Вопросы к государственному экзамену по математике

СОГЛАСОВАНО
Директор института математики,
информационных и космических
технологий
___________ / Хаймина Л.Э. /
ПРОГРАММА
МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ
010101.65 «Математика»
2012 – 2013 уч. год
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
АЛГЕБРА
Поле комплексных чисел. Извлечение корня из комплексного числа. Группа
корней из единицы.
Определитель квадратной матрицы, его свойства. Способы вычисления
определителей.
Разрешимость систем линейных уравнений. Методы их решения.
Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Наибольший общий
делитель в кольце многочленов, алгоритм Евклида.
Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис
и размерность пространства.
Линейные операторы, собственные векторы и собственные значения линейного
оператора, диагонализируемые операторы.
Евклидовы пространства. Процесс ортогонализации системы векторов.
Ортонормированные базисы.
Группы, подгруппы. Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа. Факторгруппа.
Гомоморфизмы групп, их свойства, основная теорема о гомоморфизмах групп.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Предел числовой последовательности. Основные свойства: единственность
предела;
ограниченность
сходящейся
последовательности.
Предел
и
арифметические операции. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши
сходимости числовой последовательности.
Предел и непрерывность функции. Эквивалентные определения (по Коши и по
Гейне). Основные свойства. Связь с арифметическими операциями. Непрерывность
композиции.
Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и о достижении экстремальных значений
функцией, непрерывной на отрезке.
Дифференцируемость числовой функции. Производная и дифференциал.
Непрерывность дифференцируемой функции. Геометрический смысл производной.
Дифференцируемость и арифметические операции. Дифференцируемость
композиции и обратной функции.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа о дифференцируемых функциях.
Необходимые и достаточные условия экстремума функции в терминах производной.
Интеграл Римана. Основные свойства интеграла: линейность, монотонность,
аддитивность. Классы функций, интегрируемых по Риману.
Первообразная и неопределенный интеграл. Интеграл с переменным верхним
пределом. Теорема о существовании первообразной. Формула Ньютона-Лейбница.
Числовые ряды. Понятие сходимости числового ряда. Необходимое условие
сходимости. Признаки сравнения, Коши и Даламбера сходимости положительных
рядов. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
Функциональные последовательности и ряды. Поточечная и равномерная
сходимость. Непрерывность предельной функции равномерно сходящейся
функциональной последовательности и суммы равномерно сходящегося
функционального ряда. Почленное интегрирование и дифференцирование
функциональных рядов.
Степенные ряды. Теорема о структуре области сходимости степенного ряда.
Радиус и интервал сходимости. Равномерная сходимость степенных рядов.
Непрерывность суммы степенного ряда. Почленное дифференцирование и
интегрирование степенных рядов.
Ряды Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Тригонометрические
ряды Фурье. Достаточные условия сходимости.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Теорема С. Банаха о неподвижной точке оператора сжатия и её применения к
решению уравнений, систем линейных уравнений, интегральных уравнений
Фредгольма.
Линейные непрерывные операторы (л. н. о.) в нормированных пространствах.
Эквивалентность ограниченности и непрерывности линейных операторов. Норма л.
н. о. и её выражение через значения оператора на единичном шаре (единичной
сфере).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное
относительно производной; его решения. Задача Коши. Теорема существования
решения задачи Коши. Теорема единственности.
Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Методы
нахождения общего и частного решений.
Фазовые траектории системы дифференциальных уравнений, свойство точки
покоя. Случай автономной системы, теорема о классификации траекторий. Фазовые
траектории линейной однородной системы с постоянными коэффициентами на
плоскости, их классификация.
Устойчивость по Ляпунову решений систем дифференциальных уравнений.
Случай линейных однородных систем, классификация точек покоя по устойчивости.
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Аналитические функции. Признаки аналитичности функции в области.
Изолированные особые точки и вычеты. Теорема о вычислении контурного
интеграла с помощью вычетов.
Экспонента, её аналитические и геометрические свойства. Глобальное
обращение экспоненты (логарифмы).
ГЕОМЕТРИЯ
Элементы векторной алгебры. Скалярное, векторное и смешанное произведения
векторов.
Различные виды уравнений прямой на плоскости и в пространстве. Расстояние от
точки до прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми.
Определение кривых второго порядка, их канонические уравнения.
Эксцентриситет, директрисы кривых второго порядка, теорема об эксцентриситете.
Способы задания кривой. Касательная, главная нормаль, бинормаль к кривой.
Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе.
