых функций,
множестве геометрических и других преобразований.
1.2. Делители нуля в кольце. Гомоморфизмы и изоморфизмы алгебраических структур.
2. Кольцо многочленов. Разложение многочлена в произведение
неприводимых.
2.1. Кольцо многочленов от одной и нескольких переменных над данным
кольцом или полем.
2.2. Теорема делимости многочленов (теорема о делении с остатком,
НОД, НОК, алгоритм Евклида, критерий взаимной простоты).
2.3. Корни многочлена. Теорема Безу и её следствие. Схема Горнера.
Кратность корня, выделение кратных множителей. Многочлены, неприводимые над R и C .
2.4. Корни из единицы над полем C , их свойства (группы, первообразные
корни, цикличность). Основная теорема алгебры (без доказательства).
2.5. Поле частных кольца многочленов. Разложение дроби на простейшие.
2.6. Симметрические многочлены от n неизвестных, основная теорема.
3. Линейные пространства, линейные операторы. Системы линейных уравнений.
3.1. Линейное пространство, основные примеры (геометрические, матричные, функциональные). Линейная зависимость, размерность, базис, разложение вектора по базису. Замена базиса и преобразование
координат вектора. Изоморфизм линейных пространств.
3.2. Линейные отображения (морфизмы) и линейные операторы, их матрицы, матричное и координатное представление, преобразование
матрицы линейных операторов при замене базиса. Основные понятия – ker f , im f , rang f , def f и утверждения о них.
3.3. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов,
инвариантные подпространства.
3.4. Общая теория линейных систем алгебраических уравнений (теорема
Кронекера-Капелли, связь решений неоднородной и соответствующей однородной систем, фундаментальная система решений).
2
4. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
4.1. Билинейные и квадратичные формы, их матричные и координатные
представления. Преобразования матриц билинейной и квадратичной
форм при замене базиса. Полярные билинейная и квадратичная формы.
4.2. Приведение квадратичной формы к каноническому (метод Лагранжа)
и к нормальному видам. Теорема об инерции квадратичных форм (без
доказательства).
5. Евклидовы пространства. Ортогонализация и нормирование
базиса.
5.1. Евклидово линейное пространство. Неравенство Шварца-КошиБуняковского. Примеры задания евклидовой структуры в пространствах матриц и вещественных функций C 0 a, b. Матрица и определитель Грама.
5.2. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Ортогонализация линейно-независимой системы векторов. Формула скалярного произведения и нормы вектора в произвольном и ортонормированном базисах. Ортогональные матрицы как матрицы преобразования
ортонормированных базисов.
5.3. Ортогональные преобразования E n , их свойства и классификация
в E2 и E3 .
5.4. Самосопряженные операторы, их свойства.
6. Пределы числовых последовательностей и функций.
6.1. Предел числовой последовательности, предел функции. Предельные
точки множеств. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
7. Непрерывность функций одной и нескольких переменных.
7.1. Непрерывные функции одной переменной. Свойства функций, непрерывных в точке. Свойства функций, непрерывных на множествах:
теорема Вейерштрасса, теорема Больцано-Коши.
7.2. Равномерная непрерывность функции на промежутке, теорема Кантора.
7.3. Предел функции нескольких переменных в точке, предел по множеству. Непрерывность и свойства функций нескольких переменных,
непрерывных на множестве.
3
8. Дифференцируемость функций одной и нескольких
переменных.
8.1. Дифференцируемые функции одной переменной, дифференциал,
условия дифференцируемости функции. Теоремы о дифференцируемых функциях: Ролля, Лагранжа, Коши.
8.2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранжа,
Коши.
8.3. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Полный
дифференциал, условия дифференцируемости.
9. Интеграл Римана.
9.1. Определение интеграла по Риману. Условия интегрируемости. Классы интегрируемых функций.
9.2. Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Формула
Ньютона-Лейбница.
9.3. Приложения интеграла: вычисление площади, длины дуги, объема.
