ациональный исследовательский университет овосибирский государственный университет

Приложение 3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Национальный исследовательский университет
Новосибирский государственный университет
Механико-математический факультет
УТВЕРЖДАЮ
_______________________
«_____»__________________201__ г.
Рабочая программа спецкурса
Дискретный анализ и комбинаторика
Направление подготовки
Дискретная математика и математическая кибернетика, 01-01-09
Профиль подготовки
????
Квалификация (степень) выпускника
Магистр
Форма обучения
Очная
Новосибирск 2010
Аннотация рабочей программы
Курс читается на кафедре «Теоретическая кибернетика» ММФ НИУ НГУ и
предназначен для изучения математических дисциплин комбинаторики и дискретного
анализа, которые составляют значительную часть базового образования в области
дискретной математики, математической кибернетики и теоретической информатики.
Преподавание дисциплины предусматривает следующие формы организации
учебного процесса: лекции и самостоятельная работа студента.
Программой годового курса предусмотрена сдача в конце семестров зачётных
заданий и решений предлагаемых на лекциях задач. Курс годовой 68 часов лекционных и
10 часов - приём экзаменов и заданий.
2
1. Цели освоения курса
Курс предназначен для изучения математических дисциплин - комбинаторики и
дискретного анализа, которые составляют значительную часть базового образования в
области дискретной математики, математической кибернетики и теоретической
информатики.
Основной целью освоения курса является ознакомление с базовыми понятиями и
теоретическими методами указанных разделов дискретной математики, а также с
современными исследованиями в этих областях и новыми задачами.
В первой части данного курса делается упор на задачи и методы комбинаторики. Во
второй части читается в основном дискретный анализ.
2. Место курса в образовании по дискретной математике
В настоящем курсе объединены разделы дискретной математики, которые автор читал
на ММФ на протежении многих лет отдельными годовыми курсами. Новизна и
актуальность состоит в рассмотрении новых задач и знакомстве с современными
исследованиями в области комбинаторики символьных последовательностей и языков с
запретами (по разделу “Комбинаторика”) и дискретных метрических пространств,
вопросов кодирования структурированной информации и дискретным моделям
функционирования генных сетей (по разделу “Дискретный анализ”).
Изложение этих разделов оригинально, даются постановки новых задач.
Разделы дискретной математики, связанные с материалом курса.
Общая алгебра. Теория булевых функций. Математическая кибернетика. Теория графов.
Теория автоматов. Теория функциональных систем.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения курса обучающийся должен знать основы и овладеть методами
комбинаторики и дискретного анализа а также иметь представление о современных
исследованиях в этих областях.
4. Структура и содержание дисциплины
1. Комбинаторика перечисления и кодирование.
Системы счисления и кодирование натуральных чисел. Задачи о нумерациях
подмножеств конечного множества. Коды Грея.
Нумерации объектов в порядке
минимального изменения. Алгоритмы построения нумерующих отображений.
Отображения конечных множеств, их кодирование и подсчет числа. Кодирование
деревьев. Число деревьев. Методы перечисления с помощью рекуррентных уравнений и
производящих функций.
2. Комбинаторика слов.
Некоторые классические символьные последовательности и способы их задания.
Универсальные слова. Задачи восстановления символьных последовательностей по
их фрагментам. Коды без перекрытий. Комбинаторная сложность слов.
Псевдослучайные последовательности. Символьные последовательности де Брейна и их
число. Графы перекрытия подслов. Задачи быстрой сборки слов. Алгоритмы сборки.
Аддитивная сложность символьных последовательностей и ее связь с задачами быстрого
умножения и вычисления полиномов. Оценки аддитивной сложности индивидуальных
последовательностей.
3. Кодирование структурированной информации и вложения дискретных пространств.
Понятия близости, расстояния, метрики. Метрические пространства на множестве
подмножеств, словах, символьных последовательностях. Реализация метрик графами.
Графы гиперкубов. Гиперкубовая архитектура вычислительных систем. Кодирования
и вложения дискретных объектов в гиперкубы. Изоморфные и изометрические вложения.
Дискретный аналог гомеоморфного вложения. Алгоритмы построения вложений графов в
гиперкубы.
Применение методов вложения. Обобщённые коды Грея. Локально изометрическое
кодирование табло. Сеточные графы вычислительных структур. Систолические
вычисления. Суффиксные деревья. Префиксные коды. Вложения деревьев в гиперкубы.
4. Булевы функции и дискретные модели функционирования генных сетей.
Булевы функции, их число, способы задания. Представление формулами.
Нормальные формы. Единственность совершенной и сокращённой форм. Представления
многочленами Жегалкина. Полнота систем булевых функций. Теорема Поста. Kзначные логические функции. Пороговые булевы функции. Способы задания. Сложность
вычисления. Решения систем булевых уравнений. Схемы из функциональных элементов.
Конечно-автоматные модели вычисления.
Ориентированные графы и сети. Достижимость вершин. Алгоритмы нахождения
внутренне и внешне устойчивых множеств. Базы и ядра. Булевы методы в задачах теории
графов. Алгоритм построения разрезов циклов. Логические производящие функции.
Диаметр, радиус и центр в орграфах и алгоритмы их нахождения. Дискретные модели
генных сетей. Анализ функционирования регуляторного контура генной сети.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные
средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по
итогам освоения дисциплины
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Гаврилов Г.П. Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. Третье
издание. М. Наука, 2004.
2. Марченков С.С. Булевы функции. М. Физматлит. 2008.
3. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. 2000-2001
Рейнгольд Э., НивергельтЮ., ДеоН. Комбинаторные алгоритмы. М.:Мир,1980.
(переиздана позже. ?)
4. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир. 1970.
5. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1979.
б) дополнительная литература:
1. Евдокимов А.А. Вложения графов в n-мерный булев куб и интервальное
кодирование табло // Вестник Томского государственного университета. Приложение.
2006. № 17. С. 15-19.
2. Гоппа В.Д. Введение в алгебраическую теорию информации. М: Наука, 1995.
4
3. Емеличев В.А. и др. Лекции по теории графов. М.: Наука, ? издание. 200?.
4. Марков А.А. Введение в теорию кодирования. М.: Наука, 1982.
5. Нигматуллин Р.Г. Сложность булевых функций. Изд-во Казанского ун-та. 1983.
6. Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1985.
8. Материально-техническое обеспечение курса
Ноутбук, медиа-проектор, экран.
Программное обеспечение для демонстрации слайд-презентаций.
Автор:
Евдокимов Александр Андреевич
к.ф.-м.н., профессор ММФ НГУ
зав.лаб.ИМ СОРАН м.С.Л.Соболева.
Рецензент (ы)
Программа одобрена на заседании
(Наименование уполномоченного органа вуза (УМК, НМС, Ученый совет)
от ___________ года, протокол № ________
5
6