Регулярные поверхности в Е3. I квадратичная форма. Внутренняя геометрия
поверхности.
II квадратичная форма поверхности. Нормальные кривизны. Гауссова и средняя
кривизна. Типы точек на поверхности.
Топологические
многообразия.
Эйлерова
характеристика
двумерного
многообразия. Классификация двумерных замкнутых многообразий.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Простейшая задача вариационного исчисления (вывод уравнения Эйлера с
помощью леммы Лагранжа, многомерный случай, случай с производными высшего
порядка).
Задача Больца (вывод необходимых условий оптимальности, многомерный
случай, случай с производными высшего порядка).
Изопериметрическая задача (вывод необходимых условий оптимальности,
многомерный случай, случай с производными высшего порядка).
Задача оптимального управления в общем случае. Принцип максимума
Понтрягина.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Решение задачи Коши для линейных и квазилинейных уравнений методом
характеристик. Теорема о существовании и единственности решения.
Классификация уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Канонические формы уравнений второго порядка.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Аксиоматика теории вероятностей. Свойства вероятности.
Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Теорема Пуассона.
Формулировки предельных теорем (локальная теорема Муавра-Лапласа,
интегральная теорема Муавра-Лапласа).
Закон больших чисел (неравенства Чебышева, теоремы Чебышева, Бернулли).
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
АЛГЕБРА
1. Вычислить определитель n-го порядка, используя разложение по строкам и
столбцам.
2. Решить матричное уравнение вида АХ=В, где А, В -матрицы третьего
порядка.
3. Дана система 4-х линейных уравнений с 7-ю неизвестными. Найти общее и
одно частное решение.
4. Найти рациональные корни многочлена.
5. Линейный оператор в пространстве R 2 имеет в некотором базисе заданную
матрицу. Найти матрицу этого оператора в другом заданном базисе.
6. Найти ортонормированный базис подпространства, натянутого на заданную
систему векторов.
7. Выяснить, является ли циклической группа.
8. Найти первообразные корни по модулю т.
9. Решить сравнение вида f ( x)  0 (mod m), f ( x)  Z x.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Найти предел последовательности.
Найти предел функции в точке.
Найти производную функции, неявно заданной уравнением.
Доказать неравенство, используя формулу Лагранжа.
Указать множества, на которых сужение функции имеет обратную функцию.
Найти эту обратную функцию для каждого из этих множеств.
6. Доказать неравенство с помощью производной.
7. Найти верхний (нижний) предел последовательности.
8. Задача на нахождение уравнения касательной к графику функции y=f(x),
удовлетворяющей дополнительному условию.
9. Найти интеграл.
10. Установить, сходится ли ряд.
11. Найти разложение функции в ряд Тейлора в окрестности заданной точки x 0 .
1.
2.
3.
4.
5.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
1. Сходится ли заданная последовательность ( x n ) n 1 к точке а в заданном
метрическом пространстве?
2. Является данная точка а внутренней, внешней или граничной точкой
множества E в данном метрическом пространстве?
3. Является ли компактным множество А в заданном метрическом
пространстве?
4. Доказать полноту (неполноту) данного метрического пространства.
5. Задача на применение принципа сжимающих отображений к решению
интегральных уравнений Фредгольма.
6. Доказать, что данный оператор А является линейным непрерывным
оператором и найти его норму.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Решить дифференциальное уравнение первого порядка.
2. Решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка с
постоянными коэффициентами.
3. Решить систему двух линейных дифференциальных уравнений первого
порядка.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
1. Решение задачи по уравнениям в частных производных первого порядка.
2. Найти решение уравнения при заданных начальных условиях методом
Даламбера.
3. Приведение уравнений в частных производных второго порядка к
каноническому виду.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.
Условная вероятность. Формулы полной вероятности и Байеса.
Основные распределения дискретных и абсолютно-непрерывных случайных
величин.
Независимость случайных величин. Многомерные функции распределения.
Математическое ожидание и дисперсия основных случайных величин.
Коэффициент корреляции и его свойства.
Центральная предельная теорема (формулировка).
ГЕОМЕТРИЯ
1. Написать уравнение прямой, плоскости по определяющим элементам.
2. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет кривой второго порядка по
каноническому уравнению.
3. Вычислить площадь треугольника; объём тетраэдра с данными координатами
вершин.
4. Найти векторы базиса Френе для данной кривой в заданной точке.
5. Вычислить первую квадратичную форму данной поверхности.
6. Найти гауссову кривизну поверхности в данной точке.
Зав. кафедрой математического анализа
Н.В. Дидковская