9.4. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность,
дифференцируемость и интегрируемость по параметру.
10. Числовые ряды.
10.1. Числовой ряд, сходимость и сумма ряда. Критерий Коши сходимости
числового ряда.
10.2. Знакопостоянные ряды. Признаки сравнения, интегральный признак.
Гармонический ряд.
10.3. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда, оценка
остатка ряда лейбницевского вида.
11. Функциональные последовательности и ряды. Функциональные свойства суммы функционального ряда.
11.1. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, критерий Коши равномерной сходимости, признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
11.2. Степенной ряд в комплексной области. Первая теорема Абеля. Круг
сходимости. Формула Коши-Адамара.
11.3. Непрерывность суммы степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда.
4
12. Ряды Фурье.
12.1. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье по ортогональной системе. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля. Понятие
полноты и замкнутости ортогональных систем функций.
12.2. Ряд Фурье по тригонометрической системе периода 2l .
13. Кратные и криволинейные интегралы.
13.1. Кратные интегралы Римана, условия интегрируемости. Сведение
кратного интеграла к повторному. Замена переменных в кратном интеграле.
13.2. Криволинейные интегралы первого и второго рода, их выражение через определенный интеграл.
13.3. Формула Грина о связи между двойным и криволинейным интегралами. Условия независимости криволинейного интеграла от пути.
14. Системы линейных дифференциальных уравнений.
14.1. Фундаментальная система решений линейной однородной системы
дифференциальных уравнений. Теорема об общем решении линейной
однородной системы дифференциальных уравнений.
14.2. Теорема об общем решении линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных
нахождения частного решения.
14.3. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.
Матричный метод.
15. Теорема существования и единственности решения системы
дифференциальных уравнений.
15.1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для
нормальной системы дифференциальных уравнений.
16. Устойчивость решений системы линейных дифференциальных уравнений.
16.1. Автономные системы на плоскости. Типы точек покоя.
16.2. Устойчивость по Ляпунову линейных однородных систем. Теоремы
об устойчивости, асимптотической устойчивости, неустойчивости.
16.3. Устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
16.4. Устойчивость по первому приближению. Второй метод Ляпунова.
5
17. Одномерные и двумерные многообразия.
17.1. Задание линии в  n , натуральная параметризация и ее свойства. Вектор кривизны и кривизна линии.
17.2. Формулы Френе. Геометрически-механический смысл кривизны и
кручения. Теорема о натуральных уравнениях (без доказательства).
17.3. Задание поверхности в  3 , касательная плоскость и нормаль. Первая
квадратичная форма и ее применения. Изометрическое преобразование поверхности (изгибание), основные инварианты.
17.4. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна линии на плоскости. Главные, полная и средняя кривизны.
18. Топологические пространства.
18.1. Определение и примеры топологического пространства. Топология
метрического пространства. Индуцированная топология. Классификация точек относительно подмножества в топологическом пространстве.
18.2. Непрерывные отображения в топологическом пространстве, их свойства. Гомеоморфизм.
18.3. Предел последовательности в топологическом пространстве, единственность предела в хаусдорфовом пространстве.
18.4. Связность, компоненты связности в топологическом пространстве.
Связные множества в R .
18.5. Компактность, теорема о компактности в R . Свойства функций, непрерывных на компактном множестве.
19. Дифференцируемые многообразия.
19.1. Определение и примеры n-мерного дифференцируемого многообразия.
19.2. Касательное и кокасательное пространства. Векторные поля и траектории.
19.3. Аффинная связность на X n . Ковариантные производная и дифференциал. Параллельный перенос вектора. Геодезические.
20. Теория меры.
20.1. Измеримые функции действительного переменного. Сходимость почти всюду, сходимость по мере. Их свойства.
6
21. Интеграл Лебега.
21.1. Интеграл Лебега от ограниченной функции действительного переменного. Сравнение интегралов Римана и Лебега.
21.2. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.
22. Банаховы и Гильбертовы пространства.
