Методическая разработка урока обобщения темы «Показательные уравнения и неравенства» в 11 профильном классе Тема урока: «Показательные уравнения и неравенства» Цели урока: Обучающие: повторить свойства показательной функции, применение свойств при решении показательных уравнений и неравенств; решение комбинированных уравнений и неравенств, сводящихся к решению тригонометрических, дробно-рациональных уравнений и неравенств, неравенств с модулем; повторить возможные случаи потери корней при решении уравнений, а также случаи приобретения посторонних корней. Развивающие: развивать навыки самостоятельного применения знаний в знакомой и измененной ситуации; учить анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы. Воспитательные: формирование нравственных качеств, аккуратности, дисциплинированности, чувства собственного достоинства, ответственного отношения к достижению цели; формировать навыки коллективного труда. Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний. План урока: 1. Организационный момент. 2. Повторение и актуализация опорных знаний. 3. Тест по проверке умения решать простейшие показательные уравнения и неравенства 4. Решение комбинированных уравнений и неравенств. 5. Подведение итогов. Задание на дом. Ход урока: 1. Организационный момент. 2. Повторение и актуализация опорных знаний: Проводится в форме фронтальной работы с классом. Задания устного опроса можно разделить на две части: повторение теоретического материала и умения применять эти знания при выполнении различных заданий. Какую функцию называют монотонной? Какую функцию называют возрастающей? Какую функцию называют убывающей? Какая функция называется показательной? Каковы область определения и множество значений показательной функции? Какую показательную функцию называют возрастающей? (убывающей?) Важен ли характер монотонности показательной функции при решении уравнений? Как используется характер монотонности при решении показательных неравенств? Устные упражнения: 1) Какие из перечисленных показательных функций являются возрастающими, и какие убывающими: у х у 49 ; х 2 у cos 6 ; х ; 2) Сравните: 0,2 7,8 и 56, 4 ; 16 2 1,33 и 1,5 0 . 42 ; и 3) Решите уравнения: а) 5 2 х 1 1 5 б) 2 х-2 2 в) 3 = -2 х х 3 1 2 4) Решите неравенства: 1х 2 а) 2 х2 2 б) 3 1 27 8 в) 1 х 3 0 3. Тест по проверке умения решать простейшие показательные уравнения и неравенства Учащиеся выполняют тест на подготовленных бланках, в таблице ответов ниже номера задания записывают цифру, которая соответствует правильному ответу. Вариант 1 1) Решите уравнение: 9 1 3 х 81 1) 6 3) 5 2) 2 1 5 2) Решите неравенство: 1) ;3 5 2) ; 3 3) Решите уравнение: 1) 4 4) 1 3 х 7 0,04 3) 3; 4) 5 ; 3 2 х 1 3 2 х 3 76 2) 5 3) 3 4) 6 4) Решите неравенство: 25 х 6 5 х 5 2) (1;+ ) 1) (1;5) 3) ;0 1; 4) (0;1) Вариант 2 1) Решите уравнение: 1) 6 4 1 2 х 8 2) 2 3) 5 2) Решите неравенство: 1 2 7 3) Решите уравнение: 1) 16 2 х 3 2) [7;+∞) 1) -3 5 3 3) (-∞;-1] 3 х7 2) -3 1 7 7 3) - 4) Решите неравенство: 5 3 4) [1;+∞) 3 х 8 49 4) 3 4х 2 3 2х 2) (-∞;1) 2; 1) (0;1) 4) 1 3) ;0 1; 4) (1;2) Фронтальная проверка теста: ученики по порядку называют задание и дают на него ответ с обоснованием. Во время проверки ученики корректируют свои знания по этой теме. По окончании проверки каждый выставляет себе оценку и сдает бланк учителю. 4. Решение комбинированных уравнений и неравенств Каждое задание решает группа учащихся. Затем один из группы записывает решение на доске и поясняет его. 1). 1 1 1 1 ... 2 4 8 0,3 3х 2 5 х 0,3 3 Решение: Преобразуем показатели степеней: (в n ) : 1 1 1 1 ... 2 4 8 геометрическая прогрессия, q b1 1 , S , 1 q 2 1 S 1 2 1 2 3 2 3 0,3 0,3 Получим: ( 3 х 2 5 х ) 2 1 (3 х 2 5 х) , 3 3 1 3 2 3х 2 5 х , 3х 2 5 х 2 0 1 3( х 2)( х ) 0 3 1 х 2; 3 1 Ответ: 2; 3 х 4 2). х 5 4 0,2 х 2 х 2 125 0,04 х2 х4 Решение: Перейдем к одному основанию и воспользуемся свойствами степеней: 5 5 4 х х 2 0,2 х 4 1 х 2 х 4 1 х 2 х 2 32 5 1 х 4 5 5 3 х 2 х 4 2 х 2 х 4 Из монотонности показательной функции следует: 3х 4 2х 2 х4 х 2 3 х 12 2 х 4 0 х4 х х 6 0 х4 х 3 х 2 0, х4 Ответ: 9 х 3 х 2 Решением системы является: х = 9 2 х 1 3 3 3). 4 3 х 1 х 1 4, Решение: 2 х 1 3 3 4 Пусть 3 3 х 1 у у2 3 4у 0 у 1 у 3 0 Тогда у 3 у 1 3 x 1 3 х 1 3 1 x 0;1 1;2 Ответ: 4). х 1 1 х 1 1 x 1 1 x 1 0 x 1 x 2 x 0 x 1 0;1 1;2 1 22ctgх 5 4 sin х 4 2 sin х Решение: Перейдем к одному основанию и воспользуемся формулами тригонометрии: sin x sin cos x cos sin x 1 4 4 4 ctgx 1 2 2 sin x 2 sin x 1 2 2 ctgx 5 2 ctgx1 0 5 1 2 2 ctgx 2 ctgx 0 2 Пусть 2 ctgx y , тогда уравнение примет вид y1 2 y2 1 2 2 ctgx 2 2 ctgx 1 2 y2 5 y 1 0 2 x 4 k , k x n, n 4 ctgx 1 ctgx 1 х Ответ: 4 2х 4 х 1 2 5). k 2 4 k 2 ,k Z ,k Z 3х2 х х 1 2 2х 4 2 х2 2 Решение: 2 х 2 3 х 4 х 1 х 0 2 х 2х 2 4 х 1 2 2 х Воспользуемся условием равносильности: a( x) 1 f ( x) g ( х) 0, а ( х) f ( x ) a ( x) g ( x ) a( x) 0 2х 2 0, Так как 4 х 1 то данное неравенство равносильно системе: 2 х 2 1 3 х 2 х 2 2 х 0, 4 х 1 х 0 2 2 2 3 х 1 х 1 х 0, 3 х 0 2 х 1;0 0; 1 3 2 х 2 х 4 2 3х 2 х 2 0, х4 1 х 0 2 2 3 х 1 х 1 х 0, 3 х 0 2 Ответ: 1;0 0; 1 3 5. Подведение итогов. Задание на дом Выводы, оценки. Решить уравнения и неравенства: а) в*) 1 х 3 9 1 х х 4, 4х 2х 4 2 б) х 1 27sin х 2 32sin х1 4 3sin х 9 2 3sin х 3