22.1. Банаховы пространства. Гильбертовы пространства.
23. Линейные ограниченные операторы.
23.1. Линейный оператор, действующий из нормированного пространства
в нормированное. Ограниченность и непрерывность линейного оператора.
23.2. Норма линейного ограниченного оператора. Пространство линейных
ограниченных операторов.
24. Бесконечномерный нелинейный анализ.
24.1. Принцип сжимающих отображений. Теорема Банаха о неподвижной
точке.
25. Аналитические функции. Ряд Лорана. Особые точки.
25.1. Геометрический смысл функции комплексного переменного. Производная и дифференциал. Критерий дифференцируемости: условия
Даламбера-Эйлера.
25.2. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций.
25.3. Первая теорема Вейерштрасса о рядах аналитических функций и её
применение к степенным рядам.
25.4. Ряд Лорана. Теорема Лорана о разложении функции, аналитической в
кольце, в ряд Лорана.
25.5. Классификация изолированных особых точек аналитической функции. Теорема Сохоцкого (без доказательства).
26. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши.
Вычеты.
26.1. Интегральные теоремы. Интегральная формула Коши.
26.2. Понятие вычета, его вычисление в полюсе. Основная теорема Коши о
вычетах. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов.
7
27. Уравнения с частными производными (гиперболические,
эллиптические, параболические).
27.1. Характеристический конус волнового уравнения. Теорема единственности решения задачи Коши для волнового уравнения.
27.2. Пример на применение метода Фурье к смешанной краевой задаче
для одномерного волнового уравнения.
27.3. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре методом
функций Грина. Ядро Пуассона.
27.4. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с помощью
преобразования Фурье.
28. Случайные величины. Законы распределения, числовые
характеристики, предельные теоремы.
28.1. Дискретное пространство событий. Операции над событиями. Классическое определение вероятности. Условная вероятность. Теоремы
умножения и сложения вероятностей. Формула полной вероятности и
формула Байеса.
28.2. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
28.3. Дискретные случайные величины. Числовые характеристики, их
свойства.
28.4. Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения.
28.5. Распределение случайной величины. Закон Пуассона и закон нормального распределения. Их свойства.
28.6. Предельные теоремы. Закон больших чисел. Теоремы МуавраЛапласа и Ляпунова.
28.7. Закон больших чисел. Теорема Чебышева и Бернулли.
29. Случайные процессы.
29.1. Случайные процессы, их виды. Функция распределения. Моменты.
Корреляционные функции и спектральные плотности.
29.2. Цепи Маркова.
30. Методы решения задач на экстремум.
30.1. Метод множителей Лагранжа для конечномерных задач. Простейшая
вариационная задача. Уравнения Эйлера. Интегралы уравнения Эйлера. Изопериметрические задачи.
30.2. Основная задача оптимального управления. Задача быстродействия.
Принцип максимума Понтрягина (без доказательства).
8
31. Сходимость и устойчивость итерационных процессов.
Основные разностные схемы.
31.1. Интерполяционный полином Лагранжа и оценка его остаточного члена.
31.2. Метод итерации решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости.
31.3. Метод итерации решения скалярного уравнения. Оценка сходимости.
31.4. Метод итерации отыскания собственных значений и собственных
векторов матриц. Сходимость.
31.5. Метод сеток решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Устойчивость разностной схемы.
31.6. Метод сеток решения краевой задачи для уравнений эллиптического
типа. Устойчивость разностной схемы.
31.7. Метод сеток решения краевой задачи для уравнений параболического
типа. Устойчивость разностной схемы: а) случай явной схемы;
б) случай неявной схемы.
31.8. Метод сеток решения краевой задачи для уравнений гиперболического типа. Устойчивость разностной схемы.
31.9. Нормы векторов и матриц, их согласованность. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений.
Программа утверждена на заседании ученого совета факультета математики и информационных технологий. Протокол № 9 от 25 октября
2012 г.
Председатель совета
И.И. Чучаев
9